CC BY
94
On 2-fold Completeness of the Eigenfunctions for the Strongly Irregular Quadratic Pencil
of Differential Operators of Second Order
O. V. Parfilova
Saratov State Law Academy, Russia, 410056, Saratov, Volskaya st., 1, [email protected]
A class of strongly irregular pencils of ordinary differential operators of second order with constant coefficients is considered. The roots of the characteristic equation of the pencils from this class are supposed to lie on a straight line coming through the origin and on the both side of the origin. Exact interval on which the system of eigenfunctions is 2-fold complete in the space of square summable functions is finded.
Key words: quadratic pencil, second order pencil, pencil of ordinary differential operators, two-point boundary conditions, homogeneous differential expression with constant coefficients, completeness of the system of eigenfunctions, non-completeness of the system of eigenfunctions.
References
1. Shkalikov A. A. Boundary value problems for ordinary differential equations with a parameter in the boundary conditions J. of Math. Sciences, 1986, vol. 33, iss. 6, pp. 1311-1342.
2. Rykhlov V. S. On completeness of eigenfunctions of quadratic penciles of ordinary differential operators. Russian Math. [Izv. VUZ. Matematika], 1992, vol. 36, no. 3, pp. 33-42.
3. Rykhlov V. S. On properties of eigenfunctions of ordinary differential quadratic pencil of the second order. Integral Transforms and Special Functions. Inform. Byulleten, 2001, vol. 2, no. 1, pp. 85-103 (in Russian).
4. Rykhlov V. S. Double completeness of eigenfunctions of a quadratic pencil of second order differential operators.
Zbirnik prats' In-tu matematiki NAN Ukraini, 2009, vol. 6, no. 1, pp. 237-249 (in Russian).
5. Rykhlov V. S. O polnote sobstvennykh funktsii differentsial'nogo puchka vtorogo poriadka, korni kharakteristicheskogo uravneniia kotorogo lezhat na odnoi priamoi [On completeness of eigenfunctions of a differential pencil of the second order the roots of the characteristic equation of which lie on a straight line]. Matematika. Mehanika. Saratov, 2007, iss. 9, pp. 88-91 (in Russian).
6. Rykhlov V. S. On completeness of eigenfunctions for pencils of differential operators. Spectral and Evolutional Problems : Proc. of the Seventh Crimean Autumn Mathematical School-Symposium. Simferopol, 1997, vol. 7, pp. 70-73 (in Russian).
УДК 517.9
О СТРУКТУРЕ ОПЕРАТОРА, ОБРАТНОГО К ИНТЕГРАЛЬНОМУ ОПЕРАТОРУ
СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА
В. Е. Струков
Аспирант кафедры математических методов исследования операций, Воронежский государственный университет, [email protected]
В статье рассматривается алгебра с единицей, порожденная интегральными операторами, действующими в пространствах непрерывных периодических функций. Доказывается наполненность этой подалгебры в алгебре всех линейных ограниченных операторов.
Ключевые слова: банахово пространство, интегральный оператор, теорема Бохнера-Филлипса, ряд Фурье оператора, наполненность подалгебры, винеровская пара алгебр.
Пусть 11(Ъ) — банахово пространство двусторонних суммируемых последовательностей а : Ъ ^ С с нормой ||а||1 = ^кег |а(к)| < го.
Символом С(Т) будем обозначать банахово пространство комплексных непрерывных функций, определенных на окружности Т = [в е С : |в| = 1}.
Будем говорить, что функция / е С(Т) обладает абсолютно сходящимся рядом Фурье, если она может быть представлена в виде ряда /(в) = ^кег а(к)вк, в е Т, где а е 11(Ъ). Совокупность всех таких функций обозначим через АС(Т). Заметим, что АС(Т) является банаховой алгеброй с поточечным умножением и нормой
II/ 11ас = ||а||1 = £ |а(к)|.
кег
В терминах введенных обозначений теорема Винера формулируется следующим образом.
Теорема 1 (Н. Винер). Если функция f е AC(T) и / (в) = 0 для всех в е T, то 1// е AC(T), т.е. 1//(в) = £heZb(k)ek, где b е lx(Z).
Согласно теории И. М. Гельфанда, теорему Винера можно рассматривать на языке пар алгебр как утверждение о том, что алгебры AC(T) и C(T) образуют винеровскую пару [1].
Определение 1. Будем говорить, что алгебры A, B (A С B) образуют винеровскую пару, если каждый элемент а е A, обратимый в алгебре B, обратим также в алгебре A.
В данной работе будет использоваться терминология Н. Бурбаки [2].
Определение 2. Подалгебра A С B называется наполненной в алгебре B, если каждый элемент а е A, обратимый в алгебре B, обратим также в подалгебре A.
В терминах наполненности теорема Винера принимает следующий вид.
Теорема 2. Алгебра AC(T) наполнена в алгебре C(T).
Для функций со значениями в банаховой алгебре теорема Винера была получена в статье S. Bochner, R. S. Fillips [3]. На основе результатов этой статьи в работах А. Г. Баскакова [4-7] был развит метод доказательства для элементов из банахова пространства линейных ограниченных операторов. Введем терминологию, взяв за основу статью [8].
Пусть EndX - банахова алгебра линейных ограниченных операторов на бесконечномерном комплексном банаховом пространстве X. Обозначим через Inv X множество (непрерывно) обратимых операторов из пространства End X.
Рассматривается сильно непрерывное изометрическое 2п-периодическое представление:
T : R ^ EndX, T(t + 2п) = T(t), t е R.
Каждому оператору A е End X поставим в соответствие периодическую с периодом 2п сильно непрерывную функцию Фа : R ^ EndX, определяемую равенством
Фа(t) = T(t)AT(-t), t е R.
Множество операторов A е End X, для которых операторнозначная функция Фа непрерывна в равномерной операторной топологии, обозначим символом EndcX, а подмножество непрерывно обратимых операторов из EndcX обозначим через InvcX.
Функции Фа поставим в соответствие ее ряд Фурье:
Фа (t) - ^ Akeiht, t е R, he z
где
1 Г 2п
1 I , -iht
Ak = — T(t)AT(-t)e-iktdt, k e Z. 2n J0
Ряд £ Ak будем называть рядом Фурье оператора A, а операторы Ak, k e Z, — коэффициентами
ke z
Фурье этого оператора (относительно представления T).
Определим двустороннюю последовательность dA(k), положив dA(k) = ||Ak||, k e Z. Пусть выполнено следующее условие.
Условие 1. Для оператора A e EndcX справедливо одно из соотношений
1. £dA (k) < ж;
ke z
2. £ dA(k)a(k) < ж, где функция а : Z ^ R+ удовлетворяет следующим свойствам:
ke z
(a) a(k) > 1 для всех k e Z,
(b) a(ki + k2) < a(ki)a(k2) для всех k1,k2 e Z,
ln a(nk)
(c) lim -1—- = 0 для всех k e Z;
n—n
3. lim dA(k)|k|Y = 0, k e Z, y> 1.
k—^
Совокупности операторов, удовлетворяющих пунктам 1, 2 или 3 условия 1, обозначим соответственно Епё1 X, ЕпёаХ и Епё7X. Нетрудно показать, что данные классы являются подалгебрами алгебры ЕпёеХ. Обозначим символом р в ЕпёрХ один из символов 1,а,7- Из лемм 1 и 2 статьи [5] вытекает следующая теорема.
Теорема 3. Пусть оператор А е /пг>еX П ЕпёрХ. Тогда А-1 е ЕпёрХ.
Введем используемые далее обозначения. Символом (К, С) обозначим банахову алгебру измеримых 2п — периодических, интегрируемых на отрезке длины 2п функций / : К ^ С с нормой
2п 2п
II/ 11?П = 2П / I/(¿)М£- В качестве операции умножения возьмем свертку (/*#)(£) = /(5)#(£—
п о п о
для всех /,# е ¿2П(К, С).
В данной статье рассматриваются операторы вида
А = а/ + К, а е С\{0}, (1)
где К — интегральный оператор, действующий в банаховом пространстве X = С2п(К, С) непрерывных шций (периода 2п) с не
Оператор К имеет вид
функций (периода 2п) с нормой ||ж||с2п = max |x(t)|.
te[ о,2п]
п2ж
(Kx)(t )=/ K (T,u)x(u)du, (2)
о
причем его ядро K : R х R ^ C обладает следующими свойствами:
1) K(т + 2п, u + 2п) = K(t, u) для всех т, u е R;
2) к(т) е Lln(R, C) для всех т е R, где (к(т)) (u) = K(т, u), u е R;
3) к е C2n(R, L2n(R, C)) (функция к непрерывна по норме пространства L^(R, C)).
Легко проверить, что рассматриваемый оператор K определен корректно, т. е. Kx е C2n(R, C) для любого x е C2n (R, C).
В качестве группы изометрий в пространстве C2n (R, C) рассмотрим группу сдвигов S : R ^ End C2n(R, C), определенную формулой (S(t)x)(T) = х(т + t).
Рассмотрим функцию Фк : R ^ EndC2n(R, C), определяемую формулой Фк(t) = S(t)KS(-1). Ясно, что она имеет вид
(Фк (t)x) (т )=/ K (т +1, v + t)x(v)dv, x е C2n (R, C). о
Пусть оператор вида (1) удовлетворяет одному из пунктов условия 1. Обозначим соответствующие совокупности операторов символами IntiC2n(R, C), IntaC2n(R, C), IntYC2n(R, C). Несложно показать, что данные совокупности являются банаховыми подалгебрами алгебры End C2n (R, C). Лемма 1. Рассматриваемый оператор K е End C2n (R, C) компактен.
Доказательство. Докажем данное утверждение с помощью теоремы Арцела, т. е. покажем, что оператор K отображает единичный шар B(0,1) с End C2n (R, C) в равномерно ограниченное и равностепенно непрерывное множество. В силу оценки
П 2п
||Kx|| = max I K(t, s)x(s)ds\ < max ||K(t)|= const te[0,2n] J0 te[0,2n]
для всех x е B(0,1), где (K(t))(s) = K(t, s), t, s е R, получаем, что множество KB(0,1) равномерно ограниченно. Для всех x е B(0,1) из соотношения
| (Kx)(t) - (Kx) (t + т)| = \/ K(t, s)x(s) ds - K(t + т, s)x(s) ds\ <
00
r>2n
< ||x||c2n / \K(t, s) - K(t + T, s)\ds < ||K(t) - K(t + T)||2n,
0
а также из того, что к е С2п(К,¿2П(К,С)), следует, что множество КВ(0,1) является равностепенно непрерывным. □
Лемма 2. Рассмотрим в пространстве L2n оператор сдвига S : R ^ End (R, C). Совокупность функций {S(т)(K(t, s))} = {K(t, т + s), т, t, s e R} равностепенно непрерывна по норме пространства L1n (R, C) относительно переменной т.
Доказательство. Для доказательства данного факта достаточно показать равностепенную непрерывность при т = 0. Зафиксируем е > 0. Сначала докажем, что семейство функций {K(t),t e R} = = {K(t, ■), t e R} является предкомпактным множеством в L2n(R, C). Поскольку функция к непрерывна по норме пространства (R, C) и периодична, то она равномерно непрерывна по норме пространства Lr,n(R, C), в силу чего выберем <5i > 0 так, чтобы при всех ti,t2 e R из того, что |ti — t21 < 5j_, всегда следовало, что ||«(t1) — K(t2)У1П < е/3.
В силу периодичности функции к с помощью разбиения {tk }П=0 отрезка [0, 2п] с диаметром 5j. можно построить конечную е/3-сеть {K(tk)}П=0 для множества функций {K(t),t e R} С Lr,n(R,C).
Поскольку множество непрерывных функций плотно в Lr,n [9], для каждой функции f e Lr,n (R, C) можно подобрать последовательность непрерывных периодических функций {fm} С C2n(R, C), такую, что ||f — fm||2n ^ 0 при m ^ го. Для величины е/9 выберем такое m0 = m0(e/9,f), что для всех m > m0 |f — fm||2п < е/9. В силу равномерной непрерывности периодической функции fm0 выберем такое 5 = 5(е/9, fm0) > 0, что для всех т e R, |т| < 5, справедливо, что ||fm0 — S(т)fm0 < е/9. Таким образом, для произвольной функции f e L2n(R, C) и произвольного числа т e R, |т| < 5, из соотношения
||f — S (т )f ||1П < ||f — fm0 ||1П + ||fm — S (т) fm0 |Г + ||S (т )fm — S (т )f ||fn
следует, что ||f — S(т)f ||2П < е/3.
Теперь для каждой функции из указанной выше конечной е/3-сети {K(tk)}П=0 найдем указанным выше образом величины и функции тю(е/9,к^к)), fm0(e/9,K(tfc)), 5(e/6,fm0(e/9,K(tfc))) и выберем
52 = п™ {5(e/9,fm0(e/9,K(ife)))} > 0 < k < n
При этом из условия |т| < 52 для всех k = 0,n будет следовать, что ||K(tk) — S(т)K(tk)|| < е/3.
Фиксируем произвольное t e [0,2п], выберем соответствующее tk0 e {tk}П=0 такое, что ||K(t) — K(tk)||fn < е/3, возьмем также 5з = min{51, 52} и |т| < 53. Из соотношения
||K(t) — S(т)к(0||?П < ||K(t) — K(tk)|2П + ||K(tk) — S(т)K(tk)|2П + ||S(т)K(tk) — S(т)K(t)||2n
для произвольного t e [0, 2п] и произвольного |т| < 53 получим, что
||K(t) — S(т)K(t)|1n < е. □
Лемма 3. Для рассматриваемого оператора K e End C2n (R, C) функция Фк непрерывна в равномерной операторной топологии.
Доказательство. Для доказательства данного факта достаточно проверить непрерывность в нуле. Фиксируем произвольное е > 0. Справедливо соотношение
||Фк (t) — Фк (0)|| = ||S (t)KS (—t) — K || =
= sup ||(S(t)KS(—t) — K)x|| = sup max || / (К(т +1, v +1) — K(^ v))x(v)dv|| < ||ж||<1 II ж
||<1 т €[0,2п] J0 П 2п г-2п
< max / |K(т +1, v + t) — K(т, v)| dv = |К(т + t, v + t) ± К(т + t,v) — K(т,v)| dv <
т €[0,2^^0 Л
</ |K(т +1, v) — K(т, v)| dv + / |K(т + t, v + t) — K(т + t,v)| dv. 00
В силу свойства 3 ядра оператора K можно подобрать такое 51 > 0, что при |t| < 51 первое слагаемое в правой части выражения выше будет меньше, чем е/2. В силу леммы 2 можно выбрать величину 52 > 0 такую, что для всех t, |t| < 52, второе слагаемое будет меньшим е/2. Выберем 5 = min{51,52}, тогда для всех t, |t| < 5, будет справедливо
||Фк(t) — Фк(0)|| < е.
т.е. функция Фк непрерывна в равномерной операторной топологии. □
Рассмотрим структуру коэффициентов Фурье функции Фк. Поставим функции Фк в соответствие ее ряд Фурье:
Фк (t)x Knxeiní, hez
где коэффициенты Фурье определяются следующими формулами:
(Knx)(r )=/ К (т, v)x(v)einv dv,
где
1 с 2п
Kn(r, v) = — K(т + t, v + t)e_in(t+v)dt.
2n Jo
Коэффициенты Фурье оператора A будут совпадать с коэффициентами оператора K за исключением нулевого коэффициента, который будет иметь вид A0 = а/ + K0.
C помощью замены переменных несложно показать, что ,ЖП(т + u, v + u) = КП(т, v) для всех u Е R, откуда следует, что Kn(т, v) = КП(т — v,0) = К°(т — v), т. е. функция Kn на самом деле зависит от разности аргументов.
Через En е End C2n(R, C) обозначим оператор умножения на экспоненту: (Enx)(t) = eintx(t) = = (enx)(t), n Е Z, t Е R.
Лемма 4. Пусть An - коэффициенты Фурье некоторого оператора A е End C2n(R) с непрерывной в равномерной операторной топологии функцией тогда операторы AnE-n перестановочны со сдвигом при всех n е Z.
Доказательство. Покажем, что S(u)AnS(—и) = emwAn при всех и е R и для любого n Е Z. Рассмотрим произвольное и Е R.
1 Г2п
S (w)An S (—и) = — S (w)S (t)AS (—t)S (—u)e-int dt = JO
S(w + t)AS(-t - w)e_m(t+w)dt = — S(t)AS(-t)e_intdt = emwAr
Тогда
7q JO
S (t)An E-nS (-t) = S (t)An S (—t)(S (t)E-n S (-t)) = S (t)AnS (-t)e_int E_n = An E_n,
т. е. оператор АПЕ-П перестановочен со сдвигом. □
Так как оператор А непрерывно обратим, то его обратный имеет вид А-1 = —I + КГ, где
1 а
КГ = — КА-1 — компактный оператор (как произведение компактного и ограниченного). а
В силу того что оператор А е 1пЦС2п(К, С) С ЕпёрС2п(К, С) С Епё1 С2п(К, С), где р — один из символов 1, а, 7, по теореме 3 из абсолютной сходимости ряда Фурье функции Фа следует абсолютная сходимость рядов Фурье функций Фа-1 и Ф^.
Введем понятие аппроксимативной единицы. Для этого возьмем произвольный элемент х е С2п(К, С). Его ряд Фурье имеет вид
hez
x(t) ~ у Xheh.
Рассмотрим аппроксимативную единицу Фп е End C2n (R, C), которая определяется по следующей формуле:
ФпЖ = f1 - п ) xkek •
Данная последовательность операторов сильно сходится к тождественному оператору в пространстве End C2n(R, C), т. е. для всех x е C2n(R, C) lim Фпx = x.
n—^^о
Лемма 5. Для того чтобы оператор A е End C2n (R, C) был перестановочен со сдвигом, необходимо и достаточно, чтобы функции en были его собственными функциями, т. е. Aen = anen для всех п е Z, где an е C.
о
Доказательство. Необходимость. Пусть оператор А перестановочен со сдвигом, т.е. £(Ь)А = = А£(Ь) для всех Ь е К. Рассмотрим функцию хп = Аеп и ее сдвиг £(Л)хп, Л е К.
£ (Л)хп = £ (Л)Аеп = А£(Л)еп = А(е*пЛ еп) = ет^Аеп = етЛ жп.
Рассмотрим теперь функцию Х^ = хпе-п и ее сдвиг £(Л)Хп.
£(Л)хп = £(Л)(хпе—п) = £(Л)хп£(Л)е-П = е Хпе е—п = Хп •
Получаем, что £(Л)ХП = ХП для всех Л е К, т. е. ХП — постоянная функция.
Обозначим ХП = хпе-п = ап, где ап е К. Тогда хп = Аеп = апеп для всех п е Достаточность. Пусть выполнено Аеп = апеп для всех п е Ъ. Тогда
£ (Л)А£ (-Л)еп = £ (Л)А(е-гпЛ еп) = е-гп^£ (Л)Аеп = е-гп^£ (Л)Кеп) = «п £ (Л)еп = «п еп = Аеп •
Соотношение выше останется справедливым, если заменить еп элементом Фтх для произвольного х е X. Ввиду сильной сходимости последовательности {Фт} к тождественному оператору для всех х е X справедливо соотношение £(Л)А£(—Л)х = Ах, т. е. оператор А перестановочен со сдвигом. □ Теорема 4. Пусть Б е Епё С2п - компактный перестановочный со сдвигом оператор. Тогда Б и Фп перестановочны и ||ФпБ — Б|| ^ 0 при п ^ го в равномерной операторной топологии.
Доказательство. Поскольку оператор Б перестановочен со сдвигом, из леммы 5 вытекает его перестановочность с аппроксимативной единицей Фп.
Для произвольного х е В(0,1) оценим величину ||БФпх — Бх|| = ||ФпБх — Бх||. Пусть у = Бх. Фиксируем произвольное е > 0 ив силу компактности оператора Б построим конечную е/3-сеть БВе/3 образа единичного шара Б(В(0,1)). Для рассмотренного у выберем элемент сети у0 е БВе/3 такой, что ||у — у01| < е/3. Поскольку множество БВе/3 конечно, найдем такое п0 е М, что для всех п > п0 и для любого у0 е БВ5/3 выполнялось ||Фпу0 — у0|| < е/3. Тогда
||ФпБх — Бх|| < ||Фп(у — у0)|| + ||Фпу0 — у01| + 11у0 — у || < е/3(|Фп| + 1) + ||Ф пу0 у0 У < е
Данная оценка не зависит от конкретного х е В(0,1), поскольку п0 выбирается только по 5/3-сети, зависящей, в свою очередь, только от 5 и оператора Б. □
Теорема 5. Пусть Б — компактный перестановочный со сдвигом оператор из пространства
2п
ЕпёС2п(К, С), тогда он имеет вид (Бх)(Ь) = / /(Ь — з)х(з) где / е £2п(К, С) ( т. е. является
0
оператором свертки с суммируемой функцией).
Доказательство. Покажем, что ФпБх = /п * х для всех х е С2п(К, С).
Рассмотрим данный оператор на функциях . В силу перестановочности со сдвигом согласно лемме 5 получаем, что Бек = «кек, к е Ъ, причем «к ^ 0 при к ^ го в силу компактности оператора Б. Тогда
БФпек = б( 1 — Ш ек = (1 — Щ Бек = ^ — ^ «кек.
п п п
C другой стороны,
Л 2п
(/п * ек)(Ь) = /п(т)егк(*-т)¿т = 2п/п(к)ек.
0
^ «к
Отсюда следует, что /п(к) = — (1 — |к|/п), |к| < п. Тогда ФпБек = /п * ек, к е Ъ, где /п имеют вид
/п М^О ^) «кек.
|к|<п 4 7
А значит, и для всех х е С2п(К, С) ФпБх = /п * х, причем доказано, что ||ФпБ|| = ||/п||2п, где || ■ |2П — норма в (К).
Покажем, что последовательность {/п} сходится. В силу того что (БФп — БФп+т)х = = (/п — /п+т) * Х для всех Х е С2п (К, С), получаем, что ||БФп — БФп+т|| = ||/п — /п+т ||2п, а
из сходимости последовательности DФn к оператору D по норме пространства End C2n (R, C) (теорема 4) следует ее фундаментальность. Тогда последовательность {fn} также будет фундаментальной, что в силу полноты пространства (R) означает ее сходимость.
Обозначим f = lim fn. Тогда Dx = f * x, f E (R), т.е. D — интегральный оператор вида
(Dx)(t) = f02n f (t - s)x(s) ds. □
Вернемся к рассмотрению оператора A E EndpC2n(R, C), где p — один из символов 1,a,Y, определяемого формулой A = al + K, где a E C, a = 0, а K — рассмотренный ранее компактный
интегральный оператор. Как было показано, его обратный имеет вид B = A-1 = — I + K, где K —
a
компактный оператор с абсолютно сходящимся рядом Фурье:
K = Kn.
nez
В силу компактности оператора K его коэффициенты Фурье Kn также компактны. Тогда операторы KnE-n компактны и перестановочны со сдвигом (в силу леммы 4). По доказанному в теореме 5 операторы KnE-n являются интегральными и имеют следующий вид:
(Kn E-n x)(t)= Kn (t - s)x(s) ds, 0
где функции Kn E (R, C). Тогда оператор Kn представим в виде
(Knx)(t) = (KnE-n En x) (t) = Kn(t - s)einsx(s)ds.
0
Заметим, что коэффициенты Фурье операторов K и K имеют сходную структуру, то есть каждый из операторов является произведением интегрального оператора с ядром, зависящим от разности аргументов, и оператора En
(K,nx)(т) = КП0(т - v)einvx(v) dv, (Knx)(t) = Kn(t - s)einsx(s) ds. 00
Кроме того, \\KnE-n || = \\Kn || = \Kn ||1. Тогда в силу абсолютной сходимости ряда Фурье оператора K ряд Kn(t - s)eins также абсолютно сходится. Обозначим
nez
K(t, s) = J] Kn (t - s)eins. (3)
nez
С учетом данного обозначения для всех x E C2n(R, C) имеем:
~ — f2n _
(Kx)(t) = (^2 Knx)(t) = ^ / Kn(t - s)einsx(s) ds = nez ner0
= / fe Kn (t - s)eins) x(s) ds =Î K(t,s)x(s) ds. (4)
Исследуем функцию К и покажем, что она обладает теми же свойствами, что и ядро оператора К. Так как функции Кп е Ь\ж(К) и ряд (3) абсолютно сходится, то К(Ь, ■) е (М, С). Непосредственно из определения функции К по формуле (3) следует, что К(Ь + 2п, 5 + 2п) = К(Ь, в) для всех Ь,в е М и К(Ь, ■) е (М, С)._
Из соотношения ,ЖП(Ь — в) = Б(Ь)КП(—в) выведем непрерывность функции К(-,5) по норме пространства Ь2>п(К, С). Таким образом, доказана следующая теорема, являющаяся основным результатом работы.
Теорема 6. Пусть оператор А е 1пЬрС2п(К, С) (р - один из символов 1,а,7) имеет вид (1) и является непрерывно обратимым, тогда обратный оператор имеет вид
А-1 = 11 + К, а
где оператор K является компактным интегральным оператором вида (4) с ядром K, удовлетворяющим свойствам
1) K(т + 2п, u + 2п) = K(т, u) для всех т, u е R;
2) к(т) е L2n(R, C), где (к(т)) (u) = K(t, u) для всех т, u е R;
3) к е C2n(R, Lln(R, C))(функция к непрерывна по норме пространства L2n(R, C)). В терминах наполненности теорему 6 можно сформулировать следующим образом.
Теорема 7. Подалгебры Int1 C2n(R, C), IntaC2n(R, C), IntYC2n(R, C) наполнены в алгебре End C2n (R, C).
Замечание 1. Наполненность некоторых других подалгебр, порожденных интегральными операторами, рассмотрена В. Г. Курбатовым в работе [10]. В вышеуказанной статье была исследована алгебра J(Lp(G, X)) интегральных операторов J е EndLp(G, X), где Lp(G, X), 1 < p < го, — пространства классов совпадающих локально почти всюду относильно меры Хаара измеримых функций f : G ^ X, G - компактно-порожденная группа, изоморфная группе Rn х Zm х K, где n, m е N, K - компактная абелева группа, X - конечномерное банахово пространство. Операторы J е J(Lp(G, X)) имеют вид
(Jx)(t) = / N(t, s)x(s)ds, Jo
(интегрирование ведется по мере Хаара), где ядро N измеримо и при некоторых M < го и y > 0 удовлетворяет оценке
||N(t,s)|| < Me-Y|t-s|.
Для операторов из J (Lp(G, X)) справедлива следующая теорема.
Теорема 8. Пусть оператор I + J, где J е J(Lp(G,X)), обратим в Lp(G,X), тогда обратный оператор имеет вид (I + J)-1 = I + J1, где J1 е J(Lp(G,X)).
Замечание 2. Отметим, что теорема 3 используется в статье И. И. Струковой [11] для доказательства аналога теоремы Винера для периодических на бесконечности функций.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 13-01-00378).
Библиографический список
1. Наймарк М. А. Нормированные кольца. М. : Наука, 1968. 664 с.
2. Бурбаки Н. Спектральная теория. M. : Мир, 1972. 183 с.
3. Bochner S., Fillips R. S. Absolutely convergent Fourier expansion for non-commutative normed rings // Ann. of Math. 1942. № 3. P. 409-418.
4. Баскаков А. Г. Теорема Винера и асимптотические оценки элементов обратных матриц // Функц. анализ и его прил. 1990. Т. 24, № 3. С. 64-65.
5. Баскаков А. Г. Абстрактный гармонический анализ и асимптотические оценки элементов обратных матриц // Мат. заметки. 1992. Т. 52, № 2. С. 17-26.
6. Баскаков А. Г. О спектральных свойствах некоторых классов линейных операторов // Функц. анализ и его прил. 1995. Т. 29, № 2. С. 61-64.
7. Баскаков А. Г. Асимптотические оценки элементов матриц обратных операторов и гармонический анализ // Сиб. мат. журн. 1997. Т. 38, № 1. С. 14-28.
8. Баскаков А. Г. Оценки элементов обратных матриц и спектральный анализ линейных операторов // Изв. РАН. Сер. мат. 1997. Т. 61, № 6. С. 3-26.
9. Баскаков А. Г. Гармонический анализ линейных операторов. Воронеж : Изд-во Воронеж. гос. ун-та, 1987. 165 с.
10. Курбатов В. Г. Об алгебрах разностных и интегральных операторов // Функц. анализ и его прил. 1990. Т. 24, № 2. С. 98-99.
11. Струкова И. И. Теорема Винера для периодических на бесконечности функций // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2012. Т. 12, вып. 4. С. 34-41.
Structure of the Inverse for the Integral Operator of Special Kind
V. E. Strukov
Voronezh State University, Russia, 394006, Voronezh, Universitetskaya pl., 1, [email protected]
Algebra (with identity) generated by integral operators on the spaces of continuous periodic functions is considered. This algebra is proved to be an inverse-closed subalgebra in the algebra of all bounded linear operators.
Key words: Banach space, integral operator, Bochner—Phillips theorem, Fourier series of an operator, inverse-closedness of a subalgebra, Wiener's pair of algebras.
References
1. Naimark M. A. Normirovannye kol'tsa [Normed Rings]. Moscow, Nauka Publ., 1968, 664 p. (in Russian).
2. Burbaki N. Spektral'naya teoriya [Spectral theory]. Moscow, Mir, 1972, 183 p. (in Russian).
3. Bochner S., Fillips R. S. Absolutely convergent Fourier expansion for non-commutative normed rings. Ann. of Math., 1942, no. 3, pp. 409-418.
4. Baskakov A. G. Wiener's theorem and the asymptotic estimates of the elements of inverse matrices. Functional Analysis and Its Applications, 1990, vol. 24, no. 3, pp. 222-224.
5. Baskakov A. G. Absteact haemonic analysis and asymptotic estimates of elements of inverse matrices. Math. Notes, 1992, vol. 52, iss. 2, pp. 764-771.
6. Baskakov A. G. On Spectral Properties of Some Classes of Linear Operators. Functional Analysis and Its Applications, 1995, vol. 29, no. 2, pp. 121-123.
YAK 517.547.2
7. Baskakov A. G. Asymptotic estimates for elements of matrices of inverse operators, and harmonic analysis. Siberian Math. J., 1997, vol. 38, iss. 1, pp. 10-22.
8. Baskakov A. G. Estimates for the entries of inverse matrices and the spectral analysis of linear operators. Izvestiya: Mathematics, 1997, vol. 61, no. 6, pp. 11131135. DOI: 10.4213/im164.
9. Baskakov A. G. Garmonicheskii analiz lineinykh operatorov [Harmonic analysis of linear operators]. Voronezh, Voronezh Univ. Press, 1987, 165 p. (in Russian).
10. Kurbatov V. G. Algebras of difference and integral operators. Functional Analysis and Its Applications, 1990, vol. 24, no. 2, pp. 156-158.
11. Strukova I. I. Wiener's theorem for periodic at infinity functions. Izv. Sarat. Univ. N. S. Ser. Math. Mech. Inform., 2012, vol. 12, iss. 4, pp. 34-41 (in Russian).
К ПРОБЛЕМЕ ЛЕОНТЬЕВА О ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЯХ ВПОЛНЕ РЕГУЛЯРНОГО РОСТА
В. Б. Шерстюков
Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики, Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ», Москва, [email protected]
Рассматривается произвольная целая функция экспоненциального типа, все нули которой просты и образуют последовательность с нулевым индексом конденсации. На множестве нулей такой функции ее производная растет в определенном смысле максимально быстро. Требуется выяснить, будет ли исходная функция обладать полной регулярностью роста. Эта задача, возникшая в теории представления аналитических функций рядами экспонент, была поставлена А. Ф. Леонтьевым более сорока лет назад и пока не решена. В настоящей работе показано, что означенная проблема решается положительно, если функция «не слишком мала» на некоторой прямой.
Ключевые слова: проблема Леонтьева, функция вполне регулярного роста, индекс конденсации.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Изучая вопросы, связанные с представлением аналитических функций рядами экспонент, А. Ф. Леонтьев (1972 г.) поставил следующую задачу [1, замечание на с. 1291]. Пусть L(A) — целая функция экспоненциального типа (ЦФЭТ) с последовательностью простых (всех) нулей Л = (Ak и индикатором
, , _ ln iL (reiö)| r n
Hl (6) = lim ^^-11, 6 e [0, 2n],
r—■r
удовлетворяющая условию
k—m | ln |L'(Ak )| - Hl (arg Ak)} = 0. (1)
Нужно выяснить, является ли L(A) функцией вполне регулярного роста (ВРР).
Последнее свойство в соответствии с общим определением [2, гл. III] равносильно существованию равномерного по 6 e [0, 2п] предела
ln iL (reiö)|
lim ^^-H = Hl (6).
r—У + ^ Г
r/E
Здесь E — некоторое множество положительных чисел нулевой относительной меры, т. е. такое, что множество E П [0, r] измеримо (по Лебегу) при каждом r > 0 и его мера есть o(r) при r ^
