CC BY
22
УДК 539.3
Давыдов М.Г,
ОБ ИСПОЛЬЗОВАНИИ ПОНЯТИЯ УСТОЙЧИВОСТИ по двум мерам В ЗАДАЧАХ НЕЛШЙШ01 ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ
Abstract
The resalts of the theory of stability for dietributedsysоems are used for studying the stability of deformation processes. Stability definition for elasto-piaxtic process at finite time interval with respect to two metrics is formulated. Гпе с vdttUjria of the theorem similar to that known in the theory of v:tion stability are considered. Stability criterion followed pm energy proposition was obtained from the condithions of mentioned theor'em.
Использование при анализе устойчивости ynpyroiuacTmecKia процессов результатов, напзп», ■ •: к настс ящему времени в теории устойчивости систем с рас^-зделенными параметрами, имеет определенные перспективы. Это связано, в первую очередь, с тем, что, в теории устойчивости движения, как И Е теории пластичности, ключевым является понятие процесса. Подчеркнем, что в последнем случае речь идет о квазистатических процессах с соответствующей историей деформации в каждой материальной частице рассматриваемого тела. Исследование упругошгастическог устойчивости при неоднородном и непропорциональном докриггическом деформировании предполагает прослеживание развития процессов деформации при пиша!ивом решении задачи. Потеря устойчивости соответствует момент коренного изменения свойств рассматриваемой упругопластической системы, накопившегося в ходе предшествующей деформации.
Воспользуемся некоторыми положениями теории устойчивости на конечном интервале времени систем с распределенными параметрами гп. Весь процесс нагружения будем представлять в виде
после дова'галъности связанных между собой интервалов, на каждом т которых .устойчивость исследуется отдельно. Роль времени здесь '1. реет параметр нагружения. Интегральной мере указанных ироць.. сов придадим энергетический смысл. Указание на место предложенного подхода в ряду известных в теории
упругопластическ-.'й -у с гойчтаости дано в работе гйз ,
Исследуем устойчивость равновесия и устойчивое!ь процесса
упругопластического деформирования на конечном интервал времени [1 ,тз некоторого тела, занимавшего в отсчетной конфигурации объем ’5, ограниченный поверхностью ё. Единичный вектор внешней нормали к ё обозначим й . Поскольку на уровень докритических деформаций не накладывается ограничений, рассматриваемая задача
относится к проблемам геометрически нелинейной теории
пластичности. Нагружение не предполагается пропорциональным. Указанную задачу сформулируем в шрминах отсчетной конфигурации. Пусть х°со - поле перемещений от отсчетной конфигурации -основной, невозмущенный процесс деформирования, вызванный приложенной на части границы 5 нагрузкой т°= тсх°<ч-о и заданным полем перемещений на & сё = § и 5 :•. Полагаем, что объемные СИЛЫ отсутствуют. Для оценки устойчивости равновесия рассмотрим также возмущенный процесс хсо, порожденный отклонениями от основного в начальный для данного интервала момент времени Процэсс хсо удовлетворяет на £ тем же кинематическим граничным условиям, что и х°со. Возмущенный процесс о, как и основной х°со, является равновесным. Используя обозначения, принятые в монографии сзз, для определения поля хсо, ьегь , тз запишем уравнения задачи нелинейной теории пластичности в терминах отсчетной конфигурации:
N ■ р1 хС С . Я 1 =ТС хС О , |< Э , К , сгэ
о о Т *
V = £ -Я, й «=$и£; С 33
О
хСЪ,1г 5 = Глг<т,іг Эёт , К е'°'иё, С43
о * о о
О
xct.it э-х°сь,іг >=о , « є ё , сзэ
где Р - первый с несимметричны» тензор напряжений: Пиола-Кирхгофа, тензоры четвертого ранге х = лес Фх.$>•,*£ ,.. . з и второго ранга л = ягФх.’Зу.к^,... з являются функционалами предшествующей деформации. В виду ограниченности объема работы вопросы, связанные с обоснованием определяющих соотношений сю, ;аосматриваться не будут.
Для формулировки определения устойчивости по двум мерам определим на классе смещений ис о = хсо - х°сіз в фиксированный момент времени ЪеП^.ТЗ меру различия процессов хСО И х°СО
[ 23:
иСО иС і} ,
ріисої = X І" . 1 аї - Г С т-сіи аё, с65
$ о & о
г
а для оценки возмущения в начальный момент времени меру
СІС иС
- СГ
5 : ФиС і З 3 сі VI
а> О, С?Г>
Заметим, что приводимые далее положения относятся кап. к устойчивости равновесия, так и к устойчивости процесса деформирования. На особенностях исследования устойчивости процесса упругопластического деформирования остановимся ниже.
Функционал рГисоз может служить мерой, поскольку считаем, что работа возмущающих сил на соответствующих им ежемгновенных
возмущениях, исю положительна. Используя уравнения С15 ,сг> и соотношение с55, несложно показать., что указанная работа равна :-рйБой части выражения с65. Кроме того, ргоз = о.
Ог; еделениэ. Нввозмущэнный процесс х°С Ъ5 называется устсйчкмм нэ отрезке [^,тз по мерам р и а, если для любого числа £>о существует <г^сзо <?. = 4С«,о>о такое, что для любого возмущенного процесса хС о ,, удовлетворяющего системе уравнена
05-<55, ИЗ УСЛОВИЯ
(Ж & , I
ДЛЯ любого 1еГ ^ , Т) С.чо.луе!
о1 иС 1 5 3
С 95
Одним кз ключевых вопросов в использовании для исследования устойчивости второго метода л ..М. Ляпунова является выбор функционала Ляпунова. В настоящей работе в качестве такого функционала примем м«*.'(51.
ФуНКЦИОЯЭЛ р!иСОЛ является определенно ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМ, поскольку служит мерой. Далее будем предполагать, что рГисоз является непрерывным ПО Мере о щш то есть для любого
числа е>о найдется такое положительное число & - <5с*э, что опенка |р| е выполняется при ^ < <5с*> и ъ=ъ и наконец, функционал рГисо) является невозрастающим в силу уравнений краевой задачи для возмущенного процесса деформирования. Действительно, используя, что поверхностные силы т, а значит -и напряжения Я не зависят явно от времени, и приняв обозначения аи- са ■= по правилу Лейбница получим
= ур: ~ % ТЩв§ = О, С105
V §
ПОС.ПОДНве следует ИЗ Теоремы О ДИВергеНЦИЯ, Уравнений С1"> , с 23 и условия с р-'* .
Танин образом, существование функционала Ляпунова ргисо:, имеющего указанные свойства, обеспечивает выполнение условий теоремы об устойчивости [ 1 з. Критерий устойчивости дает одно и? достаточных условий указанной теоремы: свойство положительной определенности р обеспечивается выполнение» УСЛОЕМЯ
с>1 иС ). "> ] >
УЪеГЪ ,тз
и. геояется, в частности, если имеет место равенство
рГ иС т 3 3 —О , 1
С 12^
где т соответствует моменту потери УСТОЙЧИВОСТИ.
Условие си> аналогично >точному условию устойчивости, следующему из известной теоремы Лагранжа, обобщение которой предложено А.А.Мовчаном при исследовании устойчивости сплошных
сред Г Л 3
Рассмотрим устойчивость процесса деформирования. Следуя работе С5з,.с неустойчивостью в этом случае будем отождествлять возможность неединственного продолжения исследуемого, невозмущенного процесса деформирования *'< * •. Обозначим дх° -основное продолжение процесса х°с * >. Моменту бифуркации процесса т соответствует г?;з появление из той же точки процесса х°СО ДРУГОГО, побочного ПрОДОЛЖвНИЯ Ах*Лх”, являющегося началом возмущенного процесса хс*.:>. Введенное выше пиле смещений чс будет характеризовать различие указанных продолжений: ч=лх-дх°. Мера различия возмущенного и невозмущенного процессов в этом случае будет описывать различие продолжений и с учетом того, что возмущенный и невозмущенный процессы до момента исследования на устойчивость совпадали, может быть приведена к следующей форме
рЕ иС I 3 ]
II
л О
дР : ^саи5та^,
С 133
Здесь Ар - изменение поля напряженной при продолжении процесса. При записи озз было использовано, что усилия на части поверхности §т и кинематические условия на §и считается одинаково меняющимися в каждом из указанных продолжений.
В записи меры начальных возмущений С7з момент времени ^ соответствует тому моменту, б который исследуется устойчивость процесса деформирования. Момент нагружения, соответствующий неединственности продолжения х°со, есть „ Уравнения задачи бифуркации, нетривиальное решение которой соответствует указанному моменту, в рамках гипотезы равноактивной бифуркации сзз имеют следующий вид:
ДрСх°+Дх.1г 3=0, Я е#;
п 43
Й• Др[х°+Ах, I? 3=0, 1? её
С 153
АР = £■.
С 1 63
С Г
иС т 3 = 1
с г
«СтЗдт,
К е'
#Ц§;
С 175
ДхСК! З-Дх CR 3
о, к её
С185
Заметим, что в рассматриваемом случае условие., аналогичное
условию і'-'о-» при анализе устойчивости равновесия, следует из уравнений с і 4.>, с і р. . и соотношения с їв) . Некоторые иллюстрации использования сформулированного критерия устойчивости упругопластических процессов приведены в работе гаї.
Литература
і . Сиразетдинов Т.К. Устойчивость систем с распределенным1’ параметрами. - Новосибирск.г Наука, 1987. 232 с.
й. Давыдов М.Г. О развитии энергетического подхода к исследованию устойчивости процесса упругопластического деформирования // Математ. моделир. систем и проц. - Пермь, ГермПИ. - 1992, ним:.. - С. 4-19.
3, Поздеев А.А,, Трусов П.В., Йяшин Ю.И. Большие упругопдастические деформации: теория, ачгорттеы, приложения. М.". Наука, 1986 . 232 с.
4, Мовчан А.А. Об устойчивости движения сплошных Сред. Теорема Лагранжа и ее обрэще // Инженерный сборник. -1980. -Т.29. -С.З -20.
Клюшников В.Д. Устойчивость упруго-пластических систем. -М.: Наука, [980. 240 с.
Пермский іосударствендый технический университет
Пат у И'Л'г. нол^.пир бистрії и проц НР< , 1 9^4
