О верхних гранях отклонения некоторых классов функций от их частичных сумм рядов Фурье-Чебышева в пространстве l 2 Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2013, том 56, №8_

МАТЕМАТИКА

УДК 517.5

К.Тухлиев

О ВЕРХНИХ ГРАНЯХ ОТКЛОНЕНИЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ ОТ ИХ ЧАСТИЧНЫХ СУММ РЯДОВ ФУРЬЕ-ЧЕБЫШЕВА

В ПРОСТРАНСТВЕ Ь2

Худжандский государственный университет им. Б.Г.Гафурова

(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 24.06.2013 г.)

Получены точные неравенства типа Джексона-Стечкина для осредненных с весом специальных модулей непрерывности т -го порядка определяемых при помощи оператора обобщенного

сдвига. Для некоторых классов функций в Ь2, определённых при помощи указанных характеристик

гладкости, вычислены точные верхние грани отклонения функций от их частичных сумм Фурье-Чебышева.

Ключевые слова: оператор обобщенного сдвига - модуль непрерывности т-го порядка - верхние грани.

1. Пусть N - множество натуральных чисел; Ж+:=Мо>{0}; Л2 := Л2((л/1 — л"2) ';[—1;1]) -пространства суммируемых с квадратом функций / : [—1;1] —» Ж := (—оо,+оо) с весом Чебышева

1 / л/1 — X и конечной нормой

' 1 ч ЛШ

1 /2(х) ^

J h

112 I Лл/Г- x ,

Следуя работе [1], в пространство Ь2 введём оператор

Ff (x) = Г[f (xcosh + V 1 -x2 sinh) + f (xcosh -V 1 -x2 sinh)],

который будем называть оператором обобщенного сдвига.

В [1] введён специальный модуль непрерывности следующим образом. Пусть

Ah ( f; x) = Fhf (x) - f (x) = (Fh -1)f (x), A;(f;x) = Ah(A;-1(f ;•);x) = (Fh -I); f(x) =

(1)

С ; ^ ,

—k

= Z (-1);-k Fkf (x),

k=0

V k

Адрес для корреспонденции: Тухлиев Камаридин. 735700, Республика Таджикистан, г.Худжанд, мкр., 20, Худжандский государственный университет. E-mail: [email protected]

;

где Е°/(х) = /(х), Р*/(х) = Еь(Е*1/(х)\ к = 1,2,...,да; т е N и / - единичный оператор в пространстве .

Определим модуль непрерывности т -го порядка равенством

Qm (f; t) = sup|A: (f :\h\< t}.

Легко проверить, что функция (/, I) обладает всеми свойствами модуля непрерывности

т -го порядка (см., например, [2, с.157-170]). Пусть далее

1 ¡2 Т0 (х) = —:=, Тк (х) = соБ(к агссоБ х), к = 1,2,... л/л V л

- ортонормированная система многочленов Чебышева в пространстве . Тогда, как хорошо известно,

ск(Л = \^Щтк(х)сЬ (2)

к=О — X

n—1

есть ряд Фурье-Чебышева функции f е L2, а Sn_f; x) = Е ck(f )Tk(x) - частичные суммы ряда

(2). Известно [3, с.47], что

к=0

/ \1/2 / ч1/2

/ \ / \

llfl = Еck(f) , llf—З,—i(fЯ = E ck(f)

V k=0 J

V k=n

d d

Пусть теперь V> = (1-х1)—j~x--дифференциальный оператор второго порядка. В ра-

dx dx

боте [1] доказано, что если для произвольных функций f е L2, имеющих обобщенные производные в смысле Леви [4, с.172], то коэффициенты Фурье-Чебышева ряда (2) удовлетворяют соотношению

ck{f) = {-\yk-2rck{Wf\ к = 1,2,...,

где Tf f = /, V f = Т)(Т)' ' / ), г = 1,2,..., а также имеют место равенства

Ck(Ff) = coskh • Ск(f), k = 1,2,....

Здесь функция Fhf - определена равенством (1).

Через /,2' (= 0,1,2,...; /,2"' = А2) обозначим множество функций /е12, у которых С / принадлежит пространству L2. В дальнейшем полагаем, что для произвольной f е L^), ТУ f Ф const.

Применением равенства Парсеваля в [1] получено соотношение

2

\К(РГЛ\ = £ (1 - с<я*й)2"*4'с£(/).

к=0

Введём далее обозначение и если М - некоторый класс функций, принадлежащих , то положим

Приводим основные результаты, полученные нами в этом направлении.

Теорема 1. Пусть /&Ь2, теМ, г Тогда при любом п еМ имеет место нераеенст-

во

( 71! п ^

Еп_х{Л<— ^ Г ^"фТ^яплйЛ

п 9 •>

V2 о

Из теоремы 1 вытекает

Следствие 1. В утверждении теоремы 1 имеет место равенство

Бир

л2,||/ — )||

„2г II г о / _/-\|| /■ \т

, II V V , * М1 / ж X

/ щ

(г) ( ,, л/"

п

К* о

Теорема 2. Пусть / &Ь2, теМ, г & и <ж / п. Тогда при любом /геМ спраеедли-во неравенство

Лт л (л* \т

Ш 11"

¿и/Н , . \

Ы-%т.Ы п ti

Следствие 2. В утверждении теоремы 2 при любых m,nGN, г е и 0 <!< л / п справедливо равенство

8ир "2г\/ — 8п—1(/)|| (1 — вшпй

М" (\ г ,, Т V «й

Теорема 3. Пусть / теМ, и 0<t <ж / п. Тогда при любом /геК справедливо

неравенство

т

т

( о *

2

nt 2) I и2' 0

Следствие 3. 5 утверждении теоремы 3 справедливо равенство

n2r£„M) L Г 2 .пи sup-" 1 -= 1 1 - -Sin-

/е|) Г 2 ' Y [пи 2

^\{t-T)Ünm{Wf-T)dT 1

V О У

2. В этом пункте мы решаем задачу отыскания верхних граней приближения некоторых классов функций частичными суммами ряда Фурье-Чебышева

n—1

S—i(f; x) = É ^ (f) T (x)

к=0

в пространстве . С этой целью определим нужные нам классы функций посредством некоторой заданной мажоранты.

Пусть Ф(0 - произвольная непрерывная неубывающая на [0,+ю) функция такая, что Ф(0) = 0. Введём в рассмотрение следующие классы функций: Жг)(0,Ф) — класс функций f е ¿2 )(г = 0,1,...;¿0) = ¿2), для которых при любых т,п е N, г е ^ выполняется неравенство

nSn / N

' Л

п J Ü!™(Vr f\t)%mntdt<<$>

* о

n

Ф) - класс функций / е Z(2r), для которых при любых т,п<= N, г е Z+ и 0 < h < тг / п вы-

полняется неравенство

1 А

4nlm(vf-T)dT<<b{ti)

ft о

и, наконец, ^/' ^(Х), Ф) - аналогичный класс функций, для которых

2 А

2

\(h-z)£Ínm(Vrf-z)dz<<b{h).

* О

Имеют место следующие утверждения

Теорема 4. При любых m,nGN, и 0<И<ж / п справедливы равенства

m

m

{21 — т

'-ьНг)}

Следствие 4. В утверждении теоремы 4, соответственно, при И = л / (2п) и И = ж / п выполняются равенства

7Г

2 V

ф т

п2 г I п .

Поступило 25.06.2013 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Абилов В.А., Абилова Ф.В. - Журнал вычислительной математики и математической физики, 2002, т.42, 4, с.451-458.

2. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами.- М.: Наука, 1977, 511 с.

3. Сеге Г. Ортогональные многочлены.- М.: Физматгиз, 1962, 500 с.

4. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения.- М.: Наука, 1969, 480 с.

К.Тухлиев

ОИД БА САРХДДИ БОЛОИИ ТАМОИЛИ БАЪЗЕ СИНФИ ФУНКСИЯ^О АЗ СУММА^ОИ ХУСУСИИ ЦАТОР^ОИ ФУРЙЕ-ЧЕБЫШЕВИ ОЩО ДАР ФАЗОИ Ьг

Донишго^и давлатии Хуцанд ба номи Б.Р.Рафуров

Нобаробарих,ои аники намуди Ч,ексон-Стечкин барои модули бефосилагии миёнакар-дашудаи махсуси тартиби т -уми , ки бо воситаи оператори гечиш муайян карда мешаванд,

ёфта шудаанд. Барои баъзе синфи функсиях,ои аз , ки ба воситаи характеристикаи суфтагии

додашуда муайян шудаанд, кимати аники сархдди болоии тамоили функсиях,о аз суммаи хусу-сии Фурйе-Чебышеви онх,о хдсоб карда шудааст.

Калима^ои калиди: оператори умумикардашудаи гециш - модули бефосилагии тартиби т -ум -саруади болои.

K.Tukhliev

ABOUT THE UPPER BOUND OF VARIATION OF SOME CLASSES OF FUNCTIONS FROM THEIR PARTIAL SUMS OF FOURIER-CHEBYSHEV

IN L2 SPACE

B.G.Gafurov KhugandState University The sharp inequalities of Jackson-Stechkin's type for averaged with the weight of specific modules of continuity of m th order Qm, are obtained and defined by means of a generalized shift operator. For certain classes of functions in Z2, defined by these characteristics of smoothness and the upper bounds of the

functions of the deviations of partial sums of Fourier-Chebyshev are calculated.

Key words: generalized shift operator - modulus of continuity of m-order - upper bound.