О сходимости последовательности операторов внутренней суперпозиции Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.929

О СХОДИМОСТИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ОПЕРАТОРОВ ВНУТРЕННЕЙ СУПЕРПОЗИЦИИ

Л.А. Минаждинова

В теории уравнений с отклоняющимся аргументом нейтрального типа важную роль играет оператор внутренней суперпозиции, действующий в лебеговом пространстве суммируемых функций. В статье рассматривается сходимость последовательности таких операторов. Функции, на которых определены операторы внутренней суперпозиции, заданы на локально компактном пространстве с мерами, определяемыми самими операторами.

Будем обозначать через R - пространство действительных чисел, Т - локально компактное пространство, счетное в бесконечности, Я - положительная мера на Т . Через ЬЛ (Т), _рє[1,°о]

обозначим банахово пространство суммируемых в степени р относительно меры Я функций

у.Т -> R с нормой

Пусть Г] з Т . Зададим отображение г: Г -> Г, и q:T ^ R . Обозначим Е = {teT: x{t) е Г} и ХЕ - характеристическая функция множества Е .

Оператор внутренней суперпозиции S зададим равенством

/v va r(t) є Г,

(Sy)(t) = < y.T^R.

[ 0, r(t)€T,

В дальнейшем оператор S нам будет удобнее записывать в виде

(5УХ0 = ^£(0?(0Яг(0)-

Сужение функции /меры / / на множество А обозначим через fA . Через К(Т) обозначено пространство функций у-.Т -> R с компактным носителем.

Придерживаясь обозначений и терминологии Н. Бурбаки [3], пару (n,g) будем называть X-приспособленной (здесь и: Т —^ TJ, g:T -» R, g> 0 , Я - положительная мера на Т), если функции ж и g Я-измеримы и для любой функции feK(T) отображение t —> g{t)f{n{t)) Я-интегрируемо. Всякая Я-приспособленная пара (n,g) определяет на 7j меру /л, которая задается равенством

j/Csy^s) = ^g{t)f{n{t))dX{t), f є К(ТХ).

Меру р. будем обозначать через n{g)І).

Приведем теорему из [4], условия которой обеспечивают действие оператора внутренней суперпозиции.

Теорема 1. Пусть рє[1,оо], Я - положительная мера на Т, пара (tE,\qE\P) ЯЕ -приспособлена и \qE\p ограничена. Пусть далее существуют такие неотрицательные числа а, А, что для любого Я-измеримого множества AczT множество r~](A)n{t є E:\q(t)\ > 0} А-измеримо и

Л(т~](А)п{ї є E:\q(t)\ > 0})<аА(А) + &.

Тогда 1) Существуют положительная мера v на Т и числа М такие, что пара (TE,\qE\P) vЕ-приспособлена и p = rE(\qE\p vE)<Mv; 2) для любой v -интегрируемой функции у функция |?е(-)|Р • |Хгя(-))| VE -интегрируема.

Следствие. В условиях теоремы 1 существует мера у такая, что оператор внутренней суперпозиции S непрерывно отображает пространство Тр(1) в себя.

Рассмотрим вопрос о сходимости последовательности операторов внутренней суперпозиции. Пусть тк\Т-*Ти qk : Т -> Я , Ек = {? е Т: тк{1) е Т}, к = 0,1,... Зададим операторы внутренней суперпозиции:

Здесь будем предполагать, что для числа /?е[1,оо] и положительной меры Я пары

Как следует из теоремы 1 для каждого к = 0,1,..., существует мера Ук такая, что оператор ^ Щ (Т) -> (Т) непрерывен и существуют ограниченный в существенном относительно Ук

Лемма 1. Пусть Т - локально компактное пространство, /:Г—- непрерывная функция с компактным носителем К у. Тогда /равномерно непрерывна на Т.

Доказательство. На Т существует компактификация Александрова [1]. Обозначим ее Т. Тогда Т' -Ти{оо} и Т - компактное пространство. Топология Т' такова, что открытыми окрестностями точек из ГсГ являются те же открытые окрестности точек локально компактного пространства Т , а открытыми окрестностями точки со являются все дополнения Т \ F, где V -замкнутые множества из Т. На компактном пространстве Т' существует единственная равномерная структура и, согласующаяся с топологией в Г' [1].

Покажем, что / непрерывна. Непрерывность ее в любой точке хеТ следует из непрерывности / . Покажем, что / непрерывна в точке со . Базу окрестностей точки 0 е К задают множества У0£ ={у£ < е}, £ > 0 . Найдем прообраз ) = {х е Т\|/(х)| < г}. Открытая окре-

стность точки со Т'\Ку содержится в /~!(Уд ) для любого г > 0 . Значит, / непрерывна в точке оо, а, следовательно, и во всем пространстве Т'. Тогда, функция /: Т' -» Л , заданная на компактном пространстве Т равномерно непрерывна. Ее сужение на множество Т будет также равномерно непрерывно на индуцированном равномерном пространстве Т .

Лемма доказана.

Через ткЕ обозначим произвольное у0 -измеримое продолжение на множество Е0 .

Лемма 2. Пусть Т - локально компактное пространство, Бк : ЬУрч (Т) —> ЬУ* (Т), к- 0,1,... Пусть последовательность {ХЕкЯк} сходится по мере у0 к Хе„ Я о > последовательность {тк} сходится по мере у0 к г0 и для любого компактного множества К с: Т Пт у0(К С\(ЕкАЕ0)) = 0. Тогда последовательность {8ку} сходится по мере у0 к Б0у для лю-

{Яку)(і) = ХЕк •

[ | р II р

(ТкЕкМкЕк\ ) ^Ек -приспособлены и \Як Ек\ ограничены. Далее, существуют такие числа ак и

Ак, что для любого Я-измеримого множества Ас:Т множество тк~х(А)г\^ е Ек :|^(/)| > 0} Я-измеримо и

Л(тк ](А)п{1еЕк -.^кЕкЩ>Щ)<акЛ{А) + Ак, * = 0,1,...

производные

«Мк А \р \

—£-,где Мк =ТЕкЩЕк\ Ук)-аук к 1

— — , Функцию /: Т -» 7? продолжим на Г . /: Г -> 7? и /(я) =

х = <х>.

бой функции у є К{Т).

Доказательство. Пусть К - компактное множество из Т, у е К(Т). Обозначим М = тах|у(/)| ■ Зададим произвольное в > 0 . Справедливо равенство

= vQ(K п {t є E0AEk : |(ЗД(0 - (*V)<7)| ^ s]) + +v0(K n{teE0nEk: |(ЗД(0 -(S0jX0| ^ s}). Имеем lim v0 (К n{t<= E0AEk : \(Sky)(t) - (5,0>’)(/1)| > є)) < lim (K n (E0AEk)) = 0.

A—»co k-± со

Далее,

Так как д()Е_ у0 -измерима, то для КаТ и любого д > 0 найдется такое компактное Кх с К, что на Кх ц0Е непрерывна и эир д0£ = 0<°°, ^0(К -Кх) < 8. Тогда

° 1еК

Из леммы 1 следует, что функция у равномерно непрерывна на Т. Значит для заданного 6 > 0 найдется окрестность и равномерной структуры пространства Т такая, что

Таким образом, учитывая сходимость (О к т0Е (I) по мере у() , можно утверждать, что для заданных е > О, 8 > О существует номер N такой, что при п > N имеют место неравенства

Следовательно, Нш у0(К п {г є Е0пЕк: |(5*>0(0 "(^о-УХОІ > є}) = 0 и, значит, {5ку} сходится

по мере у0 к 507 для любой функции уеК(Т).

Лемма доказана.

Определение: Подмножество Н из Ьцр называется равностепенно р. -интегрируемым порядка р, если оно удовлетворяет условиям:

1) для любого є > 0 найдется такое 8 >0, что для любого //-интегрируемого множества А,

іі(А)<8 и любого /є Я следует, что ^/\РХа^М -е ;

2) для любого є > 0 найдется такое компактное множество К с Г, что для любого / є Н

у0(К n{t<=T :| (Sky)(t) -(ЗД(01> г}) =...

y0(K n{teE0nEk: |(ЗД(0 -(S0y)(t)\ >є}) =

= V0(K n{t Є ЕдГ\Ек : \ркЕоГлЕк (Оу(ткЕ0г^Ек (0) ~ %Е0пЕк ({)УІТОЕ0г^Ек (0)| - £}) -

<v0(Kn{teE0nЕк :|qkEonEl (0~%Е0г,Ек (ОМ УІ.*кЕ0пЕк (0)| ^ |}) + +У0(К n{teE0nEk: | qkEQnEk (ОМ УІЧе^е, (0) - У(*оЕ0пЕк (0)| ^ |}) •

По условию Ы v0 (К n{t є Е0пЕк: \qkEonEk (0 - % Е0^Ек (ОМ У(?кБопЕк (0)| ^ ^

< lim у0(К п є £0 п £* : |qkE^Ek (0 - ЧоЕ0пЕк (0| ^ ) = 0.

y0(K n{t є E0nEk : \qkE^Ek (0 | • | у(ткЕ(>пЕк (0) - У(г0Е0пЕк (0)| ^ ^

<8 + y0(Kxn{teE0: ІУІт^е, (0) - УІЧе^е, (0)| ^ ) •

:У(їкЕ0пЕк (0) - УІТОЕ0г,Ек (0)| < “ , как ТОЛЬКО (f^o (0, т0£0 (0) Є U .

v0(K n{t є Е0п Ек : \ qkE^Ek (ОМ УІЧЕ0пЕк (0) ~ У(^ОЕ0п,Ек (0)| ^ |^

< J + v0 (*, п {г є £0 : (ткЕо (0, г0£о (0) Є £/}) < 2 J .

Лемма 3. Пусть Т - локально компактное пространство, 8к : 7,^' (7) —> (У), к = 0,1,...

Пусть последовательность {Хвк Як} равностепенно у0 -интегрируема порядка р . Тогда для любой функции у е К(Т) последовательность {\>’} равностепенно уГ) -интегрируема порядка р. Доказательство. Пусть уеК(Т) и шах\у{1)\ - М. Зададим в > 0 и произвольное уа интег-

1еТ

рируемое множество АаТ.

ркУ\РХл^о = \\Як^)\Р -\у(Ч(0)\Р ХЕкпА^о ^ Мр 1як{1)\Р ХЕкг,А^0 <Мр-~ = е,прн у0(А)<6,

так как последовательность {хЕкЯк) равностепенно^ -интегрируема порядка р .

Для любого компактного множества К с Т имеем

рку\РХт\к^а = \\ШР ■\У(.Ч(*))\Р ХЕкг,(т\к)^о ^мР ]ЫоГ^п(пк)^о ■

Так как последовательность!^^} равностепенноу0-интегрируема порядка р, то существует такое компактное множество К0аТ, что для любого натурального числа к и заданного е

’хЕкп(т\К)^о^-~~ и тогДа ркУ\РХт\к^о <е ■ и> значит, последовательность (ЗД

равностепенно у0 -интегрируема порядка р для любой функции уеК(Т).

Лемма доказана.

Лемма 4. Пусть Т - локально компактное пространство, 8к (Т)->1^(Т), к- 0,1,...

Пусть последовательность {хЕкЯк) сходится в пространстве 1!£ (/) к Х/;0 Я о > последовательность {тк} сходится по мере у0 к г0 и для любого компактного множества КаТ Нш у0(Кп(ЕкЛЕо)) = 0. Тогда последовательность {8ку} сходится к Б0у в пространстве

СО

7^° (Т) для любой функции у е К(Т).

Доказательство. Так как {хЕкЯк) сходится в пространстве 7^ (О к Хе0Яо> т0 {Хр;кЯк'<сх0" дится по мере у0 и равностепенно -интегрируема порядка р [2]. Согласно леммам 2 и 3 последовательность {$ку} сходится по мере у() к 50>' и равностепенно у0 -интегрируема порядка

р. Тогда последовательность {$ку} сходится к Б0у в пространстве 7^ (Т) для любой функции уеК(Т).

Лемма доказана.

Теорема 2. Пусть Т - локально компактное пространство, ^ (Т) -»(Г), к- 0,1,....

Пусть существуют положительные числа g*k gk, g*, g такие, что для мер Ук, к = 0,1,... выполнены неравенства

^ ёУо ^ Л. (1)

последовательность угш'Бир -■---(?) ограничена числом К* и Пт у()(К г\(ЕкАЕ0)) = 0. Тогда,

1еТ Лук к<г-со

если последовательность {Хг:кЯи сходится в пространстве 1У°{Т) к Хе0Яо> а последовательность {тк} сходится по мере к0 к г0> то для любого хеЁ’НТ) Пт х-50х| =0.

<£—>00 У0

Доказательство. Из условия (1) следует, что меры ик абсолютно непрерывны относительно !/0 и классы эквивалентности в пространствах (Т) совпадают для всех * = 0,1,...; нормы в Ё’р(Т) эквивалентны.

Пусть х е С'р (Г), тогда для любого £ > 0 можно подобрать непрерывную функцию х с компактным носителем К такую, что

-I 1 1

II*-4,0 =( \\х{*)-х{1)\Р(1у0)р < ( ||х(0-*(0\Р — ^кУ < —Ц-( ||д:(0-адГ—^к)р < —е—у.

К К

Справедливы оценки

II ^ІІ5**- н

И^О 11 к К 11 к0

{ё*У

(8*У

+1Ы„0^ІІМІи, + ■

І II

1Ы10_0 , так как Ц^хЦ^ = ( К|здо(0*(г0(0)|РаЧ)Р =

І II II

= (|-Ф)|Р^0У = 0)р <{К*У (|х(5)|РСІУ0)Р <(К*)Р |

1^0

*Ц_>„0 , * = 0,1,..., так как

1^ХИ0 =(|(5^ХО|Р^о)Р = (§ХЕкЯк(Ох(тк(і))\Р(ІУ0У < <(^ЕкЧк(0х(тк(1))\Р — (ІУк)

—1^ (—Уі\\х^)\Р^к)

- Т - т к 8* Т

І8*) І8Ї)

X

р <

1/о

По лемме 4 Пт =0, то есть, начиная с некоторого номера п, Ц^х - ^хЦ^ <£.

Значит Пт - 50х|| = 0.

к-> оо у0

Теорема доказана.

ПРИМЕР

Определим операторы ^ и , к = 0, 1, ... . Положим Т= [0, 1] и <^(0 = 1, к = 0,1,...

Р

Зададим г0(0 =

/,/є

0;з

1 (\ 2Л

З ІЗ З

и тА(0 =

:;1

* + і 1

------/-----,/є 0;-

* Зк 3

1 (1 2Л

-,г є

З ІЗ З

к л-1 * + 2

?-----—,(е

к = 0,1,...,

Зк

£о=[0;1], Ек =[—-1— ;1], £0ДЕл=[0;—Ц]; Ііш У0(Е0АЕк) = 0 Зк + З Зк + З к^оо

Здесь є(ґ) - единичная атомическая мера, сосредоточенная в точке і и /? > 1.

2/3 1

1 5 ^ ^ _

/? + 1

гр

Последовательность {гк} сходится к г0 в каждой точке /е[0;1], значит, последовательность {тк} сходится по мере у0 к т0.

Таким образом, условия теоремы 2 выполнены и, следовательно, последовательность операторов Бк : (£')-> Ь1'* (Т), заданных равенством ($кх) = х(тк(1)). I е [0,1 ] сходится по

норме к оператору (50л:) = х(г0(Г)) •

1. Бурбаки, Н. Общая топология. Основные структуры / Н, Бурбаки. - М.: Наука, 1968. -

2. Бурбаки, Н. Интегрирование. Меры на локально компактных пространствах / Н. Бурбаки. - М.: Наука, 1977. - 600 с.

3. Бурбаки, Н. Интегрирование. Меры, интегрирование мер / Н. Бурбаки. - М.: Наука, 1967.

4. Плышевская, Т.К. О разрешимости функционально-дифференциальных уравнений в лебеговых пространствах / Т.К. Плышевская. - Магнитогорск: Магнитогорский горно-металлургический институт, 1988. - Деп. в ВИНИТИ 22.02.89. - № 1186. - В 89.

Литература

272 С.

-396 С.

Поступила в редакцию 20 июня 2007 г.