CC BY
6
УДК 517.956.224
О СМЕШАННОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ДИССИПАТИВНОГО УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА В ДВУМЕРНОЙ ОБЛАСТИ С РАЗРЕЗАМИ С УСЛОВИЕМ ДИРИХЛЕ НА РАЗРЕЗАХ
П. А. Крутицкий, В. В. Колыбасова
(.кафедра математики) E-mail: [email protected]
Изучается задача Дирихле-Неймана для диссипативного уравнения Гельмгольца в многосвязной плоской области (внешней или внутренней), содержащей разрезы. На замкнутых кривых задано условие Неймана, а на разрезах — условие Дирихле. Доказаны существование и единственность решения. Получено интегральное представление решения в виде потенциалов. Задача сведена к однозначно разрешимым интегральным уравнениям.
Задачи в областях с разрезами используются в прикладных науках для моделирования физических процессов в областях с трещинами. Разрезы моделируют трещины, крылья, экраны, длинные отмели, волнорезы в механике и технике. Задачи Дирихле и Неймана для диссипативного уравнения Гельмгольца в областях с разрезами изучались в работах [1, 2].
На плоскости х = (х±,х2) € R2 рассмотрим многосвязную область, ограниченную простыми разомкнутыми кривыми Г},..., Гдг е С'2,х, Л е (0,1], и простыми замкнутыми кривыми Т\,..., Г^ € С2,0 так, что кривые не имеют общих точек, в том числе и концов. Будем рассматривать случай как внешней, так и внутренней области, когда кривая Т\ охватывает все остальные. Положим
JVi N2
Г1 = U Г*, Г2 = U Г2, Г = Г1 U Г2. Связную
п=1 п=1
область, ограниченную Г2 и содержащую Г1, обозначим V, так что дТ> = Г2, Г1 с V. Предположим, что каждая кривая Г^ параметризована
длиной дуги s: Г^ = |ж: х = x(s) = (®i(s), жг(в)), s е |, п = 1,..., Nk, к = 1,2, — так, что
a{<b11<...<a1Ni<b1Ni<ai<bi<...<a2N2< Ъ%2 и область V остается справа при возрастании параметра s на Г2. Совокупности отрезков оси Os
1Vi 1V2 2 Nk
U ь«]. U [<& ь2п], и U К., ь«] также бу-
п=1 п=1 к=1 п=1
дем обозначать Г1, Г2 и Г соответственно. Положим С0 (Г2) = {^(e): T(s) е С°[а2п,Ь2п],
ч 1Ъ
J~ (я2) = Т{ъ2п)\ И С0 (Г2) = П с0 (Г2). Век-
J п=1
тор касательной к Г в точке x(s) обозначим тх = (®i(a),®£(a)). Пусть пх = (x'2(s), -®i(a)) -вектор нормали к Г в x(s). Будем рассматривать Г1 как совокупность разрезов. Сторону Г1, остающуюся слева при возрастании параметра s, обозначим (Г1)4-, а противоположную сторону — (Г1)-. Будем
говорить, что функция и(х) принадлежит классу гладкости К, если
1) и е С0 \ Г1) П С2 (РХГ1) и и(х) непрерывна на концах разрезов Г1,
2) V« е С0 (V \ Г1 \ Г2 \ Л") , где X - совокупность точек, состоящая из концов Г1:
Х= и [®К)и®(ь1)],
п=1
3) в окрестности любой точки х{й) е X для некоторых констант С > О, е > — 1 выполняется неравенство
(1)
где х ^ х{<£) и й = а\ или й = Ь\, п = 1,..., N1,
4) существует равномерный по всем х(з) € Г2 предел (пх,Ухи(х)) при стремлении х е V \ Г1 к жеГ2 по нормали п^.
В определении класса К и(х) и \7«(ж) непрерывно продолжимы на разрезы Г1\Х слева и справа, но могут иметь скачок при переходе через Г1 \ X.
Задача и. Найти функцию и(х) из класса К, удовлетворяющую уравнению Гельмгольца
иХ1Х1{х) + иХ2Х2(х) + ß и(х) = О,
ж£1)\Г11 ß = const, Im/3 > О и граничным условиям
«0Ф))1(Г1)+ = F+(s)i «(®(*))|(Г1)- =
du(x(s))
(2)
дпх
г2
= F(s).
(3)
Если V — внешняя область, добавим условие на бесконечности
и
= о(|Ж|-1/2), |Уи(ж)| =о(|ж|"1/2),
х\ = а/ X2 + ж|
(4)
Все условия задачи U должны выполняться в классическом смысле.
Методом энергетических тождеств [3, 4] можно доказать следующую теорему.
Теорема 1. Если Г1 е С2,Л, А е (0,1], Г2 е С2,0, то задача U имеет не более одного решения.
Ниже будем считать, что
F+(s),F-(s)eC1-x(Г1), F(s) 6 С°(Г2), А е (0,1],
(5)
F+ (4) = F- (4) , F+ {bl) = F- {bl) ,
(6)
n = l,...,JVi.
ь»
Под f ... da мы понимаем Yln=i J ■■■der.
Рассмотрим угловой потенциал из [5] для уравнения (2) на Г1:
v\[v}(x) = - J v(a)V(x,a)da. г1
(7)
Ядро V(x, а) задано на каждой кривой Г* п = 1,..., iVi, по формуле
<т
V(x,a) = f Л-П^(к\х-у(0\)^,
где \х - у(£)| = у/[х! - yi(0}2 + [®2 - 2/2 (£)]2 — функция Ханкеля первого рода [6]
(1) _ -\/2 ехр(гг — ¿7г/4)
(Z)- Vi Х
оо _ -1/2
х I ещу^Г1'2 + Л.
о
Далее будем предполагать, что р{а) принадлежит С0'^!11) и удовлетворяет дополнительным условиям
i>(a)da = 0, n = l,...,Ni.
(8)
Как показано в [5], для таких г/(а) угловой потенциал VI[р] (х) принадлежит классу К. Кроме того, интегрируя VI [р] (х) по частям и используя (8), выразим угловой потенциал через потенциал двойного слоя v1[v)(x) = / р{а)^и$Хр\х-у{а)\)<1а
гх
с плотностью
р{о)= l v{g)d£, <т е [а*, 6*] , n = l,...,JVi.
(9)
Следовательно, У]\у]{х) удовлетворяет уравнению (2) вне Г1 и условию на бесконечности (3).
Решение задачи и ищем в виде
и[1',1л](х) = у1[1'](х)+и]\р](х), (10)
где VI [р](х) — угловой потенциал из (7); кроме того,
= | / 11{с)и$Хр\х-у{а)\)йа.
Будем искать ¿¿(s) в пространстве C^iT1) П С°(Г2), we (0,1], g е [0,1), с нормой Ц-Цс^г1) + + 11'11с°(г2) • Будем говорить, что ¿¿(s) бС^Г1), если fii(s) е C^r1), где
iVi п=1
Норма в CqiY1) вычисляется по формуле НМОНс^Г1) = 11^1(')11с0^(Г1) •
Используя результаты работ [4, 5], можно проверить, что функция (10) удовлетворяет всем условиям задачи, кроме граничных условий (3).
Для того чтобы удовлетворить граничным условиям, подставим (10) в (3) и получим систему интегральных уравнений для плотностей ¿¿(s), v{s)
+ 1 / "(*)V(x(s),<T)da +
г1
lx{a)uf){ß\x{s)^y{a)\)da =
= F±{s), s er1
(11)
д
Г1 i
—V(x(s), f) der +
önx
4 / ^¿«¡.^ФЬуН!)^
n{s)
= F(s), s er2
(12)
где р(з) дается формулой (9). Чтобы вывести формулы для предельных значений углового потенциала, мы использовали его выражение в виде потенциала двойного слоя. Уравнение (11) получено при х х(з) е (Г1^ и объединяет два интегральных уравнения. Верхний знак отвечает интегральному уравнению на (Г1)4-, нижний — на (Г1)-. Вычитая интегральные уравнения (11) одно из другого и используя (9), находим
p(s) = [F+(s) - F-(s)] е С^СГ1), v(s) = IF'+(s) - F'-(s)} e СО'^Г1),
(13)
где Р'±(з) = ■¿¿7±(з). Заметим, что г/(з) удовлетворяет всем необходимым условиям, в частности (8).
Введем функции fi(s) и /2(5):
ЛОО^^ОО + ^ОО]-
-lJ[F'+(<T)-F'-(<T)]V(x(s),<T)d<T, s е Г1,
Г1
f2(s) = F(s)^l7 f v(a)-^V(x(s),a)da =
г1
т, \ 1 I < \ д 9
Г1
«ег2.
Как показано в [5], /1(5) € С1,Ро(Г1), где ра = А, если 0<А<1,иро = 1 — ео для любого ео е (0,1), если А = 1. Очевидно, что /2(5) € С°(Г2).
Складывая интегральные уравнения (11) и учитывая (12), получим интегральные уравнения для ¿¿(з) на Г1 и Г2:
| /К^Щ(о )(Р\х(з)^у(а)\)ёа = Мз), з <Е Г1,
(14)
+I ^(а)¥2(з,а)ёа = ^2Ш, в (Е Г2, (15) г
где ¥2{8,а) = - у(а)\) е С°(Г2 х
х Г), так как Г2 е С2,0 (подробнее ем. [5]).
Если 5 е Г2, то (15) — уравнение второго рода. Если « е Г1, то (14) — уравнение первого рода и его ядро имеет логарифмическую особенность
при 5 = а е Г1, поскольку (г) = ^ 1п ^ + к(г),
где, согласно [6], Н(г) € С1,Р1[0, +оо) для любого Рг £ (0,1). Запишем (14) в виде
fi(a)Yi(s,a) da = f^s),
—— / ß(a) In |s — a\da ■ 2tt
r1
где
Yi{s,a) =
s^Y1
-h(ß\x(s)^y(a)\),
(16)
ser1, er er1,
lH(0L)(ß\x(s)^y(a)\), ser\ CT er2.
Из [5, лемма 3] следует, что ^Ух(з,сг) е С°'Р1(Г1хГ) при любом рх е (0,1).
Из приведенных рассуждений вытекает следующая теорема.
Теорема 2. Пусть Г1 е С2,А, Г2 е С2'0 и выполнены условия (5), (6). Если уравнения (15), (16) имеют решение ц{з) в (^(Г1) П С°(Г2), ш е (0,1], д е [0,1), то решение задачи и существует и дается формулой (10), где г/(з) определено в (13).
Единственность решения системы уравнений (15), (16) устанавливает следующая лемма.
Лемма 1. Пусть Г1 е С2,А, А е (0,1], Г2 е С2,0. Если однородная система уравнений (15), (16) имеет решение ф) в С%(ГГ) П С°(Г2), ш е (0,1], д е [0,1), то это решение тривиально: = 0 при 5 е Г.
Доказательство. Предположим, что ¿¿°(з) е С^Г1) ПС°(Г2) — решение однородной системы (15), (16). Функция /х°(в) обращает однородные уравнения (15), (16) в тождества. В силу теоремы 2 и[0,1л°](х) = ги\р°](х) — решение однородной задачи и. В силу теоремы 1 ги\р°](х) =0, х е V \ Г1. Используя формулы для предельных значений нормальной производной потенциала простого слоя на Г1, получим:
lim lim
д
■w[ti0}(x) = ti°(s)= 0, ябГ1.
<Эпа
Следовательно,
= ^ /ß\a)H{p{ß\x^y{a)\)da.
г2
Если х е V, то w\ß°](x) = 0. Поскольку 6
е С0(Г2), из свойств потенциала простого слоя [4] мы получим, что:
(*) w[ß°)(x) е С0 (W\v) П С2 (R2 \ V);
(**) существует равномерный по всем х € Г2 предел выражения (n^, V^«; (ж)), когда ж е -R2 \£> стремится к ж е Г2 по нормали п^.
Более того, потенциал простого слоя ги[/х°](ж) принадлежит C'°(R2) [4], поэтому ги|Гг =0. Заметим, что w[ß°](ж) удовлетворяет однородной задаче Дирихле в области R2\ V
Aw(x)+ß2w(x) = 0, ж 6 R2\D, Imß > 0, u;|r2=0. Кроме того, ги[/х°](ж) удовлетворяет условиям (4) при |ж| —> оо, если R2 \Т> — внешняя область. Методом энергетических тождеств можно показать, что эта однородная задача Дирихле имеет только тривиальное решение, если выполняются условия гладкости (*), (**). Поэтому w[ß°](x) = 0, ж € R2\T>, так что w[ß°](x) = 0 в Д2\Г2. Используя формулу для скачка нормальной производной потенциала простого слоя на контуре интегрирования, получим
lim (пж, Vxw[ß°] (ж)) -х -»• x(s) е г2,
х е я2 \ v
lim (пя, V*u;[/] ( x))=M°(s)=0, seT2, х -»• x(s) е г2, xev
где пределы берутся вдоль п^. Поэтому однородная система (15), (16) имеет только тривиальное решение ß°(s) = 0 при s е Г, что и требовалось доказать.
Система интегральных уравнений (15), (16) является частным случаем систем, изученных в [7].
Используя следствие 2 из [7] и лемму 1, убеждаемся, что справедлива следующая лемма.
Лемма 2. Пусть Г1 е С2-х, Г2 е С2'0 и выполнены условия (5), (6). Тогда система (15), (16) имеет решение ф) € С112{Тг) П <7°(Г2), где р = тт{1/2,А}. Более того, это решение системы (15), (16) единственно в пространстве С^Г^ПС^Г2).
Из теоремы 2 и леммы 2 вытекает окончательный результат.
Теорема 3. Если Г1 е С2-х, Г2 е С2,0 и выполнены условия (5), (6), то решение задачи и существует и дается формулой (10), где г/(з) определено в (13), а — единственное ре-
шение системы (15), (16) в С^Г1) П С°(Г2), р = тт{1/2, А}, гарантированное леммой 2.
Единственность решения задачи и следует из теоремы 1. Можно непосредственно проверить,
что решение задачи U удовлетворяет условию (1) с е = —1/2.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 05-01-00050).
Литература
1. Krutitskii P.A. // Hiroshima Math. J. 1998. 28, № 1. С. 149.
2. Krutitskii P.A. 11 Int. J. Maths. Math. Sei. 1998. 21, №2. С. 209.
3. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. IV. М.; Л., 1951.
4. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М., 1981.
5. Крутицкий П.А. // ЖВМ и МФ. 1994. 34, №8-9. С. 1237.
6. Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики. М., 1984.
7. Крутицкий П.А. // ДАН. 2001. 376, № 1. С. 17.
Поступила в редакцию 26.01.05
