CC BY
41
т о ом ХХ11
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ
199 1
мз
УДК 532.517.4
УРАВНЕНИЯ ДЛЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ КОНЦЕНТРАЦИИ В ЗАДАЧАХ ТУРБУЛЕНТНОГО СМЕШЕНИЯ И ГОРЕНИЯ
В. А. Сабельников
Проведен теоретический анализ гипотез замыкания уравнения для распределения вероятностей концентрации пассивной примеси в свободных турбулентных течениях. Выявлены гипотезы, при использовании которых получаются уравнения, решения которых не являются плотностями распределений (например, осциллируют). Установлено, что решения уравнения, замкнутого с использованием гипотезы о статистической независимости характеристик мелко- и крупномасштабного движений, наиболее точно описывают всю совокупность экспериментальных данных.
Распределения вероятностей концентрации и температуры имеют важное значение в теории турбулентного горения. Сейчас признано, что это наиболее адекватный аппарат для описания сложных нелинейных процессов, которыми сопровождается турбулентное течение реагирующего газа [1], хотя надо помнить, что некоторые задачи турбулентного горения с достаточной для практических целей точностью могут быть решены и решаются в рамках традиционных моментных подходов. Использование распределений вероятностей в первую очередь целесообразно в тех задачах, в которых основные эффекты обусловлены высокоамплитудными пульсациями (в качестве таких задач можно указать воспламенение, образование загрязняющих и токсичных веществ и многие др.). В данной работе рассмотрение ограничивается только распределением вероятностей концентрации инертной примеси. Знание этого распределения оказывается достаточным для решения широкого круга задач турбулентного горения [I]. Для определения распределения вероятностей концентрации в литературе используются как простые методы с предварительным заданием функционального вида распределения, так и уравнение для распределения вероятностей. Здесь будет дан критический анализ лишь тех подходов, в которых привлекается уравнение для распределения вероятностей.
Точное уравнение для распределения вероятностей, выведенное из уравнения для молекулярной диффузии, незамкнуто [I]. В работах [2—10] сделаны попытки замкнуть это уравнение с помощью различного рода полуэмпирических гипотез (обзор замыканий см. в [1, 11— 13]). Очень часто аппроксимация неизвестных членов в уравнении про-
водится формально по аналогии с кинетической теорией газов и теорией броуновского движения. Поэтому неудивительно, что некоторые из гипотез замыкания приводят к физически абсурдным результатам (см., например, выводы в работах [1, 5, 7, 14]). Ниже проведено критическое обсуждение ряда замыкающих гипотез. Полученные результаты существенно дополняют и уточняют выводы о границах применимости гипотез, сделанные в работах [7, 11—13]. Эти результаты и анализ, проделанный в работе [1], позволяют заключить, что среди известных полуэмпирических уравнений, уравнение, полученное в работе [2] и уточненное в работе [1], наиболее обосновано с физической и математической точек зрения и дает лучшую точность описания экспериментальных данных.
1. Уравнение для плотности вероятностей концентрации. Гипотезы замыкания. Точное уравнение' для плотности распределения вероятностей концентрации инертной примеси Р(г) может быть записано в-эквивалентных формах [1]:
+ у ]' и Р (и, г) dз и=1а, (1)
где член имеет либо вид
^--¿р^К (2)
или
1* = -&-1 г)dN+D^P(z). (3}
Здесь t — время, — декартовы координаты (к.= 1, 2, 3), — компоненты скорости, г — концентрация инертной примеси (0<г<1), М = = О (у г)2 — скалярная диссипация, у — оператор градиента, ш =
= у*— лапласиан, О — коэффициент молекулярной диффузии; Р(и, г), Р(ш, г), Р(М,г)—соответственно плотности совместных распределений вероятностей скорости и концентрации, дивергенции диффузионного потока и концентрации, скалярной диссипации и концентрации. При больших числах Рейнольдса вторым членом в правой части соотношения (3) можно пренебречь.
Уравнение (1) незамкнуто — наряду с искомой плотностью вероятностей Р(г) оно содержит неизвестные плотности вероятностей Р(и, г), Р(ш, г) при записи 1а в форме (2) и Р(и, г), Р(М, г) — при записи 1а в форме (3).
При больших числах Рейнольдса вследствие перемежаемости плотность вероятностей Р (г) содержит сингулярный добавок [1]. Наибольший практический интерес представляет случай, когда Р (г) имеет следующий вид:
Здесь '\'о и — вероятности наблюдения концентраций г=0 и г= 1 соответственно, — коэффициент перемежаемости (т. е. вероятность наблюдения турбулентной жидкости), Pt (г) —плотность вероятностей концентрации во вполне турбулентной жидкости, б — дельта-функция Дирака.
При учете перемежаемости выражения (2) и (3) для члена принимают вид:
(6)
Здесь Pt (ш, г) и Pt (М, г) — совместные плотности вероятностей в турбулентной жидкости, < > г, г — условное осреднение в турбулентной жидкости при заданном значении г.
Физический смысл членов в уравнении (1) очевиден: конвективный член (т. е. член, куда входит Р(и, г) ) описывает турбулентную диффузию примеси, а член ^— смешение до молекулярных масштабов.
Замыкающие соотношения для члена /а, предложенные в работе [2], основаны на гипотезе о статистической независимости полей N и 2. В этом случае соотношения (3) и (6) переходят в следующие:
4 =
<Л/> Р(г),
Т Р,(г) - - <Л0 Р, (г).
(7)
(8)
Здесь < > — безусловное осреднение.
Замыкание в работе [5] использует запись члена и в форме (2) и предположение о том, что двухточечное распределение вероятностей концентрации нормально (квазигауссовское замыкание). Тогда выражение (2) имеет вид:
/а= 0-2 ¿(г — <г>)Р(г), =8= «(г- (г»2 > .
(9)
То же замыкание при учете перемежаемости применительно к (5) дает:
/,-<^>,0Т2-^(г-{г)()Р((г), «?-<(*-<*>,)*),• (Ю)
Соотношение (10) получено также в работе [3] на основе аналогии с броуновским движением.
Ряд замыканий основан на механистических моделях смешения до микромасштабов [6—10]. Выражения для члена /а в этих работах содержат интегралы от плотности вероятностей, и такие замыкания в "литературе часто называются интегральными моделями. В качестве примера приведем модели, предложенные в работах [6, 10]:
(2 1+0 , г г
]> ( г') ¿г' | Р ( г") ¿г" - Р(г) | (г - г') Р (г') ¿¿г' +
2 1+0
+ |(г" -г) Р(г") ¿¿г" } ,
| г 1+0 *
/¿(Р) = рг ¿г' Г^г" Р(г') Р(г")0(г, г' г") — рЦ , G (г, г', г") = 2/(г" -г'),
г , ,, 1+0 , ,,
/а = - Р» а £ ^Р(г') ( ~Г~) Р(г") ¿г",
гф = 1п (1 + s).
.-о
(11)
(12) (13)
Здесь рь р2 и р3 — эмпирические функции, обратно пропорциональные интегральному временному масштабу турбулентности. Поясним формулу (12). Она вытекает из вероятностной модели, согласно которой молекулярное смешение происходит при контакте двух молей с концентрациями г' и г" (г">г'). Считается, что при контакте с равной вероятностью возникают новые моли с промежуточными концентрациями г, удовлетворяющими условию г'<г<г".
В работах [7, 8] кратко анализируется и общий случай, когда ядро й в выражении (12) — достаточно произвольная неотрицательная функция, преобразующаяся по закону G (Лг, Лг', Лг") = = Л-1 G (г, г', г"), Л — действительное число, 0<;: г' г г" < 1
г"
и удовлетворяющая интегральному условию ^ G (г, г', г") ¿г = 2.
г'
В частности, при простейшем предположении, что при контакте образуется моль лишь с одной промежуточной концентрацией
гс= + (г' + г"), G = 28 (г — гс) и получается известная схема Кела
(см. например, [12, 13]):
1а = 14 | Р (г - г')Р(г + г') йг' - Р(г)
Следует отметить, что, хотя выражения (11) — (13) и не содержат в явном виде перемежаемость, решения уравнения для Р(г) с этими замыканиями могут включать дельта-образные слагаемые, которые формально также можно рассматривать как перемежаемость.
Сделаем одно замечание, касающееся выражения (11). Уравнение для Р (г) должно быть инвариантно относительно преобразования г-+Лг, Р(,г)-+Х~1Р(г). Сказанное является простым следствием линейности уравнения диффузии. Среди соотношений (7) — (13) лишь (11) не обладает указанной инвариантностью. Чтобы ее восстановить, необходимо потребовать выполнения свойства р^+Л^р!. Последнее выполнено, в частности, если р4 = где р4 инвариантно при рассматриваемом преобразовании, т. е. размерность величины р4 обратно пропорциональна времени и концентрации.
Описание смешения до молекулярного уровня — не единственная проблема, возникающая при анализе уравнения для плотности вероятностей концентрации. Другой важной проблемой является описание турбулентной диффузии (второе слагаемое в левой части уравнения (1)). В литературе использовались два способа замыкания этого члена. В работах [2, 5] рассматривается квазигауссовское замыкание, т. е.
| иР(и, гИ3и=(и>гР(.г), (и) г = <и) + да-2 (г — <г»,
где <и)г — условно осредненная скорость при заданном значении концентрации г, д = < (и —(и))(г -(г)) ) --поток вещества; а в работах [3, 4, 6, 9, 10] -'-градиентная гипотеза
| иР(и, г) ¿Зи = < и) P — DtVР, 05}
где Dt — коэффициент турбулентной диффузии.
(14)
}
Известные в литературе уравнения для плотности вероятностей концентрации получаются путем разных комбинаций замыканий (7) — (15) .
Вопрос о границах применимости полуэмпирических уравнений' для плотности вероятностей концентрации в литературе практически не обсуждался (некоторые предварительные соображения содержатся в работах [7, 11 —13]). Причиной тому в первую очередь являются трудности при теоретическом анализе уравнений, а также неоднозначность в выборе критериев, по которым можно было бы судить, какое из уравнений «хорошее», а какое «плохое».
Ниже сделана попытка продвинуться в направлении решения указанного вопроса. При оценке гипотез замыкания будем руководствоваться следующими требованиями. (Большая часть этих требований в той или иной форме встречается в литературе. Подчеркнем, что их не следует рассматривать как полную или неизменную систему. Некоторые из них носят дискуссионный характер и при необходимости, могут быть уточнены, а сама система дополнена новыми.)
1. Гипотезы должны опираться на экспериментальные данные и существующие качественные представления о структуре турбулентных течений при больших числах Рейнольдса. При формулировке гипоте.з: произвол должен быть сведен до минимума. Гипотезы должны допускать прямую экспериментальную проверку.
2. Уравнения, полученные с помощью гипотез замыкания, долж--ны быть непротиворечивыми как с математической, так и с физической точек зрения (имеется в виду существование решения, выполнение условий неотрицательности и нормировки плотности вероятностей; еще' одно важное требование состоит в том, чтобы вычисленная из уравнений (1), (8) с помощью найденной плотности вероятностей и аппроксимации для ¡а условно осредненная скалярная диссипация (^)д^ была неотрицательной).
3. Решения уравнений не должны противоречить экспериментальным данным и, в частности, правильно описывать некоторые характерные предельные случаи. В качестве таких случаев можно указать следующие: а) стремление плотности вероятностей концентрации к плотности нормального распределения при релаксации в статистически однородном поле концентрации; б) стремление условной плотности вероятностей в турбулентной жидкости к автомодельной форме на краю струйных течений (т. е. в области, где существенна перемежаемость) — это условие соответствует экспериментально установленному факту слабой зависимости плотности вероятностей и ее моментов от поперечной координаты (подробнее об этом см. [1, 11]); в) стремление условной плотности вероятностей к автомодельной форме при больших значениях продольной координаты в струйных течениях [1, 11].
Перед тем как приступить к анализу полуэмпирических уравнений,. сделаем несколько предварительных замечаний, имеющих общий характер. Прежде всего, видно, что перечисленные выше замыкающие соотношения (за исключением (8), об этом замыкании см. [1, 11]) для-слагаемого, описывающего смешение до молекулярного уровня, имеют много общего с точки зрения выписанных выше требований.
Во-первых, они практически не опираются на экспериментальные-данные и в значительной степени являются произвольными. Так, например, относительно квазигауссовского замыкания (9) и (10) можно». заметить следующее. Поскольку, как известно, двухточечное распределение вероятностей концентрации при малом (по сравнению с ин-
т
'Тегральным масштабом) расстоянии между точками (а именно такое распределение вероятностей нужно знать, чтобы определить слагаемое, описывающее смешение до молекулярного уровня) принципиально отличается от нормального закона, то трудно ожидать, что соотношения (9) и (10) дадут удовлетворительные результаты. Сказанное в определенной мере подтверждается анализом, выполненным в работах [4, 5]. В них установлено, что при релаксации в статистически однородном поле концентрации информация о начальном виде плотности вероятностей сохраняется на всех временах эволюции. Более серьезный дефект квазигауссовского замыкания будет рассмотрен ниже. Главная цель, которая преследуется авторами при построении интегральных моделей (11) — (13), состоит в том, чтобы найти такие уравнения, которые допускали бы возможность численного интегрирования с помощью стандартных методов (имеющиеся на таком пути возможности а1родемонстрированы в работах [4, 8, 12, 13] и ряде др.).
Во-вторых, при формулировке рассмотренных замыкающих соотношений для члена /а отсутствует связь с фундаментальной теорией .локально однородной турбулентности Колмогорова—Обухова. В особенности это касается важных идей об универсальном равновесии и статистической независимости мелко- и крупномасштабного движений в развитом турбулентном потоке.
Обращаясь к аппроксимации конвективного слагаемого в уравнении (1), необходимо отметить, что ряд недостатков имеет и градиентная гипотеза (15). Первый состоит в том, что как нетрудно видеть, из (15) следует равенство коэффициентов переноса всех моментов поля концентрации. Этот вывод, вообще говоря, не согласуется с существующими полуэмпирическими теориями для моментов. В этихтеориях, 'Как известно, для лучшего согласования теоретических и эксПериментальных данных используются неодинаковые значения коэффициентов переноса средней концентрации и дисперсии пульсаций концентрации (см. например, [13]). Это еще в большей степени, как будет показано ниже, относится к описанию коэффициента перемежаемости. Второй ^недостаток градиентной гипотезы более принципиальный — соотношение (15) исключает из рассмотрения условно осредненную скорость (и>2, которую можно непосредственно измерить.
2. Анализ уравнения Фроста. Полуэмпирическое уравнение, предложенное в работе [4], получается с помощью замыканий (11) и (15):
(16)
Проанализируем в рамках уравнения (16) предельные случаи, указанные в критериях оценки применимости уравнений:
а) Релаксация плотности вероятностей в однородной турбулентности. Случай статистически однородного поля концентрации является, по-видимому, единственной задачей, доступной для полного теоретического анализа. Приступая к решению этой задачи, заметим, что этот случай является идеализацией процесса, имеющего место в ряде
технических устройств, например, в камере смешения, когда в канал постоянного сечения с помощью большого количества струй со скоростью, отличной от скорости спутного потока, в некотором сечении х0 подается примесь какого-либо вещества. Обычно эффекты турбулентного перемешивания в слоях смешения столь велики, что течение в камере быстро приобретает статистически однородный характер (т. е. поля средних параметров выровнены поперек канала, а остаются только пульсации скорости, концентрации и т. д.). В процессе смешения происходит монотонное уменьшение пульсаций концентрации, но значение средней концентрации не меняется, т. е. < 2) =const (предполагается, что в камеру нет дополнительного подвода вещества со стенок канала при х>Хо). При (х—Хо)—оо произойдет полное смешение до молекулярного уровня, т. е. пульсации концентрации обратятся в нуль, а концентрация примет значение, равное средней концентрации.
Описанный процесс соответствует нестационарному статистически однородному полю концентрации, если положить ¿ = (х—Хо)/и, где и — средняя по сечению скорость потока в канале. В однородном случае конвективный член в (16) равен нулю, и решение полностью определяется членом Из общих соображений, основанных на экспериментальных данных (см., например, [11, 12]), обычно считается, что при плотность вероятностей стремится к плотности нормального
распределения. Решение уравнения (16) этому требованию не удовлетворяет. Чтобы доказать это утверждение, найдем автомодельное решение уравнения (16). Внимание, которое уделяется автомодельному решению, объясняется тем, что, как будет показано ниже, решение уравнения (16) существует на всей полуоси ¿>0, а автомодельное решение является главным членом в асимптотическом разложении решения при по обратным степеням Ищем автомодельное решение в виде:
Р(2, 0 = 4" 5 = , о-+0, (17)
где g — функция, зависящая только от переменной 5. Различие между Р и Pt здесь отсутствует, так как при ¿-+<х>. Подчеркнем, что
асимптотика (17) несправедлива в малой окрестности точек г = 0 и 2=1. Подстановка (17) в (16) дает:
(Х(ё*У = /* (18)
Ш = Ф(!-Ф)-Т ё
ф = 5gdе, g=-ф', Ф(-оо) = 1, Ф(+ооу=о,
' (19)
Штрихом в (18) и (19) обозначено дифференцирование по я. Видно, что автомодельное решение существует только, если величина а — постоянная. В этом случае о — -а1-, и, следовательно, уравнение, описывающее вырождение пульсаций концентрации, имеет такой вид:
= — 2^аа3 = — 2(V), (^) = Р«« = . (20)
Из уравнения (20) следует, что функция р, фигурирующая в соотношении (11), имеет размерность, обратную времени и концентрации.
Решение уравнения (18) можно найти в явной аналитической форме и, тем самым, количественно определить отличие от гауссовской кривой. С этой целью дважды проинтегрируем (18) по 5 от текущего значения 5 до 5 = 00. После первого интегрирования получим:
= 2 (ий)', и = |(1 - Ф) 2= Ф = -Q'. (21}
Выполнив второе интегрирование, найдем:
я5Ф + r.J.Q = -— uQ.
(22)
Теперь учтем, что уравнение (18) инвариантно относительно преобразования s-).-—s, т. е. функция g четная. Следовательно, достаточно рассмотреть уравнение (22) при s>0. Интеграл в правой части (22) выражается через Q, если учесть, что сумма Ф (sj — Ф(- s) = r. = 1 (вследствие четности g);
s —s s 00 s
и = )(i = 1 ( 1-Ф)^е + 1 (i-= f ф^е + = q;+ s.
— oo —oo —s s 0
В результате, для Q получим:
r.J.sQ' + + Q2 - (+ s-a) H = 0.
(23)
Произведя в (23) замену переменной й = придем к уравнению с разделяющимися переменными:
(24}
решение которого 2 =
4а
s, О О,
Ф = - —--___L (1__íl—^ -L
d", 2 2 th (1) сЬ2 I th (1) ' I
/ \ / \ d.4> , ч ¿Ф g(s) = g(w) -y-- , g(w) =--=---
da
sh2
-
а l th <й )
+ CO
+ CO
(25}
Условие нормировки ^ = 1 и условие | gsds = О выполняются
—00
тождественно. Значение постоянной а определим, удовлетворив
+00
оставшемуся неиспользованным условию | з2 g =1. Получим:
a =
+ 00
j
d<»
-1/2
(26)
Расчет дает а~ 1,96-10-1. На рис. 1 изображено отношение плотности нормального распределения ¿<°) к плотности распределения (25). Видно весьма заметное отличие g от гауссовской кривой. Во-первых, £ в окрестности 5 = 0 принимает
большие значения, чем £<Л) (в) (О) =
_ 12 а
п
№
0,425; £(°>(0)^0,399) . Во-вто-
рых, g
1
4а2
ехр
( 2а
■ 00 т. е.
Рис. 1
£ падает значительно медленнее, чем га-
уссовская кривая. Об отличии £ (8) от гауссовской кривой можно судить и по коэффициенту эксцесса, который равен Е = 0,395 (асимметрия равна нулю в силу четности £).
Перейдем к доказательству двух утверждений, сформулированных перед рассмотрением автомодельного решения (17): 1) решение задачи Коши для уравнения (16) существует при всех ¿>0; 2) это решение «выходит» на автомодельное решение (25). Значение сформулированных утверждений состоит в том, что они придают конкретный смысл автомодельному решению. Если какое-нибудь одно из них не выполнено, то решение автомодельной задачи, если оно и существует, отношения к задаче Коши не имеет.
Установим вначале «приятное» свойство замыкания (11) — сохранение знакоопределенности плотности вероятностей: если в начальный момент ¿ = 0 плотность вероятностей неотрицательна, т. е. Р(г, О) >0, то Р (г, ¿) >0 и при ¿>0. Действительно, предполагая противное, допустим, что существует момент когда Р(г4)=0 и Р(2^<0 при ¿>¿1. Тогда, следовательно, дР (гь ¿^/¿¿<0. С другой стороны, из (16) вытекает:
дР{ги дЬ
■1а(* 1, О =} 5 Р (*') йг' | Р (2") йг" > О,
(26')
т. е. обратное неравенство. Получившееся противоречие доказывает утверждение о сохранении знакоопределенности плотности вероятностей. Аналогичным способом может быть доказано, что это свойство сохраняется и для остальных интегральных моделей.
Докажем теперь первое из приведенных выше утверждений. Для этого обратимся к общему решению нелинейного уравнения (16), найденному в работе [10] в явном виде:
<р =
-4-1 г <г> 1 -4- 'Ро ^ -1-1 ^ -- <г> | ^ 4 2 4
1 + 0
(27)
(* + <2>), ф= 1 ФЯ, Ф = |Рй6, 90 = ?(г, О).
-о
Функция ер, описываемая (27), ограничена при ¿>0. В самом деле, в силу неравенства фо<0 (это неравенство является следствием неотрицательности плотности вероятностей и доказывается с помощью тождественных преобразований
И
в
1+0
2еро = 2fo -z — (z> = (z > + %„-z = — J Ф0 dS- S фо dü +
-0 -о
z z 1+0 z
+ S ФО dü - S = - S ФО dS - S (1-Фо)^ < О;
-о -о Z -о
1+0 1+0
in CL Ф
zPdz = — I z az =
d<b
z -
-о -о
1 + 0
= J Фdz), знаменатель в (27) имеет единственный нуль z= ( z>.
- о
Это же значение z является и нулем числителя. Раскрывая неопределенность, получим lim ер = —t ■ Последнее выражение ограничено при ®0 < О, t > О.
Таким образом доказано, что решение (27) ограничено при всех t> О. Асимптотика ер при t -+00 вне малой окрестности точки z = ( z) имеет вид:
ep-+(l/2)|z—(z>|. (28)
При конечных значениях произведения |z—(z ) I t* асимптотика ер при t -+00 описывается выражением:
? 200 — - ' = z -(z) I i.. (29)
Асимптотика Ф находится из соотношения -^ср- = Ф--2 :
Ф ---+ sgn (z - (z) )
1 th ш cli2 со ] th"" ' t -+00" (ЗО)
Видно, что (ЗО) совпадает с автомодельным решением (25) и при этом а =
Следовательно, решение задачи Коши для уравнения (16) всегда «выходит» на автомодельную асимптотику (25).
Остановимся еще на одном важном вопросе. Проверим, сохраняет ли замыкание (11) неотрицательность условно осредненной диссипации < г, фигурирующей в точном выражении для члена /а /й =
= — —(-/V)/, г Pt (г). Для выполнения такой проверки потребуется
уравнение для функции 'Ф, которое следует при использовании (18). Чтобы получить это уравнение, рассмотрим уравнения для уо, и [1]:
1Г_ -1^ = ^(г)[6(г-1)-6 (г)]; (З1)
= _'1 [£ г Р]г=0 ; (З2)
Проинтегрируем (31) по г от г до 1:
-Т =1 <л),г Р-1 [*• <А>,гР]г=1, Ф, = 5 ^ (34) Из (32) и (34) находим:
дФ
Проинтегрируем (35) от О до г:
^ =-1 ^ -1 [(Л/),,. ^]г=с,
Ф, = 5 ф, ¿е, ф = Ъ г +
(35)
(36)
Второе слагаемое в (36) равно нулю, так как ниже показано, что
г=С= = О.
Заметим, что это слагаемое равно нулю и при 2 = 0,
2 = 1, поскольку тогда = 0 при г=0 и г = 1 [1]. Если теперь
даФ> д* Ф п ^ ^ 1 учесть, что = "Тьг' 0<. 2 1, то окончательно для ф получим
дг" дф
2 >
0<2<1.
(37)
Сравним (37) с уравнением для 'Ф, полученным при использовании гипотезы (11):
ЧГ = Р71» = +
(< * ) - г)2
= + ( < 2 ) -Ф)(г -ф). (38)
В результате найдем
(Л>,.« = -р/ф
(39)
Функция < г, описываемая соотношением (39), неотрицательна (поскольку -I2- = — Р<0, /ф> О, 0< 2 < 1; неравенство
/ф > О —следствие Р> О, так как при Р> 0 справедливы неравенства ф<<г) и ф<г, т. е. (ф—<г))(ф — 2)>О) ив граничных точках обращается в нуль:
(Л),.г = 0, г = 0, г = 1.
Найдем <А>/, г, для двух предельных случаев: 1) на начальном этапе релаксации при смешении отдельных «кусков» примеси вещества, в которых г= 1, с окружающей средой, в которой г = 0, т. е. Р(г) = = У1б(г—1) +уоб(г), ¿=0; 2) при больших временах релаксации, когда плотность вероятностей близка к автомодельной асимптотике (25).
В первом случае 'Фо=г<г>, <г>=уь Асимпотика 'Ф, как это вытекает из (38), имеет вид:
Ф - + (Фо - <2 ) )(1\1о - 2 ¿*=<2)2 +
/ О.
Следовательно:
Ф= -Ц- <г) (\-<г))(\-2г)/%,
11 = Ф(1 —0)-+ (г)--Т (г)(\—(г))1*.
Подставляя в (39) асимптотики для ф и из (40) и (41), получим:
(Я),,, 2(1-= в<Я),г(1-г), <Я>/ = £ .
Таким образом, в рассмотренном случае зависимость (М)/,г от г является квадратичной.
Во втором случае, учитывая (7), (25), (29), найдем: при Ь — ж
2(02 1 1 . , ■ ор/. «2 1 1
Используя (20), перепишем полученное выражение в безразмерном ¡виде:
п -2аТО1, п (О) = 24а2 :: 0,925,
g shJ (0 ^ № <о ' у ' ' '
п (5) 2ях, 5 со, Ь — 00 ;
б) Решение в струйных течениях. Уравнения для функций 1'о, у, в струйных течениях имеют вид (обозначения общепринятые, в частности, г'=0 — плоская струя, ¿=1 — осесимметричная струя, х=хх, У =Х2, И = И,, ^ = «2)'.
(То) = —I" То < г > =-Ч>; (42)
¿("{0 =--Т1(1-(г)) = -т,; (43)
Ь("{ . . . Р (44)
!а№), Р=Р(х)[6(г)- 6(2-1)]; (45
Ь( <г )) = 0, I = (и) -дХ- + < V ) £ - УГУГ -ду Л й, -¡у. (46)
Для пояснения укажем, что уравнения для 1'о и 1'1 получаются с помощью интегрирования уравнения (|16)
ностях точек 2=0 и 2=1 соответственно и использовании (4). При этом:
+ о 1 + 0
-о 1-0
Характерной особенностью системы (42)—(46) является независимость уравнений (42) — (44) и (46) для 1'о, уь у и <2> от уравнения (45) для плотности вероятностей р (заметим, что аналогичным свойством обладают и другие интегральные модели для /¿). Следователь-
но, 10' 11> 1 и < г) можно определить, не решая уравнений для плотности вероятностей. Сравним уравнения (42) и (43) с уравнениями для тех же характеристик, предложенными в работах [15, 16] на основном участке струи, где "(1;: О, (г);: 1 <2>г Выражение для источника ^ в (42) здесь принимает вид (т, ::0, т «т0) т0 да 1 (1 -1). Видно, что это соотношение весьма близко к аппроксимации, предложенной в работах [15, 16]. В связи с этим обстоятельством приведем один из основных результатов, полученных в этих работах. Там показано, что для согласования результатов расчета с измерениями коэффициента перемежаемости необходимо использовать специальный вид коэффициента переноса в уравнениях для
— (1 -1)Я,-
Существенно, что варьированием функционального вида источников 1Щ и т4 в достаточно широком диапазоне при Dт;:Dt указанного согласования достичь не удается. Пример сопоставления расчета коэффициента перемежаемости на основном участке осесимметричной струи с экспериментальными данными при и Dт — (1—1)0,,
иллюстрирующий сказанное, приведен на рис. 2 (спошная кривая — расчет при Dт — (1 -1) штрихпунктирная — при — О,). Аналогичные результаты получаются и для других струйных течений — плоской струи, следа за круговым цилиндром и слоя смешения.
Рассмотрим теперь решение (45) на края струи, т. е. в области, где Соображения, изложенные в работе [1], показывают, что в
этой области условная плотность вероятностей Р^г) описывается автомодельным соотношением:
РДг) = ^(2)0(2), С — <*) =1(*),. (47)
Подставляя (47) в (45) и выполняя преобразования, в которых используются уравнения дляу
ся из уравнений для <г> и если учесть, что (г) =1 <£>,, 1 ..
I (1)=2т1<*>,, I (<*),) = - 20,г1 туту - ?, (48)
и асимптотика (11) при ,,--0
.. Рт (/ - + /<); / =5 /ч,
придем к такому уравнению
Штрихом в (49) обозначено дифференцирование по
Предположение (47) выполняется, если только величина R — постоянная. Чтобы сделать оценку поведения величины R при необходимо найти из (48) асимптотику <z>t при у-+оо. Соответствующие выкладки приведены в работе [24]. Там показано, что:
а) <z)--1/ln(y/d) — в следе за круговым цилиндром;
б) <z>t—1/(y/d)—в плоской струе;
в) (Z>-- 1/(y/d)2 — в осесимметричной струе. Таким образом,
1 (д 0>Д2 о
в плоской струе и следе за цилиндром <—f У ^ °°>
в осесимметричной струе l/<z)?(d (z)t/dy)2 const, у ->-00. Следовательно, если Dt и р не зависят от поперечной координаты (предположение, сделанное в [1OJ) , то параметр R отличен от нуля только в осесимметричной струе. Но и в этом случае, как показано в 124], R« 1.
Уравнение (49) после дифференцирования принимает вид
/" + (3 + C)f + 3/= R (С2 Л"- (50)
Так как R^I, то ограничимся анализом случая R=O:
СО + 3G =О, О =/ -т /'. (51)
Нормированное решение (51), имеющее физический смысл (неотрицательность f, существование у f моментов всех положительных порядков) единственно и описывается экспоненциональной функцией
/= ехр (- С). (52)
При малых R приближенное решение (50) может быть получено методом возмущений. Начальным приближением при этом служит решение (52).
Второй момент
О <z>t <z>t
плотности вероятностей (52) равен 12 = 2, что заметно выше, чем значение /2~ 1,3, полученное в экспериментальных работах (см. [18]).
Условно осредненная скалярная диссипация < Л)(. г, соответствующая плотности вероятностей (52), как это следует из (39), дается следующим выражением (асимптотика /0/, у — О для плотности вероятности, описываемой соотношением (52), имеет вид 10/ ^ -— т < z)? С/):
+ < z)?C= + р < z)?z>0.
Следовательно, для скалярной диссипации < Л) в этом случае имеем < Л>( -2"- р < Z>3. С использованием этого результата параметр R в (50) можно записать в виде R = Dt^| <Л>„ из которого видно, что он представляет собой отношение порождения 16
пульсаций концентрации по вполне турбулентной жидкости к условно осредненной скалярной диссипации.
Из выражения для <N>Í и приведенных выше результатов для асимптотики <г>г при следует, что для функции не завися-
щей от поперечной координаты, скалярная диссипация при стремится к нулю. В связи с этим отметим, что известные экспериментальные данные свидетельствуют в пользу того, что значения <N>f растут при удалении от оси или плоскости симметрии [1].
В заключение этого пункта кратко остановимся на некоторых из: свойств интегральной модели (12) для члена Уравнения для и здесь имеют вид (1— масштаб турбулентности)
¿(То)=-Р1о. ¿Ы^-Ргь ¿(1)= Р(1 -1)-
Функциональный вид источников в уравнениях (53), как следует' из приведенного выше анализа, крайне неудовлетворителен. В частности, в области на краю струи уравнение для автомодельной плотностш вероятностей / вырождено (при использовании градиентной гипотезы [15]):
У этого уравнения нет решений, имеющих физический смысл.
3. Анализ уравнения Допазо. Уравнение для плотности вероятностей концентрации, предложенное в работе [5], получается с помощьЮ> квазигауссовских замыканий (9) и (14):
(53)'*
}
< «>г= < и) + дз-2(г- < г)).
Один недостаток этого уравнения указан в работе [4]. Он заключается в том, что при релаксации в однородном случае решение «помнит» начальные условия и поэтому не стремится к гауссовскоа кривой при В работе [14] выявлен другой серьезный дефект
уравнения работы [5] — отсутствие автомодельных решений в струйных течениях. Перед тем как доказать это утверждение, заметим, что правая часть уравнения записана без учета перемежаемости; чтобы учесть. перемежаемость, ее надо записать в виде (10):
Автомодельная плотность вероятностей Pt имеет вид (см. подробнее [11, 14]:
У
Л(г,х,у) = /(С,£), Р, = ^6(г), С= г
, е =
I =х — в струях, I У (¡х — в следе за цилиндром.
5«
2— «Ученые записки» № 3
На линии 6=0 (т. е. на оси плоскости симметрии) для функции 1 имеем
ггде
(54)
Л' ..
а= —, А:
тт
Здесь штрихом обозначено дифференцирование по т — отношение удвоенной скалярной диссипации к абсолютному значению адвекции. ,В плоской струе т»1,84, в осесимметричной т»2, в следе т»2,6 (см. (1, 11, 14]). В рассматриваемых случаях /2»/—1/Л2 и урав-
нение (54) можно записать в следующем виде:
= т - 1 + + *' ( , 1. т — (т — 1) С
(55)
Правая сторона уравнения (55) обладает двумя «неприятными»
'Свойствами: 1) знаменатель дроби обращается в нуль при — >0,
т — I
т. е. в области определения /; 2) предел дроби при равен
А2/(т—1) >0. В силу этих свойств у уравнения (55) отсутствуют решения, имеющие физический смысл (этот вывод остается в силе и при а также при уточнении поведения условно осредненной ско-
рости <и >г в области больших амплитуд пульсаций концентрации [1, 19]).
Интересно отметить, что, несмотря на рассмотренный дефект, уравнение работы [5] имеет автомодельное решение на краю струи, и оно совпадает с решением (52), полученным с помощью уравнения работы [4]. Действительно, при из уравнения работы [5] для / получим:
где
а =
/2-1
[(С-!)/]' + (а -Ь :)/=0,
<м>
[ <«>_* + <*> - ___
[ дх ду у'
д?
1 д
ду
(56)
<*>? 1
<Ы> у' ду
Здесь а и Ь — постоянные.
Перепишем уравнение (56) в таком виде
- а — (/3-1)-1-а/^1 (
/
(-1
(57)
Условие ограниченности / при £= 1 дает связь между а и вторым моментом 12'-
Подстановка (58) в (57) приводит к уравнению: решение которого:
Л=(/2- 1) ехр[(/2-1)С] . Используя определение второго момента Ь, найдем:
/2=^/::^С = 2(/2-1)2. (59)
u
Корень (59), удовлетворяющий неравенству /2>1, есть 12=2. В результате приходим к (52).
4. Анализ уравнения Недоруба и Щербины. Уравнение работы [9] получается с помощью замыканий (8) и (15)
Уравнения и граничные условия по г для условной плотности вероятностей Р(, уо и у1 в струйных течениях имеют вид [1]:
1(1 р = -1 , Р,(г) = р(2) [6 (2) - 6 (г - 1)],
ог2
Р (О) = Г(1) = О, ¿(10)= -1 < ---- , ^ (1,) =
(60)
Оператор £ выписан ранее в (42) — (46). Уравнение (60) прямо пара-болично по координатам х и у и обратно параболично по х и г. В однородном случае оно является обратно параболическим уравнением. В математической литературе нет указаний как поставить краевую задачу для уравнения типа (60) в общем случае неоднородного струйного течения.
Ниже на частном примере показано, что решения уравнения (60) не всегда удовлетворяют требованиям, предъявляемым к плотностям вероятностей.
Рассмотрим течение в спутной струе (плоской или осесимметрич-ной) и предположим, что <и> = сопэ1:, <и>=0, и <N>( не зависят от у. Будем искать решение уравнения (60) вида:
1 Р = <г> П (г, х), П (О, х) = П (1, х) = 0. (61)
Функция П по предположению не зависит от у. Подстановка (61) в (60) и использование уравнения Ь (<г>)=0 дают:
^ ^ йп а2 Т1
<и>-— = _ <ЛГ • (62)
дх 022
Таким образом, вместо (60) получим обратно параболическое уравнение. «Начальное» условие для (62) ставится при х=00. При постановке «начального» условия требуется некоторая осторожность — условие (г), х-+оо здесь ошибочно. Чтобы найти правильное «на-
чальное» условие, обратимся к соотношениям i , i
S П
dZ :
<z>t
00,
S z П dz = 1 ,
(63)
которые являются соответственно условием нормировки и определением < г >t (при записи (63) учтено, что < <г > при х-+00).
Из (63) и граничных условий П (О) = П (1) = О в (60) заключаем,.
что при х = 00 (напомним, что J 8 (z) dz =1/2):
П = — 28' (z), х = 00 .
(64)
Решение обратной задачи Коши (62) и (64) находится с помощью метода Фурье:
п
= L Ап (х) sin rcnz, An (00) = 2r. n.
(65}
Из (62) получим:
<и> = n2 <N>t А„ (х),
dx
Ап = Ап (оо) ехр [_*» П g (х)] , g (х) = f<N>, <u>-»di .
(66)
Интеграл в (66) сходится, так как <N>t при затухает быстрее,.
чем 1/х [1].
Таким образом, решение обратной задачи Коши (62) и (64) имеет
вид:
00
1 F = < z >2 2п n sin п nz ехр (_*2 п3 g) . (67}
n= 1
Формула (67) и выписанные далее выражения (68) и (69) для у и yi получены в работе [9] более громоздким и искусственным путем.
Коэффициент перемежаемости у найдем, проинтегрировав (67) по-
z и использовав условие нормировки Р:
00
1 =< z > Г (х), Г (х) = 2 L [ 1 ~(_1)п] ехр — П g). (68)
л=1
Как показывают выражения (67) и (68), в рассматриваемом частном случае решение F не зависит от у.
Вероятность yi найдем из уравнения (60)
<u>±^=<N>ld-ni), ii=<z>r,(x).
ох ог
(69}
Подставим в правую часть (69) соотношения (65) и (66). После интегрирования получим:
1\ (х) =2 £ (- 1)" ехр П 1 . (70}
п= 1
Проанализируем асимптотику решения при х-оо, Исследование
1+0
асимптотики упрощается, если ввести функцию Ф=5 Р = + "Ф*,
2
1
Ф, = 5 Т Выражение для Ф следует из (67) и (70) 2
Ф = < г> 08 ('" | т), V = г/2, = г .
Здесь 8з — тэта-функция (21]. Используя формулы преобразования тэта-функций (21], найдем, что при Х-+ОО вне малой окрестности 2= 1 главный член асимптотики имеет вид:
Ф -'>ТФ, < г> -)= ехр (---=) ,
V 4g/
Из условия нормировки Фг (О) = 1 следует, что
1-+ , <г>Ф, ехр (-£) . (71)
У решения (71) есть несколько недостатков. Во-первых, условие у<1 выполняется только при некотором ограничении на функцию g (и, следовательно, на скалярную диссипацию <М>г). Во-вторых, согласно (71) ширина профилей средней концентрации и коэффициента перемежаемости одинакова, что противоречит экспериментальным данным, рассмотренным выше (см. рис. 2). Последний из недостатков, связан с несовершенством градиентной гипотезы (15).
Асимптотику для плотности вероятностей Б найдем, продифференцировав по 2 функцию Фг в (71):
г г ~ „ /г2 \ 1 я г С' »
Р-+-ехр--) =--Се4 , С =
2g \ 4g/ 2
Следовательно, асимптотика плотности вероятностей (отметим, что эта асимптотика непригодна вблизи 2= 1) имеет автомодельный вид:
Т —— / (С), /(С) = — Се-':. (72)
О* 2
4
Второй момент плотности вероятностей (72) равен 1 = — « 1,273.
т.
Асимптотика плотности вероятностей, пригодная в окрестности г= 1, как показано в работе [14], описывается соотношением
^ " к (2-2)
Р Т <¿>5 {ге 4 <г> ~ (2 _ 2) ^ =
1
<г>1
Р(1) = О,
(73)
Здесь / — автомодельная функция (72). Выражение (73) можно получить и более простым способом. Для этого заметим, что уравнение
(60) не меняет вида при преобразовании концентрации 2-+—е + Ь, Ь = = const. В этом случае можно применить метод отображений, и соотношение (73) становится очевидным (сделано отображение относительно 2= 1).
5. Результаты анализа уравнения Кузнецова. Исследование уравнения, предложенного в работе [2], проведено в работах [1, 25]. Главную роль при замыкании уравнения играет гипотеза о статистической независимости мелко- и крупномасштабного движений в развитых турбулентных течениях. Эта гипотеза является центральной в теории локально-однородной турбулентности Колмогорова — Обухова. Существенно, что используемые в работах [1, 2] гипотезы замыкания допускают прямую экспериментальную проверку.
Установлено, что решения уравнения хорошо согласуются с экспериментальными данными. Показано, что во всех точках турбулентных течений коэффициент перемежаемости строго меньше единицы. Установлено, что перемежаемость определяет структуру решений уравнения. во всех областях потока, в том числе и в тех, где она считалась несущественной. С помощью численных расчетов показано, что в свободных турбулентных течениях распределение вероятностей имеет достаточно общий характер: в тех областях, где перемежаемость незначительна, оно близко к нормальному, а на краю потока, т. е. там, где перемежаемость существенна, оно заметно отличается от нормального, но также универсально и определяется одним параметром — условна осредненной концентрацией по турбулентной жидкости. Ширина области, в которой происходит перестройка распределения вероятностей от . одного универсального вида к другому, весьма мала.
Подробности анализа и сопоставление теории с экспериментальными данными содержатся в работах [1, 25].
ВЫВОДЫ
1. Проведен критический анализ известных методов замыкания уравнения для плотности вероятностей концентрации. Сформулированы основные требования, которым должны удовлетворять гипотезы замыкания.
2. Теоретический анализ полуэмпирических уравнений для плотности вероятностей позволил установить следующие новые факты:
а) существующие интегральные аппроксимации слагаемого, описывающего процесс смешения до молекулярного уровня, приводят к уравнениям, решения которых при релаксации в статистически однородном случае не стремятся к плотности нормального распределения; на примере уравнения из работы :[4] показано, что количественные отличия от нормального распределения могут быть весьма значительными;
б) градиентная гипотеза для конвективного слагаемого в уравнении для плотности вероятностей концентрации приводит к большим количественным ошибкам при описании коэффициента перемежаемости в турбулентных струйных течениях;
в) комбинации различных замыкающих гипотез могут приводить к уравнениям, имеющим серьезные дефекты как с чисто математической, так и с физической точек зрения; в частности возможны такие варианты: 1) решения уравнений не удовлетворяют требованиям, предъявляемым к плотностям вероятностей; 2) отсутствуют автомо-
дельные решения в струйных сечениях. Среди известных полуэмпирических уравнений уравнение, полученное в работе [2] и уточненное в работах [1, 25], наиболее обосновано с физической и математической точек зрения и дает лучшую точность описания экспериментельных данных.
ЛИТЕРАТУРА
1. Кузнецов В. Р., Сабельников В. А. Турбулентность и горение. — М.: Наука, 1986.
2. Ку з н е ц о в В. Р. Вероятность концентрации пассивной примеси: в турбулентных потоках с поперечным сдвигом. — Изв. АН СССР, МЖ,. 1972, № 5.
3. Ку з н е ц о в В. Р., Ф р о с т В. А. Распределение вероятностей концентрации и перемежаемость в турбулентных струях. — Изв. АН СССР, МЖГ, 1973, № 2.
4. Ф р о с т В. А. Модель турбулентного диффузионного фронта пламени. Изв. АН СССР, Энергетика и транспорт, 1973, № 6.
5. D о р а z о С. Probability density function арроаЛ for а heatecr turbulent axisymmetric jet. Centerline evolution. Phys. FJuids, 1975-,.. vol. 18, N 4.
6. Р о р е S. В. The ргоЬаЫШу approach to the modelling оГ turbulent reacting flows. Combustion and Flame, 1976, vol. 27, N 3..
7. D о р а z о С. Relaxation of initial ргоЬаЫШу density functions in the turbulent convection of scalar fields. Phys. Fluids, 1979, vol. 22,, N 1.
8. J а n i с k а J., К ol Ь е W., К о 11m а n W. Closure of the transport equation for the probability density function of turbulent scalar-fields. J. Non. — Equalib. Thermodyn., 1979, vol. 4.
9. Н е д о р у б С. А.. Щ е р б и н а Ю. А. Аналитические решения' уравиения для одноточечной фуикции распределения вероятностей кои-центрации в турбулентиых течениях. — Депоиированная рукопись, ВИНИТИ, 1979, № 3406-79.
10. Н е д о р у б С. А., . Ф р о с т В. А., Щ е р б и н а Ю. А. Расчет турбулентной диффузии и гомогенного турбулентного факела на основе статистической модели. —Депонированная рукопись, ВИНИТИ, 1979, № 3405-79.
11. Кузиецов В. Р., Сабельников В. А. Перемежаемость и распределения вероятностей концеитрации в турбулентных потоках. — Успехи механики, 1981, вып. 4, №г 2.
12. Турбулентные течения реагирующих газов. —М.: Мир, 1983.
13. Методы расчета турбулентных течений. —М.: Мир, 1984.
14. С а б е л ь н и к о в В. А. Теоретическое и численное исследование распределения вероятностей концентрации в свободных турбулентные течениях. — Физ. горения и взрыва, 1982, т. 18, №г 2.
15. С а б е л ь н и к о в В. А. К вопросу об описании свободных турбулентных течений с учетом явления перемежаемости. — Труды ЦАГИ, , 1979, вып. 1998.
16. М е щ е р я к о в Е. А., С а б е л ь н и к о в В. А. Полуэмпирическая модель и расчет коэффициента перемежаемости в турбулентных' струйных течениях. — Физ. горения и взрыва, 1984, т. 20, №г 4.
17. М е щ е р я к о в Е. А. О соотношении коэффициента турбулентной диффузии среднего значения скалярной величины и ее пульсаций в. свободных струях. — Ученые записки ЦАГИ, 1974, т. 5, №г 1.
18. В е с k е r Н. А., « о t t е l Н. :S., ! W i lli а m s G. S. ТЬе-nozzle-fluid concentration field of the rund turbulent free jet. — J. Fluid' Mech., 1967, vol. 30, pt. 2.
19. С а б е л ь н и к о в В. А. Распределение вероятностей концентрации пассивной примеси в слое смешения. — Ученые записки ЦАГИ, 1982,.. т. 13, №> 5.
20. Ку з н е ц о в В. Р., Л е б е д е в А. Б., С е к у н Д о в А. Н.,. С м и р н о в а И. П. Исследование квазистационарного турбулентного горения с использованием уравнения для функции распределения плотности вероятностей концентрации. — Изв. АН СССР, МЖГ, 1981,. №г 4.
2Й
21. Высшие трансцендентные функции. (Эллиптические и автоморф-гные функци. Функции Ламе и Матье). — М.: Наука, 1967.
22. W у g nans k i 1., Fiedler Н. Some measurements ill the self-preserving jet. — J. Fluid Mech., '1969, vol. 38, pt. a
23. S h а u g h,n е s s у Е. J., М о r t о n J, В. Laser light-scattering ¡measurements of particle concentration 'in а turbulent jet. — J. Fluid Mech., 1977, vol. 80, pt. '1.
24. С а б е л ь н и к о в В. А. Анализ полуэмпирических гипотез, используемых при замыкании уравнения для плотности вероятностей концентрации. Депонированная рукопись, ВИНИТИ, 1985, N2 7212.
25. К u z n е t s о v V. R., S a b е I'n i k о v V. А. Turbulence aiid »combustion. — Hemisphere, 1990, р. 362.
Рукопись поступила 13/V/ ' /990 г.
