Расчет псевдоскачка в цилиндрическом канале Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И

Т ом V 1 974 № 3

УДК 629.7.015.3.036:533.697.2

РАСЧЕТ ПСЕВДОСКАЧКА В ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ

КАНАЛЕ

В. Л. Зимонт, В. Н. Острась

Предложен интегральный метод расчета течения в цилиндрическом канале при наличии псевдоскачка, основанный на бесскачковой безотрывной диссипативной модели течения, позволяющий рассчитать статическое давление и профили скорости вдоль канала. Путем сопоставления результатов расчетов с экспериментальными данными показано, что развитие диссипативной зоны в псевдоскачке носит струйный характер и подчиняется закономерностям затопленной сверхзвуковой струи.

Экспериментально наблюдаемое явление перехода сверхзвукового течения в дозвуковой поток в канале в отличие от представлений, следующих из одномерных невязких уравнений, осуществляется постепенно на длине, составляющей несколько калибров канала, на которой давление монотонно увеличивается до значения, близкого к его величине за прямым скачком уплотнения. Одними из первых исследователей этого явления были Нейман и Люстверк, назвавшие его псевдоскачком [1].

Подробный анализ состояния в изучении этого явления, сделанный Л. Крокко, содержится в работе [2]. Там, в частности, приводятся экспериментальные данные, показывающие, что хотя наличие силы трения о стенки слабо влияет на параметры в конце псевдоскачка, наличие пограничного слоя, вызванного трением, является определяющим: при отсасывании пограничного слоя в канале переход осуществляется в прямом скачке уплотнения.

Л. Крокко [2] была предложена бесскачковая модель течения, опирающаяся на допущение о том, что диссипация кинетической энергии в скачках уплотнения играет пренебрежимо малую роль по сравнению с диссипацией в турбулентном потоке из-за молекулярной вязкости. Течение в модели состоит из одномерного из-энтропического ядра и одномерной области пониженной скорости, в которой происходит диссипация. При известном из эксперимента распределении давления могут быть определены параметры течения в диссипативной области псевдоскачка и закон развития этой области.

Последующие экспериментальные исследования показали, что в области псевдоскачка наблюдается система Х-образных (при малых

числах М) или Х-образных (при числах М>2) скачков уплотнения [3], [4], которая, однако, из-за вязкости быстро размывается и делается нечеткой. При этом профили скорости в сечениях при М>2 имеют плавный колоколообразный вид [4], и поведение давления на стенке описывается гладкой функцией, как и в работе [1], что говорит в пользу предложенного Л. Крокко допущения о том, что определяющим механизмом в увеличении энтропии является диссипация кинетической энергии в слое смещения.

В настоящей статье рассматривается случай развитого псевдоскачка, имеющего место при достаточно толстых пограничных слоях, когда увеличением энтропии в системе Х-образных скачков можно пренебречь.

1. Поскольку одномерные законы сохранения при пренебрежении молекулярным переносом включают лишь исходные значения параметров потока и их значения за прямым скачком уплотнения, то непрерывное изменение давления вдоль канала возможно лишь при неравномерном распределении параметров по сечению. При этом в бесскачковой модели псевдоскачка механизм увеличения потока энтропии вдоль канала состоит в том, что из-за градиента скорости в поперечном направлении происходит переход энергии поступательного движения в энергию турбулентных пульсаций скорости, которая, в свою очередь, переходит в тепловую энергию за счет вязкости. Наличие турбулентных пульсаций скорости приводит к возникновению больших турбулентных напряжений трения, приводящих к выравниванию полей скорости вдоль канала. Если пренебречь влиянием пульсаций параметров при записи выражений для потоков массы, импульса и энергии, что всегда можно сделать, поскольку вклад пульсационных членов не превышает нескольких процентов, то при известных распределениях средних значений параметров можно рассчитать увеличение потока энтропии вдоль канала, т. е. можно не рассматривать диссипацию из-за пульсаций непосредственно, а следить за изменением распределений параметров вдоль канала, развивающихся под действием турбулентных напряжений. Таким образом, задача определения длины псевдоскачка, распределения давления вдоль канала, профилей параметров сводится к анализу струйной задачи развития профилей скоростей за счет турбулентной вязкости и может быть решена, если закономерности развития профилей известны (например из эксперимента). (Следует отметить, что для расчета пульсаций скорости в области псевдоскачка уже необходимо привлекать закономерности диссипации и диффузии кинетической энергии турбулентности).

Необходимым при построении струйной модели псевдоскачка является вопрос о наличии зон возвратных течений вблизи стенки. Теоретическое выяснение этого вопроса требует привлечения достаточно тонких методов анализа воздействия положительного градиента давления и скачков уплотнения на турбулентный пограничный слой. Выводы, следующие из простейших соображений, основанных на том или ином виде аппроксимаций профилей параметров, полученные, например, в работе [5], являются недостаточно обоснованными. Мы будем исходить из безотрывного характера течения в псевдоскачке, опираясь на экспериментальные результаты работы [6].*

* Отметим также работу [17], которая стала известна авторам после сдачи статьи в редакцию, в которой предполагался отрывной характер течения в псевдоскачке.

2. Профили средних скоростей струйного течения, имеющего место в области перехода от сверхзвукового потока к дозвуковому, описываются уравнениями Рейнольдса сжимаемого газа, для решения которых необходимо задаваться неизвестными турбулентными напряжениями. В интегральных методах предполагается, что турбулентные напряжения в потоке такие, что соответствующие им профили средней скорости, а также концентрации и температуры выражаются некоторыми функциями, зависящими от параметров, часть из которых является эмпирическими и характеризуют турбулентный обмен импульса (концентрации, температуры) между различными частями потока (турбулентное трение или турбулентное смешение), а другие находятся .из интегральных законов сохранения.

В отличие от обычных струйных течений, в которых происходит выравнивание профилей параметров, в псевдоскачке профили скорости изменяются от практически равномерного сверхзвукового распределения через систему неравномерных профилей к практически равномерному дозвуковому распределению за прямым скачком уплотнения (с точностью до потерь на трение).

Представим скорость в области перехода в канале с переменной площадью сечения в следующем виде

и(х, г) = u0\p(x)]f\a(x), о(х), г], (1)

где f(a, о, г) — безразмерная функция радиуса г, в которой а(х) и з(л:) — некоторые параметры, зависящие от продольной координаты х, и0 (р) — функция давления, имеющая размерность скорости.

Пренебрежем изменением температуры торможения потока

Т + -^г- = Т* = const.

Это позволяет из уравнения состояния выразить плотность через скорость и давление. (По-видимому, это предположение при умеренных числах М потока вполне допустимо. Например, для турбулентного пограничного слоя на теплоизолированной стенке при М=4 максимальное изменение температуры торможения в потоке составляет 9% [7]. Аналогично при смешении затопленной сверхзвуковой струи при М=2,6 максимальное изменение температуры торможения на оси потока составляет 8% [8]).

На распределение (1) накладываются два интегральных ограничения, являющиеся уравнениями расхода и импульса

fpudF^G0 и / (ри2 + р) dF — QTP = /0, (2)

/•• F

где G0 и /0 — потоки массы и импульса в начальном сечении * = 0 псевдоскачка, QTp — потеря импульса между сечениями х й х = 0 из-за трения. При известных функциях и0 и /условия (2) позволяют определить по одной из функций а(х), а(х) и р(х) остальные две функции. Будем считать о(л;) известной функцией, характеризующей турбулентный обмен импульса. .

Если при отсутствии турбулентного обмена/= 1, соотношение (1) описывает обычное одномерное течение,, то при несущественном ВЛИЯНИИ на скорость Трения 0 стецкн «о (р) определяется обычным выражением скорости через давление .

где Т* и р* — параметры торможения исходного сверхзвукового потока.

В качестве функций /, аппроксимирующих безразмерные профили скорости, будем использовать двухпараметрическое семейство функций, являющихся решением нестационарного уравнения переноса для осесимметричной задачи, описывающей развитие профиля в области г < /?

К—Г) (**. Л--}- К.

дt ^ дг2 г дг

при начальном и граничном условиях:

/=1 при 0<г<а / = 0 при а<г<Я ) дг г=к~ ’

где в качестве величины /? примем радиус канала, в котором имеет место псевдоскачок [в общем случае /? =/?(*)], а —радиус источника, И — коэффициент, характеризующий интенсивность переноса (в случае переноса концентрации—коэффициент диффузии), Ь—время.

Вместо переменной t в нашем случае удобнее перейти к новой переменной

а2 = 20*,

где о2 является дисперсией, принятой при описании турбулентной диффузии в безграничном пространстве и представляет собой средний квадрат отклонения частицы в поперечном направлении из-за пульсаций скорости [9]. В случае наличия границ о2 уже не является дисперсией в обычном понимании теории вероятностей смешения.

Решение уравнения .переноса при указанных начальных и граничных условиях, полученное обычным методом Фурье и выраженное через а(х), имеет вид

/«-. Л г) - £ + £ и (*. ж) <3>

п-2 2 А)(Н7г)

где /0 и 1г — функции Бесселя нулевого и первого порядка, — корни уравнения (и-я) = 0. :

При «•</? и конечной о2 функция / описывает колоколообразный профиль, имеющий максимум на оси и минимум при г — /?, причем-■/(/?)> 0, т. е. используемая аппроксимация не описывает пограничный слой и соответствует схеме течения без обратных токов.

Параметр а(х) характеризует „размытость11 профиля скорости и процесс смешения. (Аппроксимация профилей скорости функциями, являющимися решением уравнения переноса, широко применяется, например, в донных задачах при сверхзвуковых потоках, где для. плоского случая скорость описывается через интеграл вероятности [10]. Во избежание недоразумения отметим, что в этих задачах смешение в автомодельном плоском слое характеризуется безразмерной эмпирической постоянной а, являющейся отношением характерной ширины профиля скорости к продольному размеру слоя смешения. Используемая нами дисперсия о2(х) была введена для описания смешения плоских и осесимметричных струйных течений в работах [11], [12] и позволяет удобным образом описывать и не-

автомодельные струйные течения. Связь между <з2(л:) и параметром а плоского автомодельного слоя смешения дается соотношением и (X) ах).

Считая известной функцию о(х). из законов сохранения, имеющих после подстановки скорости и плотности вид

2 ър (х)

о Тп

и0(р)/[а(х), д2(х), г] и-1{Р)Р[а(х), ^ (х), г]

~ 2Та

гйг — О0,

(4)

2г.р (х)

Я'

<4 (Р)/2 [а(х), &{х), г]

О Т0-

Ч (/>) Я [<*(*)> °Цх), г] 2 с„

гйг + /? (*)«/?’ + <Зтр = /о, (5)

•определялись р(х) и а(х) и профили всех параметров. Здесь — газовая постоянная. Вычисления проводились на ЭЦВМ.

3. Для определения о(х) были обработаны с помощью соотношений (4) и (5) экспериментальные распределения давления, полученные в работе [6]: по известным из эксперимента р(х) и (}1р(х) ■определялись а(л). Оказалось, что в области псевдоскачка практически а = х. Поскольку в пристеночной области псевдоскачка скорость мала, то ожидалось, что интенсивность обмена в области псевдоскачка должна быть близка к интенсивности обмена затопленных струйных течений. В работе [10] для затопленного плоского ■слоя смешения приведена предложенная Тангом эмпирическая зависимость, которая при использовании параметра смешения при-лимает вид

1

где

о (лс) = к*х — -^х

Х2 = :

х при М > 1,4, |

при М<1,2,

(6)

На фиг. 1 приведена эта зависимость вместе с последними и, по-видимому, наиболее точными экспериментальными данными Брауна и Рошко [13] и данными [14, 15], а также результаты указанной выше обработки для псевдоскачка (для псевдоскачка число М — средняя величина в его начальном сечении).

Фиг. 1

Ниже в расчетах для а (я) использована эмпирическая зависимость (6), в которой в качестве относительной скорости использована ее средняя величина в начальном сечении псевдоскачка л: = 0, соответствующая сохранению потоков массы, импульса и энергии.

Сравнение весовых замеров силы трения в области перехода [6] с расчетами силы трения на основании методики работы [16] или с использованием эмпирического значения коэффициента сопротивления при использовании значений параметров над пограничным слоем, вычисленных по формулам, приведенным выше для г = Я, дает заниженные значения силы трения. Это, по-видимому, связано с высоким уровнем турбулентности над пограничным слоем в области перехода. Хорошее соответствие с экспериментом получается, если в выражении для силы трения применять в качестве параметров потока осредненные по сечению скоростной поток и безразмерную скорость

Р“2 1 г 2 , /~1 1 1 Рн ин ■ Рн — р

~2~ = ~2~ [Рн Рн Р Зтр] '=-: ~2~ 2 2

и использовать известные значения коэффициента трения

Р=С/(М)-^. (7)

На фиг. 2 сплошными линиями приведены результаты расчета силы течения в области перехода вместе с данными экспериментов: кривая 1 — расчет для начального числа М= 3,2 по параметрам у стенки, кривые 2—расчет по осредненным параметрам.

На фиг. 3 показано сравнение экспериментальных данных работы [6] (точки) с результатами расчетов распределения давления вдоль псевдоскачка, проведенных с использованием соотношения (6) без учета трения (кривые 1) и с учетом трения на основании соотношения (7) с использованием при вычислении Cf методики работы [16] для различных расстояний //2/? псевдоскачка от начала цилиндрического канала (кривые 2 и 3) чисел М в начале псевдоскачка, равных 3,2 и 3,8.

На фиг. 4 приведены вместе с результатами эксперимента для М=3,2 результаты расчета распределения скорости вдоль псевдоскачка на различных расстояниях от стенки, полученные с использованием указанных выше зависимостей для <з(х) с учетом трения, а также вместе с рассчитанными профили полного давления в пристеночной области, непосредственно замеренные с помощью трубки полного давления р*'. При расчетах учитывалось наличие прямого

Фиг. 5

Фиг. 6

скачка перед трубкой при сверхзвуковой скорости потока. Видно, что предложенная схема описывает наблюдающиеся в экспериментах быстрое падение скорости до малых дозвуковых значений и последующее постепенное ее увеличение.

На фиг. 5 приведены экспериментальные распределения давления [1] вместе с результатами расчетов, в которых <з(х) бралась из (6), а су согласно (7) подбирался таким, чтобы рассчитанное распределение давления в сверхзвуковом потоке, показанное на фигуре пунктиром, совпало с экспериментом (оказалось, что <^=0,005, что несколько выше, чем в опытах работы [1]. Это связано, по-видимому, с влиянием температурного фактора).

На фиг. 6 приведены вместе с экспериментальными данными [1] результаты расчета влияния начального числа М потока на длину псевдоскачка, которая определялась по сечению, в котором статическое давление максимально.

Расхождение расчета с экспериментальными данными при малых числах М связано, по-видимому, с тем, что расчеты для всех чисел М проводились при одинаковой величине коэффициента трения.

В заключение отметим, что положение псевдоскачка в канале может быть найдено в расчете из условия равенства давления

в конце канала внешнему давлению (при открытом конце трубы) или условия обеспечения исходного расхода (при наличии дросселя или сопла в конце канала). При этом, поскольку сила трения в сверхзвуковом потоке больше, чем в дозвуковом, положение псевдоскачка устойчиво по отношению к малым возмущениям внешнего давления или площади проходного сечения дросселя (сопла).

ЛИТЕРАТУРА

1. Neuman Е. P. and Lus twerk F. Supersonic diffusers for wind tunnels. Journ. Appl. Mech. vol. 16, No 2, 1949.

2. К p о к к о Л. Одномерное рассмотрение газовой динамики установившихся течений. Основы газовой динамики, под ред. Эммонса Г. М., 1963.

3. Т a m a k i Т., TomitaY., Yamane R, A study of pseudo-shock (^-Type of pseudo-shock). Bulletin of the 1SME, vol. 13, No 55, 1970.

4. Tamaki Т., Tomita Y., Yamane R. A study of pseudo-shock (x-Type pseudo-shock). Bulletin of the ISME, vol. 14, No 74, 1971.

5. Г у p ы л e в В. Г., E л и с e e в С. H. К теории „псевдоскачка* на входном участке канала. .Ученые записки ЦАГИ“, т. Ill, № 3, 1972.

6. Острась В. Н., Пензин В. И. Экспериментальное исследование силы трения в цилиндрическом канале при наличии псевдоскачка. „Ученые записки ЦАГИ', т. V, № 2, 1974.

7. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М., .Наука*, 1969.

8. Glassman 1., James Е. A. An unusual aerodynamic stagnation-temperature effect. Journ. of the Aero space sciences, vol. 26, No 6, 1959.

9. M о н и н А. С., Я г л о м А. М. Статистическая гидромеханика, ч. I, § 9, М., .Наука", 1965.

10. С h а г w a t A. F. Supersonic Flows with imbedded separated regions. .Advances in Heat Transfer". Edited by Hartnett J. P., Irvine T. F., vol. 6, 1970.

11. Прудников А. Г., СагаловичВ. И. Статистическое описание турбулентной струи. ДАН СССР, т. 144, № 6, 1962.

12. Пр'удников А. Г., Сага лов и ч В. И. Статистическая модель струи и диффузионного факела. Сб. статей „Кинетика и аэродинамика гонения*, М., „Наука", 1969.

13. Brown G., Roshko A. The effect of density difference on the turbulent Mixing layer. AGARD Fluid dynamies panel specialists meeting on „Turbulent the Flows*, London, England, 13—15 September 1971.

14. Мэдью, Рид. Турбулентное перемешивание струй сжимаемой жидкости. Ракетная техника и космонавтика, № 6, 1963.

15. Siriex М., Solignae I. Contribution a letude experimentall de la couche de mebange turbulent. Separated Flows. AGARD, Conference Proceeding No 4, 1966.

16. А в д у e в с к и й В. С. Метод расчета пространственного турбулентного пограничного слоя в сжимаемом газе. „Изв. АН СССР. Механика и машиностроение", № 4, 1962.

17. Г о г и ш Л. В., Степанов Г. Ю. Кназиодномерная теория взаимодействия турбулентного следа со сверхзвуковым потоком в канале и струе. М., Институт механики МГУ, научные труды, № 11, 1971.

Рукопись поступила 20/ VI 1973 г.