Об особенностях плоского течения, образованного источником и вихревым потоком идеальной несжимаемой жидкости Текст научной статьи по специальности «Физика»

_________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

Том XXXII 2 001

Ml—2

УДК 532.527

ОБ ОСОБЕННОСТЯХ ПЛОСКОГО ТЕЧЕНИЯ, ОБРАЗОВАННОГО ИСТОЧНИКОМ И ВИХРЕВЫМ ПОТОКОМ ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

В. С. Садовский

Исследовано обтекание идеальной несжимаемой жидкостью плоского полутела, образованного источником, помещенным в равномерно завихренный поток. Указаны отличительные особенности этого течения по сравнению с его потенциальным аналогом. Вычислена сила, действующая на полу-тело со стороны вихревого потока, обсуждается вопрос о коэффициенте сопротивления.

1. В работе [1] рассмотрена задача обтекания стационарным равномерно завихренным потоком идеальной несжимаемой жидкости прямоугольной ступеньки (рис. 1). Получение решения такой задачи в случае потенциального течения является классической задачей, и результат этого решения хорошо известен — коэффициент сопротивления ступеньки, определяемый, как это принято для полутел, интегралом избыточного давления по его поверхности, равен нулю. Однако в [1] показано, что в случае равномерно завихренного течения около такой ступеньки ее коэффициент сопротивления отличен от нуля. Более того, он оказался отрицательным (при со < 0, где со — завихренность потока, см. рис. 1)! Полученный результат периодически ставил перед автором вопрос: то ли решение [1] ошибочно, или же если оно верно — то, что является причиной наличия силы тяги ступеньки? За ответом на этот вопрос пришлось обратиться к аналогу рассмотренного в [1] течения, решение которого легко получается в явном виде и допускает простой анализ.

2. Пусть в обычной декартовой системе координат плоское течение идеальной несжимаемой жидкости задано соотношениями:

и =F0 — ay sign7, (1)

v = 0.

Рис. 1

Здесь и далее и, v — проекции вектора скорости на оси х, у, V0 > О — константа, со — z-компонента ротора скорости, при этом со ='const: < 0. Поместим в начало координат источник интенсивности Q > 0 и рассмотрим получившееся суперпозиционное течение (рис. 2). При со = 0 это хорошо известное классическое течение, соответствующее обтеканию полутела с «хвостом» конечного поперечного размера при х-> +со , коэффициент сопротивления которого равен нулю. При со ф 0 функция тока Т (х, у) течения и соответствующие ей компоненты скорости имеют вид:

¥ = V0 у - со у212 + 66 /(2я), (2)

Q

u = Vo~(oy +-----cosG,

2nR

v = ——— sin 0, (3)

2% R

где R, 0 — полярные координаты точки (в силу очевидной симметрии течения относительно оси х здесь и далее рассматривается лишь верхняя полуплоскость). Очевидно, что ось х является линией тока, и на ней имеется единственная критическая точка:

*0 = -Q/(2nVo) < 0.

При х < 0, у = О функция тока в соответствии с (2) имеет значение Т = % =0/2, и, как и в случае со = 0, эта линия тока ветвится в точке х0. Уравнение этой линии тока при у > 0 имеет вид:

т. е., как и в классическом случае ю = 0, мы имеем обтекание потоком (1) полутела с конечным размером «хвоста» у = 8. При этом, рассматривая внутреннее завихренное течение между линией тока (4) и осью х при * >х0, нетрудно убедиться и в том, что расход в нем при а: -> + оо, вычисленный по формулам (3) с учетом (5), дает величину 0,12, т. е. никаких противоречий нет. Налицо некоторое внешнее сходство рассматриваемого вихревого течения с соответствующим потенциальным течением (рис. 3).

Однако даже на уровне внешнего рассмотрения можно установить локальное различие в форме полутел. Из (3) видно, что производная д и/д х(х, 0) при х —> Хо не имеет логарифмической особенности, поэтому, как это следует из [2], жидкая линия тока 'Р = % не может подходить к оси х под прямым углом. В самом деле, уравнение главной линии тока % позволяет определить асимптотику вихревого полутела при д: —> *о. Так как 0< 0 < л, то 9 = агссЩ(х!у) и

У0у - ту/2 + 00 /(2л) = (±12. Нетрудно убедиться в том, что при х -> +оо из (4) следует:

(4)

у{+ оо) = 8 =

(5)

со

У

Рис. 3

х у

агс^ — « п + —

у х

при у -> 0, х -> *0-

Поэтому из (4) имеем:

т. е. вблизи критической ТОЧКИ Хо

-Q

2nV0

1 +

coy

2V,

о

= *0

1 +

соу

Щ

(6)

У

Это означает, что в критической точке вихревое полутело в отличие от потенциального наклонено к оси * под углом р * л/2, при этом

1ё$ = 2У0 /(хо®) = - 4л Ко2/(0со).

Более того, в этой точке

1

ди/дх = - 2nV0 IQ = — со tg Р , 2

что еще раз подтверждает закон локального поведения вихревого течения в окрестности критической точки [2].

Определим силовое воздействие в направлении оси х вихревого потока на рассматриваемое полутело, используя известную интегральную теорему импульсов:

jpuVnRdQ = ~FX - Jp./?cos 0dQ .

(7)

Здесь p и p — плотность и давление жидкости, граница контрольной поверхности L изображена на рис. 4 штриховкой, интегрирование производится по части полуокружности большого радиуса R, заключенной между частью оси х и частью полутела, V„ — нормальная к L компонента вектора скорости, Fx — сила, действующая на часть полутела. Очевидно, что, вычислив интегралы в (7) и перейдя к пределу R -» оо, получим полную силу Fx. Учитывая важность результата, математические выкладки проведем с достаточной полнотой.

Компонента скорости V„ определяется как

К~ (Vo-coy) cosQ + Q/(2nR), величина и дается соотношениями (3), и интеграл в левой части (7) имеет

вид

+

/, =р [uVnRd& = p |У02 cos9/W0 - р— fi? (sin 0 + sin Geos2 e) +

L a 2% a

рю2 jV sin2 0cos0^0-pFo(o/?2 Jsin0cos9d9 + -!j(l + cos2 0)d0 +

а а 2л a

Q2 ,Vcos0

P

-dQ = Iu +/12 +/13 +/(4 +/15 +/i6-

Здесь и в дальнейшем следует иметь в виду, что а-» 0 при Л-»со (см. рис. 4). Поэтому интеграл 1\6 -» 0 при /?->«, интеграл /!5 вычисляется в пределах [0, л] и является стандартным. Вычислим 1п:

ж О

/п = р |У02 Л соэ 0^0-» р|к02а5у = -р8Р02 . а 5

Интеграл /]3:

71 1 |

/13=рю2Л3 [8т20со89^9 = -рсо27г38т30 £->--рсо283, ■'3 3

а

так как Лета -> 8.

Особый интерес представляет /и:

'12

----- f(sin0 + sin0cos2 0)й/0 =

2% :

рсо QR

2л

■ / \

-COS0 П Тг 2 n J А - cos 0a?cos9® 2--cos3 9 л

a J 2л 3 а

а V У

р&QR

2л

V* У

Видно, что в отличие от других интегралов главный член /12 имеет порядок R при К -> оо. Итак, интеграл 1Х в (7) в главных порядках имеет вид (при R —» оо):

н,

/] = р « -р

^ 2б_зе^+Л^ 2

6л 4 3

Вычисление интеграла /2 в правой части (7) имеет свою специфику, поскольку давление р определяется из интеграла Бернулли, значение константы которого на разных линиях тока различно. В работах С. А. Чаплыгина впервые встречается аналог формулы Бернулли для течений с постоянной завихренностью

■ 2

■ + <в¥ = сог^,

(9)

где V — модуль скорости течения, а константа в правой части одинакова для всех точек течения. Это соотношение легко получить, если уравнения Эйлера умножить на сЬс, с1у соответственно и сложить, после чего получается

с1р ,и2+У2

— + с1—--------+ О)с/Ч' = 0.

р 2

Если со постоянна, то отсюда следует обобщенная формула Бернулли

(9).

Итак, для вычисления интеграла давления в правой части (6) имеем:

Ро Уо Я Р V2 ш — + — + со— = — + — + (йТ, р 2 2 р 2

откуда следует:

Р РО -V2

— = ^ + -!г--------------+ 0)

Р Р 2

.2 у

(10)

Величина скорости У2 = и2 + V2 вычисляется по (3), поэтому после подстановки (10) в интеграл правой части (7) получаем:

а и.

/2 = - СОБ 0 0 = - |

Ро +

Р®0

с!у + ^ - Гвт2 0соз0йЮ

-ро)У0Я2 Гвт0соэ0 аЮ + [соз2 0с/0- ГзтОсов2 0сЛЭ +

; 2л * 2л :

УоУ-

Ро +

соу 2

Р®0

2л

Осоэ 0^9 =

3 4рсо£Л | р(Ж0

Зл

(П)

Окончательно для силы Рх имеем выражение:

Рх =Р05 + Р^023--Ре^0 + -рсо08-рюГо82+-рю283. (12)

2 2 3

Так как из(5)следует, что

0 = 2Ко8-со82,

то после подстановки значения ^ в (12) получаем величину силового воздействия вихревого потока на верхнюю часть полутела:

Рх = р05 + рсо У08 2/2-роо 28 3/6. (13)

3. Из (13) следует, что при заданных рв, р, У о, 8 значение физической силы Рх в зависимости от величины завихренности со < 0 может быть пот ложительным, нулем или отрицательным. Введем коэффициент сопротивления сх общепринятым для полутел способом как интеграл избыточного давления (по сравнению с набегающим потоком), отнесенного к скоростному напору на линии тока То и характерному размеру 8 — толщине «хвоста». Из (13) получаем:

2(рх-р0д) — 1—2 ,ЛЛ\ ------" -СО — со , (14)

р У{8

3

где со =со8/Ко — безразмерная величина завихренности потока.

Коэффициент сопротивления сх (14) рассматриваемого полутела совпадает с коэффициентом сопротивления ступеньки при обтекании ее аналогичным потоком [1], решение для которой получено аналитикочисленным методом. Это подтверждает правильность решения [1]. Более того, и для завихренных течений около полутел полученный результат можно интерпретировать так же, как и известный результат для полутел в потенциальном потоке,— их сопротивление определяется асимптотикой поведения «хвоста» при х —> +оо.

Видно, что коэффициент сопротивления в соответствии с (14) является отрицательной величиной! Выяснение причины этого необычного факта в данном случае не представляет труда.

В самом деле, из (3) следует, что при х —> +оо на поверхности полутела величина скорости

У0-(о5,

т. е. выходит на значение большее, чем в набегающем потоке. И так происходит на каждой линии тока! Пусть некоторая линия тока слева на бесконечности проходит через точку с координатой у= уй > 0. Тогда,с учетом (1),

нетрудно установить, что разница скоростей на этой линии тока при х—> + со и х—> - да равна

AV - tJVq + со2(б2 + yl)- 2(0 V0(8 + у0) - V0 + соу{), а давление р при лг-> + оо получается из (10):

р(+оо, у) = ра + рсоб У0 - рсо 2б 2/2 = const. (15)

Видно, что величина давления при х —> +оо меньше, чем при х -» -оо, что и объясняет отрицательное значение коэффициента сопротивления. (Аналогично дело обстоит и в случае обтекания ступеньки, только там выяснение этого обстоятельства требует некоторых математических выкладок). В этом и состоит кардинальное отличие обтекания полутела с конечным поперечным размером «хвоста» вихревым потоком от потенциального, в котором, как известно, происходит полное восстановление давления при X —> +00.

Однако есть еще нюанс, связанный с коэффициентом сопротивления. Дело в том, что сопротивление полутела в потенциальном потоке иногда определяют не так, как было сделано выше, а обрезанием его «хвоста» на большом расстоянии х+ , считая давление на получившемся заднем торце постоянным и равным р(х = +оо ). При х\ +оо такая процедура в случае потенциального течения дает тот же результат, что и интегрирование избыточного давления. Но в данном случае это не так. Действительно, вычитая из Fx (12) величину р(х—>+со)5 в соответствии с (15) и переходя к коэффициенту сопротивления, получаем

т. е., в отличие от (14), сх теперь уже положителен!

И в заключение возникает вопрос: являются ли построенные в [1] и в данной работе решения задач обтекания вихревым потоком полутел с конечным размером «хвоста» единственными или же существуют еще решения с полным восстановлением давления при х —> +да? Ответ на этот вопрос остается открытым.

ЛИТЕРАТУРА

1. Садовский В. С. О зонах возвратного течения около уступа в сдвиговом потоке невязкой жидкости//Ученые записки ЦАГИ.— 1989. Т. XX,

№ 2.

2. Садовский B.C. О локальных свойствах вихревых тече-ний//Ученые записки ЦАГ И.— 1971.Т.1. № 4.

Рукопись поступила 8/Х 1999 г.