О равносходимости спектральных разложений для интегральных операторов, имеющих разрывы производной ядра на диагоналях Текст научной статьи по специальности «Математика»

из Е. Выбираем те Vkh, которые содержат точки из Е, отмечаем в них

крайние точки и включаем их в множество Е. Далее рассматриваем те Vkh_ \, у которых обе Vkh содержат точки из Е. В каждой такой Vkh выбираем только одну Vkh, отмечаем в ней крайние точки и включаем их в множество Е. Если не верно, что kh = kh_x +1 и kh g Г, то разбиваем окрестность Vk на окрестности Vkh, выбираем те из них, которые уже содержат точки из Е, отмечаем в них крайние точки и включаем эти точки в Е. Продолжая этот процесс далее, получаем требуемое множество Е.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Schipp F., Wade W. R., Simon P. Walsh series. An introduction to dyadic harmonic analysis. Budapest: Academiai Kiado, 1990.

2. Морева H. С. Конечные и счетные множества единственности для кратных рядов Уолша // Современные проблемы теории функций и их приложения: Тез. докл. 13-й Сарат. зимней шк. Саратов, 27 янв. - 3 февр. 2006 г. Саратов: ООО Изд-во «Научная книга», 2006. С. 121 - 122.

УДК 517.984

Е. В. Назарова

О РАВНОСХОДИМОСТИ СПЕКТРАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ ДЛЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ, ИМЕЮЩИХ РАЗРЫВЫ ПРОИЗВОДНОЙ ЯДРА НА ДИАГОНАЛЯХ*

Рассматривается интегральный оператор

Af{x)=)A(x,t)f(t)dt. (1)

о

Исследуется вопрос о равносходимости разложений произвольной суммируемой на отрезке [0;1] функции по системе собственных и присоединенных функций оператора (1) и в тригонометрический ряд Фурье.

Проблема равносходимости, имеющая давнюю историю, более всего изучена для дифференциальных операторов. В отношении интегральных операторов она изучена значительно меньше. В частности, А. П. Хромов в работе [1] ввел ограничения на ядро - условия гладкости, а также существенное условие скачка (и - 1)-й производной ядра на диагонали единичного квадрата. Последнее условие задает канонический вид оператора среди всех интегральных операторов с данной системой собственных и присоединенных функций, разложения по которой равносходятся с разложением по тригонометрической системе. Но в связи с отсутствием конструктивно-

' Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 06-01-00003).

89

го перехода к каноническому оператору возник вопрос о нахождении классов интегральных операторов, для которых будет иметь место равносходимость. Поэтому начиная с 1998 г. стали исследоваться интегральные операторы, комплекснозначные ядра которых имеют скачки (п - 1)-й производной не только на линии / = х , но и на линии ? = 1 - х. Эти операторы удобнее рассматривать в следующем виде:

X 1

А/(х) = а, ¡А{(х,0/(0^ + а2 \А2(х,1)/(1)Л + о х

1-х 1

+ а3 ]\43 (1 - х, 0/(0 Ж + а4 х, с/1, (2)

О 1-х

Здесь а, (г = 1,...,4) - комплексные константы, причем

1 2

5 = (а[ - а2) - (а3 - а4) #0. Предполагается, что ядро каждого интегрального слагаемого в (2) непрерывно дифференцируемо п раз по х и один раз по / на области своего задания и выполняются соотношения:

д] ,

(7 = 0,...,»), (3)

- символ Кронекера.

Для частных случаев оператора (2) теоремы равносходимости были получены в работе [2] (случай а, = а3 = а4 = 0); в работе [3] (случай а2=а4=0,Аг=А3) и в работе [4] (случай произвольных комплексных констант п = 1 - случай, когда разрыв терпит ядро оператора (1)). Рассматривается случай произвольных констант а, и нечетного натурального п>2 (разрыв терпит (и-1 )-я производная ядра исходного интегрального оператора (1)).

Для получения теоремы равносходимости используется метод контурного интегрирования резольвенты по расширяющимся контурам в комплексной плоскости спектрального параметра. Удобнее вместо резольвенты Фредгольма оператора А рассматривать обычную резольвенту обратного оператора, имеющего вид

п- 1

А"1 у = (Е + АТ1 Р{У("\х) + Ха.У'Ч*)) (4)

/=о

с граничными условиями

у('\0) = + Р(у{п)(1) + ■ (5)

о 1 ¿=о

Здесь 5 = 0,...,и-1; /У(*) = 8"1[(а1 -а2)/(дс) + (-1)я(а4- а3 )/(1 - *)], М- интегральный оператор №/(х) =

Построение резольвенты ^ сводится к изучению оператора Ь0 : Ру{п) с краевыми условиями Uj(y) - 0, у = 1последовательные возмущения которого приводят к оператору А1, и ■ (у) - линейно независимые линейные формы от и полученные после преобразования граничных условий (5) к виду Uj(y) = (y,$j), где

(У.Фу)= /о-УМФуС ■ Построение и исследование резольвенты й0д оператора Ь0 сводится к решению краевой задачи и-го порядка в пространстве двумерных вектор-функций и оценки характеристического определителя, для которого получена асимптотическая формула. Затем исследование резольвенты позволяет получить для нее необходимые оценки.

ТЕОРЕМА 1. Положим Л\/5 = р" (0 < а^р< 2л/п). Удалим из данного сектора р -плоскости те значения р, которые соответствуют нулям характеристического определителя, вместе с окрестностями одинакового достаточного малого радиуса 50 Обозначим полученную область . Тогда при больших значениях |р| справедливы оценки:

2. Кд/||от=о(|рГ>(Р))||/11о;

3. ¡О^/^ОСН'-^УСР^Д;

4. |1)'"/г0лХ|[=О(|р|-'1+'");

т = 0,...,л-1; Ч'(р)=£о(^ерш/[), П(у) = (1 -е~у)/у при у>0, У=1

О - оператор дифференцирования, % — характеристическая функция отрезка [Ло'Л^^ЕОДЬ шу -корни и-й степени из 1.

Далее получены формулы, связывающие резольвенты Я-> и и необходимые оценки для резольвенты Я, . Наконец, приходим к основному результату.

ТЕОРЕМА 2. Пусть для оператора (2) выполнены следующие условия: а) 8*0, б) ядро каждого интегрального слагаемого в (2) непрерывно дифференцируемо п раз по х и один раз по / на области своего задания, в) линейные формы IIJ (у) регулярны по Биркгофу, г) выполняются соотношения (3), д) V аг А).п\х,1) ограничена по t. Тогда для любой функции о *

/(х) б ¿[0;1] и любого 8] е (0;1/ 2) имеет место соотношение

lim max Sr(f,x)-a jn(f,x) = 0,

г->оо8,<х<Ь5, r|V I I

где Sr(f,x) - частичная сумма ряда Фурье функции f(x) по собственным и присоединенным функциям оператора А для тех характеристических чисел Хк, для которых \'кк |<г; ст^ щ(/,х) - частичная сумма тригонометрического ряда Фурье функции /(х) для тех номеров к, для которых (2кп)" < r|Vsj и Г таково, что {р||р| = г1/и, 0<argp<2m/n}c:58o.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Хромов А. П. Теоремы равносходимости для интегро-дифференциальных и интегральных операторов // Маг. сб. 1981. Т. 144(156), .№ 3. С. 358 - 450.

2. Хромов А. П. Теорема равносходимости для интегрального оператора с переменным верхним пределом интегрирования // Метрическая теория функций и смежные вопросы анализа: Сб. ст. М., 1999. С. 255 - 266.

3. Корнев В. В., Хромов А. П. О равносходимости разложений по собственным функциям интегральных операторов с ядрами, допускающими разрывы производных на диагоналях // Мат. сб. 2001. Т. 192. С. 33 - 50.

4. Назарова Е В. О равносходимости спектральных разложений для интегральных операторов с разрывными ядрами // Spectral and evolution problems: Proceedings of the Fourteenth Crimean Autumn Mathematical School-Symposium. September 18 -29, 2003, Sevastopol, Laspi. Simferopol, 2004. Vol. 14. C. 30 - 34.

УДК 519.4

С. И. Небалуев, И. А. Кляева

ТОЛЕРАНТНЫЕ КУБИЧЕСКИЕ СИНГУЛЯРНЫЕ ГОМОЛОГИИ

В настоящей статье изучаются толерантные кубические сингулярные гомологии, являющиеся подходящим аппаратом для построения спектральных последовательностей толерантных расслоений.

Толерантным отрезком длины т назовем толерантное пространство

где / = ■! — к = 0, т I — множество точек деления единичного от-

[т \

резка на т частей, а толерантность I т определяется условием к

-1Я — О \к - /|

<

т " т

Для п е N назовем п-мерным толерантным сингулярным кубом то-лерантного пространства любое толерантное отображение