Приложение метода наименьших квадратов к задачам моделирования и оптимизации Текст научной статьи по специальности «Математика»

Зс [•] — оператор, определенный на элементах пространства Ш1 (П) формулой

Зс М ф = 2-1 ^ (с(1Г)) иЬ (^ ^’и € (П)’ * € П'

Ас(*)

Для любой функции г € (П) ряд (4) сходится по норме пространства Ш1 (П).

Представление (4) позволяет доказать, например, такие утверждения. Снабдим пространство абсолютно непрерывных на отрезке [0,11 функций с(^) с ограниченной производной, которому принадлежит множество допустимых управлений О, нормой

НСНас,го = Ис11с[0,Тх] + И^Иь^оД!] •

Теорема 2. Существует М > 0 такое, что если с € О удовлетворяет неравенству

г(с, со) < 5 теоремы 1, то г(с, с0) ^ М ||с — со||асте •

Следствие. Существует N > 0 такое, что если величина ||с — Со|аск) достаточно мала, то управление с принадлежит классу О вместе с управлением со, и для отвечающего ему глобального решения х справедлива оценка ||х — ХоЦ^^п) ^ N ||с — со||асте •

ЛИТЕРАТУРА

1. Сумин В.И. Функциональные вольтерровы уравнения в теории оптимального управления распределенными системами. Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 1992.

2. Беляева О.А., Степанова О.А., Сумин В.И. О задаче Коши для полулинейного гиперболического уравнения второго порядка с управляемым старшим коэффициентом // Вестник ННГУ. Математическое моделирование и оптимальное управление. Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 2006. Вып. 3(32).

Беляева Ольга Алексеевна Сумин Владимир Иосифович

Нижегородский государственный ун-т Нижегородский государственный ун-т

Россия, Нижний Новгород Россия, Нижний Новгород

e-mail: [email protected] e-mail: [email protected]

Поступила в редакцию 7 мая 2007 г.

ПРИЛОЖЕНИЕ МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ К ЗАДАЧАМ МОДЕЛИРОВАНИЯ И ОПТИМИЗАЦИИ 1

© А.О. Блинов

В задачах моделирования и оптимизации часто встречаются ситуации, когда модель объекта имеет сложное аналитическое описание или не имеет его вовсе (отдельные характеристики заданы с помощью таблиц или массивов данных). В этом случае для изучения и анализа свойств объекта пользуются различными методами аппроксимации.

хРабота выполнена при поддержке РФФИ (проект №05-01-00260).

В работе рассматривается аналитическая аппроксимация моделей, основанная на методе наименьших квадратов (МНК). В качестве аппроксимирующих конструкций рассматриваются полиномы следующего вида:

а

Р(г) = ^ ^з9](z),

=

где {д3(г)} — некоторый набор заданных базисных функций, [ф3] — соответствующий набор коэффициентов, подлежащих определению.

В число рассматриваемых полиномов входят полиномы специального вида — композиционные, описанные в [1,2].

Таким образом, решается следующая задача минимизации:

в

S = ^2(р(гг) — y(zt))2 ^ min, i=i

{гфЛ

где в — количество узлов аппроксимации, y(zt) — значение приближаемой функции в узле аппроксимации.

Основной моделью, рассматриваемой в данной работе, является имитационная модель полета вертолета, учитывающая динамику изменения мощности несущего винта. Применяемая модель достаточно проста, но даже при этом не имеет полного аналитического описания, что затрудняет качественный анализ и заставляет с самого начала применять приближенные методы для работы с ней.

Модель движения вертолета в продольной вертикальной плоскости в земной системе координат выглядит следующим образом:

" x1 = f1 (t, x1, x2, x3, u1, u2) = m(—Xbp cos в — Gu1); x2 = f2(t, x1, x2, x3, u1, u2) = m(—XBP sin в + T — G); x3 = f 3(t,x1,x2,x3,u1,u2)= F3 + 7-JXÑl; x4 = f 4(x2) = x2,

4 12

где x4 — высота, x1 , x2 — горизонтальная и вертикальная составляющие вектора скорости,

31 x3 — угловая скорость вращения несущего винта, u1 — угол отклонения вектора тяги от

вертикали, u2 — общий шаг несущего винта.

x_2' x1

Xbp = Q ((x1 )2 + (x2)2) , T = Ft(x3R)2, в = arctg ^

3 = ^L(n — N ) FT = mf + Xbp sin в + G x3Jp N Nnh FT (x3R)2 ,

т = С, Q = СхБ—, д 16

N, Nn — соответственно располагаемая и потребная мощность, Я — радиус винта, С — вес вертолета, д — ускорение силы тяжести у поверхности Земли, ,1Р — момент инерции винта, СхБ — коэффициент аэродинамического сопротивления, — — плотность воздуха.

В результате работы построен ряд аппроксимаций, с помощью которых восполнено аналитическое описание модели и проведено ее преобразование к линейному виду. Динамика изменения фазовых координат при подстановке одного и того же управления в полную модель, которая не является линейной, и в полученную линейную модель приближенно одинаковая. Это позволяет по упрощенной системе делать выводы о динамике сложной

нелинейной системы. Более простые аппроксимации используются для анализа свойств модели, более сложные — служат для построения программ управления, которые могут использоваться в качестве начального приближения в алгоритмах улучшения.

Алгоритмы МНК и построения полной нелинейной модели и линейной модели реализованы средствами программ символьных вычислений. В дальнейшем планируется перенос этих алгоритмов на параллельную архитектуру. Также на основе полученной линейной модели будет решена задача определения границ опасной зоны посадки вертолета.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кротов В.Ф., Букреев В.З., Гурман В.И. Новые методы вариационного исчисления в динамике полета.

М.: Машиностроение, 1969.

2. Ухин М.Ю. Приближенный синтез оптимального управления. М.: Физматлит, 2006.

Блинов Александр Олегович Институт Программных Систем Российской академии наук Россия, Переславль-Залесский e-mail: [email protected]

Поступила в редакцию 10 мая 2007 г.

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ С ИМПУЛЬСНЫМИ ВОЗДЕЙСТВИЯМИ 1

© А. И. Булгаков, А. И. Коробко, О. В. Филиппова

В докладе рассматривается функционально-дифференциальное включение с импульсными воздействиями в конечном числе фиксированных точек. Изучаются свойства решений таких включений. Отметим, что дифференциальные и функционально-дифференциальные уравнения с импульсными воздействиями были исследованы в монографиях [1-3].

Пусть и С [а, Ь] измеримое по Лебегу множество ц,(Ы) > 0, где ц — мера Лебега. Обозначим Ьп(и) пространство суммируемых функций г : и ^ Мп с нормой ||г||^п(^) = / |г(8)|^8;

и

Рьп(и)[•, •], ЬВп(и)[•, •] — расстояние от точки до множества и расстояние по Хаусдорфу между множествами в пространстве суммируемых функций, соответственно; Ь+(и) — множество неотрицательных функций пространства Ь1(и). Пусть М С Ьп(и)• Обозначим соМ выпуклую замкнутую оболочку множества М, а через ех1(со М) замыкание множеств крайних точек выпуклой оболочки со М.

хРабота выполнена при поддержке РФФИ (проект №07-01-00305) и темплана №1.6.07.