CC BY
27
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2014, том 57, №3_
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
К.Тухлиев, Дж.Х.Бекназаров
О НАИЛУЧШЕМ ПРИБЛИЖЕНИИ ФУНКЦИЙ СУММАМИ ФУРЬЕ-ЧЕБЫШЁВА В ¿2>|1[-1,1]
Худжандский государственный университет им. Б.Г.Гафурова
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 23.12.2013 г.)
В гильбертовом пространстве Ь2 1 — х21 ;[—1,1]^ получены точные неравенства типа
Джексона-Стечкина, связывающие величину Еп_/) - наилучшее приближение функции / алгебраическими полиномами степени < п — 1, с введённым В.А.Абиловым и Ф.В.Абиловой обобщённым модулем непрерывности т-го порядка 0;ц (С/, /), где Т> - некоторый дифференциальный оператор второго порядка. Для некоторых классов функций, определяемых оператором V и мажорантой Ф, вычислены значения различных п-поперечников в пространстве Ь2 1 — х21 ;[—1,1]^.
Ключевые слова: наилучшее приближение - суммы Фурье-Чебышёва - обобщённый модуль непрерывности - п -поперечники.
1. Экстремальная задача отыскания точных констант в неравенстве типа Джексона для суммируемых 2ж -периодических функций / в пространстве := [0,2ж] с конечной нормой
Г 1 V72
- f f2(x)dx
рассматривалась во многих работах (см. [1] и приведённую там литературу). В последнее время появился ряд работ, в которых аналогичные задачи рассматриваются на конечном отрезке. А.Г.Бабенко [2] получил точное неравенство типа Джексона в случае приближения на отрезке [0, ж] действительных измеримых чётных 2ж -периодических функций вида /(х) = ^(соб х) подпространством косинус-полиномов
Тп_х \=\т-. Т(х) = Yuakcos**, ak G:
I k=0
в пространстве L2 Д0,— ](« > — \P > — 1) с конечной нормой
L
2
Адрес для корреспонденции: Тухлиев Камаридин. 735700, Республика Таджикистан, г.Худжанд, мкр., 20, Худжандский государственный университет. E-mail: [email protected]
1И14, = ]/^Ц5
I 0 V
эт — I соб — I ¿х\ .
2
V
2
В дальнейшем указанная задача в общем случае при а = @>—1 /2 рассмотрена Д.В.Чертовой [3], а при любых а> Р>—1 /2 - Во Хи Куком [4]. Для функции многих переменных в Л/((Ж'' ) со степенным весом аналогичная задача решена в работе А.В.Иванова и В.И.Иванова [5].
Отметим также работу С.Б.Вакарчука [6], где доказано точное неравенство типа Джексона для приближения действительных измеримых на отрезке [—1,1] функций / подпространством Т*п , - алгебраических полиномов степени < п — 1
4-1 := : Рп-г(х) = £
в пространстве Ц [—1;1] с нормой
| / 2(
п—1
акХ , ак
к=0
1 у/2
Щ—1.1]
V —1
< да.
В данной работе мы продолжим исследование в этом направлении и докажем точное неравенство типа Джексона для наилучшего приближения действительных измеримых на отрезке [—1,1]
функций /(—) с весом ¿и(х) = (\Д — х2 )—1 элементами подпространства Рп_х в гильбертовом пространстве
4 Д—1,1] := Ц Г^л/Т——2 Г; [—1,1]
с нормой
■ , Г^ ¿х
N1/2
< да.
-х У
Следуя работе [7], в пространстве Ц [—1,1] рассмотрим оператор 1
(—) =-
f ^х собh\/1 — х2 эт/г^ + /" ^х СОБh^/1 — х2 эт/г^
(1.1)
который будем называть оператором обобщённого сдвига, и введём специальный модуль непрерывности т -го порядка следующим образом. Пусть
ЛА (/; х) = Fhf (х) — f (х) = (^ — E)f (х),
т (
т
Ат (/; х) = ДА (Дт—Ч/;0; х) = (^ — Е)т/(х) = £ (—1)т—к ? Е^/(х),
к=0
V к У
где Е°/(х) = / (х), Е^ / (х) = Ек(Е^ 1/{х)), к = \,2,...,т; теМ и Е - единичный оператор в пространстве .
Определим модуль непрерывности т -го порядка равенством
От (/; 0 = 8ир|дт (/;-)||2/г :|*1< '}■ (!.2)
Пусть далее
1 (2
Т0 (х) = —;=, Тк (х) = л— С0Б(к агссоБ х), к = 1,2,... (1.3)
у] Ж \Ж
- ортонормированная система многочленов Чебышева первого рода в пространстве [—1,1]. Тогда, как хорошо известно,
ад
/ (х) = 2 ск (/)% (х) (1.4)
к=0
есть ряд Фурье-Чебышёва функции / е ^ [—1,1], а
Г /(х)
(/) = 1/4 % (х^ (1.5)
—, л/1 — х2
- коэффициенты Фурье-Чебышёва. Равенство в (1.4) нужно понимать в смысле сходимости в пространстве £2 [—1,1].
7ч й? й? дх дх
Пусть теперь Т> = { 1-х2)—- - л*— - дифференциальный оператор второго порядка. Опе-
раторы высших порядков определим рекуррентным путём: Х>г/ = Х>(Х>Г 1(г = 2,3,...). Заметим, что многочлены (1.3) удовлетворяют дифференциальному уравнению [8, с.47]
(1 — х2)Т "к( х) — хТ\( х) + к % (х) = 0, (1.6)
а потому из (1.6) вытекают равенства
Шк(х) = -к2Тк(х),...,ТУТк(х) = (-1 )гк2гТк(х). (1.7)
В [7] доказано, что для произвольной функции / е [—1,1], имеющей обобщённые производные в смысле Леви [8, с.172], коэффициенты Фурье-Чебышёва (1.5) ряда (1.4) удовлетворяют соотношениям
ск(Л = (-1)гк-2гск(рг/), к = 1,2,..., (1.8)
с,(Fhf) = 008кН.с,(/),k = 1,2,...,
(1.9)
где функция ¥ъ/ определена равенством (1.1).
Через 1,1] (г е 1,1] = 1,1]) обозначим множество функций
/ е12 [—1,1], у которых производная Т>г/ принадлежит пространству Ь2 1,1]. Пользуясь ра-
венством Парсеваля и соотношениями (1.7)-( 1.9), для произвольной функции / е 1,1] получа-
ем
АГФ7) 2/г =2(1-СО8М)2^Ч2(/)-
(1.10)
к=1
Учитывая равенство (1.10), согласно определению модуля непрерывности (1.2), запишем
= 8ир{х^(/)(1-сю*й)2" :| к |< Д.
к=1
Пусть - совокупность алгебраических многочленов степени < п — 1 . Еп |( ./ )2 ,г - наилучшее приближение функции У е [—1,1] элементами подпространства ~Рп , :
Хорошо известно [8], что
,1/2
.к=0
где
ял/, =Е(/)Т (
к=0
- частичная сумма п -го порядка ряда (1.4). Данная статья является продолжением работы [10]. Справедливы следующие утверждения.
Теорема 1. Пусть т, п, г е М, г > 2,1 / (2 г) < р< 2, /г е (0, ж / и]. Тогда справедливо равенство
Бир
/ ^)
2Ч2—!(/)
2,М
\П о
\1/р
^ 2 ^ ( п^тр ^ Р — \tI Бт — I ^
V ^ К 2 У у
(1.11)
Функция / (?) = Т (*) = (^ТИж) ооб(п агоооБ л) е [—1,1]
реализует верхнюю грань в ра-
венстве (1.11).
от
Теорема 2. Пусть да, и, г е N, г > 2,1 / (2 г) < р< 2, /г е (О, Л" / и]. Тогда справедливо равен-
ство
sup —
f ^ ^ h
22m+1/^^2r— 1/p (f )
2,¡и
¡C^(Vrf;t)2jlsmrUdt
1/p
= {2(mp +1)}
1/p
. nh sin—
—1/p
(1.12)
Верхнюю грань в (1.12) реализует функция / (^) = % (^) е 1,1]
Обозначим через Ъп (М, , йп (М , ^ (М ^), дп (М, , Жп (М, соответственно бернштейновский, колмогоровский, линейный, гельфандовский и проекционный п -поперечники выпуклого центрально-симметричного компакта М в пространстве ■ Известно, что
между указанными п -поперечниками выполняются неравенства:
Ъп ГМ; 4 к дп ГМ; Ь2м 1 < < ГМ; Ы ГМ Ь.и ] = жп ГМ; ¿.1 ■
Пусть Ф(^), 0 < ^ < ад - такая произвольная непрерывная неубывающая функция, что
Ф(0) = 0. Символом Ж^'ЧФ), 1 / (2/;) < р < 2, reN обозначим класс функций / е //¿7, для ко-
торых при любом /г е Ж+ выполняется условие
2 г
Полагаем также
(1 — cost)m ={(1 — cos t)m, если 0 < t <ж; 2m, если t >ж},
С: (Оф)\м =*4>fc-i(: / е ^(Ф)}.
Теорема 3. Пусть да, и, г е N, 1 / (2г) < р<2 и функция Ф при любом h е Ж+ удовлетворяет условию
f ф(t) V ^2nh ^
Ф (ж/ n)
> [ ] f (1 — cos t)mpdt| J (1 — cos t)mpdt
(1.13)
Тогда выполняются равенства
J 1 ж/2 V1/p
ж
= 2—(m+3/p)n 2гф _ I n
ж/2
1 f t(sin t)2mpdt
2
—1
где Лп (•) - любой из перечисленных выше n -поперечников.
Множество функций Ф, удовлетворяющих условию (1.13), не пусто. Этому условию удовлетворяет, например, функция
( 2 Л-1
ф(h) = ha!p, где а = ^ | t (sin t)2mpdt - 2 (0 < a < 2mp).
Теорема 4. Пусть m,n,r gN, 1 / (2 r) < p <2. Если функция Ф при любом h е Ж+ удовлетворяет условию (1.13) теоремы 2, то при всех s = 0,1,..., r имеют место равенства
J 1 к'2 Y1'Р
_ 2"(«+2/í) n-2(r-í)ф| ^
I n ,
-1 [ t (sin t^)mvdt
ir *
0
Поступило 23.12.2013 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А. Наилучшие полиномиальные приближения в L2 некоторых классов 2л>периодических функций и точные значения их поперечников. - Матем. заметки, 2011, т.90, №5, с.764-775.
2. Бабенко А.Г. Точное неравенство Джексона-Стечкина в пространстве L2-приближений на отрезке с весом Якоби и проективных пространствах. - Известия РАН, серия матем., 1998, т.62, №6, с.27-52.
3. Чертова Д.В. Теоремы Джексона в пространствах L ,1 < p < 2 с периодическим весом Якоби. -
Известия ТулГУ. Естественные науки, 2009, вып.1, с.5-27.
4. Кук Во Тхи. Операторы обобщенного сдвига в пространствах Lp на торе с весом Якоби и их применение. - Известия ТулГУ. Естественные науки, 2012, вып.1, с.17-43.
5. Иванов А.В., Иванов В.И. Теория Данкля и теорема Джексона в пространстве L2 (Rd) со степенным весом. - Труды ИММ УрО РАН, 2010, т.16, №4, с.180-192.
6. Вакарчук С.Б. О неравенствах типа Джексона в L2[—1,1] и точных значениях n -поперечников функциональных классов. - Укр. матем. вюник, 2006, т.3, №1, с.116-133.
7. Абилов В.А., Абилова Ф.В. Об одной квадратурной формуле. - Журнал выч. матем. и мат. физ., 2002, т.42, 4, с.451-458.
8. Сеге Г. Ортогональные многочлены. - М.: Физматгиз, 1962, 500 с.
9. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. - М.: Наука, 1969.
10. Шабозов М.Ш., Тухлиев К. /С -функционалы и точные значения п -поперечников некоторых классов из L2((1 — X2)—1/2;[—!,!]) - Изв. ТулГУ. Естест. науки, 2014, вып.1, ч. 1, с. 83-97.
К.Тухлиев, Ч,.Х.Бекназаров
ОИД БА НАЗДИККУНИИ БЕ^ТАРИНИ ФУНКСИЯ^О БО ЁРИИ СУММА^ОИ ФУРЙЕ-ЧЕБЫШЁВ ДАР [-1,1]
Донишго^и давлатии Хуцанд ба номи Б.Р.Рафуров
Дар фазой гилбертии L2 1 - x2 j ;[-1,1]j нобаробарих,ои аникии намуди Ч,ексон-
Стечкин ёфта шудаанд, ки байни наздиккунии бе^тарини функсиях,ои f(x) аз руи
бисёраъзогих,ои алгебравии тартибашон < n — 1 ва модули бефосилагии умумикардашудаи тар-
тиби т -ум, ки аз тарафи В.А.Абилов ва Ф.В.Абилова дароварда шудааст £lm(T>rf,t), ки V -
ихтиёри оператори дифференсиалии тартиби дуюм мебошад, вобаста мекунанд. Барои баъзе синфи функсиях,о, ки ба воситаи оператори Т> ва мажорантаи Ф муайян шудаанд, кимати
n -кутр^ои гуногун дар фазои L2 1 — x2 j ; [—1,1] j х,исоб карда шудаанд.
Калима^ои калиди: наздиккунии беутарин - суммаи Фурйе-Чебышёв - модули бефосилагии умуми-кардашуда - n -цутр^о.
K.Tukhliev, J.Kh.Beknazarov
ABOUT THE BEST APPROXIMATION OF FUNCTIONS BY SUMMS FOURIER-CHEBYSHEV IN L2/i [—1,1]
B.G.Gafurov KhugandState University In the Hilbert space L2 1 — x2 j ;[—1,1] j the exact inequalities of Jackson-Stechkin were obtained and connecting En_f) - the best approximation of f by algebraic polynomials of degree < n — 1 were added due to V.A.Abilov and F.V.Abilov which are the generalized modulus of continuity m th order Clm (Vf, t), where V is some second order differential operator. For any clas of function defined by V
and majorant Ф the exact values of different n -widths in the space L2 ^V1 — x2 j ; [—1,1] j are calculated.
Key words: the best approximation - summs Fourier-Chebyshev - generalized modulus of continuity -n-widths.
