CC BY
9
УДК 517.956.224
К ЗАДАЧЕ ДИРИХЛЕ-НЕЙМАНА ДЛЯ ДИССИПАТИВНОГО УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА В ПЛОСКОЙ ОБЛАСТИ С РАЗРЕЗАМИ С УСЛОВИЕМ НЕЙМАНА НА РАЗРЕЗАХ
П. А. Крутицкий, В. В. Колыбасова
(.кафедра математики)
Изучается задача Неймана-Дирихле для диссипативного уравнения Гельмгольда в связной плоской области (внутренней или внешней), ограниченной замкнутыми кривыми и разомкнутыми дугами (разрезами). На замкнутых кривых задано условие Дирихле, а на разрезах — условие Неймана. Доказаны существование и единственность решения. Получено интегральное представление решения в виде потенциалов. Задача сведена к однозначно разрешимой системе интегральных уравнений.
Разомкнутые дуги или разрезы моделируют экраны, крылья, трещины или вытянутые отмели в прикладных задачах [1]. Краевые задачи в областях е разрезами описывают различные физические процессы в телах с трещинами, такие как распределение электрических и тепловых полей, распространение акустических волн, рассеяние на трещинах и т.д. Задачи Дирихле и Неймана для уравнения Гельмгольда в областях, ограниченных замкнутыми кривыми и разрезами, изучены в [2, 3]. В настоящей работе изучается смешанная задача, когда на замкнутых кривых задано условие Дирихле, а на разрезах — условие Неймана. Установлены теоремы о существовании и единственности решения, получено интегральное представление для решения, задача сводится к однозначно разрешимой системе интегральных уравнений.
На плоскости х = (х\, а^) € Я2 рассмотрим многосвязную область, ограниченную простыми разомкнутыми кривыми Г},..., Г]у € С2,А и простыми замкнутыми кривыми Г2,... , Гд,2 € С2,л, Л € (0, 1], так что кривые не имеют общих точек, в частности концов. Будем рассматривать случай как внешней области, так и внутренней, когда кривая Г2 охватывает все остальные. Положим Г1 = 1 Г«, Г2 = Г2, Г = Г1 и Г2. Связную область, ограниченную Г2 и содержащую Г1, будем называть V, так что дТ> = Г2, Г1 с V. Предположим, что каждая кривая Г;„ параметризована длиной дуги я: Г;„ = {х: х = = (х]^),.*^)),
я €
Ь'
. ип
}, п = 1.....Лу. / = 1,2,
так что
а\ <Ь\ <...< а\, <Ь1 < а? < Ь? < ... < а\, < Ь%
и область V нии параметра
■N■2
Щ ^ А?1
остается справа при возрастать . Далее еовокупно-
на
сти отрезков оси Об Цг^ [а«>^д]> [ад>^и]>
будем тоже обозначать Г », Г2
им01
а'п,Ь'п
и Г. Положим С/'Г(Г2) = ^(б) е 0'г [а2, б2],
Т(т) (а2) = Г{т){Ь2п), т = 0,...,/}, / = 0, 1,
г € [0,1] и а-г(Т2) = 0%О-г(Т2п). Вектор касательной к Г в точке х(я) обозначим тх = ПУСТЬ пх = (4(я)>-■*{(*))
вектор нормали к Г в Будем считать Г1
совокупностью разрезов. Сторону Г1, остающуюся слева при возрастании параметра я, будем обозначать (Г1)+, а противоположную — (Г1) .
Будем говорить, что функция и(х) принадлежит классу гладкости К, если
1) иеС° (г>\Т1^Г)С2 (Х>\Г>) и и(х) непрерывна на концах разрезов Г1;
2) Уи € С0 (т>\Г1 , где X - множество точек, состоящее из концов Г1: X =
= 1&1(*К)и
3) в окрестности любой точки х(с1) € X для некоторых констант С > 0, е > — 1 выполняется неравенство
\7и\ ^С\х-хЩе, (1)
где х —> х(с1) и й = а\ или с1 = Ь1п, п = 1,..., .
В определении класса К функции и(х) и Уи(х) непрерывно продолжимы на разрезы Г1 \ X слева и справа, но могут иметь скачок при переходе через Г1 \
Задача £/. Найти функцию и{х) из класса К, которая удовлетворяет уравнению Гельмгольца
иХ1хг (х) + иХ2Х2(х) + к2и(х) = 0, хеХ^Г1, & = еоп5^ 1т&>0,
и граничным условиям ди(х)
х(з)е(т^
дпх
ди(х)
дпх
(2) (3)
Если V — внешняя область, добавим условия на бесконечности
и
о (иг1/2), |Уи(х)| = о(|хГ1/2),
|х| = \ х1, ■
(4)
оо.
Все условия задачи II должны выполняться в классическом смысле. При Г1 =0, Г2 ф 0 получаем задачу Дирихле в области без разрезов (это также частный случай [3]). При Г1 ф 0, Г2 = 0 получаем задачу Неймана вне разрезов Г1 на плоскости (см. [2, 4]).
Методом энергетических тождеств [5] можно доказать следующую теорему.
Теорема 2. Если Г € С2,Л, Л € (0,1], то задача II имеет не более одного решения.
Далее будем предполагать, что F+ (я), (я) € Сод (Г1), ОД € С1 д (Г2),
А 6(0,1].
(5)
Под |ГУ ... йа будем понимать ¡Ь'!
Рассмотрим угловой потенциал из [4, уравнения (2) на Г1
т Ы(х) = -
ц{а)У{х, а) (1о.
. .йа.
6] для
(6)
р1
Ядро У(х,а) на каждой кривой Г^, п=1,...,Ы\ дается формулой
У(х, а) =
дпи
а1 Ь1
иП' ип
где \х - ¿/(01 = \/{х\ - У\(О)2 + (х2 - У2(0)2; — функция Ханкеля 1-го рода [7]:
г
ехр(—0 / И
(П.
Далее будем предполагать, что ц(а) на Г1 принадлежит пространству С^Г1), ш € (0,1], д € [0, 1), и удовлетворяет условиям
ц{а)йа = 0, п=\,...,Ы\.
(7)
Будем говорить, что ф) € С^Г1), если
бС^Г1); кроме того,
с« (г')
адП
я 1
5-4 5 -К
С0.ш (Г1)
В работах [4, 6] показано, что для таких ц(р) угловой потенциал т\ [¡л] (х) принадлежит классу К и удовлетворяет (2) и (4).
Будем искать решение задачи II в виде
и[р,ц]{х) =
у(а)П{^) (Щх - у(а)\) ёа + ш[/л](х),
(8)
где
т{ц]{х) = ш\{ц] (х) + щ[/м] (х), т\[ц] (х) угловой потенциал из (6),
т2[ц](х) = -
/л(а)7—пЦ){Щх-у(а)\)ёа.
Г2 апу
Будем искать 1/(5) в пространстве С0"^^1), а ф) — в пространстве П С1Д/4(Г2), ш €
€ (0,1], ц € [0,1), с нормой |Н1С(Г(Г,) + II' 11С,А/4(Г2) •
Кроме того, ф) должно удовлетворять условиям (7). Можно показать [5, 6], что для таких плотностей (5), 1/(5) функция (8) принадлежит классу К и удовлетворяет всем условиям задачи £/, кроме граничного условия (3).
Для того чтобы удовлетворить граничным условиям, подставим (8) в (3), используем формулы из [6] и получим интегральные уравнения для плотностей ф),!/^)
1 / ч I
± 2 + 7
4
р1
_1_
2ж
ътщ (х{з),у{а))
Ц{<7)--, м Ы(Т ■
р1
|.ф) -у(а)\
I
4
д
р(а)^-У0(х(8),а) йа-
р1
I
4
р2
' дпх дпу ' 0
яеГ1, (9)
1
4
/л(а)У(х(8),а) с1а + -ф)
I
4
д
- у(?) I) =т,
р2
где
У0(х,а) =
дп
•а ^
4 дпу
БЕТ2, (10)
Н(к\х - у(£)\) и €
а] Ь]
ип' ип
п= 1,
,N\, h(z) = n{r!Hz)
2 i, z — m -.
TT k
Через (po(x,y) обозначен угол между вектором ху и направлением нормали пх. Угол <ро(х,у) считается положительным, если он отложен от пх против часовой стрелки, и отрицательным в противном случае. Кроме того, <ро(х,у) непрерывен при х,у е Г, если х фу. Уравнение (9) получается при х —> x(s) е (Г1)* и объединяет два интегральных уравнения. Верхний знак соответствует интегральному уравнению на (Г!)+, а нижний — на (Г1)^. Вычитая интегральные уравнения (9) одно из другого, получим
ф)= (F+(s)-F~(s)) еС°-х(Т1). (11)
Заметим, что v(s) удовлетворяет всем необходимым условиям.
Введем функции f\(s) и /^(s) по формулам Ш = | {F+(s) + F~(s)) - l- {F+(a)-F-(a)) x
д
x^-^o^lx{s)-y{a)\)da, s еГ1
f2(s)=F(s)--
(F+(a)-F~(a)) x
р1
хП(01){к\х(8)-у(а)\)с1(т, ябГ2.
Как показано в работе [4], /1^) е С0'А(Г>). Очевидно, что М«) еС>'А(Г2).
Пусть = 0, если я € Г1, и <$($) = 1, если я € Г2. Складывая интегральные уравнения (9) и учитывая (11), получим сингулярное интегральное уравнение 1-го рода с ядром Коши (см. [1]) для /Дя) нз Г
i
7Г
р{а)
da
а -
ß{a)Y\ (s, a) da = —2f\ (s), se Г1
pl
где
(12)
Fl (S, (7) =
{(1-5Ы)
x
X
]_ (sinipQ{x{s),y{a)) т\ |x(s) - i/(cr)|
a—s.
-7i^-vo{x(s),a)
2 dnx 4 ;
ро = А, если 0 < Л < 1, и ро = I — ео для любого бо € (0, 1), если Л = 1 (см. [4, лемма 3]).
Подставляя (11) в (10), получим уравнение 2-го рода для /Дя) на Г2
ß(s)
p(a)Y2(s,a)da = 2f2(s), se Г2, (13)
где
F2(S,<7) = -(1-5(<7))X
д
x V{x(s),a) + ^S(a) x x^-U^{k\x(s) - y(a)\)
dtiu
В соответствии с [4, 6] ^(s, ст) € С°(Г2 x Г), поскольку Г € С2,Л. Более того, пользуясь техникой из [4, 6], можно показать, что интеграл в (13) принадлежит по s для любого
p(s) € С^Г1) П С°(Г2), о; 6(0,1], <7 6 [0,1). Так как (13) — уравнение второго рода на Г2 и /гС5) €С1,Л(Г2), то всякое решение p(s) уравнения (13) в пространстве П С°(Г2) автоматически принадлежит
П С1,Л//4(Г2). Поэтому ниже будем искать решение системы (7), (12), (13) в пространстве С^(Г>) ПС°(Г2).
Из приведенных рассуждений вытекает следующая теорема.
Теорема 3. Пусть Г € С2,Л и выполняются условия (5). Если система уравнений (7), (12), (13) имеет решение p(s) из ПС°(Г2), ш € (0, 1],
q е [0, 1), то решение задачи U существует и выражается формулой (8), где v(s) определено выражением (11).
Единственность решения системы уравнений (7), (12), (13) устанавливает следующая лемма.
Лемма 1. Пусть Г € С2,А, Л € (0,1]. Если однородная система уравнений (7), (12), (13) имеет решение p(s) в С^Г1) П С°(Г2), шеф, 1], q е [0, 1), то это решение тривиально: p(s) = 0 при s € Г.
Доказательство. Пусть p°(s) е П
П С0 (Г2) — решение однородной системы (7), (12), (13). На основании теоремы 3 и [0, р°] (x) = w [/i°] (х) — решение однородной задачи U. По теореме 2 w [/i°] (x) = 0, x € V \ Г1. Используя предельные формулы для касательной производной углового потенциала из [6], получим
i- д lim ——w
•.Yisie(r:) х
lim
*(s)e(ri)"
p,
дтх
(x)
w
p,
(x) = p°(s) = o, seV1
Следовательно, w [/i°] (x) = w2 [/i°] (x) = 0, x € V, и p°(s) удовлетворяет однородному уравнению Фредгольма второго рода на Г2
I
4
д
mV)^^0№ - I)d(T = °>
дп
р2
seT2. (14)
Уравнение Фредгольма (14) возникает при решении задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца (2) в области V с помощью потенциала двойного слоя. Можно показать [3], что уравнение (14) имеет только тривиальное решение в С0(Г2). Следовательно, если я € Г, то //"(я) = 0, что и требовалось доказать.
Система интегральных уравнений (7), (12), (13) является частным случаем систем, изученных в работе [8]. Из [8] следует, что система (7), (12), (13) фредгольмова. Используя [8, следствие 1] и лемму 1, убеждаемся, что справедлива следующая лемма.
Лемма 2. Если Г € С2-\ ¡¡(б) е С°'А(Г>), /2(я) € С0(Г2), А € (0,1], то система уравнений (7), (12), (13) имеет решение ф) Е Е СР1/2(Т]) П С°(Г2), где р = тт{1/2,А}. Более того, это решение единственно в пространстве С[/2(Г»)ПС°(Г2).
Функции /1(5), /2 (я) удовлетворяют условиям леммы 2, если выполнены условия (5). Из приведенных рассуждений следует, что при выполнении условий (5) решение ф) системы (7), (12), (13), гарантированное леммой 2, принадлежит Сщ(Т1) П С1,Л//4(Г2). Из леммы 2 и теоремы 3 вытекает теорема существования.
Теорема 4. Если Г € С2,Л и выполняются условия (5), то решение задачи U существует и выражается формулой (8), где v(s) определено выражением (11), a p(s) — единственное решение системы уравнений (7), (12), (13) в Су2(Т1) П С0(Г2), р = rnin{l/2, А}, гарантированное леммой 2.
Единственность решения задачи U следует из теоремы 2. Можно проверить непосредственно, что решение задачи U удовлетворяет условию (1) при € = -1/2.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 05-01-00050).
Литература
1. Лифанов И. К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. М., 1995.
2. Krutitskii P.A. Ц Int. J. Maths. Math. Sei. 1998. 21, № 2. P. 209.
3. Krutitskii P.A. Ц Hiroshima Math. J. 1998. 28, № 1. P. 149.
4. Крутицкий П.A. 11 ЖВМ и МФ. 1994. 34, № 11. С. 1652.
5. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М., 1981.
6. Крутицкий П.А. // ЖВМ и МФ. 1994. 34, № 8^9. С. 1237.
7. Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики. М., 1984.
8. Крутицкий П.А. // ДАН. 2001. 376, № 1. С. 17.
Поступила в редакцию 09.09.05
