Многомерные q-интегральные p-модули и критерии обобщенной дифференцируемости Текст научной статьи по специальности «Математика»

Л.В.Сахно. Многомерные q-интегральные p-модули и критерии обобщенной дифференцируемости

Отметим, что во всех разобранных случаях волна (цикл) как бы состоит из двух полуволн, симметричных относительно двух осей, приходящихся на номера «одиночных» тонов и соответствующих символу = .

Таким образом, наблюдатель (находящийся в 1-й точке), который не видит всю картину функционирования конечной системы в целом, однако видит последовательность биволн с двумя осями симметрии. Ему сложно уловить цикличность из-за «шумов». Лучше находиться на «пути», идущем от 1-й точки к]-й точке (/ ф/), что соответствует элементам булевой матрицы Л, определяющей некоторый осциллятор.

Замеченное наличие обертонов может оказаться весьма интересным, в частности для проблемы максимальной плотности элементов булевой матрицы, сформулированной в [5].

Библиографический список

1. Luce R.D. A note on Boolean matrix theory // Proc. Ammer Math. Soc. 1952. V. 3. P.382-388.

2. Give 'on Y. Lattice matrices // Inform. And Control. 1964. V. 7, № 4. P. 477-484

3. Kim Ki Hang. Boolean matrix theory and applications. Pure and Applied Mathematics, 70. N. Y.; Basel: Marcel Dekker, Inc., 1982. XIV+ 425 p.

4. RosenblattD. On the graphs and asymptotic forms of finite Boolean relation matrices and stochastic matrices // Naval Res. Logist. Quart. 1957. V. 4. P. 151-167.

5. Li Q., Shao J. The index set problem for Boolean (or nonnegative) matrices // Discrete Math. 1993. V. 123, №1-3. P. 75-92.

6. Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп. M.: Мир, 1972. Т. 1. 286 с.

7. Лаллеман Ж. Полугруппы и комбинаторные приложения. М.: Мир, 1985. 440 с.

8. Hammer P. L., Rudeanu S. Boolean methods in operations research and related areas. Berlin; N. Y.; Springer, 1968. XIX+ 329 p.

9. Лунц А.Г. Приложение матричной булевской алгебры к анализу и синтезу релейно-контактных схем // Докл. АН СССР. 1950. Т. 70, №3. С. 421-423.

10. Rutherford D.E. Inverses of Boolean matrices // Proc. Glasg. Math. Assoc. 1963. V. 6. P. 49-53.

11. Wedderburn J.H.M. Boolean linear associative algebra // Ann. of Math. 1934. V. 35. P. 185-194.

12. Schwarz S. On the semigroup of binary relations on a finite set // Czech. Math. J. 1970. V. 20(95). P. 632-679.

13. WielandtH. Unzerlegbare, nichnegativen Matrizen//Math. Z. 1950. V. 52. P. 642-648.

14. GregoryD.A., KirklandS.J., PullmangN.J. A bound on the exponent of a primitive matrix using Boolean rank // Linear Algebra Appl. 1995. V. 217. P. 101-116.

15. Поплавский В.Б. Определители степеней булевых матриц // Чебышевжий сборник: Труды VI Между-нар. конф. «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения». 2004. Т. 5, вып. 3(11). С. 98-111.

УДК 517.51

многомерные q-ИнТЕГрАЛЬныЕ p-модули и критерии обобщенной дифференцируемости

Л.В.сахно

Саратовский государственный университет, кафедра математического анализа E-mail: [email protected]

В статье в терминах Lq-нормы дается характеристика анизотропных пространств С.Л. Соболева в пространстве Lp. Так как по одной части номеров возможно неравенство p>1, а по другой - p=1, то аналог теоремы Ф. Рисса и Hardy-Littlwood представляется в комбинированном виде. Рассматривается более общее дифференцирование, регулярное по М. Шварцу, которое лишь по части переменных является соболевским.

Multivariate q-integral p-modules and Criterion of the Generalized Differentiability

L.V. sakhno

In the article in terms of Lq-norm the performance of anisotropic spaces of S.L.Sobolev in space Lp is given. As by one part of numbers probably inequality p>1, and on another - pi=1 the analog of the theorem of F.Rissa and Hardy-Littlwood is represented in a combined aspect. More common derivation, regular by Schwarz which only in part of variables is Sobolev's also is considered.

ВВЕДЕНИЕ

Известен ряд критериев существования у функции обобщенных в смысле Соболева производных в L. Прежде всего для функции одной переменной - это критерий Ф.Рисса (см. [1], с.277) (p > 1), условие которого естественно трактовать как равномерное, а также критерий Харди-Литтлвуда [2] (p > 1), выраженный в терминах модулей непрерывности в Lp. Харди и Литтлвуд [2] доказали, что условие Гельдера в Lx эквивалентно ограниченности вариации.

А.П. Терехин [3] обобщил теорему Ф. Рисса на производные порядка r е N. Ю.А. Брудный [4] распространил теорему Харди-Литтлвуда на r е N. А.П. Терехин [5] установил аналоги теорем Ф. Рисса и Харди-Литтлвуда в случае r е N, условия которых выражены в терминах L^-нормы 1 < p<q<°°.

Для функций многих переменных А.П. Терехин [6] получил аналог теоремы Ф. Рисса для обобщенных по Соболеву производных порядка r е Nn, выразив условие в терминах L^-нормы, 1 < p<q<°°, p и q - скаляры. Он же [7] рассмотрел пространства со смешанными нормами. По части номеров pt > 1, а по другой - pt = 1, поэтому аналог теоремы Ф.Рисса и Харди-Литтлвуда для производных порядка r е Nn выступает в комбинированном виде. Автор статьи [8] получила Lq-характеристику анизотропных соболевских классов , которая является многомерным развитием критерия Ф. Рисса (q = да) и критерия Харди-Литтлвуда (p = q) на случай 1< p<q<°°, p и q - вектора. Эта характеристика получена в условиях известного [9] вложения .

В данной статье также рассматриваются анизотропные пространства и случай, когда по части номеров pt > 1 (возможно все pt > 1), а по другой - pt = 1 (возможно все pt = 1). Аналог теорем Ф. Рисса и Харди-Литтлвуда выступает в комбинированном виде. По этой причине используется известное [7] слабое дифференцирование, которое по части переменных является соболевским.

Обозначения. е с {1,...,«}, е'= {1,...,и}\е; xe, de - точка и параллелепипед из Re = {хе R" |(Vi €

п

£e)xi =0}, либо проекция на Re точки x или параллелепипеда d из Rn, d = ei - еди-

!=1

ничный вектор, направленный по оси x; A^h) - r-я степень разностного одномерного оператора Д(й) f{x) = f(x + h) — fix), примененного к i-й переменной,

„г,, ^ г, ч \ К О1) fix) при \x,x + rheA a G ^

Д,. (я; G)f (х) = < _ ; (А) - r-я степень одномерного оператора Стек-

' 1 [0 при [x,x + rhet] с G

лова Iih)fix) = j fix + hu)du (его область определения Z)(/(A)/) = {x:[x,x + h~\<zDif)}, примененного о

к i-й переменной.

Для векторов р = (р1,—,р„), q = iqi,—,q„) a е R неравенствоp > a означает, чтоpi > a , i = 1,...,n;

Пусть v > 0, x-ixv...,xn),

Pi Pn

неравенствоp > q -pt > q, i = 1,.,n; ip, q) = ^ p,qb \р\=^р, — =

i=i ¡=i P .

A=iAl,...J„). Тогда v* = (v\...y-), х-У = (jqv^,...,^»), ^ = (x/\...,x/-). В одномерном случае

(h

ll/wl

I I, (A)

Jl/WI

dx

vo

"Д. (A)

= esjsup|-|, h > 0,

jce(0 ,h)

hi, = 5>

sup |-|

v

где (аД V = 0, ±1, - двусторонняя последовательность.

Dif- обобщенная в смысле Соболева производная по /-му аргументу.

1. СЛАБОЕ ОБОБЩЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

Следуя [7], введем определение слабой г-дифференцируемости, аналогичное известному определению С.Л. Соболева [9] обобщенной производной.

Л.В.Сахно. Многомерные ц-интегральные р-модупи и критерии обобщенной дпфференцпруемостп

Определение 1. Пусть г е N. Функцию f, локально суммируемую на открытом множестве С с Я", назовем слабо г-дифференцируемой по 1-й переменной, если в G существует обобщенная мера X такая, что для любой бесконечно дифференцируемой финитной в G функции ф

| р(х)Л(аЬс) = (-1)г | КхЩ<р{х)(Ь.

(1)

л"

Л"

Слабое г-дифференцирование будем называть соболевским по Xе, если для каждого параллелепипеда сГ с С обобщенная мера Л (<Г Хс1е) является локально абсолютно непрерывной функцией параллелепипедов (Iе а С{с1е) = |д:е Хс/е

Согласно теореме Радона,

(2)

где функция х определена для всех с1е с. С, почти всех Xе е Ос1е) и локально суммируема на ).

Известно [7], что не нарушая равенства (2), функцию х можно переопределить, задав ее для каждого Xе е С как обобщенную меру в сечении С{хе). Известно также [7], что слабое г-дифференцирование замкнуто по Хелли, т.е. если/ - г-дифференцируемые в G функции, Ху - соответствующие им по (1) обобщенные меры,/ ^f в 11°° (Сг), Ху(ф ^ Х(<3) для счетного множества параллелепипедов, внутренних к G, и вариации ограничены в совокупности на каждом компакте F с G, то функция/слабо г-диффе-ренцируема и ей соответствует по (1) обобщенная мера X.

Определение 2. Пусть G- открытое множество в Rn, функция %(хе,с!е ) = %(хе X с1е ) измерима по Xе и является обобщенной мерой в С(хе\ ах0 - нулевое продолжение функциихна все пространство Rn, р = (р1,...,р„и рг = 1 для гее1.

Полагаем

ЫР = -Ы

Рп

где ||■ || - норма в Ьр (К), если г е е, и ||• || — ||■ ^ - полная вариация, если гее'.

Если е' = 0, то х - функция точки х е Rn и в этом случае ЦдтЦ - норма пространства L р. Если е ф 0, то ||Д = ГОт).

2. МНОГОМЕРНЫЕ (р, д)-МОДУЛИ НЕПРЕРЫВНОСТИ

Определение 3. Пусть р = (Р1,—,Р„), <? = (Я\,—,<1п\ 1</?<<7<°°, 1 = (/,,...,/„) - вектор с положительными компонентами, V = (у1,...,г'п) и у . = 0,±1,±2,..., ] = 1,...,п. Полагаем

¡1 —

('А (А')) V**»

Условимся, где это не вызовет недоумения, писать просто /и^ (й;/) и называть данную величину (р, д)-модулем непрерывности.

Кроме этого будем пользоваться также выровненными (р, д)-модулями

0

Предложение 1. Имеет место равенство

Данное соотношение вытекает из одномерного равенства

4 А*

Л

О ^

г е

А = X 1 Ы^Т А = <К

с, 4 и я

(О,А'1 )+г1к'1

которое следует применить покоординатно по отношению к функции g(x) — Д^ (/г) / (х). Предложение 2. Если 1<р<д'<д<°°, то

Непосредственно вытекает из неравенства Гельдера

( \ ч\ С \

11- '"'Ж, < <а) 1 1-ГА

ч 4(0,*4) 1.(0,й'1) У

применяемого покоординатно.

Предложение 3. Справедливо неравенство

||д

Для доказательства воспользуемся предложением 1 и предложением 2 с q' = р. 3. ОБОБЩЕННАЯ ТЕОРЕМА РИССА-ХАРДИ-ЛИТТЛВУДА

Пусть Лг_, (/) - обобщенная мера, соответствующая слабо г-дифференцируемой по ]-й переменной, функции f; Л*.,(/) - производная Радона обобщенной меры >?,. , (/) по переменной Xе в случае г-дифференцирования соболевского по Xе, О^/ - производная в смысле С.Л.Соболева г-го порядка по ]-й переменной.

Теорема 1. Если

то функцияf слабо г-дифференцируема, причем соболевски по переменной Xе с е—{1.р1 >1} и

Ш;,д/)| I м■ 1 «р 0

' | - полная вариация меры на параллелепипедах с1е а С(хе)).

В случае существования И^/ (е' Ф 0) последняя оценка принимает вид

\Ш\\ <М.

и J \\Р

Доказательство. Учитывая предложение 3, из условия теоремы получаем неравенство

/гЦддвд/Ци<к

Для средних Стеклова Ру,^ = / последнее неравенство означает оценку

р<м. (3)

В случае существования производной И* / в силу теоремы Фату о предельном переходе почти всюду сходятся к -Оу/) из неравенства (3) получаем оценку

ыл <м.

II J IIр

Пусть е' Ф 0. Докажем существование -О^/. Неравенство (3) означает, что И^Р^/^ (значок «°» означает нулевое продолжение) образуют ограниченное в Lp (Яп) семейство по h и, следовательно, слабо компактное, еслир < да (поскольку пространство Lp, 1 <р < да рефлексивно). Так как Р^/ сходятся к f в Ьшк (С7), то f имеет производную /.

Если среди координат вектора р есть равные да, то приведенные выше рассуждения можно провести с произвольным вектором р< оо, \ <р< р, и любой ограниченной подобластью О с С. Поэтому .О^/ существует на О, а следовательно, и на всей области G.

Пусть е' Ф 0. Определим семейство мер в Rn

(4)

Л.В.Сахно. Многомерные ц-интегральные р-модули и критерии обобщенной дпфференцпруемостп и при каждом Xе е Rе семейство мер в Яе

(5)

а''

По теореме Фубини

л„{с1) = \ х„{хе,ае')ске. (6)

¿г

Формулы, аналогичные (4) и (5), имеют место для всех вариаций Хк их^ полных \Лк | и \%к |, Л*, х% Далее действуют общие известные факты. Из неравенства (3) вытекает ограниченность семейства \Лк | (Р на любом компакте Fи возможность применения второй теоремы Хелли: семейства Хк, \ЛН |, Лк, Лк по некоторой последовательности к = кк сходятся к мере X и ее вариациям | X |, Х+, Х-. Из аналога (5) для | Хк I с | ¿^/^Х | в правой части имеем

(так как ре > Г, ре — Г, то последняя оценка основана на неравенстве Минковского).

При р < да в силу рефлексивности Пр оценка (3) и последнее неравенство влечет слабую компактность семейства Хк и всех вариаций, т.е. существование у них слабо предельных функций х с вариациями. Поэтому в равенстве (6) можно перейти к пределу:

Л(с1)=\ Х{хе,с1е)с1хе. (7)

Так как / в ЬЛОК (С), то в силу замкнутости г-дифференцирования в смысле Хелли Л = Лг . (/),

а равенство (7) означает, что г-дифференцирование является соболевским по Xе и Л*.,(/) = X.

Если при некоторых г = да, то заменив их 1 < < да, мы докажем существование Л гг (/) на любой ограниченной подобласти и тем самым на всей области G.

Осталось оценить р-норму функции | х |. Это можно сделать способом, предложенным А.П.Терехиным [7] в доказательстве теоремы 2, где речь идет о смешанном г-дифференцировании (г е №). По сути наша ситуация та же. Теорема доказана.

Пусть функция/слабо /¿-дифференцируема по г-й переменной, 1 < г < п. Воспользуемся известным ([9], с. 83) представлением

/(*) = л^11 ЦХ + уЖУ : ^ф + Х/у"1"^| Ях + у)0}Ц(у V )ф.

Д" 1=1 О Я"

Функции О и Ц, г = 1,.. .,п, бесконечно дифференцируемы и финитны в Rn, а их носители таковы, что носителем представления служит рог х+V(/,s), Х = 1:/. С помощью равенства (1), заметив, что

получим

где Ц (х) = (-1)4 Ц (х) (г = 1*. ,,п). ' ° *

При получении оценки (р,ц)-модулей через нормы Ы' А\ будем пользоваться неравенством, ана-

и ■ > \\р

логичным известному ([9], с. 24) неравенству Юнга.

Лемма (аналог неравенства Юнга). Пустьр, ц, г - вещественные числа, удовлетворяющие условиям 1 <р < ц < да, 1 — — + — = —. Пусть К - функция одной переменной, определенная на множестве У,

Р Ч г .

а/ - функция двух переменных, определенная на множестве

X х У, Цх) = /{х,у)К{у)(1у

при любом

у

х е X. Тогда

И'Иг*) * 11^1(7) 8иР||/(*>Л1о ™р||Л*.:и)|£(т).

^ х^Х рК ' уеГ '

Доказательство незначительно отличается от доказательства неравенства Юнга, поэтому не будем его приводить в статье.

Пусть функция f определена на множестве и + V, где и - открытое множество в Rn, V =У(}, h0) - 1-рог, и слабо ^-дифференцируема по 1-й переменной, 1 < г < п, на этом множестве.

/1 1

<1 и при к = 1 либо 1 <рп < qn < да, либо 1 = рп < qn = да.

Лемма. Пусть 1 <р < q < да, к = Тогда при 1 <] < п

Р Я I.

, <=1

И р,и+Г

I '± I.

Доказательство. Представление Д?(й;С/)/(:с + у/г') получим из равенства (8), положив 5, = /гу, внося операцию разности в первом слагаемом правой части под интеграл, а к оставшимся п слагаемым применяя оценку

1,

к=0

вытекающую из определения конечных разностей.

I 1А

Для оценки (1рЬ9(И.' )) - нормы Д^(/г;С/)/(х + у/г') в силу неравенства Минковского достаточно оценить нормы слагаемых правой части.

Поскольку А1! (/г)/ = = /'//г)/), то первое слагаемое правой части

А,{х,г) = К1'™ | П(у: аЬа} (ки+ У)Пх+у+ркЪф =

я"

= | ПЦу-х-гФ): йЬя^/ООФ = 10((у-х-уФ) : й^АСФ) ,

где =

а

Представим ее в виде

Л^)=\хн{уеУ)с1у\

• I ■ ■

где Хи (У" >^е) = // (К)%{уе а %{уе ,с1е) - производная Радона обобщенной меры Л ^ ^ (/) по переменной Xе (т.е. Л] ■(/)).

Пусть ^ -

_ о ^ (к- 1)й" №

2т ' 2«

- разбиение 1-х осей, г е е'; Ж— лГ — {с1е —

Для ступенчатой функции g, постоянной на ¿Iе ел" и сосредоточенной в прямоугольнике (О,й' ) рассмотрим

(О ,А')

Пусть 1 е е. Рассмотрим одномерный случай

где хЖУ + х + ^У,уе\(х + ^У') = '

(Ом)

Пользуясь неравенством Минковского, а затем неравенством Юнга

ЖУг+Ъ+^Ь

' 1 1

1--+ —= —

А Чх 1

имеем

1 /

и ч

(О,*4)

Л.В.Сахно. Многомерные ц-интегральные р-модули и критерии обобщенной дифференцируемости

Пусть 1 е е'. Рассмотрим одномерный случай

~ г ^

(9)

(О,*'1)

На основании неравенства Минковского имеем

и ь (0,й4 )

Жу^Ь+УР)

ИгСуЛКИ!»^)^ .

>±

(О,А4 )

Тогда при у^а, £/е< (|^|=/г4 /2т),

(О,Л4)

=737 1

4=1 у,

(О,А4 /2")

Кроме того, очевидно

На основании аналога неравенства Юнга далее получим (1 = е', рх = 1)

(10)

В многомерном случае, применяя покоординатно оценки (9) или (10) в зависимости от принадлежности номера переменной множеству е или е', получим оценку

р,и+Г.

С помощью последовательности ступенчатых функций gm, постоянных на с1е е л, равномерно сходящейся к функции : А' ), перенесем оценку на А0(хУчитывая, наконец, что

Щу:ЬТ)

а также неравенство

получим оценку

1ыыш1

р,и+г

В остальных слагаемых

ф

4(х,г)= (/= 1.....и)

,± о к»

при к < 1 (1Ь (И' )) - нормы внутренних интегралов оценим аналогично Ад(х,у), а затем проинтегрируем по V.

Таким образом, оценка леммы для случая к < 1 доказана.

Оценим нормы Аг при к < 1. Вместо ядра Ц(у, V*), носитель которого ограничен и удален от координатных плоскостей, возьмем ступенчатую функцию g с таким же носителем, модуль которой не превосходит модуля ядра, постоянную на с1е е я. Обозначим

Мх,у) = | у^'Л / в(у-х- v^¿)Л,t¿dy).

О Я"

Оценим /(/г4 Ур - норму А, как и в случае с Л(х,у), используя неравенство Мин-

ковского и оценки (9) и (10) покоординатно. Положим у — (у,у„), г-(г,гп), Ь{уп) = ¡1,(^)1 Если вир р! с [а, Ь] с [0,1], то '

ЦяСи)^ <\\Ц(у-.ул)\\и_ = *Щц(у,уп <у^\\ц\^<р{уп-.ул»Х

где ф (уп) - характеристическая функция отрезка [а,Ь].

Поскольку — \Л |+| | = —1---, в результате получим оценку (^^(А'))/ - нормы А(х,р)

\г I ) г

интегралом вида и

если n е e, или интегралом вида

а'

Q j v 1 dvjfi>(yn: vA")

0 R

вида

Q J v 1 r"dvj(C>(y„ VA")

0 R

если n е e\

Рассмотрим случай n е e. Так как

dy„

dy„

Л

\vl~-dvp{yn:vi-)<C2\ynV%

то остается оценить L - норму интеграла

А"

X(yn,xn+Vnh'")

dy,

Для этого используем неравенство Харди-Литтлвуда при 1 < р„ < <2„ <°° ([9], с.31). В итоге имеем

Ц(х,»')|| ч <с\леЛ

' ^(^(А')) II '"'Пр.

Если п е е', то1 = рп < цп = да, гп = да, и вместо неравенства Харди-Литтлвуда применяем аналог неравенства Юнга. В результате имеем ту же оценку. С помощью последовательности степенных функций переносим оценку на А. Таким образом, имеем

им^л* С\К1

Собирая оценки, получаем неравенство леммы и при к = 1.

Пусть функция определена на открытом множестве G, удовлетворяющем условию /-рога ([9], с. 117) и слабо /.-дифференцируема по 1-й переменной, / = 1,...,п, на этом множестве. Оценка леммы известным способом ([9], с. 264) распространяется на множество G.

к =

Теорема 2. Пусть открытое множество G удовлетворяет условию /-рога, 1 < p < q < да,

'i 1 О

---<1 и при к = 1 либо 1 < pn < qn < да либо 1 = pn < qn = да. Тогда для j = 1,...,n.

.Р Я О „

sup <с±Ш

0«5<Аь(С) W Р'

Обобщенная теорема Рисса-Харди-Литтлвуда. Пусть открытое множество G удовлетворяет

<1 и при к = 1 либо 1 < pn < q < да либо 1 = pn < q = да,

1

условию /-рога, 1 < р < ц < да, к = ,

? /

е = {/: р1 > 1}. Тогда эквивалентны полунормы

Хк'Ц и I «ШР со^д-Лд-1'^

,-=1 " "р ,=1 О^АьСС)

(причем из конечности второй полунормы следует существование Л',,. = 1,.,п).

Е.В. Шишкова. Точные порядки погрешностей аппроксимации гладких функций

Доказательство. Заключение теоремы следует из теорем 1 и 2.

Обобщенная теорема Ф.Рисса. Пусть открытое множество G удовлетворяет условию /-рога,

1 < p < q < <, к =

г

Р ч1.

< 1 и при к = 1 1 <pn < qn < Тогда эквивалентны полунормы ХН/Ц и I sup ^Jß-fyr1^

(причем из конечности второй полунормы следует существование указанных производных).

Обобщенная теорема Харди-Литтлвуда. Пусть открытое множество G удовлетворяет условию

/-рога, 1 < q < к =

1 1Л

Р я'1.

< 1 и при к = 1 q = Тогда эквивалентны полунормы

и i sup 0>ü(ö;f)drW

;=1 о <d<MG)

¡=1

(причем из конечности второй полунормы следует существование ,(/), / = 1,.. .,n).

Библиографический список

1. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.: Гостехиздат, 1957.

2. Hardy G., Littlewood J. Some properties of fractional integrals // Math. 1932. № 34. P. 403-409.

3. Терехин А.П. Приближение функций ограниченной р-вариации // Известия вузов. Сер. Математика. 1965. № 2. С. 171-187.

4. Брудный Ю.А. Критерий существования производных в LP // Математический сборник. 1967. Т. 73, № 1. С. 42-64.

5. Терехин А.П. Функции ограниченной ^-интегральной р-вариации и теоремы вложения // Математический сборник. 1972. Т. 88, № 2. С.42-64.

6. Терехин А.П. Многомерная ^-интегральнаяр-вариация и обобщенная по Соболеву дифференцируемость в Ьр функции из Ьр // Сибирский математический журн. 1972. Т. 13, № 6. С. 1358-1373.

7. Терехин А.П. Смешанная ^-интегральная р-вариация и смешанная дифференцируемость в Ьр функции из Ьр // Математические заметки. 1982. Т. 25, № 3. С. 151-166.

8. Сахно Л.В. Многомерная ^-интегральная р-вариация и теоремы вложения // Саратов, 1981. 20 с. Деп. в ВИНИТИ 19.03.81. № 1220-81.

9. Бесов О.В., ИльинВ.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1975.

удк 517.51-518

точные порядки погрешностей аппроксимации гладких функций

Е.В. Шишкова

Саратовский государственный университет, кафедра математической физики и вычислительной математики E-mail: [email protected] Exact orders of Errors in smooth Functions Approximations

в данной работе получены точные по порядку оценки погрешностей приближений к функции вместе с ее производными в равномерной метрике на некоторых классах в случаях, когда функция задана точно, и когда она задана ее ¿-приближением /¿(х) в метрике пространства L2[a,b]. В качестве приближающих операторов берутся интегральные операторы с полиноминальными финитными ядрами.

E.V. shishkova

In this paper exact order estimations of errors in uniform metric approximation of smooth function and its derivatives over several classes are obtained in cases when the function is defined precisely or using its ¿-approximation fs(x) in L2[a,b] metric. Integral operators with polynomial finite kernels are considered as approximate one.

В данной работе получены точные по порядку оценки погрешностей приближений к функции вместе с ее производными в равномерной метрике на некоторых классах в случаях, когда функция задана точно и когда она задана ее ¿-приближением/(х) в метрике пространства Ь2 [а,Ь]. В качестве приближающих операторов берутся интегральные операторы с полиномиальными финитными ядрами.