О соотношении коэффициентов турбулентной диффузии среднего значения скалярной величины и ее пульсаций в свободных струях Текст научной статьи по специальности «Физика»

Том V

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

197 4

№ 1

УДК 532.517.4

О СООТНОШЕНИИ КОЭФФИЦИЕНТОВ ТУРБУЛЕНТНОЙ ДИФФУЗИИ СРЕДНЕГО ЗНАЧЕНИЯ СКАЛЯРНОЙ ВЕЛИЧИНЫ И ЕЕ ПУЛЬСАЦИЙ В СВОБОДНЫХ СТРУЯХ

Е. А. Мещеряков

Рассмотрен метод расчета пульсаций скалярной величины (концентрации, температуры) в турбулентной струе. Метод основан на использовании уравнения баланса пульсаций концентраций. Использованы феноменологические коэффициенты для диффузии среднего значения и среднего квадрата пульсаций скалярной величины. Предлагается также модель для диссипации пульсаций. Доказано равенство вводимых коэффициентов диффузии в случае отсутствия молекулярного обмена в потоке. Путем сопоставления рассчитанных с учетом молекулярного обмена автомодельных радиальных профилей пульсаций скалярной величины с экспериментальными профилями в круглой струе определен диапазон значений коэффициента диффузии пульсаций, дающих наиболее близкое совпадение с опытными данными.

Необходимость учета пульсаций концентраций возникает, например, при расчете излучения струи или ее отражательной способности для электромагнитных волн, а также при расчете горения в турбулентной струе. В последнем случае необходимость учета пульсаций концентрации связана с тем, что они характеризуют молекулярный обмен при турбулентном смешении, лимитирующем наряду с химической кинетикой интенсивность тепловыделения.

В настоящей работе делается попытка создания аналитического подхода к задаче о пульсациях концентраций в турбулентной струе на основе уравнения баланса среднеквадратичной величины пульсаций скалярной величины. Для описания процесса диффузии интенсивности пульсаций предлагается модель градиентного типа, аналогичная используемой в работах [3] и [4], с коэффициентом диффузии, отличным от турбулентного коэффициента диффузии средней скалярной величины.

Уравнение для интенсивности пульсаций в несжимаемой жидкости имеет вид [4]

щ + 2 р. + - 2о„ (Ща а = 1,2, 3). (1)

дхI 1 дх1 дх I \dxiJ

Здесь с, щ — соответственно мольная концентрация и скорость в точке (подразумевается суммирование по повторяющимся индексам), Бм — молекулярный коэффициент диффузии. Черта над величинами означает осреднение по времени, штрихованные величины — пульсации. Физический смысл членов этого уравнения таков: первый член представляет конвекцию величины с'2, второй —выражение для источника, обусловленного градиентами средней величины с или, иначе говоря, порождение пульсаций концентраций. Третий член представляет турбу-

8—Ученые записки ЦАГИ № 1

ш

лентную диффузию пульсаций, а член в правой части характеризует вырождение пульсаций из-за турбулентной диссипации.

Для турбулентной диффузии среднего значения скалярной величины используем известное представление с помощью коэффициента турбулентной диффузии £>т в тех зонах, где перемежаемость мала [1]

дс

и(с' = -£>т (2)

' ох,-

Принято считать, что в сдвиговых течениях при больших значениях числа Ие диссипация происходит в мелкомасштабных вихрях, которые в общем случае изотропны. Поэтому можно применить результаты исследований изотропной

турбулентности [1] и представить диссипативный член в виде

■ (3)

где X,.— микромасштаб для пульсаций концентраций.

Рассмотрим, наконец, выражение для турбулентной диффузии величины с'2 в уравнении (1).

Представим тройную корреляцию И; и с'2 как произведение феноменологического коэффициента Ос и градиента с'« [4]

дс'»

(4)

Для осесимметричной струи несжимаемого газа уравнение (1) с учетом соотношений (2) — (4) запишем в цилиндрических координатах

йр + 5 4- Г0С%1+120МЦ~20Т (Ж (5)

дх дг г дг дг х2 \°г ;

с

Уравнение турбулентной диффузии для среднего значения скалярной величины в этом случае имеет вид

«+ 5 —(6)

дх дг г \ дг дг ]

Заметим, что вновь введенный коэффициент йс может быть и не равен вследствие чего главной целью настоящего исследования является определение их соотношения. Здесь, предполагая заранее возможность применения коэффициента Д., найдем отношение Д./£)т в частном случае, когда молекулярной диффузией можно пренебречь с^ 0. На условиях, при которых справедливо это допущение, мы останавливаться не будем. Для справки можно обратиться, например, к работе [2], где эти условия рассматриваются с точки зрения вычисления средних концентраций.

Случаю отсутствия молекулярной диффузии в турбулентном потоке отвечает так называемая ,черно-белая* схема турбулентного смешения [9]. Напомним, что .черно-белая" схема смешения двух потоков с различным составом предполагает наличие в точке в каждый момент времени вещества одного из потоков.

Таким образом, если мгновенная концентрация какого-либо вещества с пульсирует между — исходной концентрацией одного потока и с2 — концентрацией другого потока, то средняя по времени концентрация в точке будет равна

с = с1р1-\-с2р2,

где р\, рч — вероятности попадания молей вещества первого и второго потоков в рассматриваемую точку. Вероятности р1 и />2, естественно, должны удовлетворять соотношению Р\-\-Р2—\-

Рассмотрим далее круглую, свободную струю, вытекающую в затопленное воздушное пространство. Смешение предполагается изотермическим. В этом случае рх — вероятность обнаружения в данной точке вещества струи, а р2— вероятность обнаружения воздуха.

Для средней величины квадрата пульсаций концентраций получим

С'2 = (сх - + (с2 -7)2 рг. .....

Но поскольку концентрация вещества струи в исходном потоке сх = 1, ив окружающей среде, по предположению, этого вещества нет е2 = 0> т0 выражения для средней величины концентрации и средней квадратичной величины пульсаций принимают вид

с=Р1=Р; 7гг = (1-р)р = (1-7)с. (7)

Здесь не конкретизируется вид функции р {х, г) с тем, чтобы подчеркнуть общность выводов относительно коэффициента Ос в случае отсутствия молекулярной диффузии.

Используя соотношения (7) с помощью уравнений (5) и (6), исключая из них с, можно показать, что в этом случае имеет место равенство коэффициентов турбулентной диффузии вещества /)т и пульсаций концентрации Д..

Равенство коэффициентов Д. и Ох в случае отсутствия молекулярной диффузии свидетельствует о том, что при чисто турбулентном смешении перенос среднего значения скалярной величины и перенос среднеквадратичных значений пульсаций этой величины происходят одинаково. Однако априори нет оснований утверждать, что это свойство турбулентных течений имеет место всегда. Проверить же этот факт можно только на основании систематических расчетов пульсаций концентраций по уравнению (5) и сравнению их с опытными данными.

Решение уравнения (5) предполагает известным среднее поле течения — средние скорости и, V и средние концентрации с. Поле скоростей определяется уравнениями неразрывности и движения. Однако мы не будем решать эти уравнения, воспользуемся только уравнением неразрывности для определения поперечной скорости. Профили же продольной скорости и и средней концентрации с, как показывает эксперимент [1], на автомодельном участке струи с достаточной степенью точности можно аппроксимировать кривой Гаусса

ß* do

С (*> г) = —— ехр

[-(In 2)

(8)

(9)

где /"]/2в> г\/2 с—полуширины профилей скорости и концентрации, соответствующие и (г, х)= 1/2 и (jc, 0) и с {г, х) = 1/2 с (х, 0). Из опыта известно также, что г\12й = ах и ri/2с=Ьх> гДе а и ¿ — постоянные; и0, d0— начальные значения скорости и диаметра струи. Связь между параметрами ßB и ßc получается из уравнений движения и турбулентной диффузии (6) при удовлетворении их на оси

Ь'= р.'- (4чкln 2)/*=(4 ^,п 2)/ *2' (10)

что приводит к известному результату

/ S \ я2

Здесь Ргт — турбулентное число Прандтля, 2— коэффициент кинематической вязкости.

В дальнейшем с целью упрощения анализа и выделения основного эффекта коэффициенты S, DT и Dc будут считаться постоянными. Эксперименты свидетельствуют в пользу этого допущения [1] (имеются в виду значения коэффициентов DT и Е).

Будем искать автомодельные решения уравнения (5), следуя методу работы [3].

Рассматриваемый случай автомодельного течения соответствует малым значениям концентрации примеси, поскольку автомодельное течение реализуется на достаточно больших расстояниях от устья сопла. Можно показать, что уравнение (5) допускает автомодельное решение с'2 — X (х) В (т]), где f\ = rlrXß-

1 . при X ~ . При этом оказывается, что для существования такого решения Кс

должен линейно изменяться по х, т. е. Хе = iх. Этот результат согласуется с тем фактом, что в автомодельной струе все масштабы нарастают линейно по длине струи [1].

■ ' Кроме того, поскольку для автомодельного течения с ~ 1/*, то интенсивность пульсаций концентраций, т. е. отношение среднеквадратичной пульсаци-онной концентрации к среднему значению с на оси, является постоянной, поэтому

ст Ст

где В (т)) = с'2/с^ — радиальный профиль относительных среднеквадратичных пульсаций концентраций, а п — > интенсивность пульсационной концент-

рации на оси. Индексом т. отмечены значения параметров на оси. В результате подстановки всех необходимых соотношений в уравнение (5) приходим к следующей краевой задаче для обыкновенного дифференциального уравнения относительно В (I)

- + 1-в-0 В' + (2е~Е— 6) В + а£е-2Ргт5 = 0; ) Ргт ЧРгт / ^ | (13)

Е-оо

Здесь

£ = 1п2г,2; ® = а = 2Ргт/я2;

За2 Дм

в= ^з ]п 2 --константа, характеризующая скорость диссипации пульсаций

скалярной величины. Если а, в и <о известны, то решение уравнения (13) дает профиль относительных среднеквадратичных пульсаций концентраций в струе. Поскольку нашей целью является определение значения, обеспечивающего наиболее близкое совпадение расчетного профиля В с экспериментальным, то м, айв рассматриваются как параметры. Оказывается, что задание этих трех параметров и двух граничных условий переопределяет задачу. Поэтому один из параметров должен рассматриваться как собственное значение задачи, либо должно быть опущено одно из граничных условий. Для удобства в качестве собственного значения берется в.

Фиг. 1

Уравнение (13) решалось численно на ЭЦВМ при следующих значениях параметров: Ргт = 0,7; «о = 0,5; 1; 1,5; 2; 3; л = 0,1; 0,2; 0,3; 0,5.

Решение для каждого варианта получалось с помощью итераций. Результаты расчетов по описанной методике представлены на фиг. 1—4.

На фиг. 1 показаны профили относительных пульсационных составляющих концентраций В1/2 (*]) при разных интенсивностях для источника пульсаций п.

Видно* что при больших значениях профиль близок к гауссовому. Однако, когда п уменьшается (что соответствует уменьшению пульсаций концентраций па сравнению со средней концентраций на оси), появляется максимум при таком

дс

значении •*], которое соответствует максимальной величине .

На фиг. 2 показано поведение этого максимума при изменении п. Экспериментальное значение п по данным работы [5] составляет 0,2 при В^ах = '.19. Из графика видно, что при столь малых уровнях пульсаций в источнике кривая ®тах (л) весьма чувствительна к величине п. Здесь же нанесены экспериментальные точки по данным других работ, в том числе по работам, в которых

> О 0,1 0,2 0,3 04 0,5 п Фиг. 2

в

16

12 в 4

II л

0,3,

О 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 со Фиг. 3

0 0,4-0,8' 1,2 1,0 2,0 2,4 2,3 3,2 3,0 ¡у Фиг. 4

мерялись пульсации температуры (темные кружочки — дымовая струя, светлые кружочки — нагретая струя). Примечательно, что и для дыма (Ом 0), и для температуры (£>м = Ом основного потока) экспериментальные точки расположились в очень узкой области. Этот факт свидетельствует об определяющем влиянии мелкомасштабных пульсаций скорости, а не молекулярного обмена на перенос и диссипацию пульсаций концентрации.

Типичные собственные значения в приведены на фиг. 3. Можно заметить, что величина 0 падает с увеличением я, т. е. чем больше скорость диссипации, тем меньше значение интенсивности турбулентных пульсаций. Можно отметить также слабую зависимость 9 от &>.

Для определения диапазона значений отношения со = приводящих

к наиболее близкому совпадению результатов расчета с результатами опытов, были рассмотрены имеющиеся экспериментальные данные [5—8]. В работах [5], [6] эксперименты проводились на дымовых струях, а в работах [7], [8] — на подогретых воздушных.

Экспериментально установленные значения я и максимума интенсивности пульсаций показаны на фиг. 2. Два измерения в дымовых струях дают примерно одинаковое значение <»=1,5. Вычисленный радиальный профиль пульсаций при этом значении <о хорошо описывает экспериментально полученные профили (с точностью 3% без учета влияния перемежаемости на результаты расчета вблизи границы струи).

Этот вывод следует из анализа фиг. 4, на которой приведены рассчитанные профили В1/2 (Л) для нескольких значений ш (сплошная линия — расчет, кружочки—данные работы [5], треугольники — данные работы [6], х/с10 = 48, 56, 64, 72). Рассчитанное собственное значение в составляет 6,038 для £>с= 1,5 и и = 0,2.

В принципе результаты данного анализа могут быть применимы к пульсациям температуры в нагретой струе при условии, что перегрев мал. Измерения пульсаций, температуры в нагретой струе Д Т= 225° С, х/йа — 40 показывают [8], что при относительном значении максимума пульсаций В)®ах = т. е. таком же, что и в дымовой струе, отношение пульсаций температуры к среднему значению на оси составляет я = 0,18.

-г-¡г*Ш -------

У г V

0,75

0,50

0,25

О 0,8 1/ 1,6 2,0 2,4 2,В 3,2 3,6 т]

Фиг. 5

Отсюда на основании данных фиг. 2 получаем значение ы = 1,6 и 6=5,98. Результаты расчета пульсаций температуры при таких значениях параметров по уравнению (13) представлены на фиг. 5 (кривая 1). Видно, что расчет также хорошо описывает экспериментальный профиль области максимума (кривая 2). И только на границе струи там, где, собственно, из-за наличия перемежаемости результаты расчета по настоящей методике теряют силу, наблюдается расхождение экспериментальной и расчетной кривых.

Таким образом-, все рассмотренные опытные данные можно описать при Ос

м = 1,5 + 0,1, т. е. коэффициент диффузии для пульсаций скалярной величины в 1,5 раза больше того же коэффициента для среднего значения скалярной величины. И наоборот, если применяются эти параметры, т. е. От и £>с = = 1,5 £)т, то имеется возможность вычислить пульсации скалярной величины.

ЛИТЕРАТУРА

1. Хинце Н. О. Турбулентность. М., Физматгиз, 1963.

2. Монин А. С., Я г лом А. М. Статическая гидромеханика, ч. 1, М., Физматгиз, 1965.

3. Satton G. W. Fluctuation intensity of passiv species in a turbulent subsonic jet, AIAA J., vol. 7, № 1, 1969.

4. Csandy Q. T. Variance of local concentration fluctuations. The Physics of Fluids, vol. 10, No. 9, 1967.

5. Becker H. A., Hottel H. C. The Nozzle-fluid concentration field of the round, turbulent, free jet, J. of Fluid Mechanics, vol. 30, No. 2, 1967.

6. Rosensweig R. E., Hottel H. C. Smoke-scattering light measurement of turbulent concentration fluctuation, Chemical Engineering Science, vol. 15, 1961.

7. Corrsin S. and Uberoi M. S. Furthe experiments on the flow and heat gransfer in a heated turbulent. Air Jet, Rept NACA 998, 1950.

8. Wills on R. A. Studies Engineering Science, vol.19, 1964.

9. Прудников А. Г. и др. Процессы смесеобразования и горения в ВРД, М., „Машиностроение", 1971.

Рукопись поступила 21X11 1972