Толерантные кубические сингулярные гомологии Текст научной статьи по специальности «Математика»

lim max Sr(f,x)-a jn(f,x) = 0,

г->оо8,<х<Ь5, r|V I I

где Sr{f,x) - частичная сумма ряда Фурье функции f{x) по собственным и присоединенным функциям оператора А для тех характеристических чисел Хк, для которых \'кк |<г; ст^ - частичная сумма тригонометрического ряда Фурье функции /(х) для тех номеров к, для которых (2кп)" < r|Vsj и Г таково, что |р||р| = г17", 0<argp<2m/n}c:58o.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Хромов А. П. Теоремы равносходимости для интегро-дифференциальных и интегральных операторов // Маг. сб. 1981. Т. 144(156), .№ 3. С. 358 - 450.

2. Хромов А. П. Теорема равносходимости для интегрального оператора с переменным верхним пределом интегрирования // Метрическая теория функций и смежные вопросы анализа: Сб. ст. М., 1999. С. 255 - 266.

3. Корнев В. В., Хромов А. П. О равносходимости разложений по собственным функциям интегральных операторов с ядрами, допускающими разрывы производных на диагоналях // Мат. сб. 2001. Т. 192. С. 33 - 50.

4. Назарова Е В. О равносходимости спектральных разложений для интегральных операторов с разрывными ядрами // Spectral and evolution problems: Proceedings of the Fourteenth Crimean Autumn Mathematical School-Symposium. September 18 -29, 2003, Sevastopol, Laspi. Simferopol, 2004. Vol. 14. C. 30 - 34.

УДК 519.4

С. И. Небалуев, И. А. Кляева

ТОЛЕРАНТНЫЕ КУБИЧЕСКИЕ СИНГУЛЯРНЫЕ ГОМОЛОГИИ

В настоящей статье изучаются толерантные кубические сингулярные гомологии, являющиеся подходящим аппаратом для построения спектральных последовательностей толерантных расслоений.

Толерантным отрезком длины т назовем толерантное пространство

где I т \ — к = 0, т I — множество точек деления единичного от-

[т \

резка на т частей, а толерантность I т определяется условием к

-хт — О \к - /|

<

т " т

Для п е N назовем п-мерным толерантным сингулярным кубом то-лерантного пространства любое толерантное отображение

и:

—>

(х,т) для произвольных теУУ. Если п = 0, то

0-мерным кубом в (А^т) будем считать любую точку пространства (Х,х).

Обозначим через <2„(Х) абелеву группу, свободно порожденную над Ъ всеми и-мерными толерантными сингулярными кубами пространства (Х,т),если и>0,адля п< О положим (?п(х)=0.

Для каждого п > 1 определим граничный гомоморфизм д „ \ Q п (X ) —> в п -1 (Аг )> задаваемый на образующих формулой

(5„и)

/=1,и-!

¿НУ и \ Кл

/=1 _ те т

, К-Л

т т т

к:

Обычным способом проверяется, что д „ _ ] » 3„ = 0. Тем самым получаем цепной комплекс {(¡) п(Х ), д „}. Однако прежде чем рассматривать гомологии, этот комплекс следует нормализовать по тем же причинам, что и в алгебро-топологическом случае. Для этого рассмотрим толе-

п

рантные сингулярные п-мерные (п > 0) кубы м:х/ш—> X, получающиеся

п-1

из (п - 1)-мерных кубов и': х 1т —> X следующим образом:

т

К

т

Такие кубы мы будем называть вырожденными. Они образуют подгруппу Оп(х)с <2п(Х). При этом имеем дп(Оп(Х))а П„_](х), что позволяет рассмотреть фактор-комплекс {С„(Х) = ()п\Х)/ Оп{Х),д п}, который будем называть комплексом нормализованных толерантных кубических сингулярных цепей пространства (А',т). Гомологии этого комплекса будем обозначать Н@(Х) = Ф Нп^(х) и называть толерантными кубическими син-

п>0

гулярными гомологиями пространства (А^,т). Таким образом определен ковариантный функтор толерантных кубических сингулярных гомологий. Если во всех описанных выше конструкциях постоянно брать т = 1,

то получим подкомплексы |бДх)}с= {0„(х)}, |цДаг)}с {£>„(*)},

Группы гомологий комплекса \сп5(х),дп\ будем обозначать

Н5(Х)= ® Н„5(Х) и называть простыми толерантными кубическими

п> о

сингулярными гомологиями пространства (А',т). Получаем еще один ковариантный гомологический функтор.

93

ТЕОРЕМА 1. Для любого толерантного пространства (X, т) имеется естественный по (Х,т) изоморфизм Н${х)= Н3(X).

Для доказательства достаточно показать, что комплексы |с"„1(х),дп | и {С„(х),дп} естественно цепно гомотопно эквивалентны. Для этого, в свою очередь, надо предъявить два цепных отображения между этими комплексами, которые были бы взаимно обратны с точностью до цепной гомотопии. Такими отображениями являются отображения

{7:С*(Л")-»С„(х)| и {] -.СЯ{Х)-^СП'{Х)\, которые индуцированы отображениями \in:Qns(x)c:Qn(x)| и [у :Сп(Х) —> С„Л(Лг) |, первое из которых суть вложение, причем гП(оя5(А")]с £>и(х). Опишем теперь отобра-

п

жение ] = {]„}■ Пусть и:х1т->Х - толерантный сингулярный куб в (X, т). Тогда для каждой точки подмножества

(V/ = 0 < А:,- < /я - 11 с: х /т

\т т)

определим простые толерантные сингулярные кубы ик[ к е О* (X):

1 " V т т )

В этих обозначениях определим отображения ] п на образующих

т-1

формулой ]„{и)= .....к . Очевидно, что при этом удовлетворяется

*,,..,*„ =о

необходимое для индуцирования условие ]п{рп{Х))е Вп" {X).

ТЕОРЕМА 2. Для толерантного пространства (Х,х) группа простых толерантных кубических сингулярных гомологий Н"(х) и группа толерантных сингулярных гомологий НА(Х) [3] изоморфны естественно по (Х,т).

Для доказательства этой теоремы возьмем толерантный л-мерный

куб х/, =|(б1,82,...,е„)| (VI = 1,и) е,е{0,1}|, все точки которого толе-

рантны друг другу. И рассмотрим толерантный и-мерный симплекс А" = {х0,Л],...,хл}, все точки которого также толерантны друг другу. Для

удобства дальнейшего представим все точки симплекса А" как некоторые

И+1 Г / _ч Л

точки толерантного куба х = (б0,5],...,5„)| (у/ = 0,и) 5,- е{0ДН. А

именно xQ = (l,0,...,0), x, = (0,1,...,0), ..., xn = (0,0,...,l). Построим теперь

n

отображение рп:х/, —>A", воспользовавшись классическими формулами Серра:

60 =1-EJs 5,=Е,(1-82), ...

ô„_s =E1e2...e„_1(l-е„),

С помощью отображений рл строится гомоморфизм р группы толерантных сингулярных цепей в группу простых толерантных кубических цепей, который коммутирует с граничными гомоморфизмами и индуцирует изоморфизм, утверждаемый теоремой 2.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Zeeman Е. С. The topology of brain and visual perception // The topology of 3-Monifolds. N. Y., 1962. P. 240-256.

2. Небалуев С. И. Алгебро-топологические характеристики толерантных пространств // Математика и ее приложения. Теория, методы, алгоритмы: Межвуз. сб. науч. тр. Саратов, 1991. Вып. 2. С. 105 - 107.

3. Небалуев С. И. Группы гомологии прямого произведения толерантных пространств // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов, 2002. Вып. 4. С. 105 - 107.

УДК 517.51

В. В. Новиков

О КЛАССЕ ФУНКЦИЙ, ОБЛАДАЮЩИХ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫМ АНАЛОГОМ УСИЛЕННОГО С-СВОЙСТВА*

Обозначим через Ln(T,f,x) тригонометрический полином Лагранжа, интерполирующий 2я-периодическую функцию / в равноотстоящих узлах Т = {хм = 2пк/(2п + = -п,...,п, п = 1,2,....}.

В 1940 году Д. Е. Меньшов доказал теорему [1] о наличии у измеримой, почти всюду конечной функции так называемого усиленного С-свойства: для любой функции f указанного вида и любого б > 0 существует функция g такая, что f- g на некотором множестве Е, mes£>23i — 6 и ряд Фурье o(g) сходится равномерно на [-71, л].

Более того, им было показано, что если f, в частности непрерывна, то множество Е, на котором производится исправление, будет зависеть только от е и модуля непрерывности функции/, но не от самой этой функции. Точнее, справедлива следующая теорема [2].

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 04-01-00060).

95