О равносходимости разложений по собственным функциям интегральных операторов с ядрами, разрывными на диагоналях Текст научной статьи по специальности «Математика»

для которого 'L = \'\Р). Так как е с а/., то по третьей теореме об изоморфизмах [5] для канонического гомоморфизма г . W -> F(/i) существует такой гомоморфизм /: F(/4) —> что ~К =/• е . Отсюда следует, что 'L = V(/>) = Б." W)X g(*i) =/"'(П '¿/Е

Очевидно также, что I идеал полугруппы W в том и только том случае, если Р идеал полугруппы S . Следовательно, ядро K}.w можно представить в виде

п {/ \РУ f F(A) S - конечная полугруппа, Р с S и Кщ)с/'\Р).

Поскольку для таких подмножеств Р по лемме 1 Ks~J(Kf\A)) с Р, то в силу следствия 1 и формулы (1) выполняются равенства КрА) = гл {f'\P): /: F(A) -> 5 - конечная полугруппа и Р идеал S } = = n { Liz : L - распознаваемый идеал полугруппы W} = = n {*(w)/e : w е W} = Me.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Ладяеман Ж. Полугруппы и комбинаторные приложения М : Мир, 1985

2. Molchanov V.A. Nonstandard characterization of pseudovarieties // Algebra Universalis 1995. Vol 33. P. 533 - 547.

3. Альбеверио С., Фенстад Й., Хеэг-Крон Р., Линдстрсм Т. Нестандартные методы в стохастическом анализе и математической физике М Мир, 1990.

4. Молчанов R.A. Нестандартные расширения равномерных алгебраических систем // Сибирский математический журнал. 1994 Т. 35, № 5. С. 1094 - 1105.

5. Кон П. Универсальная алгебра М.: Мир, 1968.

УДК 513.88

Е. В. Назарова

О РАВНОСХОДИМОСТИ РАЗЛОЖЕНИЙ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С ЯДРАМИ, РАЗРЫВНЫМИ НА ДИАГОНАЛЯХ"

В пространстве /^[0; 1] рассматривается интегральный оператор

X 1

А/(х) = а11А1(х,0/0У11 + а21л2(х,0/(М +

о х

1-х 1

+ а3 \ Лз(1-х,0/(0Л + а4 (1)

о 1-*

* Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 00-01-00075, и программы «Ведущие научные школы», проект N»00-15-96123.

Предположим, что At{x,t) для / = 1 и 1 = 3 непрерывно дифференцируемы по х при t<x, a А:(х,/) для / = 2 и / = 4 непрерывно дифферен-

цируемы по дг при t > х и выполняются соотношения —-Д(х,0|г=х = о. 0

Sx-'

(7 = 0;1), где ст - символ Кронексра.

Оператор (1) рассматривался ранее А.П. Хромовым. В работе [1] им были получены формулы обращения оператора ( 1 ), а в работе [2] для частного случая оператора (1) установлена равносходимость разложений по собственным и присоединенным функциям и в тригонометрический ряд Фурье

В настоящей статье получается интегральное уравнение для резольвенты Фредгольма оператора А, приводятся оценки резольвент для вспомогательных операторов и устанавливается равносходимость разложений по собственным и присоединенным функциям оператора А и дифференциального оператора L0.

Введем в рассмотрение следующие дифференциальные операторы с краевыми условиями:

L0y = P~ly\ U(y) = Q-1лу=Р~1у\ V(y) = 0, Ly = (E + S)'1P'iy\ V(y) = 0, где /""'/(x) = Р,/(дг) + p2/(l - дг), S = P'\DA + clA), D - оператор дифференцирования, E - единичный оператор; Î7 (y) = Yj^iO) -i- y2-K') i

V[y) = U(y) - (>,<p); y, = 1 + I[(a, - a2)À(0) + (a, - a4M(I)];

о

Y2 = - а2)Л(1) + (a3 - а4)Л(0)]; À(t) = ,4(0,0 + Ji4(0,T)JV(T,0*; ° о

N = (E + Sy}-E- 6 = V(«i -a2)2+(a3-a4)2,

{У.Ф) = ka2 - a, )} Л, '\t)y{t)dt + (a, - a4 )}À, '(1 - t)y{l)dt] ° о о

Обозначим Rok =(L0 -XE)'1 резольвенту оператора L0, a Rl x и Rx - соответственно резольвенты операторов L, и L. Легко заметить, что Rx является также резольвентой Фредгольма оператора А . Справедпивы следующие результаты: ТЕОРЕМА 1 Если X таково, что Ro x существует, то

Z(jr) = {z1(jr),z2(jc)}7 , где г,(д)=ЯоЛ/(х)\ z2(x) = z,( 1-х), удовлетворяет системе

где ß =

а, - а-,

а, -а.

а4 - а

Z'(x) + \BZ(x) = BF(x), />Z(0)-i-ßZ(l) = 0,

/0 О

м;

lo О

Ui Уг)

F(x) = {f(x)J( 1-*)}г.

ТЕОРЕМА 2. Если А"1 (А.) существует, то

«и/ = Лол/ + (Gn + «12 XW. Ф). где Gn и С12 - компоненты матрицы G = (X);

lV(x,X) =

(а3 -а4)е

(а3 - а4)е

■ Ä.V6»

Ja, - а2 - (а, - а2 + S)e'U&x

А(Х) = Р^(ОД) + £Ж(1Д) - Щ);

Щ) = (а3-а4)

ТЕОРЕМА 3. Для y(x) = Rxf(x) справедливо соотношение У(х) = Ri,x/(x) + у( 0)Äu[ß,/V(;r,0) + ß2W W)] +

+ >0)^i,x[-ßi^(Jc,l) - ß2W(jc,0)] + i

+ ÄU J[ß,A№0 - Pj^f' W - ОШ*.

о

где N(x,t) - ядро интегральною оператора N такого, что (£ + S)_1 =E + N. Обозначим:

an =Yi(d3 -а4) + 7г(а1 -«2 - V5); «12 =У1(а3-а4) + у2(а, -а2 + V5); a2i =7г(аз "^J + Yiia, -а2 -VS); аи = у2(а3 -а4) + у,(а, -а2 W<5);

а11а22

Удалим из комплексной плоскости переменного 4 нули функции 1-е-1" вместе с окрестностями одного радиуса 60 > 0 и обозначим оставшуюся часть плоскости S6o

ТЕОРЕМА 4 В области S6 при

КеХл/б > 0 и при больших значениях | Я.| верны оценки:

1 - е'у

где / = 0,1, ае(у) =- при у> 0; ц(х) ~ характеристическая функция

У

отрезка Гло.Л]с (^,1) •

Для <0 утверждения теоремы сохраняются, лишь в (2) и (3)

л/б

заменяется на

-х-Д.

Из теорем 3 и 4 получается

ТЕОРЕМА 5. В области при хе[6,,1 - 5,], где 0 <5] < —, имеет

место оценка

K/"Wlí Г"П

НС|8,;1-8,1

0\ - I + 6>(ае2 (Re XyfE)) + 6>(ae(Re?lVS) • )

■и,

Теоремы 3, 4 и 5 приводят к следующему основному результату (теорема равносходимости).

ТЕОРЕМА 6. Для любой функции /(*) е ¿][0;1] и х е [8г; 1 - 8[] имеет место соотношение

lim] \{Rx-Ro¿)fdk

= 0. С|8„1-в,]

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

1 Корнев В. В., Хромов А.П. Об обращении интегральных операторов с ядрами, разрывными на диагоналях // Мат заметки 1998 Т. 64, вып 6. С. 932 - 942.

2 Хромов А.П. О равносходимости разложений по собственным функциям интегральных операторов с ядрами, допускающими разрывы производных на диагоналях //Мат сб 1981 Т. 114(156). №3. С. 378-405

УДК 519.4

С. И. Небалуев

Г РУППЫ ГОМОЛОГИЙ ПРЯМОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ТОЛЕРАНТНЫХ ПРОСТРАНСТВ

Рассмотрим множество А4 = {0,1, ..,</}, где как толерант-

ные пространства, в которых все элементы попарно толерантны. Другими словами, толерантные пространства (д?,т?) состоят из одного классатоле-