CC BY
8
Владикавказский математический журнал Январь-март, 2001, Том 3, Выпуск 1
УДК 517.98
ЛОКАЛЬНО ОГРАНИЧЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА ВЕКТОР-ФУНКЦИЙ И НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В НИХ
В. Г. Фетисов, Н. П. Безуглова
На единой методологической основе исследуются нелинейные операторы типа суперпозиции, интегрального оператора Урысона в пространствах измеримых вектор-
функцией.
1. Некоторые обозначения, определения и вспомогательные предложения
Пусть (Г, Е. //) — пространство с мерой, т. е. Т — множество, Е — сг-алгебра его подмножеств, // — счетно-аддитивная неотрицательная мера на Е. Без ограничения общности можно предполагать, что все атомы дискретной части Т являются точками. Пусть Е(/х) (соответственно Еа(/х)) есть кольцо (соответственно сг-кольцо) множеств из Е, имеющих конечную (соответственно (т-конечную) меру. Всюду в дальнейшем будем считать, что:
(a) если А С В Е Е и [л(В) = 0. то ,1 е Е (полнота меры /х);
(b) если для любого В бЕ(р) имеем И Г ,1 е Е. то ,1 е Е:
(c) для любого ,1 е Е имеем 1л(А) = вир{^{В) : В С А, В Е Е(//)};
(<1) существуют дизъюнктные множества {Т*} такие, что ц(Т\\^)Т^) = 0 и 0 < ц(Тг) < +00 при любом Ц
(е) для любого А Е Е(/х) существуют множество N меры нуль и не более, чем счетное, множество ./ индексов г такие, что А\И = У (.1 Г 7}).
Как известно [1], условия (а)-(е) выполнены для любой полной а-конечной меры и для меры, порожденной существенно верхним интегралом меры Радона на любом локально компактном пространстве. Без ущерба для нетривиальнос-ти всего дальнейшего изложения можно считать, что (Г, Е, //) есть отрезок [0,1] с мерой Лебега // или же ограниченный компакт в!" с мерой Лебега //.
Пусть (Г, Е. //) — пространство с мерой, Е — квазибанахово идеальное пространство с мерой Лебега //. (т. е. /•,’ — /^-пространство с инвариантной р-метрикой и /•’-пормоП || • ||_е; например, /А 0 < р < оо), X — банахово
© 2000 Фетисов В. Г., Безуглова Н. П.
идеальное пространство. Символом Ь°(Х) обозначаем пространство (классов эквивалентности) всех Л’-эпичных измеримых функций на Т.
Через Е{Х) обозначим решеточное квазибанахово пространство всех измеримых вектор-функций / : Т —>• X таких, что Ц/Це^х) = ЦЦ/ЦхЦе1 < +оо. Мы ограничиваемся в своем изложении в основном двумя модельными примерами Е(Х), а именно:
(1) через ЬР{Х) (или ЬР(Т,Х) [2]) обозначается пространство всех измеримых вектор-функций /(/) таких, что /-’-норма элемента вводится формулой:
1/1
/(£)||^ф.(£) | < +оо (0<р<оо);
(1)
(2) через Ь*(Х) (или Ь*(Т, X), [3]) обозначим пространство всех измеримых вектор-функций /(£) таких, что (см. [4])
\f\lv = іпГ { - > 0 : I 1РШШ\х/е)й^) < т
где (р Е Ф(Ь).
Определение 1.1. Последовательность {/„(/) элементов пространства Е(Х) называется С-последовательностью, если для каждой числовой после-
ОО
довательности {Ап}^х I О (Ап Е К), ряд ^ Ап/п(£) сходится.
п= 1
Определение 1.2. Пространство вектор-функций Е(.V) называется С-пространством, если для любой С-последовательности его элементов
00 -»
{иШп= 1 С Е(Х) рад Е fn.it) СХОДИТСЯ.
п=1
Лемма 1.1. Для того, чтобы последовательность элементов {/«(£)}
п= 1
С
/•,’ (.V) являлась С-последовательностью, необходимо и достаточно, чтобы множество А$ -
Щ ап/п(£) : I «гг. | < 1 г было ограниченным.
'П= 1
< Достаточность. Пусть известно, что множество элементов А$ =
ОО _ ч
Щ ап/п(^) : \ап\ < 1 г является ограниченным. Пусть {сп}^=1 4 0 — про-
п= 1 '
извольная числовая последовательность и е > 0. В силу ограниченности множества А$ наждется номер по такой, что для п > по, ||сп/п(£)|| < е для всех элементов /„.(/) Е .1(1. где || • || означает /-’-норму в пространстве Е{Х). Отсюда для номеров п, га, по < п < га имеем:
і=п+1
і£ґ+іСк
р
ОО
т
т
где с/; = тахп<*<то с* и /(£) = ^ ~/*(^) £ ^4о- Значит, последовательность
*=п+1 *
{/«(*) }^=1 является (^-последовательностью.
Необходимость. Предположим, что множество Ло не является ограниченным. Тогда существуют сходящаяся числовая последовательность {А,,. }• , \, О,
ограниченная числовая последовательность {ап}^=1, \ап\ < 1, и подпоследова-
г п'к
тельности номеров {пь}, {п'к} такие, что последовательность < А& ^ ап/п(£) :
'*• Г»-Г» 1
к Е не сходится к нулю, где Пи < п'к < Пи+1-Полагаем:
А^а^, если пь < п < п'к,
О, для всех остальных номеров.
п=пк
оо
Можно видеть, что последовательность {сп}™=1 4 0, но ряд Е Cnfn(t)
п= 1
расходится. Отсюда видно, что {fllU)^=\ j- не будет (^-последовательностью. Противоречие. >
Лемма 1.2 (А. Н. Колмогоров — А. Я. Хинчин — В. Орлич).
Пусть дана С-последовательность {/n(£)}5JLi пространства L°(X). Тогда на
ОО
каждом множестве Tq конечной меры ряд ^2 \fn(t)\2 сходится ц,-почти всюду.
п=1
Теорема 1.1 (Л. Шварца [5]). Пространства вектор-функций ЬР{Х) ири 0 < р < оо являются С-пространствами.
Следствие 1.1 (см. [3]). Пространства вектор-функций L* (X) являются С-пространствами при условии, что (p-функция класса Ф (L) подчиняется А_>-условию при всех и.
< Доказательство следствия 1.1 вытекает из теоремы 1.1, если положить ip(u) = up, u Е R + . >
Отметим, что определения (^-последовательности и Г'-и ростра истин проще, чем (О)-условие, введенное В. Матушевской и В. Орличем в [6], которые на широком классе модулярных пространств показали необходимость (О)-условия (см. [6]).
Определение 1.3 (см. [7]). Пусть даны два (7-пространства /•,’| (А) и Е2(Х) и произвольный оператор W : Ег(Х) —>• Ь°(Х). Оператор W называется А-инвариантным, если для каждого измеримого подмножества Tq Е Т выполняется условие:
И( г) <=• И'(г — А17оЯ) = 17о • {\Y(r) -Ф=-1¥(г — Xu) j- (u, v Е Si(X)), (2)
почти всюду на Т.
Здесь 1-/;, обозначает характеристическую функцию измеримого подмножества Т0 С Т.
Очевидно, А-инвариантный оператор является //д-оператором. Действительно, И’(с) •ФФ-И7'(г — ЛЯ) = 1Ті ■ { И'(с) •ФФ-И7'(г — Л/7) }• — 1т2 • {ЇУ(с) •ФФ-И7'(г — Л/7) }• для любых дизъюнктных измеримых подмножеств 7’| Г 71» = 0, 7’| I.- 71» = Г, почти всюду на Т (см. подробнее [10]).
Оператор IV, будучи Л-инвариантным, удовлетворяет соотношению: И'(г) -ФФ-И^г? + ЛЯ) = И'(г) -ФФ-И^г? + Л17, Я) + И'(г) -ФФ-И^г? + ЛІ7.Я). значит,
||И^(г7) -ФФ-И^(г7 + Лм)|І2 < ||И^(г7) -ФФ-И^(г7 + Літ^м))^ + ||И^(г7) -ФФ-И^(г7 + \1т2й)\\2,
т. е. оператор И является //д-оператором (при // = /).
Примечание 1.1. Для Л = 1 Л-инвариантный оператор назовем инвариантным оператором. Условие (2) инвариантности (Л = 1) оператора имеет вид:
\¥{у) ^\¥{у + 1Тои) = 1То • {№{$) ^\¥{у + Й)} (и, V Є Еі(Х), Т0 С т). (3)
Определение 1.4. Отображение р : Е(Х) —>• К+ назовем аддитивной формой, обусловленной /-’-нормой || • || на Е(Х), если:
(a) для любых й, V Є Е(Х), виррм(£) Пвиррг7(£) = 0, выполняется условие
р(й + V) = р{й) + р(и);
(b) р(хп) | 0 <=■ ||жп|| 4 0 и п —ї оо;
(c) р(хп) < а -ФФ- ||жп|| < ка, п Є N и (а, &а) Є К2.
Примерами аддитивных форм для конкретных пространств вектор-функций /(/) будут являться интегральные модул яры вида:
(а) Р(Л = ! ИЖ>|1х^(^ /ЄЬР(Х); (4)
т
(ь) рй) = / »>(и/(і)іи)^(і). (5)
т
если ^-функция </?(м) удовлетворяет Аг-условию.
Определение 1.5. /^-пространство вектор-функций Е(Х) называется пространством типа Ь(Х), если:
(1) 1у Є Е(Х);
(2) Е{Х) обладает абсолютно непрерывной ^-нормой;
(3) в Е(Х) существует аддитивная форма р.
Примечание 1.2. Пространство ЬР(Х) (0 < р < оо) является пространством типа /•,’(.V): аналогично для Ь* (X), если р> удовлетворяет Дг-условию.
Как известно, сравнение свойств вектор-функций и функций от двух переменных, связанных между собой формулой Ф(в, £) = [/(£)](«), удобно проводить в рамках теории пространств со смешанной квазинормой [8], так как последние позволяют описывать принадлежность интегральных операторов некоторым важным классам через свойства их ядер. Пусть (Т|. Е|. //|) и (Т. Е. р) — два пространства с мерами рх и р соответственно.
Для данных X — БИП (= банахова идеального пространства) на (7’|. Е|. р \). Е — КИП (= квазибанахова идеального пространства) на (Г, Е, р) через Е[Х\ обозначим пространство всех измеримых функций Ф(.ч. /) на 'Г\ х /’. удовлетворяющих двум условиям:
(1) при всех t е Т функция в Ф(з, £) входит в X;
(2) функция |Ф| = ||Ф(-,£)||х входит в Е.
Известное условие (С) (см. [8]) в пространстве X обеспечивает измеримость функции |Ф|. Значит, Е[Х\ — линейное множество, а, следовательно, и идеальное квазинормированное пространство на произведении 'Г\ х 7’. а так как Е — КИП, то формула ||Ф||.е[.х-] = ЩФЦЫ превращает Е[Х] в КИПСК (см. также [3], где для более общих ситуаций имеются модельные примеры КИПСК Ь(а), Ь(а), Орлича Ь^}).
Ответ на вопрос, когда имеет место топологическое совпадение пространства вектор-функций Е(Х) с пространством со смешанной квазинормой Е[Х], дает следующая лемма:
Лемма 2.2. Следующие условия эквивалентны:
(1) Е(Х) = Е[Х] при каноническом вложении Ф(з, £) = [/(£)](«);
(2) X — БИП с условием (А) : (хп 4 0) =>■ ^||жп||х 0 при п оо^.
< Доказательство леммы 2.2 проводится аналогично доказательству следствия 2.3 работы [9]. >
2. Некоторые свойства нелинейных операторов в квазинормированных пространствах Е(Х) измеримых вектор-функций
Цель этого параграфа — на единой методологической основе исследовать нелинейные операторы типа: суперпозиции, интегрального оператора Урысона в пространствах Е(Х) и др.
Теорема 2.1. Пусть Ег(Х) — Е-пространство, />_>(-V ) — пространство типа I. (.V ). р — аддитивная форма, обусловленная Е-нормой || • 112, а оператор И ’ : /•,’ | (.V ) (-V ) подчиняется условиям:
(a) И(и) > 0 почти всюду на Т, если м Є Еі(Х), и > О почти всюду;
(b) Ш(1тх Щ + ІГ2М2) > ІГі • ї¥(іїі) + 1 т2 • И^(«2) почти всюду на Т, если п\. Я-2 Є Еі (.V). мі, «2 > О, почти всюду на Т и 7’|. Т> —измеримые, 7) Г'/’> = 0,
Тг С Г, т2 с т.
Тоща для любого абсолютно ограниченного в Еі(Х) множества С образ Т(С) — абсолютно ограничен в Е2{Х).
< От противного. Допустим, что существует множество С, абсолютно ограниченное в Е1(Х) такое, что образ Т(С) в пространстве Е2{Х) не будет абсолютно ограниченным. Это значит, что существуют го >• 0. последовательности {м/г(£)}^і С С и {Тк} Є Е, Тк С Т (Vк) такие, что ц{Тк) -л 0 при к —>• оо,
ОО
£ (і(Тк) < оо и 11% - И^(г?я;)|І2 > £о-
к=1
Рассуждая по аналогии, как в [10], можно утверждать, что существует последовательность подмножеств {Тк}^=1 С Т такая, что 7} f\Tj = 0, і ф і и {/»(£)}“= і ^ Еі(Х), /п(£) > 0 почти всюду, Уп Є КГ, удовлетворяющие условиям Е^і ||1гпЛ»(*)||і < +°°> н0 ||1гпИ^(Л»)||2 > Єо > о. Тогда найдется 4 > 0 такое, что р(1тпШ{/п)) > -'о- Уп Є М. Обозначим
/„(£), если / Є Тп.
^ 0, если / Є 7’\(ЦТ=, 7’„) = 7’„.
Очевидно, что V е Е\ (-V) и, значит, по условию IV (у) £ 1>> (.V). С другой стороны, имеем:
ОО ОО
»'(«) = а »'(/«)■
п=1 п=1
откуда ||И^(г7) ||2 > ЕГ=1 И’(Л
Так как
ОО ОО
и"(л,)) = Е »'(/«)) = оо.
то Еп=і ^ Е2(Х), следовательно, ^ Е2(Х). Противоречие. >
Следствие 2.1. В условиях теоремы 2.1, если оператор И непрерывен по мере в точке щ Є Е і (.V). то оператор И непрерывен по Е-норме пространства Еі(Х) в точке мо-
Примечание 2.1. Если И’ есть инвариантный оператор, подчиняющийся условию (а) теоремы 2.1, тогда оператор И7 непрерывен в каждой точке мо Є Еі(Х), где Ш непрерывен по мере и ї¥(&е1(х)) = 1е2(х)і (® — ноль пространства).
Лемма 2.1. Пусть 1 т Є Ё і(Х) и 1т Є Ё 2(Х) (Ё * — подпространства в элементов, имеющих абсолютно непрерывную І-'-іюрму). И’ произвольный оператор из Еі{Х) в Е2(Х).
Следующие предложения эквивалентны:
(1) И7 непрерывен по мере в«о ё Е\(Х);
(2) Пт [л{і, |И^(«о + Ю ^И^(м0)| > а} = 0, где а > О, г — фиксированы.
гТ—♦ (->
Теорема 2.2. Пусть Еі (.V) — Е-пространство, />_>(-V) — пространство
типа Ь{Х), причем 1Т Є Е і{Х) и 1т Є Е2(Х), а Ш : Ег{Х) Е2{Х) — произвольный оператор, подчиняющийся условиям (а) и (Ь) теоремы 2.1. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
(1) И7 непрерывен в точке щ Є Еі(Х);
(2) И7 непрерывен по мере в точке щ Є Еі(Х).
< 2) =>■ 1). Пусть {йп}^і —>• щ по /'-норме пространства Е\(Х), тогда {Нц 1’ ,7= і щ по мере па Т при п —>• оо. Оператор IV, будучи непрерывным по мере в точке щ, дает IV (ип) —>• И^(мо). А так как последовательность {йп}^=1 —>• щ абсолютно ограничена, то {Ш(йп)} абсолютно ограниченное множество в Е2(Х) (согласно теореме 2.1). Значит, {И^(мп)}^1 —>• \¥(йо) по /■'-корме при п оо.
(1) =>■ (2) Доказательство предоставляем читателю. >
Примечание 2.2. Существуют Е-пространства Еі (.V ) и /•,’•_>(.V ). 1/ Є
О
Е 2(Х), где \¥ : і?і(Х) -4- Е2(Х) инвариантный оператор ^(©^(х)) = ®е2(х), для а Є Е2(Х) и отображение Ф : Ег(Х) —>• Е2(Х) такие, что:
(1) |И^(м)(£)| < а(£) + Ф(м)(£) почти всюду па Г, \/м Є Ег(Х);
(2) для любого ^-ограниченного множества В Є Еі(Х), Ф(В) ограничено в Е2(Х).
Примерами могут служить известный оператор суперпозиции IV (и) (і) = ІУ[£, м(£)] и Еі(Х) = ЬР1(Х), Е2(Х) = ЬР2(Х) при соответствующих ограничениях на рі,р2 > 0.
О
Теорема 2.3. Пусть Е\{Х) п /•,’•_>(.V ) —два Е-пространства на Т, 1т Є Е 2,
О
И’ : Еі (.V) —>• Е2{Х). Пусть для щ Є Еі(Х), щ > 0 на Т, существуют возрастающая функция ір : И+ —>• И+, удовлетворяющая условию Пш =
и—>оо 11
оо, функция а Є Е2(Х) и отображение Ф : Е\ (.V ) —>• Е2(Х), переводящее всякое ограниченное по Е-норме множество В С Е \ (.V ) в ограниченное множество Ф(В) С Е2(Х), такие, что
V Мі) )
почти всюду на Т для всех / е /•,’| (Л). Тогда для каждого г > 0, образ W(Bf(Q, г)) (шара с центром в 0 радиуса г) — абсолютно ограниченное множество в Е2(Х).
< По условию, a Е />_> (-V). тогда для Ve > 0, существует :}\ > 0 такое, что ||/?ia(i)112 < §• По условию, Ф^1?'(0,г)^ ограниченное, тогда существует
/32 > О такое, что \\/324>(f)\\2 < | для любого элемента / е _£?'(©, г). Положим f3 = inf{/3i, /32}. Отсюда:
(3- <p(\W(f)(t)!/%(£)) • мо(£) 2 < \\(3a(t)\\2 + ||/?Ф(/(£))||2 < в.
Это означает, что образ W(B'(®,r)) есть абсолютно ограниченное множество в Е2(Х) (см. также теорему 1.4.13 из [10]). >
Литература
1. Коротков В. Б. Интегральные операторы.—Новосибирск: Наука, 1983.
2. Kalton N. J. Isomorphism between Lp-function spaces when p < 1 // J. Func. Anal.—1981,—V. 42,—P. 299-337.
3. Фетисов В. Г. Об операторах в идеальных квазинормированных пространствах со смешанной квазинормой Е(Q) // Северо-Осетин. госуниверситет,-Депонир. в ВИНИТИ 22.05.90, № 2784-В90.
4. Rolewicz S. Metric linear spaces.—Warszawa: PWN, 1972.
5. Schwartz L. Un theoreme de la convergence dans les Lp, 0 < p < оо // C. R. Acad. Sci. Paris. Ser. A.—1969,—T. 268,—P. 704-706.
6. Matuszewska W., Orlicz W. A note on modular spaces IX // Bull. Acad. Polon. Sci.—1968,—V. 16. P. 801-807.
7. Фетисов В. Г. О свойствах нелинейных А — инвариантных операторов в локально ограниченных пространствах // Грозненский госуниверситет.—
Т. 24,—Грозный,—1992.
8. Бухвалов А. В., Коротков В. Б., Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С., Макаров Б. М. Векторные решетки и интегральные операторы.—Новосибирск: Наука, 1992.
9. Бухвалов А. В. О пространствах со смешанной нормой // Вестник ЛГУ.— 1973.—№ 19. С. 5-12.
10. Фетисов В. Г. Операторы и уравнения в F-квазинормированных пространствах // Дисс. на соискание уч. степ. докт. физ.-мат. наук, Ин-т мат-ки. СО РАН, 1996,—280 с.
г. Ростов
Статья поступила 22 декабря 2000 г.
