К задаче дирихле-неимана для уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956.224

К ЗАДАЧЕ ДИРИХЛЕ-НЕЙМАНА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА ВНЕ РАЗРЕЗОВ НА ПЛОСКОСТИ

П. А. Крутиц ий, К. В. Прозоров

(.кафедра математики) E-mail: крговг [email protected]

Изучена краевая задача для уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости. При этом на одной стороне каждого разреза задается условие Дирихле, а на другой — условие Неймана. Доказаны теоремы существования и единственности решения краевой задачи. Получено интегральное представление для решения в виде потенциалов. Плотность в потенциалах определяется из однозначно разрешимой системы интегральных уравнений.

В работах [1, 2] были изучены задачи Дирихле и Неймана для уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости. В [3, 4] изучались смешанные задачи для уравнения Гельмгольца, когда на одной совокупности разрезов задается условие Дирихле, а на другой — условие Неймана. В настоящей работе изучается краевая задача для уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости, при этом на одной стороне каждого разреза задано условие Дирихле, а на другой — условие Неймана.

На плоскости х = {х\,х2) € R2 рассмотрим совокупность простых разомкнутых кривых Г1,...,Г# класса С2,А, А € (0,1], не имеющих общих точек, в том числе и концов. Эту совокупность кривых будем называть контуром Г. Пусть контур Г параметризован и в качестве параметра выступает дуговая абсцисса (длина дуги) s: Г„ = {х: х = x(s) = (x1(s),x2(s)), s € [ап, Ьп]}, n=l,...,N. Параметризацию выберем так, чтобы для различных п отрезки [а„, Ьп] на оси Os не имели общих точек, в том числе и концов. Вектор касательной к Г в точке x(s) обозначим тх = {cosa(s),sina(s)}, а вектор нормали, совпадающий с вектором касательной при повороте на угол ж/2 против часовой стрелки, обозначим пх = {sina(s), — cosa(s)}. При выбранной параметризации x[(s) = cosa(s), x'2{s) = sina(s). Предположим, что плоскость R2 разрезана вдоль контура Г. Через Г+ обозначим ту сторону контура Г, которая остается слева при возрастании параметра s, а через Г- — противоположную сторону. Совокупность отрезков оси Os, отвечающих Г, будем также обозначать Г. Через X обозначим множество точек плоскости, состоящее из концов Г: X = \J*=1(x(an)Ux(bn)).

Будем говорить, что функция T{s), определенная на Г, принадлежит банахову пространству Г), г е (0,1], ж е [0,1), ее-

ли r0(s)=Hs)Iln=i\[(^an)(S^bn)r\ €С°'Г(Г). Норма в пространстве С£.(Г) определяется формулой = ll^ro(s)|lc'0,r(p) •

Будем говорить, что функция и(х) = и(х i,x2) принадлежит классу гладкости Q, если: 1) и(х) €

(1)

*п либо d, = bn,

е C°(R2 \Г), т.е. и(х) непрерывна вне Г, непрерывно продолжима на Г слева и справа во всех точках, а также непрерывно продолжима на концы Г; 2) uxi,ux2 е C°(R2 \Г\Х), где X — множество концов Г; 3) на концах разрезов Г функции иХ1,иХ2 могут иметь интегрируемые особенности, т.е. при х x(d) е X справедлива оценка

|ия,.(®)| < A\x^x(d)f, i = 1,2,

где константы <5 > — 1, А> 0 и d = а% п = 1,..., N.

Сформулируем смешанную задачу для уравнения Гельмгольца вне системы разрезов на плоскости.

Задача U. Найти функцию и(х) из класса Q, удовлетворяющую в R2 \ Г в классическом смысле уравнению Гельмгольца

Аи + k2u = 0, 0 ^ arg fc < я", граничным условиям

«(ж)1г+ = /+(5)' ди

и условиям на бесконечности. Если argfc = 0, т.е. к = Rek > 0, то на бесконечности потребуем выполнения условий излучения Зоммерфельда:

\и(х)\=о{\х\-^2),

ди(х) / ._1/2\ . . (5)

—j--гки{х)=оу\х\ ' J, |ж| —> оо.

Если 0 < arg к < ж, т. е. Im к > 0, то на бесконечности потребуем выполнение следующих условий:

(2)

(3)

(4)

ж ^ оо.

|«(®)| = о (|жГ1/2) , IV«! = о (|жГ1/2)

(6)

Аналог задачи Ы для уравнения Лапласа изучен в [5]. Далее под /г ... будем понимать

1а" ■ ■ ■ ■ Используя метод энергетических тождеств, можно доказать следующее утверждение.

Теорема 1. Если Г е С2,А, А € (0,1], тогда задача Ы имеет не более одного решения.

Будем строить решение задачи Ы, предполагая, что /+(в) € С1,А(Г), /~(в) € С°'А(Г). Заметим, что коэффициент Гёльдера А при определении гладкости контура Г и функций /+(з), предполагается

одним и тем же. Если эти коэффициенты различны, то в качестве А следует брать наименьший. Вместо граничного условия (3) запишем эквивалентное:

ди

дтх

= f'+(s),r(s)

i+i

г+

df+(s)

е С0,Л(Г), (7)

ёв

и(х(ап)) = /+(ап), п = 1,...,М. (8)

Через обозначим функцию Ханкеля I рода

нулевого порядка, которая является сингулярным решением уравнения (2).

Решение задачи Ы можно получить с помощью теории потенциала для уравнения (2). Ищем решение задачи Ы в виде

u[fi,v}(x) = VM(x)+T[v](x), r(i),

(9)

где V[n](x) = \$тц(ег)Щ s(k\x - y{er)\)der — потенциал простого слоя для уравнения (2) и T[v](x) = \ /г v(er)U(x, er)der — угловой потенциал для уравнения (2). Угловой потенциал для уравнения Гельмгольца изучался в [1]. Плотности fj,(s), v{s) будем разыскивать в банаховом пространстве Г), г е (0,1], ж €Е [0,1). Ядро углового потенциала U(x,er) определено на каждой дуге Г„ (n = 1,..., N) формулой

Щх,а) = Г ^€[о„А],

Ja„ опУ

где у = у(£) = (yi(Q,y2(0), |® - у(0\ = = \/(®i — 2/1 (С))2 + (®2 — 2/2(С))2- Ниже будем полагать, что плотность углового потенциала удовлетворяет дополнительным условиям [1, 2]:

Ьп

v(a)da = 0, n = l,...,N. (10)

Интегрируя Т[р]{х) по частям и используя (10), выразим угловой потенциал через потенциал двойного слоя

Т[и](х) =

д

где р(сг) = !/(£)<*£, сг € [ап, Ьп], п = 1,..., N. Очевидно, что потенциалы Т\р](х) и У[г/](х) удовлетворяют как уравнению (2) вне Г, так и условиям на бесконечности (5), (6).

Свойства потенциалов Т\р](х) и У[г/](х) изучены в [1]. В работе [1] показано, что если е С1ХГ) с г* € (0,1], >с е [0,1), и выполнены условия (10), то потенциалы Т[/х](ж), У[г/](х) принадлежат классу 0. В частности, неравенство (1) выполняется с 6 = , если хге (0,1). Более того,

функция (9) принадлежит классу 0 и удовлетворяет всем условиям задачи Ы за исключением граничных условий (3), (4).

Чтобы удовлетворить граничным условиям, мы подставляем функцию (9) в условия (7), (4), используем предельные формулы для углового потенциала из [1] и получаем интегральные уравнения для плотностей //(я), г/(з) на Г:

11 ^(ц(а)Н^(к\х(в)^у(а)\) + г

(И)

+v(a)U(x(s),a))da = f-(s).

Подставив функцию (9) в условия (8), получим дополнительные уравнения для г/(з), //(я):

У[р)(х(ап)) + Т[и](х(ап)) = /+(о„), п = 1,..., N.

(12)

Из приведенных рассуждений вытекает

Теорема 2. Пусть Г е С2'\ /+(а) е С1,А(Г), ¡-(в) е С°'А(Г), А е (0,1]. Если гф),/Ф) е е ¿Х(Г) — решение системы (10)-(12), где г е (0,1], хт е [0,1), то формула (9) дает решение задачи Ы.

Уравнения (11) можно записать в виде (в е Г) :

"(*) + - íViv)-^— ■

-к J а — s

г г

v{a)v\ (s, er)der+

ß(er)v2(s,er)der = 2f'+(s)

1 f da f ^^

-ß(s)--/ v{er)--h / n(a)vz(s,(j)d(j-

k J er — s J

г г

v(er)vt{s,er)der = 2f (s),

где V!(з,а) = и(х(з),а), у2(з,а) = §¿Я^ х х(к\х(зУу(а)\Уф^ , у3(з,<т) = ¿¿Н^(к\х(з)-- 2/Н1), щ(«,сг) = и(х(з),а) - ^фщ. Из

лемм 2, 3 работы [1] и лемм 1, 3 работы [2] вытекает, что р3(з,а) е С°'А(Г х Г) и Ру(з,а) е С°'ро(Г х Г) при ] = 1, 2,4;

А,

если 0 < А < 1,

Ро =

1 — so, для любого ео £ (0,1], если А = 1.

(14)

Складывая и вычитая уравнения (13) и произведя замену неизвестных функций pi(s) = (v(s) — ß(s)) е е С£(Г), P2(s) = (v(s) + ß(s)) е С^П

v{s) = Ы*) + P2(s))ß, fi(s) = (p2(s) - Pl(s))/2,

(15)

запишем уравнения (13) в виде (s G Г) :

г

2

1=1 Ï,

pi(cr)Yji(s,cr)dcr =

(16)

= 2(/'+(*) - (-1 )*/"(*)) е С0,А(Г), j = 1, 2,

где = |{г»х(5, <т) + (—1)гг12(я, а) -

— + (—1)-7г»4(в, о")}. Из гладко-

сти функций г»х (я, <т),..., г»4(в, а) вытекает, что Уф,а) еС°'Р°(ГхГ), з,1 = 1,2; р0 берется из (14).

В терминах ^1(5), р2(в) условия (10), (12) примут вид

Ьп

(Р1(сг) + р2(сг))ёа = 0,

У[(р2(а) ^ Р1(а))/2](х(ап)) + (17)

+Т[(р1(а)+р2(а))/2)(х(ап)) = ^(ап),

п = 1,

Система (16), (17) является частным случаем систем, изученных в работе [6]. По теореме 1 из [6] все решения pi(s), p2(s) системы (16), (17), принадлежащие СХ-(Г) с г е (0,1], ж е [0,1), предетавимы в виде pj(s) = pjt.(s)/Qj(s), j = 1,2; где pi*(s),p2t.(s) G

G С°'Ш(Г), и = min{A, 1/4}, Q^s) = Un=i\8 ~

- a^/^s - bn\3/4 sign(s - an) G Q2(s) =

= Un=i \8 - Onl3/4k - bn|1/4 sign(s - On) G .

Отсюда следует, что pi(s), p2(s) G С^4(Г).

Докажем, что среди функций pi(s),p2(s) G G С^,4(Г) однородная система (16), (17) имеет только

тривиальное решение. Пусть p?(s), реше-

ние однородной системы (16), (17) в пространстве С^4(Г), где ш = min{A, 1/4}. Тогда функции

= (pI(s)+PUS))/2, = (PUS)^PI(S))/2,

построенные по формулам (15), дают решение однородной системы (10) — (12). Очевидно, что однородной задаче U (с f+(s) = f~(s) = 0) соответствует однородная система (10)—(12). Согласно теореме 2, функция u°(®) = V[(pl(8)-f%(8))/2](x) + T[(pl(8) + + p^s))/2}{х) является решением однородной задачи U. Используя теорему 1, имеем: и0 = 0. Из предельных формул для касательных и нормальных производных потенциалов [1] получаем

ди°

ди° дтх

(-1)'

<9п.

("1>

jdu0

дпх

x(s)e г+

:0,

¡Ф)ег-

где ] = 1,2. Тем самым однородная система (16), (17) имеет только тривиальное решение среди функций

е Сз/4(Г)' ш = т1п{Л, 1/4}. Из пункта 1 теоремы 1 и теоремы 2 работы [6] вытекает

Теорема 3. Пусть Г е С2'А, /+(«)€ С1,А(Г), /~(в) С С°'А(Г), А С (0,1]. Тогда неоднородная система (16), (17) имеет среди функций р1(в), рф) €Е Г) (г е (0,1], х С [0,1)) единственное решение. Это решение представимо в виде = 1 = 1,2, где ри(з),

Р2*(я) £ С°'Ш(Г), ш = тт{А, 1/4}, следовательно,

Решение /х(в), е С^4(Г) системы (10)—(12) определяется по формулам (15), в которых ^1(5), Рг(^) — решение системы (16), (17), гарантированное теоремой 3. Из теорем 1 и 2 следует

Теорема 4. Пусть Г б С2'\ /+(«)€ С1,А(Г), € С0,А(Г), А € (0,1]. Тогда решение задачи Ы существует, единственно и дается формулой (9), в которой плотности //(я), г/(з) берутся из (15), где функции р1(з),р2(з) 6 С^4(Г) (ш = тт{А, 1/4}) — решение системы (16), (17), гарантированное теоремой 3.

Теорема 4 устанавливает существование и единственность классического решения задачи Ы. Как следует из определения класса (/, градиент решения задачи Ы может иметь особенности на концах Г. Из пункты 3 теоремы 5 работы [1] неравенство (1) выполняется с 5 = ^3/4. Выпишем явные асимптотические формулы, описывающие особенности V« на концах Г. Пусть х{й) — один из концов Г, й = ап или й = Ьп, п = 1,..., Ж, т. е. х{<£) С X. Введем в окрестности х{<£) полярную систему координат ®1 = |® — х{<£)\ СОБ <р, х2 = \х — х{<£)\ БШ^. Напомним, что ск(в) — угол между направлением оси Ох 1 и вектором касательной тх в точке х(з) С Г. Будем считать, что ср е (а(с1),а(с1) + 2тт), если й = ап, и е (а{й) — тт, а{<£) + 7г), если й = Ьп, п = 1..... Л;. Полагаем по непрерывности, что а(ап) = а(а„+0), а(Ьп) = а(Ьп^0). Введем функции Рз/4(*) = Р2(Ф ~ ап|3/4 , = Р1(з)\з - а«]1/4 ,

являющиеся гёльдеровыми на Г в окрестности ап, и функции Рз"4(я) = рх(в)|в — Ьп\3^4,

^1/4= Р^(8)\8 ~ ьп\1/4 — гёльдеровые на Г в окрестности Ъп. Повторяя рассуждения из [7], получим следующую теорему.

Теорема 5. Пусть х х{й) € X, где й = ап или й = Ъп, п = 1,..., N. Тогда в окрестности точки х{й) для производных решения задачи Ы справедливы формулы:

ди дх\

(-

Sm^/4"

PÎ/4(d)

21® •

(d) |l/4 C0S^4

O(l),

ди дх2

x^x(d)" 2\x-x(d)\W

Pdlß(d)

cos 0i/4-

2\x-x{d)\V*

sm0(/4

0( 1),

гае = (3/4)<р + (1/4)а(ап), = (3/4)^ + + (1/4)а(Ьп)-Зтт/4, = (1/4)(р+(3/4)а(а„)+тг/2, = (1/4)^ + (3/4)а(Ь„) - Зтг/4; ¿(¿) = 2 гари

= а«/ Л«0 = 1 пРи Л = Ьп, п = 1,..., N; через 0(1) обозначены функции, непрерывные в окрестности точки х{й), разрезанной вдоль Г. Более того, функции, обозначенные как 0(1), непрерывны и в самой точке х{<£).

Авторы выражают искреннюю благодарность А. И. Сгибневу за полезные обсуждения. Работа

выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 02-01-01067).

Литература

1. Крутицкий П.А. ЖВМ и МФ. 1994. 34, №8-9. С. 1237.

2. Крутицкий П.А. // ЖВМ и МФ. 1994. 34, № И. С. 1652.

3. Крутицкий П.А. // ЖВМ и МФ. 1996. 36, №8. С. 127.

4. Крутицкий П.А. // Дифф. уравнения. 1996. 32, №9. С. 1153.

5. Крутицкий ПЛ., Сгибнев А.И. // Дифф. уравнения. 2001. № 37, № 10. С. 1299.

6. Крутицкий ПЛ., Колыбасова В.В. // ДАН. 2004. 394, №4. С. 444.

7. Крутицкий ПЛ., Сгибнев А.И. // Дифф. уравнения. 2003. 39, №9. С. 1165.

Поступила в редакцию 05.12.03