CC BY
12
ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print) d http://doi.org/10.14498/vsgtu1529
Дифференциальные уравнения и математическая физика
УДК 517.958:531.332
О скорости стабилизации решений задачи Коши для уравнения Карлемана с периодическими начальными данными
С. А. Духновский
Национальный исследовательский
Московский государственный строительный университет,
Россия, 129337, Москва, Ярославское шоссе, 26.
Аннотация
Исследуется одномерная система уравнений для дискретной модели газа (система уравнений Карлемана). Система Карлемана является кинетическим уравнением Больцмана модельного одномерного газа, состоящего из двух частиц. Для этой модели не сохраняются импульс и энергия. На примере модели Карлемана хорошо видна суть уравнения Больцмана, которое описывает смесь «конкурирующих» процессов: релаксацию и свободное движение. Доказывается существование глобального решения задачи Коши для возмущения состояния равновесия с периодическими начальными данными. Впервые устанавливается скорость стабилизации к состоянию равновесия (экспоненциальная стабилизация).
Ключевые слова: кинетическое уравнение, уравнение Карлемана, Фурье-решение, состояние равновесия, секулярные члены, обобщенное решение.
Получение: 21 января 2017 г. / Исправление: 25 февраля 2017 г. / Принятие: 13 марта 2017 г. / Публикация онлайн: 11 мая 2017 г.
Научная статья
Q ©® Контент публикуется на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru) Образец для цитирования
Духновский C. А. О скорости стабилизации решений задачи Коши для уравнения Карлемана с периодическими начальными данными // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2017. Т. 21, № 1. С. 7-41. doi: 10.14498/vsgtu1529. Сведения об авторе
Сергей Анатольевич Духновский & http://orcid.org/0000-0001-9643-7394 аспирант; каф. прикладной математики; e-mail: sergeidukhnvskijj@rambler.ru
Введение. В этой работе мы продолжим исследование стабилизации решений нелинейных гиперболических уравнений в частных производных на примере так называемой дискретной модели Карлемана кинетического уравнения Больцмана [1—10]. В работе [9] были получены труднопроверяемые условия существования глобального решения без установления скорости стабилизации и структуры решения для больших значений Ь ^ 1. Последнее важно с точки зрения гипотезы Буслаева—Пелермана—Комеча [11, 12]: на больших временах решения задачи Коши с ограниченной энергией распадаются на суперпозицию слабо взаимодействующих солитонов и убывающую дисперсионную волну. Для общих гиперболических уравнений в частных производных рассматривались начальные данные с компактным носителем и убывание решения доказывалось на фиксированном компакте. Но такие результаты оказались недостаточными для теории асимптотической устойчивости решений нелинейных гиперболических уравнений [11-14]. В данной статье исследуется одномерная система уравнений для дискретной модели газа (система уравнений Карлемана). Доказывается существование глобального решения задачи Коши для возмущения состояния равновесия с периодическими начальными данными. Впервые устанавливается скорость стабилизации к состоянию равновесия (экспоненциальная стабилизация).
1. Постановка задачи. Рассмотрим модель Карлемана
^и + джи = -—(и2 - ад2), х е М, Ь> 0,
—£ (1)
дtw — дхад = -(и2 — ад2),
£
которая описывает одноатомный газ с двумя частицами с соответствующими плотностями и = и(х,Ь), ад = ад(ж,Ь). При этом одна из них имеет скорость с = 1, другая с = —1.
Задача. Необходимо найти периодическое по х 'решение и(х,Ь), ад(ж,Ь) задачи Коши для системы уравнений Карлемана (1).
2. Фурье-решение (локальное равновесие для уравнения Карлемана). Мы исследуем задачу Коши (1) для малых возмущений состояния равновесия ие = аде > 0 системы (1). Положим
и = ие + г1/2£2й, ад = аде + аде/2£2гй.
Тогда
д^й, + дхй — 2аде— (гй — и) = —£-ш1/2(й + гй)(й — ад), х е М, Ь> 0,
£
д^ — дхгй + 2ге -(гй — й) = £ад1/2(й + гй)(й — гй), (2)
£
й|t=o = и , гй^=о = гй . Для периодических решений с нулевыми средними
й(Ь,х) = ио(Ь) + ^ ик (¿Укх, г?(Ь,х) = го(Ь) + ^ г(¿Укж,
к^&о о
20 = {к € 2, к = 0}, введем весовые пространства ^^ (М+; Н), Ь2,7 (М+; Н), На со следующими нормами:
(К+;На)
—и dí
ь2,7 (Е+ ;На-) + («+Н ),
/»Ж ГЖ
|иУ|2,7(К+;н.) = е^ио^М + 'к!'" (С)|2^,
кеж0
IIIии01||= |||ик=о|||Нст = |и012 + Е |к|2"|ик|2.
- I и I _ I —I— » I к I I и 0 ^ 2
I На
Целью этой статьи является доказательство следующей теоремы.
Теорема 1. Существуют постоянные 7 = £^0 > 0, = 0(1), д € (0,1) такие, что для периодических начальных данных (и0 , го0) с нулевыми средними и ограниченной нормой
(Н^Ш На + |||^и0|||На ) <
для а > 3/2 существует глобальное решение (и, го) € ^^(М+; Н) задачи Коши (2).
Отсюда следует принцип локального равновесия с экспоненциальной стабилизацией к состоянию равновесия. В [7] получена система ОДУ для так называемого обобщенного Фурье-решения задачи Коши (2), т. е. получена система ОДУ для коэффициентов Фурье {и0,-г0,ик, -гк, к € 20}:
ик = -гк + (ик + г0)е-Л + 2гк [ егк(5-4)-шки0 = -г0,
Jо
г = г0е(гк-4аде/е)4 + ук, к € 2,. Предполагаем, что средние
1 /*2п 1 /*2п
и0 = — и°(ж)йж = 0, = — го0 (ж) ¿ж = 0.
У0 2^0
В [7] доказывается, что для ук имеет место бесконечная система обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ)
й 11 1 -¿Ук - гкук + 4ге- Ук - 4гкг- егк(8-)ук^ = ге1/2-^ке-гкЧ
¿С £ £ J 0 £
+ ¡к(С)е-4^/£ + £ге1/2(2Ьк(у) + 4Вк(У,У)) - £ге1/2Т^(у), (3) Ук |4=0 = 0, к € 20.
Здесь Т)а^(у) — оператор возмущения базовой системы ■^Ук - гкук + 4ге1 Ук - 4гк-Ше1 / егк(5-4)ук=
«С £ £ У0
=г
1/21 П,.е-гк*
^к е-гк4 + ¡к (С)е-4^/е + £ге1/2( 2Ьк (у) + 4Вк(у,у)), (4) Укк=0 = 0, к € 20.
Функции Дь, Д (*), ^ (у), В (у, у), Т£^(у) определены в [4,7].
3. Конечная аппроксимация. Для построения аппроксимационного решения задачи Коши (2) в [7] вводится конечная аппроксимация бесконечной системы (4):
Т^*^) = ^ - + 4"е- 4<кш 114 е^у^ =
^ е +Д
= "V21я(т)е-ш + /т)(£)е-4^+
+ ^е1/2(24т)(у(т) ) + 4в(т)(у(т),у(т))), (5)
У(т)к=0 = 0, к е 2о, |к| < т. Из классических результатов следует следующая теорема.
Теорема 2. Пусть а > 3/2, и|4=0, ш|4=0 е (0, 2п) и средние значения = Ш = 0. Пусть т е N фиксировано. Тогда существует Т* > 0, возможно, зависящее от т, такое что усеченная система (5) имеет единственное 'решение на интервале [0,Т*].
Ниже мы докажем, что Т* = те и определяемое Фурье-решением решение задачи Коши экспоненциально быстро стремится к состоянию равновесия. В правой части (5) появляются секулярные члены Ше/2!Де-^4, не принадлежащие ¿2,^(К+). Введем векторное пространство
дЫ = (д Ы, |к| ^ т,
к = 0) е Н(т) с нормой
шд(т)ш2 (т) = Е |к|2ст 1дт)|2.
|2 (' гга
А, А=0
Решение системы (5) будем искать в виде
у(т) = д^Т-Че-^) + Т"1^), ^=0
(М+;
е Нт), Я(т) е (М+; ),
где х(т) = (х Ат), |к| < т, к = 0), Я(т) = (г(т), |к| < т, к = 0), а нормы
г-М |
(к+ГЯ^)
—х(т)
|Х ) ^ (К+ГЯ^)
|2^| (тЬ.ч ,2
+ Нг(т)Н I \
»«"Х,(.+;Я<-) = / е27( Е |к|2"|х^)(г)|2
0 А, А=0
В [7] доказано существование 7 = О (в) > 0 такого, что для любого к е существует единственное решение задачи Коши
Та (« А ) = е-^, « А|4=0 =0,
0
принадлежащее Жк (С) € Ж1,7 (М+). Такое решение будем обозначать через жк(С) = Тк-1(е-гкЬ). Также единственное решение задачи Коши
Тк(Жк) = ¿к, Жк |4=0 = 0, ¿к(С) € ¿2,7(М+),
жк(С) € ^2,7(М+), будем обозначать через жк(С) = Т—1(гк).
В переменных (¿(т),фк) (см. [7]) система (5) при выполнении условия секулярности
г1/21 Я<т) - дкт) + £ге1/24т)(д(т)) =0, |к| = 1, 2,..., т,
запишется в виде
¿(т) = (¡¿т)(0 — £ге1/2£к(С))е-4-Ь/Ч
+ £ге1/2(2(Як(С) +4НВ (С)) + £ге1/2(4^ (Т-1^)) —
В итоге получаем систему в гильбертовом пространстве ¿2,7(
4. Нелинейное уравнение в банаховом пространстве
Теперь докажем теорему существования и единственности решения нелинейного уравнения (6). Для доказательства нам понадобятся следующие оценки
(см. [22]) линеаризованного оператора Т-1(^(т)) в £2,7(М+;Н^).
Лемма 1. Пусть 0 < < 4^-. Тогда существует с0 > 0, не зависящая от £, р, такая, что для любых к € 20 и Кр ^ -£^0, ^о > 0, имеем
ИТ-1(^(т))^к2,7(М+Нт)) < 1 С0У^(т)Ук2,7(Е+Н-)). (7)
Более того, для Кр ^ -£^0, ^о > 0, имеем
1 а
1
— — T —1 ( 7(m)) < — c II 7(m)|l
|k| di (Z ) L2,y (R+;Hm)) < £2 (R+;Him)).
Теперь положим
Ik(T-L(zk)) = -4iwe / eik(s—11)T—1 (zk)ds,
°
L/ " ' ' _ ......Ue
1°
I(T—L(Z)) = {Ik(T—L(zk)), k G Z°}, I(T—L(Z)) = {kIk(T—1(zk)), k G Z°}.
Лемма 2. Существует с1 > 0, не зависящая от £, р, такая, что для любых к € 2 и Кр ^ -£^0, ^о > 0, имеем
И^-1^)!^(М+Н-)) < 1 ^^^(М+Н-)). (9)
11
В то же время
Т ( ))»^2,7(К+;Я(,-т)) ^ »¿2,7(К+;Я^т)).
у/(Т-1(Я(т))» (К ) ^ С^^к ^.„(т), .
Далее определим класс решений следующей задачи Коши:
Та(4т)) = - ^ +4"е 14т)-
1 С1
- 4гкше1 е**(в-4)4т)^ = е-ш, (10)
в Л)
2(т) I = 0
14=0 = 0.
Лемма 3. Существует с2 > 0, не зависящая от в, р, такая, что для любых к е 20 и Кр ^ -7, 7 = е^0, > 0, решение .задачи Коши (10) Я(т) = (Т-1(е-гА4), к е ^0}:
Т-1 (е-^) е ¿2,7(К+), 7 = в№, (К+) < С2^в, ^к е 20.
Более того, для любой д(т) = {О,^, к е 20} е Н функция Я^(т) =
{дАт)Т-1 (е-^4), к е 20}:
Я^(т) е Я2,7(К+;Нт)),
2,7 ^ +; Н
т)
"¿2,7(К+;Я;т)) ^ 111 Я;
—Я ^(т)
^ ..... . ,
Перепишем нелинейное уравнение в гильбертовом пространстве ¿2,7(К+; Нат)) в более компактном виде:
^ "¿2,7 (К+Ят)) < ^вС2|||д(т)|||я(т) , ¿2,7 (К+Ят) ) ^ ^ С2|||д(т)|||Я(т) .
+ 4в(т) (Т-1 (^(т)), Т-1 (^(т)))}. (11)
+ в"е1/2{4ЬВ (Т-1^)) + 2Ь <т) (Т-1 (^(т))) +
Здесь
Я(т),£(т) е ¿2,7(К+;Нт)), ^(т) е ^(К+;Нт))
ЯМ(^) = (4т)(*), |к| < т, к = 0), £(т)(^) = (д(т)(^), |к| < т, к = 0); ^(т)(£) = (4т)(£), |к| < т, к = 0);
^т)(*) = Д^) + 2в"е1/2£^), £(т)(^) = 2(Я^(<) + 2НВ (<));
fkm) (t) = (.k 2i2k 1 ) wew°-^eiki-k (ik - 2we ) e
+ 4ewe1/2 ^
r 1 ik2
^ w°2
2 (lk2 — 2We
|ki| < m, |k21 < m
x —^w°i(e(ikl—4we/£)t — e—iklt) — w°1 e
1 ik2 ° _-ikot.ikit/'1 ik1
w°„ eik2tx
kl + k2 = k,k € Z0, l2(ik2 — 2We 1)
1 ik1 w° (e(iki— 4ш£/е)^ e—ikit) _ w° e(iki—4we/e)t^_
2(ik1 — 2We 1 )
2(ik2 — 2we 1 ) k2 V2(ik1 — 2we 1 ) ki ^
+ 2ewe1/2 V {« + w°i)e—ikit1 ik2 . w°2eik2t+
e ki + k2 =k,k € Z0, 1(ki ) 2 (ik2 — 2we\) k2
|ki | < m, |k21 < m
+ ( ï(^bt) < — < К"« + )e—ik2'}.
«Lw = V {2;
ik2
ki + k2 = k,k € Zo, l2(ik2 — 2We 1) |ki|, |k21 = 1,...,m
t + _^Q(m) (
eik2tx
К wk2
(—4^gk'm)e—ikit + 4^Qk?r4 ¿diT—i1(e—ikit) — ik1Tk—i1(e—ikit) + + 4we 1т-i1(e—ikit)) — QkT)Tk—i1(e—ikit)) +
1
e
+ (—4WeQk^)e—ik2t + 4WeQkmm) (lT—21(e—ik2t) — ik2T—21(e—ik2t) +
;1T°—21(e—ik2t ^Xï^T—2we1 )
+ 4w 1T —1(e—ik2tЛУ1 1 w° eikit _w° eikit
+ 4We_ T k 2 (e ) U W°i e W°I e
HB (t)= V { — QkT )e—ik2tx
ki + k2 = k, k € Zo, | ki | , | k2 | = 1, . . . , m
x (¿Q^^(e—ikit) — ik1Tk—i1(e—ikit) + 4w ^>—ikit))-
— Qk^)Tk—i1(e—ikit)) + (—QfcT )e—ikit) ^ Qkm )( ¿^(e—ik2t)
e 1 e e
— ik2Tk—21(e—ik2t) + 4we eTk—21(e—ik2t)J +
d / » "I / ■ 1
+ Ч21(e—ik2t) — ik2Tk—21(e—ik2t) + 4we ^T—^e—ik2t)) x
x (¿Qkm^^—(e—ikit) — ik1Tk—i1(e—ikit) +
+ 4we 1T-i1(e—ikit)) — Qkm) T—i1 (e—iki t
= Е {- Е, Г, "0, е"'°з(
°1 + Е» € 20, Г 2 («к-2 - 1) "
|А11, |°2| = 1,...,т
х (¿^Ч ^(е-^) - гк^е-^) +4"^"(е-«*4)) -
- О,)Т-1(е-^А14)) +
+ ) (^^Т-1(е-гА24) - ^Т"1^24) + 4" 1т-1 (е-*°24)) х
х(- < е-^14) К
+ Е {(«° 1 + "01 )е-*14 О ^ ( 24)
41 4ше °2
1 + 2 = , |°11, |°21 = 1,... ,т
1.
^е"
- гк2Т-1 (е-г°24) + 4"евт-1(е-*°2*)) +
+ ( 4^ ^¡г^Т-1(е-г°14) - «к1Т-1(е-^°14) +4шевт"^))-
- О°Т)Т-1(е-г° 14))(и°2 + "02)е-*°24}.
5. Оценки правой части нелинейного уравнения (11). Для доказательства вышеуказанных теорем необходимы оценки каждого слагаемого в правой части нелинейного уравнения (11).
Лемма 4. Для а > 3/2 справедливы следующие оценки:
в"е1/2||В(Т"1^(т)),Т,-1(Я(т)))||Ь2,7(К+;я(т)) <
< в3/2 (К+;Я(т)), (12)
в"е1/2|Ь°т) (Т"1^ (т)))||2 (К+^ (т)) <
2
¿2,7 (К+;Я;т))
< (|||и0|||я(т) + |||"0|||я(т) "Я(т)"Ь2,7 (R+;Я;m)), (13)
в"е1/2|В(Т°"1(Я(т)),О(т)Т"1 (е-**))||,(_(т)) <
¿2,7 (К+;Я(т))
< в (|||и0|||я(т) + |||"0|||я(т) "Я(т)"Ь2,7 (R+;Я;m)), (14)
в"е1/2|В (О(т)Т°"1(е-г°4),Т°-1(Я (т)))||
¿2,7(К+;Я(т)) ^
< в (|||и0|||Я(т)
(т) Я(
К. "Я(т)"
¿2,7 (К+;Я(т)), (15)
0
Доказательство. Начнем с оценки билинейной формы:
J1 = e2We|B(Tk—1(7 (m)),Tk—1(7(m)))"2
e|| B(Tk (7 ),Tk (7 ))|| L2,y (R+;Hm) )
t
V ikj0 eik2(s—t)Tk—21(zkm))dsx
ki + k2 = k, k € Zo |ki | < m, |k21 < m
x (ik^t eiki(s—t)Tk—i1(zkm))ds — T—1 (zkm)))
L2,y (R+;H )
(16)
Распишем (16) по определению нормы:
2„„ / „27t I 7„|2ct
° k€Zo
J1 = e we / e Y sup |k|
V ik2 /t eik2(s—t)x
°
ki + k2 = k, k € Zo |ki| < m, |k21 < m
x Tk—21(zkm))d^ik^ eiki(s—t)Tk—i1(zkm))ds — Tk—i1(zkm)))
Вносим супремум под знак суммы. Здесь пользуемся тем,что
(|к 11 + |к2|)" < (|к1+ |к2|"), где = 2"-1. Тогда оценка перепишется в виде
71 < £2ШеС2 / е27* /0
£
k1 + k2 = k, k € Zo |ki | < m, |k21 < m t
ik2 jkT
x sup f eik2(s—t)Tk—21(|k2|CTzkm))dsx
k1 Zo, ° k2 k2
k1 € Zo, ° |ki | < m
x (ik^ eiki(s—t)Tk—i1(|k1|-zkm))ds — Tk—i 1(|k1|-zkm)))
+ e2wec2 / e2Yt
V
k + k2 = k, k € Zo, |k 11 < m, |k21 < m t
k1
|k1|2
t
sup ikW eik2(s—t)Tk—21 (|k2|2zkm))dsx
€ Zo, ° 2 2
x t eiki(S—t)Tk—i 1(|k112zkm))ds)
k2 € Zo, °
|k2| < m
+ e2Wec2 / e2Yt
V
k + k2 = k, k € Zo, |k 11 < m, |k21 < m
k1
|k1|2
dt.
2
00
2
2
OO
x
°
x
2
00
x
°
X sup ik2 f ^dsT^iijI
k2 e z0, Jo ki
|k2| < m
Обозначим интегралы через
С t
Afc2(t) = 4 eifc2(s-t)T-1(|k2|CTzkm))ds,
Jo
f t
Afci(t) = ikW eifcl(s-t)T—1(|ki|CTzim))ds - T-1(|ki|-zim)) Jo
f t
Bfc2(t) = ik2 / eifc2(s-t)T"i(|k2|CTzim))dS,
J o /■ t
Bfci (t) = i eik l(s-t)T-i(|ki|-zim))ds. o11
dt.
С учетом вышеуказанных обозначений получаем следующую оценку:
Ji < e2WeC2
327t
Е
ki + ^2 = k, k e Zo, | ki | < m, | fc21 < m
k2 |k2|2
sup Afc2 Afci fci e Zo,
|ki | < m
dt+
+ e2wec2 / e2Yt
Е
ki + ^2 = k, k e Zo, |ki | < m, |k21 < m
| ki |2
sup Bfc2 Bfci
+ e2Wec2 / e2Yt
Е
ki
fc2 e Zo,
|&21 < m
sup Bfc2
dt+
Tfc-ii(|ki|2zim))2
ki+k2=eZo, |ki|c ik? e<Z°,
|fci| <m, |fc2|< m |k21 < m
ki
dt.
Для вычисления выносим супремум выражений по переменной Ь для того, чтобы получить подынтегральное выражение, не зависящее от соответствующих к1 или к2, при этом знак суммы можно вынести из-под знака интеграла. Следует учесть, что ряды
ci = Е
k2
fci = i
|ki|
22
k2 k2
< те, C2 = > ,,
k^i | k2122
<
сходятся при 2а - 2 > 1, а > 3/2, а также, что
Е
iki\> < i ki y2
ki = k - fc2, k e Zo, |k 11 < m, |k21 < m
V|ki|
k
=Л |ki|
Тогда оценка 71 примет следующий вид:
Jl < e2wec2 sup sup to 2 ГОС 2 f e2Yt sup Aki
t k2 e Zo, o k i e Zo,
| k2 | < m |k | < m
2 ^ k2 dt £ ^
2
эо
o
2
оо
k
i
o
оо
o
22 +e wec2 sup sup 2 f^ / e2Yt sup Bk2
2t ki € Zo, ° k2 € Zo,
|ki | < m
|k2| < m
di V
ki = 1
k2
| k 1122
22 +e2wec2 sup sup
t ki € Zo, |ki| < m
Tki1(k? zkm))
Lki
ki
k1
2 ГЖ
e27t
sup b°2
1 + (18) (19)
k2
k2 € Zo |k2| < m
ki = 1
Остается вычислить супремумы:
sup sup |Ak21 = sup sup
t k2 € Zo, 2 t k2 € Zo,
|k2| < m |k2| < m
if eik2(s—t)Tk—21(|k2|2zkm))ds J°
2
Умножим подынтегральное выражение на e Yt и eYt:
|t
sup sup |Ak2
t k2 € Zo, 2
|k2| < m
Положим
|2
sup sup
t k2 € Zo, |k21 < m
t
i / eik2(s—t)e—YteYtTk—1 (| k212zkm))ds ° k2 k2
X(m) = (Tk—i1(zkm)), |k1| < m,k1 = 0), X2m) = (Tki1(zkm)), |k2| < m,k2 = 0), X3m) = (£T^k-i1(zkm)), |k1| < m,k1 = 0),
X4m) = (£ ddiTk-i1(zkm)), |k1| < m,k1 = 0).
Воспользуемся неравенством Гельдера, тогда |2
sup sup |Ak21 <
t k2 € Zo, 2
|k2| < m
< sup
k2 € Zo, |k21 < m
3—27t
1/2
e2Yt|Tk—21(|k2|2 zkm ))|2ds
k2
1/2\ 2
= Il X(m) ||2
27 HL2,7 (R+;Hm))
Воспользуемся оценкой нормы (7) и фактом, что y = ep°:
sup sup |Ak2|2 < —(-c2||Z('
t k2 € Zo, e Ve
|°2 | < m
m)
'¿2,7 (R+;H-m))
(20)
Далее
°
2
oo
30
°
°
N1 = / е 0
274
йир А°1
°1 € 2°, |°11 ^ т
ЙЬ =
/ е274 вир |к11 /0 °1 € 2°,
| ° 11 ^ т
г-оо
«к1 / е^^Т"1^)^ Jо
/•те
+ е2^ вир |к1|2-|Т°"1(^£т ))|2^Ь = ./0 °1 € 2°,
°1 € 2°, |°11 ^ т
(т))11 2
= ЩТ-Ч^("")И^2л(К+Я-.) + «^«Е(,+;я'-)- (21)
Первую норму (21) оцениваем согласно формуле (9), а другую с помощью (7):
N1 < Xс2||Я(т)п2
2 с3|
1^2,7 (R+;Я;m))•
(22)
Таким образом, оценка для слагаемого (17) принимает вид
в2 "е с2
е
274
0
Е
к2
вир А°2 А°1 °1 + °2 = °,° € 2°, |k2| А1 ,€2°,
|°11 <т, |°2|< т |°l| < т
2 с1 (
< .А,с?^ 1с2И2(т)||^вс2И*(т)
¿2,7 (К+;Я<т))
= ^ Гс 117(т) II
в3 X2,2"¿2,7(К+;Я<т))
Аналогично оцениваем слагаемое (18). Здесь пользуемся оценками (20), (22): виР виР |В°1|2 < 1 с2||Я(т)||Ь2 (К+^(т))/ ,
4 °1 € 2°,
| °11 ^ т
п274
вир В°2
°2 € 2°, |°21 < т
вв 2 /1
ЙЬ < (1с2||Я(т)||
¿2,7 (К+;Я<-т))
Отсюда следует
в2 ше с. вир вир |В°1|М е 4 °1 € 2°, Л
| °11 ^ т
27*
к2
А1=1
| к 11
22
вир В°2 ^ Е
°2 € 2°, |°21 < т
< ¡3 (С3,2 ||Я (т)||Ь2,
<
(т) .
7 (К+ ; Яст ) /
Для слагаемого (19) супремум оценивается следующим образом:
оо
2
в
2
оо
2
4
оо
2
0
4
N2 = sup sup
t ki € Zo, |ki | < m
Tk—i1(|k1|2 zkm))
k1
г d
sup sup —
t ki € Zo, j° ds |ki| < m
Tki1(ik1i2 zkm))
k1
ds <
* Tki1(ik1i2zkm)) d Tr1(ik1i2zkm))
< 2 sup sup
t ki € Zo, |ki | < m
Используя неравенство Гельдера, получим
ki
"ki
(m)
ds
ds.
N2 < 2
sup
ki € Zo, |ki| < m
t°—i1(ik1i2 zkm))
ki
k1
2 \1/2 ds x
x sup
/° ki € Zo, |ki | < m
d T°- 1 ( | k 112 zkm) )
k1
ds
k1
\ 1/2
ds
Заметим, что 1 ^ е27*, УС > 0. Значит, последнее неравенство можно переписать в виде
N2 < 2 sup
ki € Zo, V J°
|°i| < m
e2YS sup
k1 € Zo, |ki| < m
t°—i1 (ik1i2 zkm))
k1
k1
2 \1/2 ds x
e2YS sup
k1 € Zo, |ki| < m
d t°—i1 (ik1i2 zkm))
k1
ds
k1
\ 1/2
ds
= IIX
(m) I
^ '11к2,7 (К+;На-)^1 Х4 'I 1к2,7 (М+;На-)). Поскольку мы рассматриваем задачу при |к| ^ 1, можно записать
(m) I
N2 <
X
(m)
L2
X
(m)
L2,y (R+;Hm))'
Воспользуемся оценками (7), (8):
N2 < 1сз!^(т))! В итоге мы получаем следующую оценку:
ез .....L2,y (R+;Him)).
(23)
22 e2 we c2 sup sup
2 t k1 € Zo, |°i| < m
Tk—1(|k1|2zkm)) 2
k1
,27t
sup Bk2
k2 € Zo, |k2| < m
)
'dtE
k1
=1 |k1|
22
<
2
2
k
k
1
1
00
2
00
00
2
x
°
1
2
k
1
°
< ¡3 (ЧЛ*(т))11ь2л(К+;яН))4-
Таким образом, доказали, что
ИТ-Ч7 ^Т-Ч7 (т)))|^2,7 (К+Нт)) < ¡3 Н7 М||12,7 (К+Нт)).
Аналогично проводятся оценки для других выражений в правой части нелинейного уравнения (11). Лемма 4 доказана. □
6. Существование решения нелинейного уравнения. Решение нелинейного уравнения (11) будем находить последовательностью итераций Х(:,) =
= (х(Л, 1 < |к| < т):
X= е-4^^*) + е-ш1/2£ (т)(£) +
+ ¡^е1/2{в(т)(Т"1(Х£-1) ),Х-1(Х У-1))) +
+ 4Х£(Т-1 (Х?-1))) +2ь1т)(Т-1 (Х?-1)))}, з > 1, (24)
Х (°)
Здесь
Х(0) = е-4^^*) + ¡ше1/2 0<т)(*).
= /<т)ф + 2^У2^), ^ = 2(Я^(<) + 2НВ (¿)).
Далее будет доказано, что последовательность итераций Х^ является фундаментальной и ее предел является решением нелинейного уравнения (11)
в весовом пространстве £2>7(в+; Н^). Обозначим
= е-4^4т)(;) + ¡ше1/2£ (т)(Х Я™) = (^т) ( *), |к| < т,к = 0).
Сформулируем теорему существования решения нелинейного уравнения (11) в ¿2,7 (М+; НТ).
Теорема 3. Пусть а > 3/2. Тогда для нелинейного уравнения (11) существует единственное решение 7(т) е Ь2,7(М+; Нат)), если
1__2 с2 II Я(т) II . . I
¡3/2 1 - ^Н ^ Иь2,7(К+;Нт)) +
+ ¡с2,ст(|||и°|||н(т) + |||ад°|||н(т0 < 92, 92 е (0, 1)
и выполняется неравенство
1
117(т)|| , ч < 1 II Я(т) | , .
||7 11 .(в, Нт)) <1 „1г II Го .(в, Нт)А.
'¿2,7(К+;Хт)) ^ 1 - д1г ¿2,7(в+ Нт))
Здесь д определяется на основании нижеследующей теоремы 4. 7. Ограниченность последовательности итераций. Начнем с дока-
( о)
зательства ограниченности последовательности итераций Хк нелинейного уравнения (11).
Теорема 4. Пусть а > 3/2 и существует д € (0,1), не зависящее от т, р, £, такое, что
1__1 с2 II Т"(т) || . . —
£3/2 1 - дС1,И1 ^ 11к2,7(К+;На-)) +
+ -c2,ст(|||и0|||Н(т) + |||г0|||Н(т)) < д, д € (0,1). Тогда для любого ] ^ 1 справедлива оценка
!Х(0)^к2,7(К+;Н(т)) ^ Г^ |7"(т) ||к2,7(М+ ;Н(т)).
Доказательство. Рассмотрим формулу (24) в £2,7(М+;Нат)) и применим оценки выражений правой части нелинейного уравнения (11):
llX(j)|lL,„(,+ ;H«) <
<1 1 *m) | 1 I,-, (.+;H<~>) + ( ез с2-| I X "-"I | L„ (.+;«■-•)+
2,2 e2 + >) i|x "-"II^ (E+;Himi)'
Положим X2 = !Х(о)!2 (т) . Поскольку
I|X°-1)||1„(R+H-Л < X2
выполняется оценка
'L2,y (R+;H^m))
х2 < ii-F(m)iL3 y (.+;«■-.) + (? c2,2 x 2+ei.2 e4 ( I I I I I I H.-. +1 I I I I I H<-> )) X2
Если
eic2,2X2 + c4,2e2 ( I 11 u°I I I 2(-) + II I w°I I I 2 (-)) < q2, q G (0,1), (25)
то
Х2 < Г^| I ^ I | к«„ „+;.„■"•>■ (26)
Действительно, неравенство (26) верно, если
£3с?, ^2 ,7(м+;н(-))+с2-£2( | | | и0 | | | Н(-)+| | | г0 | | | Н(-)) < д2, д € (0,1).
21
Далее, необходимо применить математическую индукцию, поскольку в этом случае справедливо (25). При з =0 имеем
II Х(°)||2 =11ЯЫ||2
||Х 11 ¿2,7 (К+;Н-)) 11 ¿2,7 (К+;н!т)).
При з = 1:
1
;Н-)) < Г
Пусть выполнено для з = в:
II Х (1) 1|2 < 1 | |ЯМ||2
" "¿2,7(К+;Н-)) < 1 - 92 11 ¿2,7(К+ ;Н-)).
||ХМ||2 < 1 | |ЯЫ||2
"Х "¿2,7(К+;Н-)) < 1 - 92 "¿2,7(К+;Нт)).
Покажем, что неравенство (26) выполняется и при з = в + 1. Имеем
"Х("+[)(,+;«■»>) < "Х(°)"¿2,Y+ »^«Е(в+Н-)«2 <
<|| т-(т)||2 + 9 11 Я(™Л|2 =
< "¿2,7(к+;Н-)) + 1 - «2 "¿2,7(к+;Н-))
1 "ям-0
1 - 92" "¿2,7(к+Н-))'
Верно для з = в + 1. Таким образом, ограниченность нашей последовательности доказана. □
8. Фундаментальность последовательности итераций.
Теорема 5. Последовательность Х (Л является фундаментальной в ¿2,7 (М+; Нстт)), если
1 2 _с2 || Ят) || +
"К "г.„ (в, (-)) +
¡3/2 1 - "¿2,7(в+ ;Нт)) +
1
+ (Ш«°|||Н(-) + |||^°|||Н(-0 < 91, «1 е (0,1).
Доказательство. Рассмотрим итерационную последовательность Х^ = + (т)(£) +
+^е1/2{Вт)(Т- 1(Х ('-1)),Т-1( ХУ-1))) +4^ (Т,-1(Х £-1))) +
+2Ь ^(Т-1 (Х?-1)))}, з > 1,
Х(°) = + (т)(£).
Наряду с (24), определим последовательность с другим индексом: Х^ = + г™е1/20<т)(*)+
+£аде1/2{в(т)(Т- 1(Х(^-1)),Т-1(Х(^-1))) + 4^ (Т-1^)) +
+2Lkm)(Tk—1(X°s—1))П, s > 1,
k
m) k
Рассмотрим их разность:
Xf = e-4Wet/eF"km) (t) + ewe1/2Gkm)(i).
Х? - Х« = £ге1/2{Вкт) (Тк-1(хко-1) - ХГ1)),Т-1(ХГ1))) + + вкт)(Тк-1(Хк5-1)),Тк-1(Хко-1) -Хк*-1))) + 4^(Тк-1(Хко-1) -Хк^-1)))+
+ 24т)(Т-1(ХГ1) - Х^-1))
Отсюда для 1 < в < ] имеем
Iх(j) — X(e)II2r_ .„(-к <
'L2,y (R+;HCT-))
< Iх (j-1) — X ^IIL,, à c1,2 »-X "-"IIL,, (.+ *«) +
+ ei c2-2 Iх """»L., (,+ ;H«) + C42 (III"°IIIHi-) +
Если
1^c1,2II^:(m)NL2.Y(R+H-)) + e2c4,2( I I I u° I I I H-) +1 I I w°I I I H(-)) < q2,
то
Iх (j)—X '•'IL.,, (.+H->) < q2 Iх (j-1) — X (,+H- ) <
< д2'»Х (1-а) - Х (0)ика„ (М+Н-) < +1-? >»^»1,, (М+Н-)-
Таким образом, мы показали, что последовательность итераций Х (о) является последовательностью Коши. □
9. Теорема существования решения.
Теорема 6. Пусть а > 3/2. Тогда для нелинейного уравнения (11) существует единственное решение Z(т) € £2,7(М+; Нстт)), если
1__2 с2 ||^(m)|| . . I
е3/2 1 — qC1,2 IIF ^2.,(R+ ;Н(-)) +
1
+ e«4,2(11 I u°I 11 H(-) + II I w°I 11 H(-0 < q2, q2 G (0,1),
для которого выполняется неравенство
II Z(т)|| , ч < 1 ||т-(т)|, . .
"к2,7(К+;Н(т)) < 1 - д "к2,7(К+;Нат))"
Здесь q следует из теоремы ограниченности последовательности итераций (теорема 4).
Доказательство. Необходимо показать, что
Z(m) = lim X(j)
в L2,Y(R+; H(m)), Z(m) = (z(m), |k| ^ m, k = 0) есть решение нелинейного
уравнения (11) в L2,Y(R+; H^).
Существование предела следует в силу фундаментальности последовательности итераций (24). Обозначим через M(z(m)) оператор, определенный по формуле
M(z(m)) = 4m) - ^we1/2{4Lf (T-1(zim))) + 2L im)(T-1(zim))) +
+ 4B(m) (Tfc"1(z(m)), T-1(z(m))) } = z(m) + M^f) = Ff , (27)
где
M^f) = -,we1/2{4LB (T"1(z(m))) +2L im)(T-1(zim))) +
+ 4Bim)(Tfc-1(zim)),T-1(zim)))}.
В формуле (27) добавим и вычтем слагаемые X(j), Mi(z(m)), а также воспользуемся определением, что
X (j) + Mi(X (j-1))= Ff .
Тогда
4m) + Mi(z(m)) = x(j) + Mi(x(j-1)) + 4m) - x(j)+
+ Mi(4m)) - Mi(X(j-1)) = Ff + R(z(m)).
В весовом пространстве L2,Y (R+; Ham)) получаем
4m) + Mi(z f )= Ff + R(z(m)).
Здесь
R(z(m)) = 4m) - X(j) + Mi(z(m)) - Mi(x(j-i)),
Mi(z(m)) - Mi(X(j-i)) = -.wei/2{B(m)(T-i(zim) - x(j-1)),T-i(z(m))) + + B(m)(Tfc-i(X(j-i)), T-i(z(m) - X(j-i))) +4LB (T-i (z(m) - X(j-i))) +
+ 2Lim)(Tfc-i(z(m) - X(j-i)))}.
Покажем, что (т))||к (М „(т)) — 0. Имеем
(т))»к1л(,+Н">) < ^(т) - Х(')»к,„(,+Н">) +
+ вм^ (т))- м,(Х (о-1))Вк1л (м+Н»)).
Здесь
11^^(т) - Х(о)||2 (»V — 0
в силу фундаментальности последовательности итераций. Далее оценим
УМ^^ - М1(Х(о-1))»к2,7 (М+Н»)) < ^ - Х(0-1) "к2,7 (М+;Н(»))Х
x (ез с1,2 IIZ(m) IL2.Y(R+;H(-)) + eic1,2 NX(j 1) IL2.Y(R+;H(-)) +
+ e2 c2,2 (IIIu°IIIH(-) + iiiw°iiiH(-);
Исходя из теоремы 5 имеем
Е = 1 2 с2 11^(^)112 +
Е = £3 ^ ( )!к2,7 (М+;Н(т)) +
1
+ ¿2с4,2(IIIu°IIIH(-) + iiiw°IIIH(-)) < q2, q2 G (0,1),
поэтому можно записать
||М1^(т)) - М1(Х(°-1))»к2,7(М+;Н(»)) < д^(т) - Х(°-1)»к2,7(М+;Н(»)). Поскольку
^(т) - Х(°-1)»к1„(,.+ ;„«) - 0
имеем
||М1^(т)) - М1(Х(°-1))»к2,7(М+;Н(»)) - 0. Получаем, что Е(^кт)) — 0 в £2>7(М+;Н(т)). Итак, в £2>7(М+;Н(т)) имеем
4т)+М1(^кт)) = тр. □
Можно показать, что оценка для ||.7г("г)||2 (») имеет вид
к2,7 (М+;На )
^t., (R+H-)) < ci1 (II|u°|||H(-) + II|W°|||H(-) )+
+ 1 ( | | | и0 | | | 2 (») + | | | г0 | | | 2 (») )2. (28)
С учетом (28) переформулируем теорему существования решения уравнения (24).
Теорема 7. Пусть а > 3/2. Тогда для нелинейного уравнения (11) существует единственное решение 7(т) е £2,7(К+; Нат)), если
(|||и°|||Н(-) + |||ад°|||Н(-)) < ¡2«4, «4 е (0,1), (29)
для которого выполняется неравенство
"7 (в+н-)) < (|||и°ИН-) + ||И|Н-),
где
^ = (с3 + ¡3/294). 1 - 9
10. Единственность решения. Пусть имеется другое решение 7* = |к| < т} нелинейного уравнения (24). Тогда получим
|7* - 7(т)"2 (- <
' "¿2,7 (К+Н-О ^
<117 * 7 (т)||2 (1 с2 ||7 *ц 2 +
< "7 - 7 "¿2,7 («+Н-)Д ¡3 ^ "7 "¿2,7 (К+;Н(-)) +
+¡3с2- "7 (m)"¿2,Y (в+н-))+¡3 с4. (|||и°шН(-) + ||к°шН(-))).
Если
117*112 < 1 11 Ят)Н2
"7 "¿2,7(к+;Н-)) < 1 - 92 "¿2,7(К+;Н-)Г
¡3^"^"¿2 (в+Н-)) + ¡3(|||и°||Н-) + ||И|Н-)) < 922 < 1
|7* - 7(т)"2 - < д2 "7* - 7(т)"2 („)
1 " г.о .ев , .и(тп ^ " " г.о .ев , -гЛ-Л
¡3 1 - 92 ¿2,7(к+;Н-)) е2 4,°у......Н— .......Н
то
И7* _ 7(т)|
'¿2,7^Н^) ^ -14 "" " "¿2,7
Поскольку 0 < 92 < 1, отсюда следует единственность решения 7 * = 7(т).
11. Существование решения нелинейного уравнения с оператором возмущения. Теперь рассмотрим нелинейное уравнение с оператором возмущения в правой части:
4т) = е-4ад е*/е.т)(*) + г™е1/2£<т)(*)+ + ¡ше1/2{4^(Т"1^)) + 2Ь (Т"1^)) + 4в(т) (Т"1^), Т"1^))
- ^^(т-1^ 1т)Т-1(е-«й) + Т-1^))}, (30)
Оценка оператора возмущения имеет вид
¡2"Т«^™) + ф 1т)т-1(е-^4))"¿2,^(в+ Н-)) <
< II|u°IIIH(-) + II|w°|||H(-0 3+ + c2°,2 (|||U°|||H(-) + IIIwHlH-) )2IZ ^Н^., (R+;H(-)) + + 4,2 e^ ( I I I U° I I I H(-) +I I I W° I I I H(-) )IZ (m)IIL2.7 (R+;H(-)) +
+ с2 z(т)||3
Перепишем теоремы 4, 5, 6 с учетом того, что в правой части нелинейного уравнения (30) присутствует оператор возмущения.
Теорема 8. Пусть а > 3/2 и существует д € (0,1), не зависящее от т, р, £, такое, что
£3/2 с2,ст ^ (у-^^ (М+;Н(»)) + ^£(|||и0|||Н(») + |||г0 |||Н(») )3) +
1 ^ (|||и0|||Н(») + |||г0|" )2
„2 _ „2 , „2 .ЯП | „2 П. (||| „.0||| . . , 11 )3^
+ £2(|||и0|||Н(») + ||к0|||Н(»))2 < д, д € (0,1),
с2,а = с!,, + с22)СТ ЦЯ" |к2,7 (М+;Н(т)) + ^(|||и°|||Н(т) + |||г0|||Н(») )3). Тогда для любого ] ^ 1 справедлива оценка
1
||Х(М+;Н(»)) < ||ЯМ||к2Л(М+;Н(»)) +
+ ^£(|||и0|||Н(») + ||к0|||Н(») )3).
Теорема 9. Последовательность Х (о) является фундаментальной в £2>7 (М+; Нстт)), если
1 2 -с2 II , , —
„с2,ст ||— У||ко ..(в, -V(т)) +
e3/2 1 — 11L2.Y (R+ ;H(-))
+ ^с4,2(|||u°|||H(-) + |||w°|||H(-))2 < q1, q1 G (0,1),
с2,а = + с22,ст ||я(т) ||к2>7 (М+;Н(»)) + с2,, ^£(|||и0|||Н(») + |||г0|||Н(») )3).
Теорема 10. Пусть а > 3/2. Тогда для нелинейного уравнения (30) существует единственное решение Z(т) € £2>7(М+; Нстт)), если
1 2 -с2 II , ч —
|| — Нко .(в, ;П(т)) +
e3/2 1 — q"2,2"' 11L2.Y (R+ ;H(-))
+ e2c4,2(II|u°|||H(-) + |||w°|||H(-)) < q2, q2 G (0,1),
для которого выполняется неравенство
"7 М|к7 (в+Н-)) < ^ ("Я "¿2,7 (в+Н-)) +
+ с2,ст ^(|||и°|||Н-) + ||к°|||Н-) )3). (31)
Применим оценку (28) к (31), чтобы переписать теорему существования решения через начальные данные с учетом того, что в правой части нелинейного уравнения (30) присутствует оператор возмущения.
Теорема 11. Пусть а > 3/2. Тогда для нелинейного уравнения (30) существует единственное решение 7(т) е £2,7(К+; Нат)), если
(|||и°|||Н(-) + ||к°|||Н(-)) < £294, 94 е (0,1), (32)
для которого выполняется неравенство
"7^¿2,7(в+ Н-)) < ^(|||и°ИН-) + |||^°НН-))
где
= 1-(с3 + е?3,а¡3/294 + с9,ст£594).
1 - 9
12. Аппроксимационное решение системы уравнений Карлема-
на. Теперь введем последовательность аппроксимационных решений:
U(m) (x, t) = u0m) (t) + E uim) (tj
j€Zo,|j|<m
•w(m) (x, t) = w0m) (t) + E j (t)eijx
(33)
j€Zo,|j|<m
цее гильбертово пространство
функций
и следующее гильбертово пространство W21Y (R+; W^ (R)) периодических по x
g(x,t) = £ gj (t)eijx jez
с нормой
2
|||g(x,t)|||W21,Y (R+;Wi, (R)) =
= I e2lt((sup |dtg(x,t)|)2 + (sup |dxg(x,t)|)2 + (sup |g(x,t)|)2)dt. Jo V xeR xeR xeR J
Лемма 5. Для а > 3/2 справедливо следующее неравенство:
|||g(x,t)|||W2l,7 (R+;W1 (R)) < "g(x,t)"Wl,7 (R+H). (34)
Доказательство. Действительно, имеем
(вир |дíg(x,í)|)2 < 21(¿) |22 + 2 ( Е |(¿) I)
<
<2
2
+ 2 8ИР
3еЖо
• |2ст
Л , Ч 1
Положим
Тогда
С = * £ з
зеЖо
|з|а
/ е27^вир 2dí <
/° ж ев
/•оо
< с2 / е2^
+ вир
3еЖо
|2ст
5*М
Отсюда следует оценка (34). □
Ниже, в зависимости от удобства, мы будем работать в одном из гильбертовых пространств ^^(в+; ^^(Д)) или ^^(в+; Яст).
Теорема 12. Последовательность аппроксимационных решений фундаментальна по норме гильбертова пространства Ж1,7 (в+; Яст). Более того, стремится к слабому решению {-и?, ш} задачи Коши (2):
1° / со(и' (^ +з) + 2ш ^ - и)-
Е (и31 - ш31)(и32 + ш32
- ¡Ш1/2
31 + 72 = 3,
3 е Жо
+
4=°
= 0,
1° / „Н I- з - 2Ше 1 (ш- и)+
+ ¡щУ2 Е (и31 - ш31 )(и32 + ш32
л + 72 = 3 3 е Жо
/оо -оо
для любых тестовых функций е С^0(в+ х в1).
= 0
4=°
2
2
2
оо
2
2
°
оо
Теорема 13. Если (й,г?) € ^21(М+ х М1), то слабое решение становится классическим для почти всех (ж, С) € М+ х М1.
1) Итак, покажем что последовательность аппроксимационных решений (33) фундаментальна в ^21,7(М+; ) в норме
г те
||у(М)%7(М+;ЯСТ1) = / е2^|2^+
+ Е /" е27Ь(|^|2-1 (С)|2 + Ы2(ст1-1)||^(С)
2\ J dt.
Заметим, что имеет место вложение пространства
Hm) С H, (35)
если элементы пространства продолжить нулями при |j| > m.
Теорема 14. Пусть а > 3/2 и выполнено (32). Тогда последовательность
Z(m) = (zjm), |j| < m, j = 0)
является фундаментальной в пространстве L2>7(R+; H) и имеет предел
lim Z(m) = Z.
Доказательство. Из уравнения (11) для |j| ^ mi имеем
HZ(m2) - z(mi) у2гл(r+) <
< He-4Wei/£(F(m2)(t) — F(mi)(t))||L2,Y(R+) + £2WeHG(m2)(t) - G(mi)(t)H|2,7(R+) + + eV{4||Lf (T;-1(Z (m2)) — T,-1(Z (mi)))^2,7 (R+) +
+ 4|L(.m2)(T;-1(Z(m2))) — L(mi)(T-1(Z (mi)))|22,7 (R+) +
+16||Bm2)(T-1(Z(m2)),T-1(Z(m2)))—B(mi)(T-1(Z(mi)),T-1(Z(mi)))|2 (R ) +
j V j v j v v j V j v j v (r+ )
+ e2we|T;dd(T-1(z(m2))-T-1(z(mi)))|L2,7(R+)}. (36
Домножим (36) на |j|2ст, а также возьмем супремум:
sup |j|2ст||e-4Wei/£(F(m2)(t)-F(mi )(i))|L2 (R+) <
< ci£sup sup |j|2CT|F(m2)(i)-F(mi)(t)|2.
Для вычисления разности воспользуемся следующей леммой. 30
Лемма 6. Пусть даны две суммы
«1(*)= Е Ал,32 (*), = Е Ал,32 (*).
31 + 32 = з, з е л + з = з, з е йо,
|зх| < т2, |з21 < т2 |31| < т1, |з21 < т1
Тогда их разность при условии, что т2 > т1, вычисляется по формуле
- ^(¿)= Е АЛ,з2 (*)■
з1 + з2 = з,з е йо, |з1| < т-2, |з21 < т2, тах(|з1|, |з21) > т1
Доказательство. При вычитании индексы, ограниченные mi, изменяются следующим образом
1) |ji| < mi, |j2| > mi;
2) |ji| > mi, |j21 < mi;
3) |ji| > mi, |j21 > m2.
Отсюда получаем условие max(|ji|, |j2|) > mi. □
Тогда
sup sup |j|2-|F3(m2)(t) -F(mi)(t)|2 <
< С(|||u0|||H(mi) + |||w0|||H(mi))2 E j*-+ " " 32 e Zo,
|j21 < m2, |321 > mi
+ (|||u0|||H(mi) + |||w0|||H(mi) )2 E ijW <
3i e Zo,
|3i| < m2i |3i | > mi
< <£- (|||u0|||H(mi) + |||w0|||H(mi) )2 E j2- .
32 e Zo, 1321 < m2, |j21 > mi
Лемма 7. Имеет место следующая оценка:
| j212- - m2--i,
32 e Zo, 1
|321 < m2, I321 > mi
Доказательство. Заметим, что
5 = V — < V — < [ °° = ^__
|^21< Ь'2|2- < ]тг Ж2- 2а - 1 ш2СТ-1 ■
з2 е йо, з2 е йо, 1 1
|з21 < т2, |з21 > т1 |з*21 > т1
Сумма 5 стремится к нулю при Ш1 ^ те, если а > 1. □
Тогда
|e-4Wei/£(F(m2)(i) — F(mi)(t))H2 (R W(mi)) < ma—I94.
22,y (к+,яст ) m2" 1
Аналогично оцениваются другие выражения (36). Таким образом, неравенство (36) примет следующий вид:
HZ(m2) — z(mi)H2 (т1) < -4^4 + c22aq2Hz(m2) — z(mi)H2 (mi).
Перенесем норму, стоящую справа, влево:
"Z(m2) — Z(mi)»L,„(,+ ;H."i>)(1 — ^922) < ^
Потребуем выполнения неравенства
22 1 — c12,a92 >
Для того чтобы перейти к пространству L2 ,Y(R+;Ha), доопределяем
Z(mi) = 0, |j| > m1 и пользуемся (35). Тогда получаем неравенство
II ZZ(mi)||2 ^ _C11,aq4_
HZ Z Hl2,Y(r+;H) ^ (1 — c22,aq2)m1a-1,
которое дает фундаментальность
Z (m). Получаем существование предела в
L2,Y (R+; ):
lim Z(m) = Z.
Отсюда вытекает, что u(m) ^ u, w(m) ^ w при m ^ то. □
2) Аппроксимационное решение при m ^ то слабо стремится к решению задачи Коши (2):
/*те гте . л
(dts(m) + dxU<m) — 2we -(W(m) — ?(m)) +
J0 J—те^ £
+ ewe1/2 ((u(m))2 — (w(m))2)) <^(x,i)dxdi =
гте гте , -
= — J J (u-(m) (dt + dx) + 2we-(W(m) — ?(m)) —
. /• те
— £We1/^(u<m))2 — (W(m))2)) <^(x,i)dxdi — / uV(x,t)
z ./—те
/те /• те , - .
J (w(dt + dx) + 2we-(w — и) — ew^2^2 — W;2)J ^>(x,t)dxdt—
t)
dx —>
Л + dx) + 2we-'0 J—те y £
те
0
dx
t=0
для любой тестовой функции ^ е C0° (R+ х R1), где
= lim ?(m), w = lim w(m)
m^tt m—>oo
в W,1,,(R+; ), a > 3/2. Это непосредственно вытекает из теоремы 14. Далее покажем, что нелинейная часть также слабо сходится. Имеем
/*оо /* оо
/ / ((úx(m))2 - (w(m))2)<^(x,í)dxdí =
Уо ./-оо
f оо /*оо /*оо /* оо
(и2 - t?2)^(x,í)dxdí + / / ((ú¿(m))2 - u2)^(x,í)dxdí-о - о -
г оо /"ОО
((•?(m))2 - г2)t)dXdt. (37)
Обозначим
/•оо /-оо
1l
о-
<
(/•оо /• оо \
/ / |(и(т) - ) ■
./о ./-оо /
Ограниченность выражения 8ир4 8ирх|и(т) + и| вытекает из (12)—(15), (23), теорем 9 и 12. Положим ^>(ж,£) = ^>(ж, ¿)х(ж, ¿), х(ж,£) € СО (М+ х М1), х(ж,£) = 1 на вирр ^>(ж,£). Применим неравенство Гельдера:
, /• оо /-оо \ 1/2 / /"оо /• оо \ 1/2
11 < С1 / / (и(т) - и)2|х(ж,¿)|2 ¿жМ) ( / |^(ж, |2 Жк^ о - о -
Выносим супремум по ж выражения (и(т) - и)2. Тогда
(/• оо /• оо \ 1/2
/ 8Ир(м(т) - и)2/ |х(ж, ¿)|2 х
./о хем У-оо /
\ 1/2
(/■ оо /"оо \ 1/2
J J |^(x,í)|2dxdn <
(/•оо \ 1/4 / /-оо /-оо \ 1/4
/ e27Í(sup(Ü(m) - ?)2)2dí ( / / |x(M)|4dXdi) х ./о жек / \./о ./-оо /
оо /• оо \ 1/2
2
х ( / / |^(ж, о-
Пользуясь оценкой (34) для перехода к другой норме, получаем
(/•оо /-оо \ 1/4
/о У оо1х(ж,^)|4х
(/• оо /• оо \ 1/2
у У |^(ж, .
о
Отсюда следует, что
11 — 0, т — ТО.
Так же при т — то получим
1
гте гте , 1
J ! (дЬги(т) - длги(т) + 2г1 (г(т) - ио(т)) -
- £ге1/2((Й(т))2 - («;(т))2))=
гте гте . 1
- (г(т)(д4 - дх) - 2геЧго^ - ио(т)) +
Л) ./-те ^ £
) те
+ £ге1/2((и(т))2 - (г(т))2)- —
-/-те *=0
/•те /-те ( 1 )
- У У V (д* - дх) - 2ге 1(гу - и) + ^¿^(и2 - го2
/• те
С)
*=0
для любой тестовой функции ^ € 60° (М+ х М1). 3) На третьем шаге надо доказать, что
/•те /*те> , 1
У У (д4й(т) + джих(т) - 2ге - 0(т)) +
+ £ге1/2((0(т))2 - (г(т))2))— 0, т — то,
/•те /»те / 1
У у (д*го(т) - длги(т) + 2ге1 (г(т) - 0(т))-
- £ге1/2((0(т))2 - (г(т))2))— 0, т — то. (38) Для этого подставим ряд Фурье в (38):
/•те /*те> , 1
71 = у у (д*го(т) - д*ги(т) + 2ге1 (го(т) - 0(т))-
- £ге1/2((0(т))2 - (го(т))2^=
Гте Гте ( й (") 1 (") (")
У, У^ +2ге£ (г0) - и0))-
- £гУ2 Е (и(Г)иО-Г) - гОт^т^
О1+О2=0
+ /VI!Е ег°х(^ - и + 2г 1 (О - и<"»))-
- £ге1/2 Е - ЦГЧГУ7'*)
71 + 72 = 7
О е Жо
Воспользуемся тем, что для ] =0 имеем
^ + 2ге 1 (г0т) - и0т)) - £ге1/2 Е - ТЧ?) = 0,
Л+.72=0
а при |Л < т
- + 2-Ше1 (г.т) - и.т))-
- £ге1/2 Е 7и?) - 7ЧГ)) = 0, Ы < т
.1 + .2 = 7, 7 е Жо
Покажем, что члены
* = Iте ( Е е- (- ^ — 2Ше^ - 'Г)) -
|.|>т
- £ге1/2((й(т))2 - (го(т))2^ — 0.
Здесь для j ^ т — 1
/•те /* те
¿3 = / ((0(т))2 - Сш(т))2)=
/0 ./-те
г*те /* те
Е 77 - 7ЧЛе7^(ж,
0
71 + 72 = е Жо, |711 > т, |721 > т
Домножим и разделим последнее неравенство на ^^ . В итоге приходим к оценке
|73|2 <
< Е Г Г |л|стИг^г2—
.. . I 11-11 III 11/1-^^"
. +. 7 7 |л|2<7Ы^Нл
71 + 72 = 7,7 е Жо, |711 > т, |721 > т
+ {Г /I 7 ^7 }.
0
Надо показать, что ¿3 стремится к нулю при т — то. Обозначим
|74|2 = 1°те ^Г|и7-Г)| ^Г|и(т)| 2
Вынесем супремум по j G Z0, | j21 > m, а затем применим неравенство Гель-дера. В результате получим
| J412 < sup sup |j212— |3)|2 Г Г |^(x,i)|2dxdix teR+ 32 e z0, J0 J-00
| 32 | > m
x Г sup |ji|2—|ujm)|2dt,
J0 3i e Zo,
|31| > m
где
Г sup |ji|2— |u3-i)|2dt <
J0 3i e Zo,
|31| > m
Г 00 / N
< / sup e2Yt|ji|2— |u3.i)|2dt = yu(m)y22 7(r+;hct).
0 31eZo
Аналогично получим следующую оценку:
|J5|2 = QT/>—|w3m)||j2|—|w3m)n^(x,t)|dxd^ <
poo poo
< sup sup |j2|2— |w3m)|4 / |^(x,t)|2dxdt ||w(m)Hi27(R+;HCT). teR+ |321 < m, J0 J-00 '' +
32 =0
Суммируя результаты оценок | J4|2, |J5|2, получаем оценку
оо r 00
+
|J3|2 sup sup | j 212— ^ Г Г |^(x,t)|2 dxdt |u(m)|22 Y (R+ VteR+ 32 e Zo, J0 J-00 'Y +
|321 > m
, , /"00 /-00
+ sup sup |j212— |w3-m)P / |^(x,i)|2dxdi |w?(m)|22 Y(R+;HCT) teR+ 32 e Zo, ./0 ./-00 ' Y +
^ m2—
X , + , =3 z |ji|2— |j212—.
3i + 32 = 3,3 e Zo, |3i | > m, I321 > m
Лемма 8. Следующая сумма сходится при а > 1/2:
Еш2ст
. +. 7 КР^ <
з1 + з2 = з,з е йо,
| з1 | > т, | з2 | > т
До к а з а т е л ь с т в о. Заметим, что имеет место равенство
1лГ х |^2|2- = (шах(|л|, Ы)Г(ш1п(|л|, |))2-,
а сумму можно переписать в следующем виде:
m2— m2—
S _ V"^ m _ у-
S _ j 12— I o- 12— _
. + ■ Z |ji|2— |j212— . + . Z |ji|2— |j212—' 3i + 32 = 3,3 e Zo, 3i + 32 = 3,3 e Zo,
|3i| > m, |321 > m min(|3'i|, |321) > m
В этом случае
S _ E _m2—__ <
31 + 32 = 3,3 e Zo, (max(| ji|, | j2|)) 2— (min(| ji|, | j2|)) 2—
min(3i|, |321) > m
1 00 1 00 1 < *+33 (max(|jiUj2|))2— ^ 3S I^F + ¿S
Поскольку в суммы входят одинаковые слагаемые, сумму S можно оценить так:
1
S < 2 V —< те,
3=1 I ji 12—
если а > 1/2. □
Из ограниченности выражений
2— (m) 2 2— (m) 2
sup sup 1021 I3 )| , sup sup 1021 Iw)|
teR+ 32 e Zo, teR+ 32 e Zo,
|321 > m 1321 > m
и норм ||u(m)||L2, y(R+;H), ||w2(m)|L2,Y(R+H) следует, что
J3 ^ 0, m ^ те
равномерно по m. Откуда делается вывод, что предельные функции (u, г?) — слабое решение задачи Коши (2):
/•00 г 00 i
J J ^W?(dt — dx)^(x, t) —2we-(г?—«^(ж, t)+ew1/2(«2 —г?2)^^, t)j dxdt+
/00
г?0,0(ж, t) dx _ 0,
-00 *=0
/•00 r 00 , 1 .
(?(di+dx )^>(x,t) + 2we- (г?—?)^>(x,t) — ew ei/2(?2—г?2 )^>(x,t) I dxdt+
/00
?V(x,t)
для любых тестовых функций ^ G C0°(R+ x R1).
Теорема 15. Пусть выполнены условия теоремы 14. Тогда
е W21(R+ х R1)
является классическим решением задачи Коши:
d^u + d^« — 2we-(г? — u) = —ewi/2(;u + {?)(« — г?), x е R, t> 0,
£
— + 2we - (г? — u) = £w3/2 (u + г?)(и — г?), £e
u|t=0 = u , w?|t=0 = г?
для почти всех (x,t) е R+ х R1.
Доказательство. Запишем задачу Коши для аппроксимационного решения:
dtu(m) + — 2we -(г?(т) — u(m)) = —£we1/2(u(m) + w?(m))(u(m) — г(т)),
£e
dtiu(m) — dxwu(m) + 2we -(г(т) — u(m)) = £we1/2(u(m) + w(m))(u(m) — г(т)),
£e
u(m)|t=o = u0, w?(m)|t=o = г?0. Из теоремы 14 следует, что
? = lim u:(m), г? = lim г?(т)
m^ оо m^ оо
в L2,y(R+; ), если а > 3/2. Аналогично доказательству, примененному при рассмотрении (37):
(?(m))2 ^ u2, (г?(т))2 ^ г?2, m ^ то.
Значит, имеет место сходимость в пространстве W^(R+; W^(R1)) согласно неравенству (34). Тогда (?,-?) е W"2(R+ х R1) —классическое решение для почти всех (x,t) е R+ х R1. □
Конкурирующие интересы. У меня нет конкурирующих интересов. Авторская ответственность. Я несу полную ответственность за предоставление окончательной версии рукописи в печать. Окончательная версия рукописи мною одобрена.
Финансирование. Исследование не имело финансирования.
Благодарности. Я благодарен рецензенту за тщательное прочтение статьи и ценные предложения и комментарии.
Библиографический список
1. Годунов С. К., Султангазин У. М. О дискретных моделях кинетического уравнения Больцмана// УМН, 1971. Т. 26, №3(159). С. 3-51.
2. Broadwell T. E. Study of rarefied shear flow by the discrete velocity method // Journal of Fluid Mechanics, 1971. vol.19, no. 3. pp. 401-414. doi: 10.1017/S0022112064000817.
3. Vedenyapin V., Sinitsyn A., Dulov E. Kinetic Boltzmann, Vlasov and related equations. Amsterdam: Elsevier, 2011. xiii+304 pp. doi: 10.1016/c2011-0-00134-5.
4. Васильева О. А., Духновский С. А., Радкевич Е. В. О природе локального равновесия уравнений Карлемана и Годунова-Султангазина / Труды Седьмой Международной конференции по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям (Москва, 22-29 августа, 2014). Часть 3 / СМФН, Т. 60. М.: РУДН, 2016. С. 23-81.
5. Carleman T. Problèmes mathématiques dans la théorie cinétique des gaz/ Publications Scientifiques de l'Institut Mittag-Leffler. vol. 2. Uppsala: Almqvist & Wiksells, 1957. 112 pp.
6. Boltzmann L. Lectures on Gas Theory. Berkeley: University of California Press, 1964. 490 pp.
7. Васильева О. А., Духновский С. А., Радкевич Е. В. О локальном равновесии уравнения Карлемана// Проблемы математического анализа, 2015. Т. 78. С. 165-190.
8. Годунов С. К. Проблема обобщенного решения в теории квазилинейных уравнений и в газовой динамике // УМН, 1962. Т. 17, №3(105). С. 147-158.
9. Ильин О. В. Изучение существования решений и устойчивости кинетической системы Карлемана// Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2007. Т. 47, №12. С. 2076-2087.
10. Васильева О. А., Духновский С. А. Условие секулярности кинетической системы Кар-лемана// Вестник МГСУ, 2015. №7. С. 33-40. doi: 10.22227/1997-0935.2015.7.33-40.
11. Buslaev V., Komech A., Kopylova E. A., Stuart D. On asymptotic stability of solitary waves in Schrodinger equation coupled to nonlinear oscillator // Commun. Partial Differ. Equations, 2008. vol.33, no. 4. pp. 669-705. doi: 10.1080/03605300801970937.
12. Komech A., Kopylova E. A. On asymptotic stability of solitons in a nonlinear Schrodinger equation// Commun. Pure Appl. Anal., 2012. vol.11, no. 3. pp. 1063-1079. doi: 10.3934/ cpaa.2012.11.1063.
13. Komech A., Kopylova E. A. Dispersion decay and scattering theory. New Jersey: John Willey and Sons, 2012. 175+xxvi pp. doi: 10.1002/9781118382868
14. Kopylova E. A. On long-time decay for magnetic Schrodinger and Klein-Gordon equations / Дифференциальные уравнения и динамические системы: Сборник статей / Тр. МИАН, Т. 278. М.: МАИК, 2012. С. 129-137.
15. Буслаев В. С., Перельман Г. С. Рассеяние для нелинейного уравнения Шрёдингера: состояния, близкие к солитону // Алгебра и анализ, 1992. Т. 4, №6. С. 63-102.
16. Buslaev V. S., Perelman G. S. On the stability of solitary waves for nonlinear Schrodinger equations// Amer. Math. Soc. Transl., 1995. vol.164, no. 22. pp. 75-98.
17. Buslaev V. S., Sulem C. On asymptotic stability of solitary waves for nonlinear Schrodinger equations // Annales de l'Institut Henri Poincare (C) Non Linear Analysis, 2003. vol. 20, no. 3. pp. 419-475, arXiv: math-ph/0702013. doi: 10.1016/S0294-1449(02)00018-5.
18. Вайнберг Б. Р. Асимптотические методы в уравнениях математической физики. М.: Издательство Московского университета, 1982. 294 с.
19. Вайнберг Б. Р. О коротковолновой асимптотике решений стационарных задач и асимптотике при t ^ то решений нестационарных задач // УМН, 1975. Т. 30, № 2(182). С. 3-55.
20. Вайнберг Б. Р. Поведение при больших временах решений уравнения Клейна-Гордона / Тр. ММО, Т. 30. М.: Издательство Московского университета, 1974. С. 139-158.
21. Morawetz C. S., Strauss W. A. Decay and scattering of solutions of a nonlinear relativistic wave equation// Commun. Pure Appl. Anal., 1972. vol.25, no. 1. pp. 1-31. doi: 10.1002/ cpa.3160250103.
22. Духновский С. А. Об оценках линеаризованного оператора кинетической системы Кар-лемана// Вестник МГСУ, 2016. №9. С. 7-14. doi: 10.22227/1997-0935.2016.9.7-14.
Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki
[J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2017, vol. 21, no. 1, pp. 7-41
MSC: 35L45, 35L60, 35Q20
On a speed of solutions stabilization of the Cauchy problem for the Carleman equation with periodic initial data
S. A. Dukhnovskii
National Research Moscow State University of Civil Engineering, 26, Yaroslavskoe Shosse, Moscow, 129337, Russian Federation.
Abstract
This article explores a one-dimensional system of equations for the discrete model of a gas (Carleman system of equations). The Carleman system is the Boltzmann kinetic equation of a model one-dimensional gas consisting of two particles. For this model, momentum and energy are not retained. On the example of the Carleman model, the essence of the Boltzmann equation can be clearly seen. It describes a mixture of "competing" processes: relaxation and free movement. We prove the existence of a global solution of the Cauchy problem for the perturbation of the equilibrium state with periodic initial data. For the first time we calculate the stabilization speed to the equilibrium state (exponential stabilization).
Keywords: kinetic equation, Carleman equation, Fourier solution, equilibrium state, secular terms, generalized solution.
Received: 21st January, 2017 / Revised: 25th February, 2017 / Accepted: 13th March, 2017 / First online: 11th May, 2017
Competing interests. I have no competing interests.
Author's Responsibilities. I take full responsibility for submitting the final manuscript in print. I approved the final version of the manuscript. Funding. The research has not had any sponsorship.
Acknowledgments. I am grateful to the referee for a thorough reading of the article and valuable suggestions and comments.
References
1. Godunov S. K., Sultangazin U. M. On discrete models of the kinetic Boltzmann equation, Russian Math. Surveys, 1971, vol.26, no. 3, pp. 1-56. doi: 10.1070/ RM1971v026n03ABEH003822.
2. Broadwell T. E. Study of rarefied shear flow by the discrete velocity method, Journal of Fluid Mechanics, 1971, vol.19, no. 3, pp. 401-414. doi: 10.1017/S0022112064000817.
Research Article
3 ©® The content is published under the terms of the Creative Commons Attribution 4.0 International License (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) Please cite this article in press as:
Dukhnovkii S. A. On a speed of solutions stabilization of the Cauchy problem for the Carleman equation with periodic initial data, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2017, vol. 21, no. 1, pp. 7-41. doi: 10.14498/vsgtu1529 (In Russian). Author's Details:
Sergey A. Dukhnovskii A ©http://orcid.org/0000-0001-9643-7394
Postgraduate Student; Dept. of Applied Mathematics; e-mail: sergeidukhnvskijj@rambler.ru
3. Vedenyapin V., Sinitsyn A., Dulov E. Kinetic Boltzmann, Vlasov and related equations. Amsterdam, Elsevier, 2011, xiii+304 pp. doi: 10.1016/c2011-0-00134-5.
4. Vasil'eva O. A., Dukhnovskii S.A., Radkevich E. V. On the nature of local equilibrium in the Carleman and Godunov-Sultangazin equations, In: Proceedings of the Seventh International Conference on Differential and Functional-Differential Equations (Moscow, August 22-29, 2014). Part 3, CMFD, 60. Moscow, PFUR, 2016, pp. 23-81 (In Russian).
5. Carleman T. Problèmes mathématiques dans la théorie cinétique des gaz, Publications Scientifiques de l'Institut Mittag-Leffler, vol. 2. Uppsala, Almqvist & Wiksells, 1957, 112 pp.
6. Boltzmann L. Lectures on Gas Theory. Berkeley, University of California Press, 1964, 490 pp.
7. Radkevich E. V., Vasil'eva O. A., Dukhnovskii S. A. Local equilibrium of the Carleman equation, Journal of Mathematical Sciences, 2015, vol.207, no. 2, pp. 296-323. doi: 10. 1007/s10958-015-2373-x.
8. Godunov S. K. The problem of a generalized solution in the theory of quasi-linear equations and in gas dynamics, Russian Math. Surveys, 1962, vol.17, no. 3, pp. 145-156. doi: 10. 1070/RM1962v017n03ABEH004116.
9. Il'in O. V. Investigation of the existence of solutions and of the stability of the Carleman kinetic system, Comput. Math. Math. Phys., 2007, vol.47, no. 12, pp. 1990-2001. doi: 10. 1134/S0965542507120093.
10. Vasil'eva O. A., Dukhnovskiy S. A. Secularity Condition of the Kinetic Carleman System, Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering], 2015, no. 7, pp. 33-40 (In Russian). doi: 10.22227/1997-0935.2015.7.33-40.
11. Buslaev V., Komech A., Kopylova E. A., Stuart D. On asymptotic stability of solitary waves in Schrödinger equation coupled to nonlinear oscillator, Commun. Partial Differ. Equations, 2008, vol.33, no. 4, pp. 669-705. doi: 10.1080/03605300801970937.
12. Komech A., Kopylova E. A. On asymptotic stability of solitons in a nonlinear Schrödinger equation, Commun. Pure Appl. Anal., 2012, vol.11, no. 3, pp. 1063-1079. doi: 10.3934/ cpaa.2012.11.1063.
13. Komech A., Kopylova E. A. Dispersion decay and scattering theory. New Jersey, John Willey and Sons, 2012, 175+xxvi pp. doi: 10.1002/9781118382868
14. Kopylova E. A. On long-time decay for magnetic Schrödinger and Klein-Gordon equations, Proc. Steklov Inst. Math., 2012, vol.278, pp. 121-129. doi: 10.1134/S0081543812060120.
15. Buslaev V. S., Perel'man G. S. Scattering for the nonlinear Schrödinger equation: States close to a soliton, St. Petersburg Math. J., 1993, vol.4, no. 6, pp. 1111-1142.
16. Buslaev V. S., Perelman G. S. On the stability of solitary waves for nonlinear Schrödinger equations, Amer. Math. Soc. Transl., 1995, vol.164, no. 22, pp. 75-98.
17. Buslaev V. S., Sulem C. On asymptotic stability of solitary waves for nonlinear Schrödinger equations, Annales de l'Institut Henri Poincare (C) Non Linear Analysis, 2003, vol. 20, no. 3, pp. 419-475, arXiv: math-ph/0702013. doi: 10.1016/S0294-1449(02)00018-5.
18. Vainberg B. R. Asimptoticheskie metody v uravneniiakh matematicheskoi fiziki [Asymptotic methods in equations of mathematical physics]. Moscow, Moscow Univ. Publ., 1982, 294 pp. (In Russian)
19. Vainberg B. R. On the short wave asymptotic behaviour of solutions of stationary problems and the asymptotic behaviour as t ^ to of solutions of non-stationary problems, Russian Math. Surveys, 1975, vol.30, no. 2, pp. 1-58. doi: 10.1070/RM1975v030n02ABEH001406.
20. Vainberg B. R. Behavior of the solutions of the Klein-Gordon equation for large values of time, Tr. Mosk. Mat. Obs., 30. Moscow, Moscow Univ. Publ., 1974, pp. 139-158 (In Russian).
21. Morawetz C. S., Strauss W. A. Decay and scattering of solutions of a nonlinear relativistic wave equation, Commun. Pure Appl. Anal., 1972, vol.25, no. 1, pp. 1-31. doi: 10.1002/ cpa.3160250103.
22. Dukhnovskiy S. A. On Estimates of the Linearized Operator of the Kinetic Carleman System, Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering], 2016, no. 9, pp. 7-14 (In Russian). doi: 10.22227/1997-0935.2016.9.7-14.
