О развитии энергетического подхода к исследованию устойчивости процесса упругопластического деформирования Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 539.3

М. Г. Давыдов

О развитии энергетического подхода к исследованию устойчивости процесса упругопластического деформирования

ABSTRACT

Stability energy criterion for quasi-static elaato-plastlc deformation process is formulated. This criterion is based on stability definition with respect to two metrics of distributed systems. The difference between internal stresses work and external forces work on the displacements corresponding to the momentary acting disturbances is used as Luapunov functional. The following problems are considered for illustration of energy criterion application: Idealized column compressing by axial force', firatorder rate bifurcation without unloading', the onset of localization of deformation determination.

С помощью определения устойчивости i'io двум метрикам систем с распределенными параметрами, основанного на классическом понятии устойчивости по Ляпунову,используя энергетические соображения, сформулирован критерий устойчивости процесса упругопластического деформирования. Обоснование полученному критерию дает теорема А.И.Ляпунова ое: устойчивости, обобщенная на системы с бесконечным числом степеней свободы. В качестве Функции Ляпунова взят Функционал, характеризующий изменение в процессе упругопластического деформирования разности работ внутренних и внешних сил на перемещениях, соответствующих мгновенно действующим возмущениям. Для иллюстрации сформулированного критерия устойчивости при условии равноактивной бифуркации получено условие отсутствия бифуркации процесса упругопластического деформирования первого порядка, совпадающее с достаточным условием Р.Хилла, а также рассмотрена модель локализации пластической деформации как предельного типа бифуркации.

При математическом моделировании выпучивания упругопластических тел определение устойчивости и Формулировка критерия, отражающего особенность этого явления, представляют собой важный этап исследования. На необходимость рассмотрения устойчивости упругопластических тел с позиций классического определения устойчивости по Ляпунову указывалось ранее многими исследователями. В первую очередь это связано с тем, что при моделировании упругопластического выпучивания возникает проблема анализа устойчивости процесса деформирования в отличие от оценки устойчивости состояния при упругой потере устойчивости [ 1 ]. Кроме того, при решении задач упругопластического деформирования, в том числе задач устойчивости за пределом упругости, необходимо идти по пути исследования процессов [2]- Ясно, что

речь идет не о движениях, изучаемых теоретической механикой, развивающихся в реальном времени, для которых главную роль играет свойство инерционности, а о квазистатических процессах, отражающих историю деформирования в каждой материальной частице исследуемого тела. Интегральная мера этих локальных процессов должна иметь энергетический смысл.

Энергетические критерии устойчивости процесса упругопластического деформирования в различных формах были предложены ранее [3, 4, 5 и др.}. В [61, основываясь на положениях работы [4], энергетический критерий сформулирован для анализа поведения конструкции на "запредельной" стадии работы материала, в частности для оценки разрушения. Отметим, что специальный обзор понятий, определений и критериев, используемых при описании упругопластического выпучивания, выходит за рамки настоящей публикации и, в силу сложности рассматриваемого явления и многообразия существующих подходов, требует отдельного исследования. Критерии устойчивости, приведенные в перечисленных выше работах, различаясь в деталях, базируются на общем положении, которое является обобщением энергетического критерия устойчивости, имеющего строгое обоснование для консервативных систем, на сильно диссипативные системы. В перечисленных выше работах постулируется следующее; для устойчивой упругопластической системы при действии на нее некоторых возмущений допускаемых наложенными на систему связями дополнительная работа внутренних сил, обусловленная любыми возмущениями рассматриваемого класса, должна быть больше дополнительной работы внешних сил на этих возмущениях. Очевидно, данное пр-^ило в такой Форме имеет мало общего с понятием устойчивоети по Ляпунову, которое заключается в сравнении невозмущенного и возмущенных процессов, реализуемых при тех же силах и связях. В настоящем исследовании сделана попытка получить энергетический критерий устойчивости из определения устойчивости по двум метрикам на конечном интервале времени для сист&м с распределенными параметрами [7], основанного на классическом понятии устойчивости по Ляпунову. Дополнительное обоснование критерию дает теорема А.А.Мовчана [71, обобщающая известную теорему об устойчивости А.МЛяпунова на системы с бесконечным числом степеней свободы. Строгое обоснование энергетического критерия, естественно, должно базироваться на термодинамических положениях, как это выполнено для упругих тел под действием консервативной нагрузки ( см., например, обзорный доклад В.Т.Койтера [8])- Поэтому полученный результат, строго говоря, является гипотезой.

Некоторые понятия, аналогичные используемым в настоящей работе, вводились ранее ДДруккером [41, А.М.Линьковым [61, В.Р&Ьгук [51- Сформулированный критерий может быть использован как для оценки состояния равновесия (в частном случае, для упругих тел), так и для анализа устойчивости процесса упругопластического деформирования. Как и предложенные ранее [3,51, энергетический критерий, полученный в настоящей работе, вклкг чает, в виде частного случая, бифуркационный критерий [1,31 и, как показано ниже, может быть использован в рамках известной модели Дж.Райса [91 для исследования локализации в Форме праздельного типа бифуркации. Основные обозначения, принятые в настоящей работе, соответствуют монографии [ Ю1-

2. формулировка энергетического критерия УСТОЙЧИВОСТИ

Рассмотрим происходящий на отрезке времени [±^,±] квазиста-

тический процесс упругопластического деформирования. Для удобства в описании напряженно-деформированного состояния будем пользоваться записью в терминах отсчетной конфигурации. Последнее будем отмечать знаком "°" сверху в обозначениях. Пусть

7С а)- основной, невозмущенный процесс деформирования, вызванный приложенной на части границы Зт нагрузкой Т°=Т (Д? а),Ь).

Соответствующие этому процессу величины здесь и ниже помечаются знаком "о" справа вверху; возмущенные параметры напряженно-деФормированного состояния ничем не помечаются. Для простоты полагаем, что объемные силы отсутствуют. Наряду с невозмущенным процессом Я°(г) будем рассматривать множество кинематически допустимых возмущенных процессов X(t), удовлетворяющих на части

о

границы 3 тем же кинематическим граничным условиям, что и

?Р^) :

Х(По,т ) - £°(Ко,т } = О, '/те [±^Л]> Я . (2.1)

Причем для возможности сравнить полученный ниже результат с известным [3] кинематически© граничные у'."'^ия гопаг’аем неизменными в процессе деформиоовання

= О. >■> е з . (2.2)

О о и

Напряженное состояние будем описывать с помощью первого тензора напряжений Пиола-КирхгоФа [10], энерг ’-ически сопряженной мерой деформации к ь м,. гу является градиент скорости

О т

деформации, определенный ь отсчетной конфигурации ТУ

Для Формулировки определения устойчивости по аналогии с работами [3,4,6] д-ля каждого момента времени t определим на

классе перемещении (±), допустимых кинематическими

С

граничными уел', ь ими на 3 . работу внутренних сил

и

)

о о

w^ ) = / $ V .^С(зи)тау (2.3)

и работу внешних сил

тГ(Х,?^Л)= / / т-саи а&. а:.л)

Внутренние интегралы в (2.3) и (2.4) берутся вдоль любого пуп* в Фиксированный момент времени 1;, ведущего к возмущенной конфигурации Ха), отличающейся от невоямущеннси 7С (*,'• Промежуточные конфигурации не обязательно являются положениями равновесия, поскольку будем считать, что они достигаются в процессе "мгновенного" движения, следующего за "мгновенно" действующими возмущениями в выбранный момент времени t■ Нужно г дчерк-нуть, что (2.3), (2.4) не соответствую"- обычно иопо1 «зуемым понятиям работы сил на лейстчитсльных перемещениях. С другой стороны, от работы на возможных перемещениях уравнения {2.3) и

о

(2.ч) отличает то, что напряжения V и усилия на границе Т здесь не считаются Фиксированными, а зависят от Х(Х) ■

Изменение энергии исследуемого тела (в указанном выше смысле) в процессе Ха ¿будет

= ¿(Х^Л) - гГ(Х,??Л). (2.5}

По примеру [53 введем меру различия протекающих упругоилас-ги-ческих процессов - невозмущенного (± ) и возмущенного X(1.? ;в [5] для этой цели использовались понятия работы внутренних и внешних сил на действительных паремежекиях):

р(Х,?Р,Ъ} = жис ЕСХ,^,т). (2.6)

Для оценки внешней стороны этиу процессов можно ввести также Ий>ру

¡¿(Хг/^Л) = пал 1 Х(т) - 7^ Ст >|= (2.^)

т*[±.гз

1

= тах пах в |ДГ(«о,т) -т<=( tl. I У

Меры различия процессов Д!° а )м Х(±) могут быть выбраны и в другом виде. Например, чтобы подчеркнуть, что сравниваются различные квазистатические процессы деформации, развивающиеся во времени, вместо (2.6) и (2.7} могут быть предложены соответственно

I

Р(Х.Х^.Х) - / Е(Х,?РЛ )сЬг, (2.8)

1

А(Х,?С,г) = / | Х(-г) - 7?гт)\ а.т . (2.9 1

*

1

Очевидно, что меры (2.7) и (2.9) эквивалентны.

Определение 1 Основной процесс Л!° (г ) будем называть устойчивым на отрезке времени [± Л] по отношению к действующим возмущениям тогда и только тогда, если ( ЧеуО ) ( 36>0 ) такое,

что ЧХ(Ъ), '.гаовлетворя!ощго (1 , I у, из условия

б.(Х,Х?,т ^ ) < 6 (2.10)

следуе-_ Чт-~Ц .tJ, т

1

р

(Х,Х?,Т )< £ . (2, 1 1 }

В противном случае процесс ^а) называется неустойчивым на данном интервале.

Приведенное определение соответствует определению устойчивое ти по двум метрикам системы с распределенными параметрами на конечном отрезке времени. При использовании ь (2.10} меры

(2.7) ь виде а(Х,Х*Л ), а меры в (2.11) в виде й.(Х,?£*>т ),

те/1 ,о>) определение 1 соответствует классическому определению

а

ус тойчивости А.М. Ляпунова по отношению к начальным возмущениям. Чтобы получить критерий устойчивости, перефразируем определение

1, пользуясь известным в математике приемок, поменяв все математические кванторы на противоположные. Получим следующее определение:

I [приведение 2. Основной процесс ?£' О.) будем называть устойч; вым тогда и только тогда, если ( У6 >0) ( Э£ >0 ) такое, что

*Х(±) ,удовлетворяющего (1.1 ) из условия

р(Х,?6>,Т±) > 6 (2.12)

следует Уте Г ^'4 7, т ¿т

Р(Х,Х°,Т) >£ . (2.13)

В противном случае Д° а) считается неустойчивым Приведенное определение основано на том, что для невозму-щеного процесса Р(?С ,/Х0 Л )*&■ Иными словами, процесс считается устойчивым, если отклонение от него требует подведения некоторого ДОЛС1)'1Ь-Н“)ПНОГО количества энергии. Поэтому для устойчивого протекания Л!° а) необходимо, чтобы для любого возмущенного 1ц:»- >цесса. отчичающегосч от исходного,

Е(Х.Х°,Т) > О, Ут(г. 94)

Записанное условие можно считать критерием устойчивости. Отметим, что оно «совпадает с постулированным в- [4] критерием устойчивое та в большом. Нетрудно убедиться, что с учетом (2.14) меры (2.6) и (2.8) эквивалентны.

Отметим связь условия (2-14) с классическим энергетическим критерием устойчивости равновесия, обоснование которого ■ для консервативных систем дает теорема Лагранжа-Дирихле. Полагая в этом случае внешние силы в каждый момент времени Фиксированными, а напряжения Р линейно зависящими от градиента перемете-

е

ний 7иТ , из (2-14) получим

ое о а

^ J Р : ^иТ<ХУ - | Т * Уав > О . (2,15)

V зг

Последнее соответствует энергетическому критерию устойчивости для консервативных систем.- в устойчивом положении равновесия полная потенциальная энергия имеет изолированный минимум.

Уравнение для определения критических значений нагрузки и, возможно, других величин, соответствующих потере устойчивости, будет

Е(Х,Я?,Т ) = о , г к г < * , (2. 16)

с г сг

где Т соответствует МОМ'-НТу’ потери устойчивости.

с г

Для примера, поясняющего некоторые из приведенных выше •сложений, воспользуемся моделью стойки, представляющей собой абсолютно твердое тело, опирающееся на два деформирующихся опорных стержня (рио.1). Такая модель позволяет, как и известная модель Ридера-Шенли, качественно проанализировать особенности упругопластической потери устойчивости. Для этих целей воспользуемся сформулированным энергетическим критерием. Подобные результаты, полученные с помощью рассматриваемой модели другим путем, подробно проанализированы в монографии [11]. Обозначения, принятые в этом параграфе, соответствуют [11]. В порядке изложения также будем следовать указанной монографии.

Обозначим через р площадь сечения каждого из стержней. Обозначения размеров модели даны на рис./. Предположим, что свойства материала стержней характеризуются диаграммой с линейным упрочнением; В-модуль упругости, иЕ -касательный модуль (■величина и< 1 считается заданной). Приложенная нагрузка р является "мертвой”. Усилия, возникающие в стержнях до момента потери устойчивости, обозначим р^и р . Здесь и далее индекс "1”

относится к левому стержню, "2 й- к правому. Приращения величин, соответствующие потере устойчивости, будем помечать значком "А”. Возможные укорочения опорны.: стержней в момент потери

устойчивости показан« на рис 2- Кинематические параметры Д1 вертикальное смешение середины основания ОО^ и - угол его

поЕсрота считаются величинами малыми и и лвлякугся, .« а<5«ем случае, незави', -*мыми параметрами,Величины АI и <р характеризуют возможные возму'цония основного процесса деформирования (в овоэ-

начениях предыдущего параграфа это соответствует полю и - >

Из услоЕтя равновесия а докритическом состоянии имеем

Р =Р =Р/2 1 2

(3.1)

Дополнительные укорочения опорных стержней» вызванные возмущениями АХ и <р , будут

р Ь

лг =дг-1

<р ь ~2~

(3.2)

Считаем, что потеря устойчивости происходит за пределом упругости. Тогда, в общем случае, при наложении всхэкушенй5Ч левый стержень разгружается, правый продолжает деформироваться пластически.

Дополнительные усилия, ¡возникающие в стерглях в момент потери устойчивости, соответственно равны

* Ь

ДР -- Щ-(АI- — ) 1а 2

(3.3)

Сумму этих приращений обозначим др.

Для задачи бифуркации принимается Др-О. В общем случае при анализе устойчивости квазистатического процесса упругопласти-ческого деформирования ДР^О. Последнее соответствует существованию равновесных состояний, отличных от основного (в данном случае - прямолинейного положения стойки), при нагрузках выше некоторой критической.

Работа внутренних сил (2.3) на классе допустимых возмущений в нашем примере запишется так:

Д1 Д|

1 2

»1 = / ср1+др1мсдг1;+/ (Рг+&РгША1г; . (3.4)

о о

Работа внешней силы (определение (2.4) будет

Ли.

/ (Р+АР)<1(Ли)> (3.5)

О

2

<р т

где А'и^Д1+ —^ ~ суммарное вертикальное смещение точки приложе-

ния силы р для рассматриваемых возмущений.

В качестве условия, определяющего момент потери устойчивости, примем следующее из критерия (2-16) равенство

V/ -V/ = О. (3.6)

С учетом (3.1) условие (3.6) примет вид

Д14 д 12 <р

/ др1сггдг1;+/ др2<ггдг2;>-/ (р+ар)Ьр<з#>=о. (3.7)

ООО

Вначале рассмотрим три известные бифуркационные задачи [11]:

1. Считая, что материал обоих опорных стержней следует закону Гука (ь>=1 ), определим Эйлерову критическую силу р . В этом

случае условие ДР=0 с учетом (3.3) при ь>=1 дает для возможных укорочений опорных стержней

Полагая , после подстановок 13 „3) в (3.7) и сокраще-

ния на чо получим

Ш- ■

2. Значение касательно-модульной нагрузки р получается в

предположении, что потеря устойчивости происходит за пределом упругости без разгрузки в левом стержне. Все рассуждения остаются прежними , если модуль упругости Е заменить на касательный модуль i>J3. Получим

* 2aL ’ lJ.ivj

3. По теории приведенного модуля,учитывая разгрузку в левом стержне, из условия 6Р=О и соотношений (3.3) находим связь между А1 И О :

рЬ 1-и

Aï = —■ -—- . (3. 1 1 )

'i 2 J+v 7

Подстановка последнего в равенство (3,7) после сокращений на рг дает приведенно-модульную нагрузку

SPbZ Î

Заметим, что р >р при ?. При v- * значения критического ус и-

лия, подсчитанные по Формулам (3.9), (3.10) и (3.12), совпа-

дают.

Далее, полагая ЛР^С , изучим возможность существования равновесных состояний, отличных от основного, при нагрузках выше р . При этом параметры возмущений Aï и р не связаны между

собой и могут варьироваться независимо. Тогда, варьируя только угол <р , уравнение (3.7) можно записать следующим образом;

* РЪ , * РЪ Р

ч сдг —-)сщ> +-4“J ("Дг + -~^)à4>-J (P+AP)U>àp=o. (3.i3)

Объединив слагаемые в левой части (3.13) в один интеграл,в силу произвольности р можно приравнять нулю полученное подынтегральное выражение. В итоге получим линейное относительно Д1 и р уравнение

ЕРЬ ЕРЬ2

“—(?+!--?Дг + = СР+ЛРЯ*> , (3.14)

что соответствует равенству нулю моментов сил относительно

т.О (рис.2 ). Другим будет очевидное уравнение равновесия; сумма 1

приращений (3.3) должна равняться АР:

ЕР

(1+к)А1

ЕРЬ ~ 2а'

~ь>

лр.

(3.15)

На (3.14) и (3.15) можно смотреть как на систему линейных алгебраических уравнений относительно 41 и <р , решение которой приведено в [П.]. В частности, решение £> дает возможность проследить за отклонением верхнего конца стойки о>=£>1, при возрастании нагрузки р от значения до р

Ь(1-»)(Р-Р )

_____ ___ *

2(1+Т')(Р ”

(3.16)

Уравнения (3.14) и (3.14' выведены в предположении, что в левом стержне происходит разгрузка, условие которой записывается в виде

<рЪ

— > Л1 , С3.17)

что, как нетрудно '.'бедиться, ^ к в ива л ентно условию ргр . Таким

*

образом, отклоненные равновесные состояния стойки осуществимы при условии разгрузки в лес;--, опорном стержне, причем если нагрузка растет начиная со значения Р^_. Этот результат можно

трактовать в рамка:: так называемой концепции ф.Шенли как потерю устойчивости процесса упругопластического деформирования при ..охранении устойчивости состояний равновесия. В [11] дан под-•ооный анализ этого результата и обсуждение современной концепции упругопластической устойчивости.

Преобразуем условие (2.14), используя метод функции Ляпунова. Одним из ключевых вопросов в использовании этого метода является выбор Функции Ляпунова. Для систем с бесконечным числом степеней свободы указанный объект является Функционалом. В качестве последнего здесь принят р(Х,?{3 ,±) (2.6)- Утверждение

теоремы об устойчивости, используемой в прямом методе Ляпунова, заимствуем из работы А.А.Мовчзна [7]. Вначале, следуя [7], дадим определение понятий, используемых в указанной теореме.

функционал р(Х,Х°Л) будем называть определенно- положительным в силу уравнений краевой задачи, если У6>0 и любых т<£[±^Л] и Х(т ) * таких, что Л(Х,Х°,т )>&, существует О, что

выполняется условие Р^Х,Х° )>£ ■

функционал р(ХЛ Л) допускается в силу уравнений краевой задачи бесконечно малый высший предел, если (Уе>0) , (36у0),

что р(ХХ ,t )<£ для любых и Х(т ), удовлетворяющих

условию р(Х,%° ,t )<&.

Функционал р(ХХ' ,t) называется невозрастаклцим в силу равнений краевой задачи, если вдоль любого возмущенного процесса X(t) не возрастает с ростом t (как Функция переменой t) Функционал p(t)—p(X(t),X (t),t). Это соответствует для Функционала условию dp/dt.SQ.

Теорема [7]■ Для того, чтобы невозмущенное движение бьгло устойчивым, необходимо к достаточно, чтобы существовал в силу уравнений краевой задачи определенно-положительный, допускающий бесконечно малый предел t нарастающий Функционал.

Определение 2 показывает, что введенный ранее Функционал Р(Х,Х ,t) определенно- положительный, определение 1 ~ что

Р(Х,Х ,t) имеет бесконечно малый вьющий предел. Для выяснения послэднего требование, предъявляемого условиями теоремы к Функционалу, рассмотрим tt )/dt. Конструкция Функционала

(2,5) сводит производную по времени к производной по верхнему пределу в интегралах (2.3), (2.4). Используя следующее обозначение dU/dt^V1 , получим:

О О с

dJ5(XX,t )/At = J V г VWrdY - | Т • W dS . (4.1)

Последнее следует из теоремы о дивергенции с учетом условия (2.2), а также уравнения равновесия и статического граничного условия для процесса Ха) ("уравнений задачи в возмущениях):

о о

V • V =0 . Яо<£ V , (4.2)

О о

N • V , Яое 8. (4.3)

Таким образом, имеют место условия приведенной теоремы об устс йчивости. Достаточные условия последней могут служить дополнительным обоснованием определения 2 и следующего из него критерия устойчивости (2.14).

Используя полученный критерий устойчивости, подробнее рассмотрим частный случай потери устойчивости - бифуркацию процесса упругопластического деформирования первого порядка. В данном случае теоретическое обоснование и экспериментальное подтверждение имеет гипотеза о равноактивной бифуркации [1], согласно которой продолжение упругопластического процесса в бесконечно близкий момент за точкой бифуркации характеризуется тем же распределением упругих и пластических зон, что и в момент, соответствующий потере устойчивости. Иными словами, предполагается, что бифуркация процесса деформирования происходит на путях полного догружения ("без разгрузки) [1]. Исходя из этого полагаем, что тензоры напряжений в возмущенном состоянии ~Р и невозмущек-ном связаны с соответствующими градиентами скорости V и V0 посредством одного и того же тензора четвертого ранга С „•

р = С : ЧЧ , Т**= С ; 7\/° , (4.4)

причем С = С (Я^ЧХ? ,'Ы°,. . . ).

Здесь многоточие означает, что С может зависеть также от параметров структуры. Заметим, что полученный ниже результат не изменится, если вместо определяющих соотношений (4.4) взять их дифференциальную Форму, связывающую скорость тензора напряжений Пиола-Кирхгофа с градиентом вектора скорости. Полагаем, что возмущенный и невозмущенный процессы связаны соотношением

X = X? + V &Х . (4.5)

Здесь г) - малый параметр; &Х - изохронная вариация.

функционал (2.5) с точностью до членов второго порядка малости представим в виде разложения

Е(Х,Х*,±)= 6Е(ХХл) + ^ &гЕ(Х,Я^,± ) . (4.6)

Вариации Функционала Е(Х,Х° Л), стоящие в (4.6), вычисляются по Формулам

6Е = ^Е(Х3+ V 6Х * (4.7)

«52.В = ЭгЕ(Х?+ г? &Х ,76* Л }/&Г)г |т)_о' (4.8)

На основании (4.4) можно заключить, что для напряжений в возмущенном состоянии имеет место представление

Р _ рР4- Г) 6Р . (4.9)

Поверхностную нагрузку для определенности считаем "мертвой"

е с

У(Х,±) = Т(Я?Л) . (4.10)

Нетрудно получить, что первая вариация 6Е(Х,Я?Л) = О . (4.11)

Действительно ,

Щ - тяп ■ **^0 ¿"МХ/оТ -X Т°-6Х *Э - О (4. ,2,

V зт

о

с учетом 6Х=О на 3 и уравнений типа (4.2), (4.3) для характе-

и

ристик невозмущенного напряженного состояния р*3 . Иными слова-

ми., (4, 1'^} имеет место в силу уравнений краевой задачи.

Условие положительной определенности Функционала р(Х,Х° Л ) или К(Х.-Я'° Л ) на устойчивой стадии процесса деформирования условие устойчивости (2.14) имеет вид

6гЕ

(ХЛаЛ) > О

(4.13)

и в рассма'гриваемом случае

о о

]■ 6Р : Vй(бХ)Т<ЗУ > О . (4.14)

о

V °

Такое же условие устойчивости из энергетических соображений сформулировано Р.Хиллом [3] при отсутствии смещений на части

о о

границы 3 и мертвой поверхностной нагрузке на 3 . Бифуркации

и т

процесса упругопластического деформирования соответствует равенство нулю левой части (Л.14).

Подчеркнем, что условие (4. 14), названное Р.Хиллом [3] достаточным условием отсутствия бифуркации, здесь получено в предположении равноактивной бифуркации. В этой связи отметим работу ¿12.?, в которой на основе бифуркационного критерия РХилла и дифференциально-нелинейного варианта теории пластичности, развиваемого авторами работы /"12 7, получено, что бифуркация процесса деформирования первого порядка реализуется на путях полного догружения.

Заметим также, что в общем случае в задачах устойчивости

6Т ^ О. Так будет, в частности, при следящей поверхностной нагрузке постоянной интенсивности. Условие типа (4.14) в этом случае будет иметь вид

67С 6Х

ООО о

/ / 6Т> ; Ч&(6Х)Г(ЗУ - | | 61 • а(&Х)<33 > О . (4.15)

;с ¿о

Б заключение с позиций энергетического критерия устойчивости рассмотрим известную модель локализации пластической деформации [9]. Указанная модель позволяет определить, возможна ли еиФуркация внутри локализованной полосы. Используя кинематическое представление, лежащее в основе этой модели, и условие равноактивной бифуркации из бифуркационного критерия, получим условие начала локализации [9]. Рассматривается однородное и однородно деформируемое тело, подверженное квазистатическому

о

нагружению. В этом теле внутри локализованной полосы V

ь

(■рис.З), заданной вектором нормали N в отсчетном сотоянии, поле скоростей непрерывно, а градиент вектора скорос и имеет вид [9]

X* + трх

Рис. 3.

W - 'ТУ + Ыд ,

где д - некоторая вектор-Функция координаты ?

• Р )

о '

(4.16)

вдоль вектора

д * О

(4.»Г)

Придавая параметру Т) смысл времени и сравнивая разложения (4.5} и (4.16), можно положить

V <5* = Ыд .

(4. 18)

Далее, считаем, что имеет место равноактивная бифуркация

(4.4). Тогда с учетом разложения (4.9) и ¿4.16) критерий бифуркации примет вид

&Х

г в О «. е

||/ес ; 7 67С) : Л(?6ХТ <ягь= О . (4.19)

Здесь у - обозначает объем полосы локализации деформаций, ь

о о

Заметим, что для <£У\У^ имеем X г Х° и В(Х,Х° Л)=0. Предпола-

О Ь

гая симметрию тензора С относительно перестановки первой и второй пар индексов (С ...“С, ж ), можно, проинтегрировав внутрен-

I к ,1 I

ний интеграл в (4.19), используя (4.18), получить

(4.20)

Откуда, с учетом симметрии С и (4.17), следует условие начала локализации [9];

О

В е о

(4.21)

Проделав обратные рассуждения, можно, по примеру [91, получить, что локализация пластической деформации япгляется предельным типом бифуркации в том смысле, что условие (4.21) в однородной полосе всегда влечет бифуркацию [9]

5-^Закдкчаний

Энергетический критерий устойчивости упругопластических процессов в настоящей работе получен на основе определения устойчивости по Ляпунову, обобщенного на системы с распределенными параметрами. Это отличает указанный критерий от известных, которые в большей мере постулированы. Некоторые обоснования критерию дает аналог теоремы Ляпунова об устойчивости, обобщенной на системы с бесконечным числом степеней свободы. Отсутствие обоснования с общих термодинамических позиций дает основание рассматривать этот критерий как гипотезу. Выше было показано, что из сформулированного критерия устойчивости следует энергетический критерий устойчивости для консервативных систем и бифуркационный - для упругопластических. Тем не менее, мы не претендуем на его универсальность хотя бы потому, что представленная модель пока не охватывает некоторые существенные стороны упругопластического выпучивания. К примеру, известно, что потере устойчивости в геометрическом представлении процесса упругопластического деформирования соответствует излом траектории деформации. Последнее связано, возможна, с резким изменением упругопластических характеристик и требует отказаться от гипотезы равноактивной бифуркации. В этом случае изменение в возмущенном и невозмущенном процессах тензора С-С° будет конечной величиной даже при малых возмущениях, что затрудняет применение используемой выше методики. Связанные с этим вопросы,

Тс; к же проблема послебиФуркационного поведения и г-могие другие задами не затронуты в настоящей публикации и требуют дальнейшего исследования.

Автор благодарит профессора П.В.Трусова, под руководством которого была выполнена работа, за доброжелательную критику и поддержку.

Литературе

1. Клюшников В.Д Устойчивость упругопластических систем. К; Наука, 1980. 240 с.

2. Ильюшин А.А. Общая уарактеристика проблемы неупр>гой

устойчивости в механике .-¡^Формируемого твердого тела

Устойчивость в механике деформируемого твердого тела,- Материалы

Всесоюзн. симп. Калинин; КГУ, 1981. С. 4-11.

3. Хилл Р. Общая теория единственности и устойчивости для упругопластических тел // Механика: Сборник переводов. Н; Мир, 1938. № (52). С. 81 -96.

4. Друккер Д О постулате устойчивости материала в

механике сплошной среды // Механика: Сборник переводов. К ;

Мир, 1964. № (в5). С 113-128.

3. Pet тук И. On the onset of instability in elasto-plast i, с soiids // Plasticity Today: Modelling, Ueth. and. Appl. London -New York, 1985. P. 429-447.

6. Линьков AH Об условиях устойчивости в механике

разрушения // Докл. АН СССР. 1977. Т 233, ЦП- С. 43-48.

7. Мовчан А. А О прямо. методе Ляпунова в задачах

устойчивости упругих систем Прикладная математика и

механика. 1939. Т. 23, вып. 3. С. 483-493.

8. Койтер В.Т. Термодинамика упругой устойчивости г/

Механика. Сборник переводов. М.Мир, 1971. Ц6 ("130 ). С 102-111.

9. Райс Дж. Р. Локализация пластической деформации // Теоретическая и прикладная механика / Труды XTY Международного конгресса ТО ТАИ- М.; Мир, 1979. С. 439-471.

10. Поздеев АА., Трусов П.В., Няшин Ю.И. Большие упругопластические деформации; теория, алгоритмы, приложения. М.; Наука, 1986.232 с.

11. Пановко Я.Г., Губанова НИ. Устойчивость и колебания

упругих систем; Современные концепции, ошибки и парадоксы. 3-е изд., перераб. К; Наука, 1979. 384 с.

12. Черняков Ю.А., Швайко Н.Ю. Бифуркация процесса деформирования и критерий единственности решения краевой задачи теории пластичности в скоростях // Докл. АН УССР. Сер. А физико-математ. и технич. науки 1981. Ш. С. 34-38.

Пермский политехнический институт