О рядах Дирихле с конечнозначными мультипликативными коэффициентам! удовлетворяющих функциональному уравнению римановского типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

В.В. Кривобок. О рядах Дирихле с конечнозначными мультипликативными коэффициентами

блема Гольдбаха-Варинга с простыми числами, лежащими в промежутках специального вида // УМН. 1988. Т. 43, вып. 4 (262). С. 203-204.

5. Гриценко С.А. Три аддитивные задачи // Изв. РАН. Сер. мат. 1992. Т. 56, № 6. С. 1198-1216.

6. Balog A., Friedlander КJ. A hybrid of theorems of Vinogradov and Piatetski-Shapiro // Pacific. J. Math. 1992. V. 156. P. 45-62.

7. Tolev D.I. On a theorem of Bombieri-Vinogradov type for prime numbers from a thin set // Acta Arithmetica. 1997. V. 81, № 1. P. 57-68.

8. Зинченко Н.А. Бинарная аддитивная задача с полу-простыми числами специального вида // Чебышевский сборник. 2005. Т. VI, вып. 2(14). С. 145-162.

9. Хооли К. Применения методов решета в теории чисел. М.: Наука, 1987.

10. Виноградов И.М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. М.: Наука, 1971.

11. Линник Ю.В. Дисперсионный метод в бинарных аддитивных задачах. Л.: Изд-во ЛГУ, 1961.

УДК 511.3

О РЯДАХ ДИРИХЛЕ С КОНЕЧНОЗНАЧНЫМИ МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМ! УДОВЛЕТВОРЯЮЩИХ ФУНКЦИОНАЛЬНОМУ УРАВНЕНИЮ РИМАНОВСКОГО ТИПА

В.В. Кривобок

Саратовский государственный университет, кафедра компьютерной алгебры и теории чисел E-mail: [email protected]

В данной работе доказывается утверждение о том, что в классе рядов Дирихле, абсолютно сходящихся в полуплоскости а > 1, имеющих конечнозначные мультипликативные коэффициенты, только L-функции Дирихле удовлетворяют функциональному уравнению римановского типа.

About Dirichle’s Rows whith Finite-Valued Multiplicative Coefficients, Satisfy the Riman’s Type Functional Equation

V.V. Krivobok

In this paper the class of absolutely convergent on the half-plane a > 1 Dirichlet series with multiplicative finite-valued coefficients is considered. We prove that only Dirichlet L-functions are solutions of a functional Riemann type equation.

Известная теорема Гамбургера [1] говорит о том, что ряд Дирихле

ГО

f (*) = 5^ П?, 5 = (1)

n=1

абсолютно сходящийся в полуплоскости a > І и удовлетворяющий функциональному уравнению Римана

j)f (s)= п-^Г 0-2s

п 2 Г(|)/(s) =п ^Г (^if) f(1 - s)’

с точностью до константы является £-функцией Римана.

Известно также [2], что функциональному уравнению римановского типа

й 1 — й

Э2 К ^' (,)=( й ^ К2-1)''(1 -^ (2)

где к — натуральное, кроме Ь-функций Дирихле удовлетворяют и другие функции, определяемые рядами Дирихле (1), и даже рядами Дирихле (1) с периодическими коэффициентами.

В данной работе будет показано, что в классе рядов Дирихле вида (1) с конечнозначными мультипликативными коэффициентами только Ь-функции Дирихле удовлетворяют функциональному уравнению вида (2).

1. О РЯДАХ ДИРИХЛЕ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ С ОПРЕДЕЛЕННЫМ ПОРЯДКОМ РОСТА МОДУЛЯ В ЛЕВОЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ

В работе [3] было получено условие, при котором ряд Дирихле (1) определяет целую функцию, модуль которой в левой полуплоскости растет следующим образом:

|/(5)| <Се|в| 1п|5|+а|51 , (3)

где А — некоторая положительная константа.

© В.В. Кривобок, 2GG7

13

Известия Саратовского университета. 2007. Т.7. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 1 Это условие получено в терминах граничного поведения соответствующего степенного ряда

#(*) = X] апгп, (4)

п=1

т.е. степенного ряда с теми же коэффициентами, что и ряд Дирихле (1). А именно в [3] доказана Теорема 1. Ряд Дирихле вида (1) тогда и только тогда определяет целую функцию, модуль которой в левой полуплоскости удовлетворяет условию (3), когда соответствующий степенной ряд д(г) определяет функцию, регулярную в точке г = 1.

В силу известной теоремы Сеге (см.[4]), которая утверждает, что в случае конечнозначных коэффициентов, условие регулярности ряда д(г) (4) в точке г = 1 эквивалентно периодичности, начиная с некоторого номера, коэффициентов этого ряда.

Из теоремы 1 следует следующее утверждение.

Теорема 2. Ряд Дирихле вида (1) с конечнозначными коэффициентами тогда и только тогда определяет целую функцию, модуль которой в левой полуплоскости удовлетворяет условию (3), когда коэффициенты этого ряда периодичны, начиная с некоторого номера.

2. ОБ ЭЙЛЕРОВСКИХ ПРОИЗВЕДЕНИЯХ, УДОВЛЕТВОРЯЮЩИХ ФУНКЦИОНАЛЬНОМУ УРАВНЕНИЮ РИМАНОВСКОГО ТИПА

Рассмотрим ряд Дирихле, определенный произведением Эйлера:

/(*) = П(1 - ^)-1 = £ ^, * = и + «, (5)

р ' г / п = 1

где Л,(п) — мультипликативная конечнозначная функция натурального переменного.

Для рядов Дирихле вида (5) докажем следующее утверждение

Теорема 3. Пусть ряд Дирихле вида (5) удовлетворяет функциональному уравнению вида (2) и определяет целую функцию. Тогда Л,(п) — периодическая функция.

Замечание. Легко показать, что если ряд Дирихле (5) определяет функцию /(*), удовлетворяющую функциональному уравнению (2), и коэффициенты этого ряда удовлетворяют условию ^(х) = ^2 й(п) = 0(1), то функция /(*) является целой.

п^х

Доказательству теоремы 3 предпошлем доказательство двух лемм.

Лемма 1. Пусть ряд Дирихле вида (5) удовлетворяет функциональному уравнению (2) и определяет целую функцию. Тогда в левой полуплоскости имеет место неравенство (3).

Доказательство. В силу функционального уравнения (2) для и < 0 имеет место равенство:

/ 00 =

1 — 3 2

Г (а-£) /(1 - *)

к ] 2 г

Осталось воспользоваться известной оценкой для Г-функции (формула Стирлинга) [5].

В каждой области | ащ *| ^ п — 5, 5 > 0, из которой исключены точки * = 0 и полюсы Г(*) с некоторыми окрестностями равномерно имеет место оценка: |Г(*)| ^ ее|в| 1пМ+ВМ, В > 0.

Лемма 2. Пусть Л,(п) — мультипликативная функция натурального аргумента, периодическая, начиная с некоторого номера п0. Тогда Л,(п) — периодическая функция.

Доказательство. Пусть й0 — период функции Л,(п) при п > п0. Допустим, что ^(п1 + й0) = = ^(п1), где п1 < п0. Пусть к — такое натуральное, что кп1 > п0. Тогда, с одной стороны, ^(кп1 + Ы0) = ^(кп1) = ^(к)^(п1). С другой стороны, ^(кп1 + Ы0) = ^(к)^(п1 + й0). Отсюда следует, что если Л,(к) = 0, то ^(п1) = ^(п1 + й0), что противоречит нашему предположению.

Доказательство теоремы 3. В силу леммы 1 и теоремы 2 функция Л,(п) должна быть периодической функцией, начиная с некоторого номера. Но в силу леммы 2 функция Л,(п) должна быть периодической функцией, что и доказывает утверждение теоремы 3.

14

Научный отдел

ОА Лукьяненко. О сходимости кратных рядов Фурье—Виленкина в пространствах Лоренца

Библиографический список

1. Чандрасекхаран К. Арифметические функции. М.: Наука, 1975. 272 с.

2. Воронин С.И., Карацуба А.А. Дзета-функция Рима-на. М.: Физматгиз, 1994. 376 с.

3. Кузнецов В.Н., Сецинская Е.В., Кривобок В.В. О рядах Дирихле, определяющих целые функции первого порядка // Исследования по алгебре, теории чисел,

функциональному анализу и смежным вопросам: Меж-вуз. сб. науч. тр. Саратов, 2005. Вып. 3. С. 47-58.

4. Бибербах Л. Аналитическое продолжение. М.: Наука, 1967. 239 с.

5. Прахар К. Распределение простых чисел. М.: Мир 1967. 511 с.

УДК 517.51

О СХОДИМОСТИ КРАТНЫХ РЯДОВ ФУРЬЕ-ВИЛЕНКИНА В ПРОСТРАНСТВАХ ЛОРЕНЦА

О.А. Лукьяненко

Саратовский государственный университет, кафедра математического анализа E-mail: [email protected]

Пусть Л^,р[0,1)d есть пространства Лоренца, близкие к L^ [о, i)d. В статье найдена функция т/i, для которой кратный ряд Фурье-Виленкина функции f е Л^,р [0,1)d сходится к f по норме пространства Лоренца Л^,р [0,1)d.

Convergence of Multiple Vilenkin-Fourier Series in Lorentz Spaces

O.A.Lukyanenko

Let [0,1)d be a near to L“[0,1)d Lorentz space. We find

the function i for which the multiple Vilenkin-Fourier of any f e A^p[0,1)dconvergetofinthenormofLorentzspaceAt p[0,1)d.

ВВЕДЕНИЕ

В работе [1] были рассмотрены пространства Лоренца Аф,д измеримых на [0,1] функций /, для которых конечна норма

/1 \1/<1 ||/|к’ = (/ (Щ) 7) (Р > 1),

и были получены теоремы о сходимости рядов Фурье-Уолша в этих пространствах в зависимости от свойств последовательности (пк}, которую пробегают индексы п в частичных суммах $п(/).

В данной работе будем рассматривать аналогичные вопросы для кратных рядов Виленкина.

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ

Пусть (рк}^=0 — последовательность целых чисел рк > 2, к е М0 = N^1 (0}, т0 = 1, тк = шк-1Рк-1. Будем рассматривать функции Виленкина Уп(£) [2], п е М0 на отрезке [0,1). Каж-

ГО

дую точку £ е [0,1) можно представить в виде £ = ^ ^ , 0 < £к < рк — 1, £к е М0 (если исключить

к=0 тк+1

точки, для которых £к = Рк — 1, при к > ко, то это представление единственно).

ГО

Далее, если п = ^2 актк (ак =0,1,... ,рк — 1, к е М0) является р-ичным представлением числа

к=0

п е М0, функции Виленкина определяются следующим образом:

ГО

Уп(£) = ехр( ак Ьк) (£к = 0,1,... ,рк — 1).

к=0

Если п = (п(1) , п(2),... ,п(т)) е Мт и 1 = (£(1) , £(2),... , £(т)) е [0,1), то кратная система Виленкина состоит из функций Уп(1) = Уп(1) (£(1))Уп(2) (£(2)) ■ ■ ■ Уп(т) (£(т)).

п —1 т

Пусть £п(£) = ^2 Ук (£) — одномерное ядро Дирихле и £п(1) = П ^п« (£(г)) — т-мерное ядро

к=0 г=0

© О.А. Лукьяненко, 2GG7

15