CC BY
18
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ___________________________________2012, том 55, №11_______________________________
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
С.Д.Темурбекова
О ЗНАЧЕНИЯХ ПОПЕРЕЧНИКОВ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ КЛАССОВ В ПРОСТРАНСТВЕ Ь2
Институт математики АН Республики Таджикистан
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 16.08.2012 г.)
Получены точные неравенства типа Джексона-Стечкина, в которых модуль непрерывности функции определён при помощи функции Стеклова. Для классов функций, заданных при помощи указанной характеристики, получены точные значения п -поперечников.
Ключевые слова: наилучшее приближение - обобщённый модуль непрерывности - п-поперечники.
1. Пусть N - множество натуральных чисел; ^ = N и {0} ; Я+ - множество положительных чисел вещественной оси; Ь2 := £2[0, 2 л] - пространство 2 л -периодических измеримых функций, квадрат которых суммируем на [0,2 л] с конечной нормой
2n 1
І2
2n
- f I f (x) |2dx
rr j
1/2
о
Через 32и_! обозначим подпространство тригонометрических полиномов порядка n — 1. Хорошо известно, что для произвольной функции f е L2, имеющей формальное разложение в ряд Фурье
а ( f) ш
f (х) ~ + £ (ак (f) cos кх + bk (f) sin кх\ (1)
2 к=1
величина её наилучшего приближения элементами подпространства 32п_г в пространстве Ь2 равна
E—i(f ) = inf|||f — T— ill:Tn—i£3n—1| =
, 1/2
= 11/-^,(/>|| = {! р/ ,
где Бп_^/> - частичная сумма порядка п -1 ряда Фурье (1), р^(/> = с^(/> + Ь%(/> , к > п. Через е ^, (^> = (> обозначим множество функций / е £2, у которых производные г -1-го порядка /(г 1> абсолютно непрерывны, а производные г -го порядка /(г> е .
Адрес для корреспонденции: Темурбекова София Давронбековна. 734063, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул. Айни, 299/1, Институт математики АНРТ. E-mail: [email protected]
При решении экстремальных задач теории аппроксимации функции / е £2, наряду с классическим модулем непрерывности, часто используют различные обобщённые модули непрерывности (см., например, [1-3]).
Следуя работе [1], для произвольного элемента / е Ь2 запишем функцию Стеклова
і x+h
Sh (f, x) = — f f (t )dt, h є R+
2h ,
x—h
и при помощи рекуррентной формулы SA t (f) = SA (Shi_j (f)), i е N, определим оператор усреднения. Если I - единичный оператор в L2, то определим конечные разности первого и высших порядков равенствами [1]
Ah(f, x) := Sh (f, x)—f (x) = (SA — I )(f, x),
Д h(f, x) := Ah (Д ,-), x) = (Sh — I / (f, x) =
к
= S (—1)k—'(k ] Shi (f, x), k = 2,3,-.
i=0
Для произвольной f е L2 равенством
п* С/, t) := sup {| a k (f, -)||: 0 < h ^t]
определим обобщённый модуль непрерывности к -го порядка.
В [1] доказано, что для произвольной функции f е L") справедливо равенство
2 sinkh^2k
к=1
дд(f,•) '=z 'ії(/)|1 —kh
откуда
О 2т{ї(г), і) := Г | к 2гр2к (/)^ 1 -Гр- | :0 < Л < 11
Всюду далее под неравенствами типа Джексона-Стечкина в рассматриваемом нормированном пространстве X понимаем неравенства, в которых величина наилучшего приближения Еп (/)х
функции / є X конечномерным подпространством Жп с X оценивается через модуль непрерывности самой функции / или некоторой его производной /(г) є X :
Еп (/) X := Е(/ Жп) X < хпг О(/ г)>і / п\ Ї > 0
В данной работе введём в рассмотрение следующую экстремальную характеристику
Хп.т,- (Л) = ^Р |
2- тпгЕп-1 (/)
г о тт( /(-), о*
где т, п е М, г е Ж+, к е М+. Имеет место следующая
Теорема 1. Пусть т, п е М, г е Ж+ и 0 < к < л / п. Тогда справедливо равенство
(2)
(3)
Доказательство. В [1] для произвольной / е ^> доказано неравенство
Е2-1 (/ > < Е-т (/ пг / т й т т( /<г >; ‘ >+Ё ^ р2 (/>.
к=п к
Умножая обе части неравенства (4) на t > 0 и интегрируя от I = 0 до t = к, получаем
(4)
к2
2
Отсюда следует, что
е2- і (/) < е„2:г (/)п-"т / і о і! т(/") ;і >*+1
1 - соб кЛ 2. .. ^2----------Рк(/)•
I 1 Л *
2—,(/)<е;:;(/)2»- 7т{*йтт(/");»)* +1
Замечая, что
V Л о
ч2
* ^2біпк,12
-ПТ )А(/),
тах I
кйп V кЛ
2біпЩ- 1 I 2 . пЛ
, 2
— 1 =1 — біп— I, 0 < пЛ <ж, V пЛ 2 .
(5)
из неравенства (5) находим
1 -
пк 2
Из последнего неравенства сразу получаем
V Л о
V Л о
или
т
к
0
— т
т
2—П1;геп-(/)
( 1 h
(б)
vh о
Так как неравенство (6) справедливо для произвольной функции / е >, то из него следует оценка сверху величины (2)
(h) <j1"hsin T.
(7)
Для получения оценки снизу достаточно рассмотреть функцию f (x) = sin nx е L , воспользоваться определением величины (2) и легко проверяемыми соотношениями
/- . \т
sin nt 1
En—iGfo) = 1, am(fr;t) = nr11—
nt
f 1 h
—f t й m m(f ‘ -1, t d
= 2й;-' .jl — [—sin —
пк 2
Учитывая совокупность равенств (8), согласно определению величины (2), получим оценку снизу
(S)
2—m;rE;—i (fo)
- ft Й Й(/0 г ', t d
Vh o
= j1—Lisin "h
\m І І ;h 2 .
(9)
Сравнивая неравенства (7) и (9), получаем требуемое равенство (3), чем и завершаем доказательство теоремы 1.
1. Пусть М - некоторое интегрально-симметричное множество, принадлежащее Ь2. Через Ъи (М, Ь2 >, йп (М, Ь2 >, йп (М, Ь2 >, 5п (М, Ь2 > и Пп (М, Ь2 > обозначим соответственно бернштей-новское, колмогоровское, геньфандовское, линейное и проекционное п -поперечники множества М с Ь2. Известно, что между указанными аппроксимационными величинами выполняются соотношения [4, 5]:
ъп (М, ц> < йп (М, 4> < ^ (М, ь> = £„ (М, ь>=П (М, 4>.
Пусть Ф(и> - произвольная непрерывная возрастающая при и > 0 функция такая, что Ф(0> = 0. Для любых т е М, г е М и 0 и к е М+ введём следующие классы функций
К’> (к> = |/ е К>: ^ рйт”С/'г>; t>Й < 1],
—m
m
m
m
( 1 h
Кr)(h,®) = J f е Ц):
(г )
■A-jtйл/";t)* £Ф(Л)
Vh о
Также полагаем
£„_i(M) = sup{£„_i(f): f е ОТ|, M е L2,
L sin t) I sin t Л „sin L I
I 1-----:=-jl-------, если 0 < t < •, 1--------, если t > tj,
I t A t t t J
где t„ - величина аргумента функции sin t /1, при котором эта функция достигает на R своего наименьшего значения, то есть t - минимальный положительный корень уравнения t = t, 4.49 < t„ < 4.51.
Теорема 2. Пусть nh < t„. Тогда справедливы равенства
У г, К)(h), L ] = y~2n-1К)(h), L ] = E„_, W'(h)) ^
m A 2 . nh' sin-
v nu
=2. • 1—
n
nh 2
где уп (•> - любой из перечисленных выше п -поперечников.
Следствие 1. В условиях теоремы 2 имеют место равенства
У2n
W(
г )
л
n
, l2
= У2n—1
Wi''
л
V v
n
, L2 =
n—1
л
W(r) I -
m V n
vл — 4 У
nr
Теорема 3. Пусть для любых к е М+ и п е М мажоранта Ф(t> удовлетворяет ограничению
/ \ 1/т
f Ф(/г) ^
>■
2л2
ч Ф(л / n) J n2h2 (л2 — 4) I
Тогда имеют место равенства
Уу, (wmr)(h, Ф); L2 ] = у,—, (wmr)(h, Ф); L ] =
л
(10)
E—1 (W(')( h,Ф) ):
2 V
л- 4
2m Гл - nr ' In .
m
где уп (•> - любой из вышеперечисленных п -поперечников. При этом множество мажорант, удовлетворяющих ограничению (10), не пусто.
Следствие 2. В условиях теоремы 3 справедливы равенства
sup{ К (f )| , I b; (f) |: f єШ_' '<h;Ф)| 1 n
2m
2^ ( n)
• nr ' ( n J.
Поступило 17.08.2012 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Абилов В.А., Абилова Ф.В. - Матем. заметки, 2004, т.76, №6, с.803-811.
2. Вакарчук С.Б. - Матем. заметки, 2005, т.78, №5, с.792-796.
3. Шабозов М.Ш. - Изв. АН РТ Отд. физ.-мат., хим., геол. и техн. н., 2010, №4(141), с.7-24.
4. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. - М.: Изд-во МГУ, 1976, 304 с.
5. Pinkus A. - «-Widths in Approximation Theory - Berlin: Springer-Verlag, 1985, 291 p.
С.Д.Темурбекова
ЦИМАТИ ЦУТРИ^ОИ СИНФ^ОИ ФУНКСИОНАЛИИ ФАЗОИ Ьг
Институти математикаи Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон
Нобаробарии хдники намуди Ч,ексон-Стечкин, ки дар он модули бефосилагй бо ёри функсияи Стеклов муайян мешавад, исбот шудааст. Барои синфи функсиях,ои аз руи характеристика муайяншуда, кимати паники п -кутрх,о ёфта шудаанд.
Калима^ои калиди: наздиккунии беутарин - модули бефосилагии умумикардашуда - п -кутр^о.
S.D.Temurbekova
ON THE VALUES OF WIDTHS OF FUNCTIONAL CLASSES IN THE SPACE L2
Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan An exact inequalities of Jacson-Stechkin type for the modulus of continuity, defined by Steklov function are obtained. For the classes of function govern by presented chdracteristic, the «-widths values are calculated
Key words: the best of approximation - generalized modulus continuity - n-widths.
S5S
