Исследование уравнения Риккати для одномерной системы Годунова-Султангазина Текст научной статьи по специальности «Математика»

Исследование уравнения Риккати для одномерной системы Годунова-Султангазина

С. А. Духновский

Аннотация—Исследование кинетических нелинейных гиперболических уравнений в частных производных на больших временах относится к активно развивающемуся в последнее время направлению математической физики.

Кинетическая теория рассматривает газ как совокупность громадного числа движущихся частиц, взаимодействующих между собой. В результате таких взаимодействий частицы обмениваются импульсом и энергией. Взаимодействие может осуществляться путем прямого столкновения или путем иных сил. Для описания приведенных выше предположений предложен ряд моделей - так называемые дискретные кинетические системы уравнений Карлемана, Годунова-Султангазина, Бродуэлла, где неизвестными функциями являются плотности частиц, зависящие от координат пространства-времени.

В данной статье исследуется уравнение Риккати для нулевой моды, получаемое из системы кинетических уравнений Годунова-Султангазина с периодическими начальными данными. Система описывает три группы частиц, движущихся с тремя скоростями. Первая группа движется с единичной скоростью в положительном направлении, а третья в противоположном. Частицы второй группы движутся с нулевой скоростью. Решение системы ищется вблизи состояния равновесия с малыми периодическими возмущениями. Данные возмущения раскладывают в ряд Фурье. Решение уравнения Риккати ищут методом последовательных приближений (метод простой итерации). Доказываются теоремы глобального существования и единственности решения уравнения Риккати.

Ключевые слова—система Годунова-Султангазина, возмущение, уравнение Риккати, пространство Соболева.

I. ВВЕДЕНИЕ

Настоящая статья является продолжением цикла работ [5-6, 8-13], посвященных исследованию кинетической теории газов, а именно, дискретных кинетических уравнений Больцмана: гиперболических систем Карлемана и Годунова-Султангазина. Данные системы имеют концептуальные приложения в различных областях науки и техники: химии автокатализа, газовой динамики, кинетической теории газов. Будет рассмотрена задача Коши с периодическими начальными данными для системы

Статья получена 24 мая 2019 г.

Сергей Анатольевич Духновский, преподаватель Московского государственного строительного университета (email: sergeidukhnvskijj@rambler.ru).

Годунова-Султангазина. Задача на всей прямой для системы Карлемана исследована в статье [5]. В работах [6, 9] доказано стабилизация решения задачи Коши для системы Карлемана и Годунова-Султангазина с периодическими начальными данными к состоянию равновесия.

II. Постановка задачи

Рассматривается одномерная модель системы уравнений Годунова-Султангазина [2, 4, 6-8, 12]. 1 2

дщ + дхи = — (V - ия), I >0, х еУ, 8

дtv = -—(V2 - им>), (1)

8

1 2

дя - д= — (V -ня),0 < 8 < 1 8

с периодическими начальными условиями

и 1=0 = н°(х1 V 1=0 = ^ (х1 Я 1=0 = (хХ

н0 (х) = н0 (х + 2п), V0 (х) = V0 (х + 2п), я" (х) = м>°( х + 2п) где и = н( х, t), V = v( х, t), я = я( х, t) - плотности трех групп частиц, 8 - параметр Кнудсена. Ищем решение задачи Коши (1), (2) в виде

(2)

u = ue + s2 (ue y/2 U, v = ve + s2 (ve )l2 v,

2/ \1/2 -w = we +s (we ) ' w,

(3)

где Vе = иеЯе > 0 - состояние равновесия,

и = £ щ (гук, V = £ ^ (гук, Я = £ Я (0егАх.

кег кег кег

Будем решать нашу задачу в весовом пространстве

Соболева ^2у(; Нст) с соответствующей нормой:

д

l|w| Цу( R+ ; а)

где

u

dt

■и

+ \и\

L2 ,у( у+; h с)

Wу+;н а)'

+х>

l2y( у + ; H W e2yt|u0(t)l dt + 0 +<x>

+ J e2yt Z |k| \uk(t)| dt <œ, y = s^0,0 < < l,

keZn

U\\ H = lU0

+ Z |k

2ct I

\Ui

keZ0

III. Уравнение Риккати

Далее будет исследоваться уравнение Риккати. Оно получается из системы Годунова-Султангазина. Из доказательства глобальной разрешимости уравнения Риккати будет следовать стабилизация нулевой моды к нулю. Уравнение Риккати [6] имеет вид

—/т)+1=3 *0") *0")+р( ),

ш в 2 (4)

2 1 - q v

z(m) +

11 l|i2,y(v+H«m))

+c

4,a

.(m) _

li=0

= 0,

где 4 = 4ve + ue + w > 0, m e f , Rm) e L^ ( У + ). Покажем, что однородное уравнение Риккати

d

1

dz0m ) + 1 Lz (m) =-8уУ2- z (m) z di

^e" 0

,(m) _(m) 0 0 5

.( m) _

li=0

= 0

имеет тривиальное решение.

Предположим, что существует z0m) ^ 0 . Положим

y = 1/ z0m).

Тогда

отсюда

d 3 12 1 r

— y = —sv — L y,

I, s о e e./ '

di 2 s

d Г ^i ^

di

3 12 ^ = —sv„es .

^ .У V У

Интегрируя на отрезке [т; Х] ^ [0; Т*], принадлежащим

отрезку существования решения задачи Коши (в силу классических результатов), получим

12 Г 1

1 , 1 , ">

ei --T 3 2 Ve

es У(i) - es y(T) = -- s2 -j-

2 Le V

Lei

es - e

1 LeX^

Отсюда

( m )

1 Le (т-i) , Л 3 о V

_ e\ / (m_ „2 y-

12

z0m)(T) - es° z0m)(i) = -2s2 -^z0m)(i) x

f

Xz0m)(T)

1 - e

1 Le (T-i) ^

Л

A m )

+ VI .. + и

A m )

Л m )

Л m)

XIzv"y|| - ( ) +

IL (У + ;Hqm))

1

+—-г— c a| I|U0 , ^ + V0|i ,, +|\w ,, ,,

,3/2 6,a^|| IIh ( m ) Il llh (m ) Il ||H ( m )

H

8

a >2.

Тогда для любого n > 1 справедлива оценка

< q < 1,

,( n )

1

о,у(У+) 1 - q

J m)

3 \ 1,a

-y ( У + ;H<m))

+c

4~г

"H a

+ Vi () + И (

II IIh« Il IHa

(5)

( m)

x z

+ C6,a (|\u°\\Ht m ) +| |V1

+ \w

H

Доказательство. Применяем метод последовательных приближений к уравнению Риккати (4)

— *(") +1 т *(") = -вЛ;12 3 *("-1) *("-1) + Р(")(г)

г, 20 ^ ^е20 _ ь е 0 20 20 Лв МЛ

Ш В 2

*01 = 0.

0 1г=0

Интегрируя, получим

* («) =

i 1 — Г/?е

= 1 e sLe ( " ) I- | svf z0 n-1)( 5 ) z0 n-1)( 5 ) + R m )( s) Ids.

Добавим экспоненты в подынтегральное выражение, а

„2 уХ

также помножим на е и возьмем супремум

г 1

sup e

iE У

2yi

7( n)

= sup e

të

2 Yi

e^Le (s-i > f- ! sv12e_2yseys x

При фиксированном Х, устремляя т ^ 0 , получим

*0 "'(г) = 0.

Таким образом, однородное уравнение Риккати имеет тривиальное решение.

Далее получим оценку функции в весовом

пространстве у ( У + ) с нормой

xz0n-1) eysz0n-1) +Rs(m)(s) ) ds

<

<2sup e

iE У

2Yt

i 1 Î es

es Le (s-t)l svf2e-2 yVsz0n-1Vsz0n-1) ds

(6)

+

+ 2sup e

iE У

2Yi

i1

(• -L (s-i) , ч

j es e Rs(m) (s)ds

= /1 +/ 2.

T( m)

Hl^yIv +

= sup e2Yi z0m)(i) .

iE У +

Теорема. Пусть выполнено условие

Для первого выражения выносим супремум по 5 из интеграла для функции *

( n-1)

2,

Г 9 . (2Y---L ( n 1)||4

/, ^ ves22sup e s z0n-1) .

1 Л e 0 L ( У

4 ie У + 11 "L« ,Y( У +

p (i Le-2Y)s

ds

0

L

0

2

2

Вычисляем интеграл

f (^Le -2 Y)s

I e s ds

<s2cn

Тогда

Le - 2y

(- Le-2 Y )t ,

e s -1

<

( x( n) )2 <-

2 1 II / ч||2

- scjR m )!l

2 3H s Hl2,y( у+

(-Le-2 Y )t

es -1

r 9 4 (2y—Le )tii ( n 1)||4

Il <-ves\supe s ||z0"-1)|Lœт(y +

= 4 veS C1

< 2 v*sci

<-s c

te Y +

7("-1)

Д n-1)

(-Le-2y)î

e s -1

W Y + )

sup

■Л' +) teY +

. sup

W у+) teY

e-yt - e

(Y-1 Le )t

<

e"2 Yt + e

2(Y-i Le )Л

<

Д n-1)

L ( y . , c2 = 2c1ve SUP

Vy( y + j teY +

e"2 Yt+ e

2(Y-i Le )Л

Переходим к оценке для I2. Применяем неравенство Гельдера

I2 = sup e

2 Yi

teY +

t 1L ( -t)

J es e s-t Rs(m)(s)ds

< sup e

ieY +

< sc.

2(Y-^Le )t p 2(iLe-Y)s

^ 2(-Le-Y)i II r>(m)|

I e s ds||R(m)|

<

L2,y ( Y +

<

"3lf ^ hL2,y(y + Пусть выполнено условие

1 ( 4ve + U e +ve ) - Y > 0.

s

Применяя оценки I1, I2 к (5), получаем

Юи)||2 . < 9s4c2||z0n-1)||2 . + sc3lr, ,, .

Il 0 IIl„,y(y+) 4 2 II 0 IIl„,y(y+) 3ll ^ Hi2,y(y +

2

Доказывается (см. определение функции R( m)(t ) в [6]), что

r(») 1

- <c1s

L2,y(Y + ) 1,°

(m)

l2,y( Y+Hm >'

+

(8)

Vs

+c4,^(llU1 Hj.) + И U +Iw°|Hs-) )llzT,(Y + Hm))

S1! C6,s(| |U1| H ( m ) +| |v0|| H ( m ) +|\w°\\H ( m )

)2.

Применим оценку (8) к (7). В этом случае получаем, что

( x( n ) )2 <-

\2 - 1_ [ 2 II (m)||4

q28Сз ^г IIl2,y(y+h(m>) +

1

\2

+c4s-( U0 ,, + v° ,, + wi , J \\z 4,a s \ll IIh*-> Il IIh(m' Il IH(ïï)

IIHS

( m)

iil2,y( y + ;h( m > )

1

3 2,s

cL ( U0 , ,+ v° , ,+ w01

IIHS

IIHS

Отсюда, выше неравенство верно, если

49 1

s — c

4 21 - q2 31 l a

sc ( c2 z(m)

+c42s 1 (|И () +1 И () +1И () )2||z(m)"2

4,s _ ill ||h(m) II l|H(m) II ||H(m)

IIH, '

HSm) /II |Il2-y( Y + ;H(m) ) 4

+—-c62s( Ul () + V° () + \w0\\ () I l<.

s3 2,s ||H(m) II ||H(m ) II ||H(m)

Теорема. Последовательность z0n) является фундаментальной, если

.'2

Vc2cT Y-2—Vs (c1,(

,(m)

л/s

II-L2.Y ( Y + ;h(m))

w

7(m)

c2 il|i/1 ( ) +1( ) +||w0|l ) |< q1,q e (0,1).

„32 2,a I y ||h(m) y ||H(™) || IIH(" ) ' ' 1 1

В качестве нулевого приближения возьмем

Д0) -,

z00) = 0.

Теперь положим

x(n) = max I z

( n )

n=1,...,y II 0 "l»,y(Y +

Тогда

( x 'n ' )' ( 1 -s'c''^ ( x <n ' )' ]<sc3| Rs » )||L'Y,Y+

Если

s4c'9 (x(n) )' < q2 < 1,

Доказательство. Рассмотрим итерационную последовательность

4^0")+1 ь/п) = ^г 3 +m)(t),

М 8 2

г(0) = 0

0

г0 = 0.

0 Ь=0 (9)

Наряду с (9), определим последовательность с другим индексом

то

4

2

2

d/os) +1 LAs ) =-svf3 Z0sZ0s+ R( m )(t ), dt s 2

7 ( m)

'0 IL„,T(y+)

V^

1 - q

C1,JI 17

( m)

7 (0) = 0

o

r( s ) -

It=o

= o.

vs

A m )

+ v

A m )

+ W

A m )

Рассмотрим их разность

d- ( 70 ") - 70s ) ) + 1 Le ( dtx ' ° 4

7(n) _ 7(s)\ =

0 О /

.( m)

?3/2 "6,a(| |U ! H( m ) +| |V ! H(m )

= SV12 ^ 7 ( n_1) 7 ( n_1) 7 ( s_1) 7 ( s_1)\

= _SVe 70 _ 70 70 )>

H

Доказательство. Необходимо показать, что

' 7 (n) _ 7 (s)

I О О

= 0.

7Оm ) = lim 70)

Отсюда, в силу (5) имеем для 1 < s < n

7n) _ 7s) 0 0

L,,( У +

<

_(n_1) _ _(s_1) 0 0

C1, J 7

(m)

+

+c,

J_

vs 1

6,CT

û° ( > + v0 ( > + w0

û° ( > + v0 ( > + w?0

7(m)

в у ( У + ) есть решение уравнения Риккати (4). Существование предела следует в силу фундаментальности последовательности итераций 70п). Рассматриваем наше уравнение Риккати

^) +1 ) = 3 70"-1) 70"-1) + т)(0, dt 1 2

Ly (У+Hm))

+

л n) _

it=0

= 0.

Если 3 2

s2-

+C

vs

+-

.32 6,C

U0 ( . + К?! ( . + w0 ( . 117

11н ( m ) H ||н ( m) H ||н ( m '

\\W

( m)

IIl2,y ( У + Hm >)

<q <1,a>2,

то

7 (n) _ 7(s)

70 70 iil.,y(y+

r n_1) ( s_1)

II7«" _ - -■< ЧЛ 70" '_ 70

lll» ,y( у +

<

< q;|70n_s) _ 700)|| . . чЧ\ 0 0 IL„,T(y+)

Применяем оценку (7)

Перейдем к пределу при п ^ да, тогда

^70т) +1т) = ^МЧ 70"-1) 70п-1) V Я( т )(t). dt 1 п^да\ 2 )

Покажем, что предел

Ншг-вуГЗ70"-1)70"-1)] = -1У12 370т)70т). п^да\ 2 ) 2

Для этого рассмотрим следующий оператор

п(7 (т) 7 (п-1)\ = р1;1/2 3 _ (т) _ (т) + р1;1/2 3 _ (п-1) _ (п-1) ^70 , 70 ) = -1Уе ^ 70 70 ^ 70 70

в У + ) . Заметим, что

1Л;12 3 7(п-1) 7 (п-1) -Р1;12 3 7(т) 7 (т) = ^ 0 0 2 0 0 _

-s123 ( 70n _1) _ 70m ) ) 70 n_1) +sv12 3 ( 70n _1) _ 70m ) ) 70m )

70n) _ 70s) . <

Il 0 0 "wy+)

q1 т^^/^л/^З! |R( m )||

ц ■ " "¿2,Т(У + ) Устремляя 5 ^ да, получаем, что последовательность итераций 70п) является фундаментальной.

Теорема. Пусть а > 2. Тогда существует единственное решение 70т) е Ьда у ( У + ) нелинейного уравнения (4), для которого справедлива оценка

Покажем, что ||R ( , 70

(m) n_1^ ^ 0, имеем

I wy+)

R (70m), 70n_1) )||

<

L»,y(У + )

< c42|70n_1)||2 .

0 hl„ ,y( у +

2

I70n_1) _ 70m)||2 . + c42|70m)l2 x

II 0 0 IIl„,t(y+) 4II 0 IL,T(y+)

X _1) _ 70m^ . .

II 0 0 lk,T(y+)

Здесь

170n_1) _ 70m)||2 . ^ 0 II 0 0 lk,T(y+)

в силу фундаментальности последовательности итераций. Получаем, что

R (70m), 70n_1) 0

0

2

1

в Lœ,Y ( Y + ) . Таким образом, в Lœ,Y ( Y + ) имеем

dz0m ) +1 Lez0m) = -sv12 2 z0m ) z0m ) + R m)(t ),

dt s 2

z0 m)\ = 0. 0 li=0

IV. Единственность

*

Пусть есть другое решение г0 нелинейного уравнения Риккати. Вычитаем одно уравнение из другого, имеем

(m) *

7 — 7

1г° z^Il„,y(Y+:

<

^ Il (m) *||2 3 2 I I H (m) Il , II *||

< z0 -z0\\ . — s -Jo, Z0 Л . + Z0 .

II 0 0IIl„,y(Y + ) 2 V 2 \H 0 HL„,y(Y + ) Il 0IIL„,y(Y +

Если

- (c ,

WY+) 1 - qV M1''

(m)

2

L',y (Y + ;H<

+

л0 ( ^ + л0 ( ^ + л0 \ ( m)

u v w z

Hm H»V

L',Y (Y + ;H<m)

+

-L-c2 (l|й0|| , , +1 |v0|| , , +1 |w>0|| , ,

>3/2 2,s\|| Il #0» > || lltf<" >11 lltf<" >

+¡1' ^(l

_( m)

IIL'_y ( Y + ; H<m))

1 л0 II 0 0 III (m) II

u ( ) + v ( ) ■ + w ( )

1 llH<m) II llH<m) II llH<m) /II HJ

0 0 0

\u (m ) + v (m) + w

1 IIH sm ) II Нн<-) II IL

■ )' )

Il,_y ( Y + ;H(m ))

< q,, q, e (0,1).

[3] Веденяпин В.В. О разрешимости в целом задачи Коши для некоторых дискретных моделей уравнения Больцмана // Доклады Академии наук СССР. 1974. Т. 215, № 1. С. 21-23.

[4] Веденяпин В.В. Кинетические уравнения Больцмана и Власова // М.: Физматлит. 2001. 112 с.

[5] Radkevich E.V., Vasil'eva O.A. Generation of chaotic dynamics and local equilibrium for the Carleman equation // Journal of Mathematical Sciences. Vol. 224. Pp. 764-795.

[6] Васильева О.А., Духновский С.А., Радкевич Е.В. О природе локального равновесия уравнений Карлемана и Годунова-Султангазина // Современная математика. Фундаментальные направления. 2016. Т.60. С. 23-81.

[7] Nishida T., Mimura M. On the Broadwell's model for simple discrete velocity gas // Proceedings of the Japan Academy. 1974. Vol. 50, No. 10. Pp. 812-817.

[8] Радкевич Е.В. О дискретных кинетических уравнениях // Доклады Академии наук. 2012. Т. 447, № 4. С. 369-373.

[9] Духновский С.А. О скорости стабилизации решений задачи Коши для уравнения Карлемана с периодическими начальными данными // Вест. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2017. Т. 21, № 1. С.7-41.

[10] Радкевич Е.В. О поведении на больших временах решений задачи Коши для двумерного кинетического уравнения // Современная математика. Фундаментальные направления. 2013. Т. 47. С.108-139.

[11] Васильева О.А., Духновский С.А., Условие секулярности кинетической системы Карлемана // Вестник МГСУ, 2015. № 7. С. 33-40.

[12] Васильева О.А. Численное исследование системы уравнений Годунова-Султангазина. Периодический случай // Вестник МГСУ. 2016. № 4. С. 27-35.

[13] Духновский С.А. Об оценках линеаризованного оператора кинетической системы Карлемана случай // Вестник МГСУ. 2016. № 9. С. 7-14.

Духновский Сергей Анатольевич,

преподаватель Московского государственного строительного университета (http://mgsu.ru), email: sergeidukhnvskijj@rambler.ru mathnet.ru: 121848 elibrary: authorid=798878.

Тогда

7 ( m ) - * 0 0|

< q, z0m ) - z*

"l„,y( y + ) "и 0 0" L„ ,y( y + )

Поскольку 0 < q2 < 1, отсюда следует единственность

( m) *

решения z0 = z0 уравнения Риккати (4).

V. Заключение

Полученное доказательство существования решения уравнения Риккати позволяет доказать стабилизацию решения для системы уравнений Годунова-Султангазина.

Численный эксперимент, проведенный Васильевой О. А., согласуется с теоретическими результатами.

Библиография

[1] Больцман Л. Избранные труды. М.: Наука. 1984. 590 с.

[2] Годунов С.К., Султангазин У.М. О дискретных моделях кинетического уравнения Больцмана // Успехи математических наук. 1974. Т. 26. Вып. 3 (159). С. 3-51.

и

Research of the Riccati equation for the one-dimensional Godunov-Sultangazin system

Sergey Dukhnovskii

Abstract—The study of kinetic nonlinear hyperbolic partial differential equations at large times belongs to the field of mathematical physics that has been actively developing recently.

The kinetic theory considers gas as a combination of a huge number of moving particles interacting with each other. As a result of such interactions, the particles exchange momentum and energy. The interaction can be carried out by direct collision or by other forces. To describe the above assumptions, a number of models are proposed — the so-called discrete kinetic equations of Carleman, Godunov-Sultangazin, Broadwell where the unknown functions are particles densities depending on the space-time coordinates.

In this article the Riccati equation for the zero mode is researched obtained from the system of kinetic equations of Godunov-Sultangazin with periodic initial data. The system describes three groups of particles moving at three speeds. The first group moves at unit speed in a positive direction, and the third in the opposite direction. Particles of the second group move at zero speed. The solution of the system is found near the equilibrium state with small periodic perturbations. The solution of the Riccati equation is sought by the method of successive approximations. These perturbations are Fourier series. Theorems of global existence and uniqueness of the solution of the Riccati equation are proved.

Keywords—Godunov-Sultangazin system, perturbation, Riccati equation, Sobolev space.

References

[1] Boltzmann L. Selected works. Moscow, Nauka Publ., 1984. 590 p. (in Russian)

[2] Godunov S. K., Sultangazin U. M. On discrete models of the kinetic Boltzmann equation // Russian Math. Surveys. 1971. Vol. 26, No. 3. Pp. 1-56.

[3] Vedenyapin V.V. On solvability of the Cauchy problem for some discrete models of Boltzmann's equation // Dokl. Akad. Nauk SSSR. 1974. Vol. 215, No. 1. C. 21-23. (in Russian)

[4] Vedenyapin V., Sinitsyn A., Dulov E. Kinetic Boltzmann, Vlasov and related equations. Amsterdam, Elsevier, 2011. 320 p.

[5] Radkevich E.V., Vasil'eva O.A. Generation of chaotic dynamics and local equilibrium for the Carleman equation // Journal of Mathematical Sciences. Vol. 224. Pp. 764-795.

[6] Vasil'eva O.A., Dukhnovskii S.A., Radkevich E.V. On the nature of local equilibrium in the Carleman and Godunov-Sultangazin equations // Journal of Mathematical Sciences. Vol. 235, No. 4. Pp. 392-454.

[7] Nishida T., Mimura M. On the Broadwell's model for simple discrete velocity gas // Proceedings of the Japan Academy. 1974. Vol. 50, No. 10. Pp. 812-817.

[8] Radkevich E.V. On discrete kinetic equations // Doklady Mathematics. 2012. Vol. 86, No. 3. Pp. 809-813.

[9] Dukhnovskii S. A. On a speed of solutions stabilization of the Cauchy problem for the Carleman equation with periodic initial data // J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci. 2017. Vol. 21, No. 1. Pp. 7-41. (in Russian)

[10] Radkevich E.V. On the large-time behavior of solutions to the Cauchy problem for the two-dimensional discrete kinetic equation // Journal of Mathematical Sciences. Vol. 202, No. 5. Pp. 735-768.

[11] Vasil'eva O. A., Dukhnovskiy S. A. Secularity condition of the kinetic Carleman system // Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering. 2015. No. 7. Pp. 33-40.

[12] Vasil'eva O. A. Numerical solution of the Godunov-Sultangazin system of equations. Periodic case. Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering. 2016. No. 4. Pp. 27-35. (in Russian)

[13] Dukhnovskiy S. A. On estimates of the linearized operator of the kinetic Carleman system // Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering. 2016. No. 9. Pp. 7-14. (in

Russian)