О распространении связанных электромагнитных теи ТМ-волн в плоском слое с керровской нелинейностью Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.927, 517.968, 519.6

Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов

О РАСПРОСТРАНЕНИИ СВЯЗАННЫХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ТЕ- И ТМ-ВОЛН В ПЛОСКОМ СЛОЕ С КЕРРОВСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ1

Аннотация. Исследуется распространение связанных ТЕ- и ТМ-волн в плоском нелинейном слое. Нелинейность выражается законом Керра. Показано, что физическая задача сводится к нелинейной двухпараметрической задаче на собственные значения для системы (нелинейных) обыкновенных дифференциальных уравнений. Доказано существование связанных поверхностных ТЕ- и ТМ-волн. Указаны интервалы локализации соответствующих парных собственных значений рассматриваемой нелинейной задачи.

Ключевые слова: связанные электромагнитные волны, уравнения Максвелла, нелинейность Керра, двухпараметрическая задача на собственные значения.

Abstract. The researchers investigate coupled electromagnetic TE and TM wave propagation in a nonlinear plane layer. Nonlinearity inside the layer is described by Kerr law. It is shown that physical problem is reduced to a nonlinear twoparameter eigenvalue problem for a system of (nonlinear) ordinary differential equations. The authors prove the existence of coupled surface TE and TM waves and find the intervals of localization of paired eigenvalues.

Key words: coupled electromagnetic waves, Maxwell’s equations, Kerr nonlinearity, twoparameter eigenvalue problem.

1. Постановка задачи

Рассмотрим электромагнитные волны, проходящие через однородный, изотропный, немагнитный диэлектрический слой. Диэлектрическая проницаемость в слое зависит от электрического поля по закону Керра. Слой расположен между двумя полупространствами x <—h и x > h в декартовой системе координат Oxyz . Полупространства заполнены изотропной немагнитной средой без источников и имеют постоянные диэлектрические проницаемости £l и £3 соответственно (£1 и £3 - произвольные действительные постоянные). Считаем, что всюду Ц = - магнитная проницаемость вакуума.

Предполагаем гармоническую зависимость полей от времени в виде [1]

E(x, y, z, t) = E+ (x, y, z)cosrot + E— (x, y, z)sinrot;

H(x, y, z, t) = H+ (x, y, z)cosrot + H — (x, y, z)sinrot,

где го - круговая частота; E+, E—, H +, H — - вещественные искомые функции.

Образуем комплексные амплитуды полей E, H :

E = E+ + iE—; H = H+ + iH—.

Везде ниже множители cos rot и sin rot будем опускать.

1 Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № 11-01-00330; Гранта Президента РФ, МК-2074.2011.1; ФЦП «Научные и педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг., соглашения № 14.В37.21.1950, 8171, 8860.

Электромагнитное поле Е, Н удовлетворяет уравнениям Максвелла

го! Н = —юеЕ, го! Е = /юцН; (1)

условию непрерывности касательных составляющих компонент поля на границе раздела сред х = —Н, х = Н и условию излучения на бесконечности: электромагнитное поле экспоненциально затухает при |х| в областях х <—Н и х > Н . Диэлектрическая проницаемость внутри слоя имеет вид е = е2 +а|Е| , и £2, а - произвольные постоянные. Будем искать решение

уравнений Максвелла во всем пространстве.

Рассмотрим ТЕ-волны, распространяющиеся в рассматриваемой структуре

Е = (0,Еу ,0)Т , Н = (,0,Иг )Т,

Т

где Еу = Еу (х, у, 2), Нх = Нх (х, у, 2), Нг = Нг (х, у, 2); (•) -операция

транспонирования.

Можно показать [2], что компоненты Еу, Нх , Н2 в этом случае не зависят от у . Кроме того, волны, распространяющиеся вдоль границы 2 раздела сред, гармонически зависят от 2 . Учитывая сказанное, получаем, что

Еу = Еу (х) ег'УЕ2 , Нх = Нх (х) е1^2 , Нг = Н2 (х) е1^2,

где уе - спектральный параметр (постоянная распространения ТЕ-волны). Аналогичные выводы имеют место и для ТМ-волн, т.е. для ТМ-волн,

Е = (,0,Ег )Т, Н = (0,Ну ,0)Т ,

распространяющихся в рассматриваемой структуре, можно показать [2], что компоненты Ех , Е2, Ну могут быть выбраны в виде

Ех = Ех (х) е^м2 , Е2 = Е2 (х) е^м2 , Ну = Ну (х) е^2,

где ум - спектральный параметр (постоянная распространения ТМ-волны).

Мы предполагаем и Уе , и ум действительными для того, чтобы |Е| не зависело от г.

Оставаясь в рамках предположений и выводов, сделанных для ТЕ- и ТМ-волн, в рассматриваемой структуре мы можем изучать связанное (одновременное) распространение ТЕ- и ТМ-волн в указанной структуре. А именно, рассмотрим электромагнитное поле

Е = (, Еу, Ег)Т , Н = (, Ну, Н2 )Т, (2)

где

Ех = Ех (х) е*м2, Еу = Еу (х) е^Е2, Ег = Ег (х) е^м2,

Нх = НX (х) , Ну = Ну (х) , И2 = Н* (х) в/УЕ*.

(3)

Тот факт, что возможно взять различные УЕ и Ум Для волн ТЕ- и ТМ-типов, легко можно доказать, подставив поля (2) в систему Максвелла (1).

Таким образом, рассматривается задача Р: найти постоянные распространения уе и Ум, и соответствующие им собственные функции, описывающие распространение электромагнитного поля (2) в волноведущей структуре, указанной на рис. 1, при условии, что поля (2) удовлетворяют системе уравнений Максвелла (1), соответствующим условиям сопряжения и условиям на бесконечности, а компоненты полей (2) имеют вид (3)1.

2. Дифференциальные уравнения задачи

Подставляя поля (2) в систему (1), получаем

Ум

. ((мЕX Е2 ) ЮеЕх

/ЮЦ

ІУЕ Е у +—ЕУ = /юеЕ у,

ЮЦ ^ /ЮЦ ^ ^

1

/ЮЦ

(УмЕ'х - Е2) = -/юеЕ2

(4)

где (')''ах-

2 2

Пусть ко =ю ец . Выполним нормировку системы (4) в соответствии

, , и а у е У м

с формулами х = к0 х, — = к0 —, Уе =-^~, Ум =-г~

ах ах ко ко

лучаем из (4)

е І =

е0

(х = —. По-

е0

Умко (м (/Ех)- Е2) = ю2Цеое(/Ех ) УЕкоЕу - коЕ'У = ю2цеоеЕу,

(5)

Умко (/Ех ) - *0Е2 = ю2цеоеЕ2.

Положим теперь /Ех = X , Еу = У, Е* = X и, опуская значок тильды, получаем из (5)

Ум (Умх - х ,) = еХ,

<уЕу - У" = еУ, (6)

УмХ'- X ' = {£,

где

1 Физическая постановка рассматриваемой задачи есть в [3], там же см. некоторые обсуждения и численные эксперименты.

е =

ЕЬ

х < - И

е2 + а(х2 + У2 +Х2), — И < х <И, lє3,

х > I

Система уравнений (6) - основная система, которую мы будем изучать. Введем обозначения:

,2 2 ; 2 2 ;2 2 ;2 2 кЕ1 = УЕ -є1, кЕ 3 = УЕ — е3 , км 1 = ум -еЪ км 3 = ум — е3 .

Система (6) в полупространствах х <-И и х > И является линейной и ее решения (с учетом условий на бесконечности) имеют вид

- для х <—И :

- для х > И :

X(х) = С И)в(х+И)м',

У (х ) = С2—И)в(х+И )е1,

X (х ) = У^^)км 1С{—И)в(х+И )м

X (х ) = С<И)в —(х—И)км 3,

У (х ) = с2И)в—(х—И)кЕ 3,

X (х Ь-УЙм 3С1(И)в—(х—И)км 3. Внутри слоя —И < х < И система (6) принимает вид [3] Ум (уМХ — X') = (е2 + а(х2 + У2 + X2 ))х,

< у2еУ — У' = (е2 + а(х2 + У2 + X2 )у, умХ' — X ' = (е2 + а(х2 + У2 + X2 )) .

(7)

(8)

(9)

3. Условия сопряжения

Как известно (см., например, [4, 5]) касательные составляющие электромагнитного поля непрерывны на границе раздела сред, а нормальная составляющая на границе раздела сред имеет скачок. Касательными составляющими в рассматриваемом случае являются компоненты Еу, Ег, Ну, Н2.

Нормальной составляющей является компонента Ех . Но известно, что величина £Ех остается непрерывной на границе раздела сред. Легко видеть из системы (9), что непрерывность еЕх следует из непрерывности Ну. Из непрерывности Ну получаем, что X' — умХ непрерывна на границе раздела. Из

всего сказанного получаем следующие условия сопряжения для функций X, У , У', X :

[ х'—у«х !„—» =»■ 1у Их.-,=»• [у'1=—»=°. I х]1„-»-0,

IХ' — УмХИх.» -0, [У^ ^ [у']|х=1 ^ [х]|х., ^ (10)

где [/Ц = ^ (х )— *!“, ! ( ).

Заметим, что постоянные с|й) и с2») считаются известными (начальные условия). Таким образом, остаются неизвестными: две постоянные в полупространстве х <-»; четыре постоянные внутри слоя и две постоянные распространения уЕ и ум; всего восемь неизвестных. Условий (10) также восемь.

Введем следующие обозначения для граничных значений полей внутри

слоя:

X—» := X (—» + 0), У—» := У (—» + 0), У'» := У '(—А + 0), X—» := X (—А + 0),

X,»:= X(» — 0), У»»:- У (» — 0), У' :- У'(» — 0), X» := X(» — 0).

Используя (7), (8) для граничных значений полей в полупространствах х <-» и х > » , получаем

X(—» — 0) = С(»), X(» + 0) = С1(»),

У(—» — 0) = с2-»), У(» + 0) = с2»),

у'(—» — 0) = кЕ1С~»), у'(» + 0) = —кЕ3С2»),

х(—» — 0) = уМкмс(-»), х(» + 0) = —у—1 кмзС(»).

Из условий сопряжения (10) и последних формул, получаем

У - с(—») у' - к С(—») X -у—1к С(—»)

1 —» ~ ^2 5 1—»~КЕ1^2? А'—»~ШКМ1^'1 5

У» -С2»), У»'-—кЕзС2»), X»-—уМХзС! »). (11)

Сформулируем нелинейную задачу сопряжения на собственные значения (задача Р), к которой свелась исходная задача о распространении волн. Требуется найти пару чисел ( уЕ, ум) таких, что существует не равное тождественно нулю решение {X,У,X} системы (9), причем в полупространствах х <-» и х > » функции X, У, X описываются выражениями (7) и (8) соответственно и функции X,У, X удовлетворяют условиям сопряжения (10).

Определение. Пару чисел ( уЕ,ум), при которых существует не равное тождественно нулю решение {X, У, X} системы (9), причем в полупространствах х <—» и х > » функции X ,У, X описываются выражениями (7) и (8) соответственно, функции X, У, X удовлетворяют условиям сопряжения (10), будем называть парными собственными значениями задачи Р. Функции X, У, X, соответствующие парным собственным значениям

( УЕ,Ум), будем называть собственными функциями задачи Р.

4. Функции Грина

Из системы (6) получаем

X = ~YMkMZ - ak~M (X2 +72 + Z2 )Х,

Y" + k2EY = -а(х2 + Y2 + Z2 ) Y ,

Z' + kMZ = -ae-1kM (X2 + Y2 + Z2 )z - ae-1yM (X2 + Y2 + Z2 )x) . Пусть

f1 =(X2 + Y2 + Z2 Х, f2 = e-^M (X2 + Y2 + Z2 Х + £-1Ym (X2 + Y2 + Z2 ХХ,

где kE E2 Ye , км = e2 Yam .

Тогда

X = -kM

:(ymZ + a(x2 + Y2 + Z2 Х Х

Y' + k2EY = -a/1, Z' + kM Z = -a/2.

(12)

Будем обращать линейные части второго и третьего уравнений (12). Пусть

х d 12 т d 1 2 L1 = ТГ + kE , L2 = ТГ + kM .

dx

dx

Построим функции Грина для следующих краевых задач (см., например, [6]):

[L1G1 =-8(x-s), Г L2G2 =-8(x-5 Х

PxG.U =a,G,|_ = о. и '[a L_, = ftL, = о.

Искомые функции Грина имеют вид

coskE X + h)coskE (5 - h)

G1 Xx, 5 ) =

G2 (X, 5 ) =

kE sin 2kEh

cos kE X - h)coskE X + h)

kE sin 2kEh

sin kM Xx + h)sinkM X5 - h)

kM sin 2kMh

sin kM X - ■h)sinkM X + h)

kM sin2kM,

x < 5 <1

5 < x < 1

x < 5 < i

5 < x < I

(13)

(14)

Используя вторую формулу Грина, получаем

»

|(уЬы — ыЬу)х-(н'у — ну')| » . (15)

—»

Полагая в (15) V - G1, получаем

»

| (^и — ыЦ01 )х- и'(х) (х,5) », (16)

—»

и, полагая в (15) V - G2, получаем

»

|(02Ь2ы — иЬ202)х-—и(x)ЭxG2(х,5) » . (17)

—»

Тогда из (15), используя (16), (17), получаем

»

У (5 )-а| С1 (х, 5 )/1 (х )х + У'(» )G1 (», 5) — У'(-»)G1 (-», 5), (18)

—И

И

X (5 ) = а| ^2 (х, 5) /2 (х )ах — X (И )дх02 (х, 5 )| и +X (—И )Эх^2 (х, 5 )| и . (19)

—И

Вычислим и подставим все необходимые значения из правых частей (18), (19):

У' - к С(—») У' - — к С(»)

1—» Е1 2 ’ А» Е 3 2

и

далее

е И, 5 ) = — , С,(И, 5 ) = —C^kE^XlИX ;

кЕ 81И 2кЕИ кЕ 81И 2кЕИ

X -и =Умкм 1С1(—И), Xи =~Умкм 3С1(И)

и

дxG2^X• 5 )| --51" км( 5 - » ) , х, 5 )| --™ км( + » )

'х-—» §1п2км» 'х-» §1п2км»

Теперь из (18), (19) получаем

»

У( 5 )-а | G1 ( х, 5) /1 ( х )dx +

—И

+ С(—И) кЕ1 С05кЕ(5 — И) + С(И) кЕ3 С05кЕ(5 + И) ; (2о)

кЕ $т2кЕИ кЕ $т2кЕ,

п

Х( 5) - а | G2 ( х, 5 ) /2 ( х )<& —

—»

—С(—») км±_51п км( 5 — ») — С( ») кмз 51п км( 5 + ») (21)

1 ум *1п2км» 1 ум ^п 2км»

Поскольку /2 - Е—1км (X2 + У2 + X2 )х + £—1ум ( (X2 + У2 + X2)) , то формулу (21) можно преобразовать таким образом:

»

Х( 5) - ае—^ |G2 ( х,5)(X2 + У2 + X2)х —

—»

»

-ае—1ум | дxG2 (х,5)(X2 + У2 + X2 )хdx —

—»

—С(—») км! км( 5 — ») — С( ») кмз км( 5 + »)

1 ум ^п 2км» 1 ум ^п 2км»

Из формулы (12) известно, что

х( 5 )—к~м ( УмХ'(5 ) + а( X 2( 5 ) + У 2( 5 ) + Х 2( 5 ))х(5)). Используя (21), найдем выражение для X (5):

х ( 5 ) - а£2 км

о П

| G2 (х,5)(х2 +У2 + х2 )хёх +1G2 (х,52 +У2 +Х2 )х

-ае—1ум

| д^2 (х,5)(х2 + У2 + X2 )хdx +1д^2 (х,5)(х2 + У2 + X2 )хdx

—»

—С(—») к_мп_ в™км( 5 — ») — С( ») кмз 81пкм( 5 + »)

1 Ум в1п2км» 1 Ум в1п2км»

Отсюда получаем

»

X'(5) - ае-1 км | д^2 ( х,5)(X2 + У2 + X2 )х —

—»

»

-ае—1ум | д2А (х,52 + У2 + X2 )х +

+ае—1ум (X2 (5) + У2 (5) + X2 (5 ))X(5 ) —

—С(—») кмкм 1 сов км( 5 — ») — С( ») кмкмз С05 км( 5 + »)

1 У м в1п2км» 1 у м в1п2км» '

Окончательно

1 И Г(5) = а— | [к2мЪ,02 (х,5)X — Умэ^2 (х,5)Х](X2 + 72 + X2 ) +

2 —И

+а

5 ) —

-С(-и) кмкм 1 С0ькм (5 — И) — с(и) кмкм3 ^км (5 + И) 1 У м ^п 2кмИ 1 у м ь1п 2км И

(23)

Тогда

п

X(5) = -аумє—11 дяв2 (х,5)(2 + 72 +Z2 )Лх +

— И

И

+ає—1умкмм21(x,5)(х2 + 72 + X2 )) —

—И

—акм2 (умм + 1)(^ 2 (5) + 72 (5) + X2 (5 )) (5 ) +

+ С(—И), —1к С05км (5 — И) + С(И) —1, С05км (5 + И)

"^1 КмКм 1 • 7 ^1 КмКм3 -^11 •

8Іп2к;

м

8Іп2к;

м

Далее

п

X(5) = —^^ | Э^2 (х,5)X — к*-9^2 (х,5)Х (х2 +72 +Z2)-

2 —И _

—аУм +2Є2 (X2 (5) + 72 (5) + X2 (5))(5) +

є2км

+С

—И) км 1 С°8км (5 — И)+ С(И) км3 С°8км (5 + И)

км *1п2км}

км $1п2кмИ

Объединяя последнюю формулу с формулами (20), (22), получаем

И [ ]

X(5) = а^ | д2х502 (х,5)Х — д,в2 (х,5)X (X2 +72 +Z2 )х —

—а

Ум + Є2 / -^2

є к

2м

( 2 (5 ) + Г- (5 ) + X 2 (5 )) (5 )■

+с(-и) км! С°5км (5 - И) + С(И) км3 С0ькм ( + И)

1 км ь1п Xk,

п

7 ( 5 ) = а | G1 ( х, 5) /1 ( х }ёх +

+C

-h) kE1 cos kE X5 - h) „Xh) kE3 cos kE X5 + h)

kE sin 2kEh

+ C

kE sin 2kEh

ZX5) = -ae-1 ym J dxG2 Xx,5)X2 +Y2 +Z2 )xdx +

ri

+ae-1 kM J G2 Xx,5)Xx2 + Y2 + Z2)Zdx-

-CX-h) kM1sin kMX 5 - h) - CX h) kM3 sin M 5 + h)

1 Ym sin2kMh 1 ym sin2kMh '

Преобразуем систему (24) следующим образом:

h Г "

XX 5 ) = а^ J Ц_ d2x5G2X x, 5 )X - dsG2 X x, 5 )Z X X2 + Y2 +Z2 )dx

e2 -h L kM \

-aYm+2£. XX2X5) + Y2X5) + Z2X5))x(5) +

e2kM

CX - h)k + CX h)k CX - h)k - CX h)k

+ 4 kM 1 + 4 kM3 cos kM5 + 4 kM1 C kM3 sin kM5,

(24)

2kM sin kMh

n

YX 5 ) = aJ G1X x, 5) f X x )dx +

CX - h)k + CX h)k

2 E1 2 'E

2kE sin kEh

cos kE5 +

2kM cos kMh

CX-h)k - CXh)k

4 kE1 4 kE3 sin kE5,

2kEcos kEh

(25)

ri

ZX5) = -ae-1YM J9xG2 Xx,5)^2 +Y2 + Z2)Xdx +

-h

h

+ ae-1 k2M J G2 Xx,5)X2 + Y2 +Z2)Zdx-

-h

CX-h)k - CX h)k

М Лм 1 M Лм 3

2ym cos kMh

cos kM5 -

CX-h)k + CX h)k

*-1 km 1 + 1 Ki

2Ym sin kMh

— sin kM5.

Полагая в (25) a = 0, получаем то, что должно получиться в линейном случае:

CX - h )k + CX h)k CX - h)k - CX h)k

XX 5) = 4 kM 1 + 4 kM3 coskM5 + 4 kM1 4 kM3 sinkM5,

2kM sin kMh 2kM cos kMh

CX-h )k + CX )k CX-h )k - C Xh)k

Y X5 )= 4 kE1 + C kE3 cos kE5 + 4 kE1 4 kE3 sin kE5,

2kE sin kEh 2kE cos kEh

C X-h)k - C Xh)k CX-h)k + C Xh)k

Z X5 )= 4 ^ kM 1 C1 kM3 cos kM5 - 4 ^ kM 1 + C1 kM3 sin kM5.

2ym cos kMh

2ym sin kMh

Используя (23) и (24), найдем

1 И

1'(5 )-УмX (5 ) = а—{[ к2м 9502 (х, 5 ) —Ум (х, 5 )X ] (X2 +72 + X2 )х +

2 —И

.Ум ( \г2 ( „\ І Тл2/^\ І г72 і

+ а—(X2 (5 ) + (5 ) + ^ (5 )) (5 ) —

Є0

—С(—И) кмкм 1 С0-км (5 — И) — С(И) кмкм3 С0-км ( + И)

Ум -1п2к

м

Ум -nXk1

м

2 И

+а^-м | 9502 (х,5)X — %-92„02 (х,5)X (X2 + 72 + X2 )х +

2 —И .

+а!м ум2 2IX2 (5) + 72 (5) + X2 (5))(5) —

-2 км

С(—И)у км1С0Ь км (5 — И ) С(И)у км3С0- км (5 + И ) Ч їм 7 • 7 ^1 їм'

км ь1п2км}

км ь1п2км}

Далее

И

1'(5 )-УмX (5) = а | 90 (х, 5 )X —км. 92х02 (х, 5 ^ (X2 +72 + X2) +

Ум / X^5) + 72 (5 ) + X- (5 )|) (5 ) —

+2а^м^ (X

2

м

—С(—И) км! -2 С0-км (5 — И) — С(И) км3 -2 С0-км (5 + И)

1 км Ум ь1п2кмИ 1 км Ум -ш2кмИ '

Из условий сопряжения (10) и формул (11) получаем

С2-И> = а { 0, ( х,-И)) ( х)<іх + С2—И> -^^2^ + С2И>

Ке -1п ІКеЬ

-и

И

кЕ 3 1

кЕ -1п2кЕИ

кЕ3 С0-2кЕИ

С2И >=аГ ОДх, И / х )Л + С<іИ + С2Ч к3 С ,

—И кЕ -1п2кЕИ кЕ -1п2кЕИ

X'( —И — 0 ) — умX ( —И — 0 ) =

И [ "

= а 11т 01 9502(х, 5) — %•д^О^х,5 ^ ( X2 +72 + Z2 ) +

-И\-

+2^(X2И + Г2И + X2И ) И — С|"И) км1 С0-2кмИ — С1(И) км3^-------1-;

км км Ум -1п2кмИ км Ум -1п2кмИ

X '(И + 0 ) — умX (И + 0 ) =

= а 11т

5—іИ—0

п

I

9,0, (х,5) —-м9^02 (х,5)X

(X2 +72 + Z2 )х +

+2аІ^( X2 + 72 + X2 )xh — С(—И) км1 ---1-----С< И) ^^

км км Ум -1п2кмИ км Ум -1п2кмИ

Из первой и второй формул (26) находим

С(—И) =_____—И

2

а И 01 (х, —И)/1(х)с1х + С2И) ккЕ3 . 2

кЕ -т2кЕ/

кЕ1 С0- 2кЕИ

1 —--------------

кЕ -1п2кЕИ

(27)

С

( И)

2

= а

сов 2кЕ»

к2 — к к

п-Е А-Е1Е 3

V кЕ

И

(кЕ1 + кЕ3 ) .

сов 2кЕ»

Л

-1п 2кЕИ у

1101(хИ)/(х)х + -іп2Ек и 101 (x,_И)) (х^

к к Е

«V р Л. ^1

-1п2кЕИ у - -иккри -

Е /— И Е —И

.(28)

Формула (28) представляет собой дисперсионное уравнение. Второе дисперсионное уравнение будет получено ниже.

Из третьей и четвертой формул (26) получаем

п

—є1УмС1(—И) = а 11т 0 I

5——И+0 J

9502 (х,5) — Ъм.9X,02 (х,5)X

X2 + 72 + X 2)х +

+2^(X2И + 72и + X2И ) И — С1(—И) ккм1 ^ С0-2кмИ — С| И) км3^-1-;

км км Ум -1п2кмИ км Ум -1п2кмИ

п

—є3УмС1( И) = а —™ I

5—И—0 J

—И

9S02( х, 5 ) — Ъм- 9X,02( х, 5 )X

X2 + 72 + X2 +

+2^ ( X2 + 7И2 + X2 )xh — С(—И) км1 ----------------------------1---------------------с( И) ^ -^-- Xkм

^ V И И И> И 1 ^ ^ и 1 ^ „ СІ

Лм

Далее

км Ум -1п 2кмИ км Ум -1п2кмИ

С(—И)

, С0-2кмИ ^

Є1км + Є2 км 1

V

-1п XkMИ у

= а 11т

5—-И+0

а/

I

км Ум 9562 (х, 5 ) - ^ 8^02 ( х, 5 )X

км

(X2 +72 +Z2) +

+2а X -и + 7-2и + X\ )— и — С( ИЧ км 3 —к

км ' 7 ^2,

С

1

( И)

С0-2кми

Л

Є3км + Є2км3 • ~,

ч -1п 2кмИ у

= а 11т

5—И—0

I

—И

Умкм 95 02 (х, 5 ) — ^ 9X,02( х, 5 )X к

X2 +72 + Z2 )х +

+Xа^kM( XI + 7н + XX — С|—И)-2 км 1 —1

км -1п 2 у

вт 2км»

Для постоянных с| И) и с| И) получаем

С

( И)

/ і 2 21 і \ тії ї\ С0-2кмИ

( є1є3км — є2км 1км3 ) — є2км ( є1км3 + є3км 1 )_

\ / С1

-1п2кмИ у

= а

С0-2кми

Л

Є1 км +Є2 км 1 • ,

ч -1п2кмИ у

х 11т

5—И—0 '

Умкм 9 5 02 (х, 5 ) — ^ 9 X,Gх( х, 5 )X

км

( X2 + 72 + X2) — ає2 км 1 х

х

11т

-1п XkMИ 5—-и+0 -и

I

м

( X2 + 72 + X2 )х +

+2а

у м

^ co-XkMИ V

є1км + є2 км 1 _ Т) Т ( ч -1п2кмИ у^

' X2 + 7;2 + X2 (X; —

—є,

км 1—ГГТ( X -2и + 7-2и + X -2и IX -и -1п2кмИх '

(29)

и

С( -и) = а

Є1 км + -2км

co-XkMИ

V

^м 1 °2л'м 1 • ,

ч -1п 2км И у

х 11т

5—-И+0 ■

км Ум 9 5 02 (х, 5 ) — ^ 9 X,0х( х, 5 ^

км

( X2 + 72 + X2 )х +

+2а

м

Л

-1

—є к +єк С052кмИ (

*-1 ^ Д /Г I <-') /Г1 1

Г'-м 1 ^^м 1 • ~7 7

ч -1п 2км И у

X -2и + 7-2и + X-и ) -и —

—С(И)є к

'-"1 ь2Лм 3

сов 2км»

X

Є1км + Є2км 1 • ~, -1п XkMИ

-м" у

вт 2км»

(30)

Формула (29) представляет собой второе дисперсионное уравнение. Теперь дисперсионные уравнения могут быть записаны так:

Cih)gE YE ) = a

Qe Xh,YE,YM ) .

sin 2kEh

C1 )kMgM Xh,YM ) = a

= a QM Xh,YM ,YE )

sin 2kMh

(31)

(32)

где

ge X YE ) = XkE - kE^E3 )sin 2kEh - kE ^ + kE3 )cos2kEh;

gM Xh, YM ) = X £1£3kMM - e2kM 1kM3 )sin2kMh - e2kM Xe1kM3 + £3kM 1 )cos2kMh ;

h

Qe Xh, Ye, Ym ) = XkE1 cos2kEh - kE sin2kEh) ) /1 Xx)coskE Xx + h)dx -

-h

ri

-kE1 J f1 Xx)coskE Xx -h)dx;

-h

Qm Xh, Yм, Ye ) = X^m sin2kMh - e.kM 1 cos2kMh)x

XX-2YMM XXh + Yh2 + Z2 )Xh sin2kMh) + (£1kM sin2kMh - £2kM 1 cos2kMh)x

X■jkM J ГYMkMZ sin kM Xx + h) - yMX cos kM Xx + h)]Xx2 + Y2 + Z2 )x| +

+ £2kM 1 XX-2YM X_h + Y-h + Z-h )X-h sin2kMh) + £2)m 1 X

X '|kM-f [y MkMZ sin kM Xx - h )-yMX cos kM Xx - h)] Xx2 + Y2 + Z2 )x ^.

Нули системы уравнений (31), (32) - это пары собственных значений XE, YM), для которых существует нетривиальное решение задачи Р, сформулированной ранее.

Далее нам понадобятся постоянные C h), C. h), они выражаются формулами (30), (27).

Из (24) с учетом (27), (30) получаем систему

X X) = a J

-h

-YTT dlG2 5 )X -— dsG2 5 )Z

£.kM £2

X2 + Y2 +Z2jdx-

-a

YM + £2 I v2

e k

2M

X2 X5) + Y2 X5) + Z2 X5))X X5) +

+«Ym

k

M1

cos

kM X5 - h)

kM £1kM sin 2kMh - e2kM 1 cos 2kMh

-X

Х,^+0 Ї [Умд(x,5)Х - кмдА (x,5)7] (2 + 72 + 72 )х

-к

сое км (5 - к)

2 кМ 1

-2“УМ ,2

км е1 км 8Іп 2кмк - г2км 1 сої3 2кмк

+С

(к) км3

м

гА„со8к„( -к) + со5км (5 + к)

1

+ С(к) кЕ3

2 к

Е

єікм 8Іп 2кмк - є2кмі сое 2кмк

к

7(5) = ^Ї ^1 (х, 5)/і (х)^х +

-к

х-Ае1 с05 Ае ( - к)----------ГС1 (х,-к)) (х)с1х +

кЕ 8Іп 2кЕк - кЕ1 со8 2кЕк -к кЕ1 со8кЕ (5 - к)

8т 2к,

м

кЕ 8Іп2кЕк - кЕ1 со8 2кЕк

+ со8кЕ (5 + к)

1

8Іп2кЕ

7(5) = «Ї [-Є21 Умдхв2 (х,5)Х + Є21 к2м02 (х,5)](X2 +72 +72

)х +

-к

км 18Іп км X - к)

+а--------------------------------------Х

Є1 км 8Іп 2кмк - г2км 1 со8 2кмк

х Нш о Ї э^ (х,5)х + кмэхо2 (х,5) (х2 + у2 + 72 ) +

+2«Ум ' м 1

км 1 8Іпкм X - к)

км Є1 км 8Іп 2км к - е2 км 1 со8 2км1

-(х -2к + У-2к + 7 -2к )Х - к

с(к) км3 С1

У м

г2 км 18Іп км X - к) • , / , М

■ + 8іпкм (5 + к)

Е1 км 8Іп 2км к - е2 км 1 со8 2км к

1

8т 2км

-• (33)

Систему (33) удобно переписать в операторной форме. А именно, пусть К (х, 5) - матрица ядер,

К (х, 5 )={Кпт (х, 5 )}'

( 4пЭ 1°2 0 413ЭА Л

0 Ч22С1 0

Ч31Эх^2 0 433^2

(34)

' Чи 0 413 ^ " у мкм 0 Ум

Я = 0 4.22 0 = Є21 0 1 0

31 0 433 ) і 0 2м к

Введем матричный интегральный оператор

-к

Далее пусть J = -Ум + £2

£ к2

2м

(10 0 Л 0 0 0 0 0 0

(35)

( % 32

К (x, 5 )={^пт (^ 5 )}3 1

4 ' I- 4 /->п,т=1

411 Э х*°2

0

->-к+0

413д ^

\

0 422 ^1 [

431 Эх^2 іі-к+0

-к+0

б =

411 0 413

0 Ч22 0

431 0 433

Л (

УмР1 (5 ) 0

где

Р1 (5 )=Ум

км

0 433 ^2 |,

0 -км р (5)

4(5) 0

0 кмР2 (5 ),

- к)

2 І5і-к+0 0

5і-к+0

; (36)

км £1км 8Іп 2кмк - £2км 1 сод 2кмк

Р2 (5 ) =

км 15Іп км (5 - к) ; 4 (5 )= кЕ1 сод Ае (5 - к)

г^м 8Іп 2кмк - £2км 1 сод 2км

кЕ діп 2кЕк - кЕ1 сод 2кЕк

Определим еще один матричный интегральный оператор:

к

Кё = Ї К (^ 5 ) (х )б& , где ё = (х, g2, §3 ) •

(37)

Пусть еще .1 =

-2УмР1 (5) 0 0

0 0 0

2умкмр2 ) 0 0

и Ь = (х, к2, к3 )г, где

к1 = с(к) км3

-------£2Ам 1содкм Х - к)--+ сод км (5 + + )

£1км 8іп 2кмк - £2км 1 сод 2кмк

1

к2 = С2к) ^Е!

кЕ1 содкЕ (5 - к) кЕ діп 2кЕк - кЕ1 сод 2кЕк

+ содкЕ (5 + к)

діп 2км 1

діп 2кЕк

= -(к) км3

_ ч

Ум

£2км 18Іпкм (-к) , + Й1 км (5 + к)

£1км 8Іп 2кмк - £2км 1 сод 2кмк

1

діп 2км

Теперь мы можем переписать систему в операторной форме. Пусть

/ \T I I2 2 2 2

u = (X,Y,Zj и u = X + Y + Z , тогда система (33) принимает вид

u = aK(|u|2u j + aJ(|u|2 u j + aK(|u|2 u j + aJ(|u|2 u j + h . (38)

Отметим, что K , K , J , J являются линейными операторами.

Введем также два линейных оператора N :=a (K + J + K + J) и

Nj := K + J + K + J .

Будем рассматривать уравнение (38) в C[-h,h] = C[-h,h]xC[-h,h]x xC [-h, h] с нормой

HI C =11 X||C+1 |Y||C+1 |Z||C,

где ||и|1 = max u (x j .

xe[-h,h] ^

5. Исследование ядер интегральных операторов

Для изучения интегральных операторов (35) и (37) рассмотрим ядра соответствующих интегральных операторов.

Пусть n = (-h, h )x(-h, h j. Можно показать, что функции Kjj (x, 5 j,

K22 (x, 5 j, K33 (x, 5 j, Kn (x, 5 j, K22 (x, 5 j, K33 (x, 5 j непрерывны в (замкнутом) квадрате n = [-h,h]x[-h,h]. Функции Kj3(x,5j, K3j(x,5j, Kj3(x,5j, K3j (x, 5 j ограничены в П и непрерывны в T + и T- , где

T + ={(x,5 je П, x > 5J , T- ={(x,5 je П, x < 5} .

Под непрерывностью функции f (x, 5 j в T + (в T-) понимается, что для любой точки (x0,50 j e T+

lim f (x, 5 j = f (xo, 5o j, где (xo, 5o je T + , (x, 5 je T+ ,

x—xo

5—5o

или для (xo,5o je T- :

lim f (x, 5 j = f (xo, 5o j, где (xo, 5o je T -, (x, 5 je T - .

x——

s—so

Свойства, сформулированные выше для функций K22(x,5j, K33(x,5j, K22 (x, 5 j, K33 (x, 5 j, Kj3 (x, 5 j, K3j (x, 5 j, Kj3 (x, 5 j, K3j (x, 5 j, легко следуют из непрерывности функций sin , cos и из свойств функции Грина. Проверим свойство функций Kjj (x, 5 j, Kjj (x, 5 j быть непрерывными в (замкнутом)

квадрате П . Ясно, что непрерывность необходимо проверять только на диагонали x = 5 . Получаем

9 2А =

-к,

008

км (х + к)оо8км (5 - к)

'М

8т 2кмк

-к,

008

км (х - к)008км (5 + к)

м

8т 2кмк

х < 5 < к;

5 < х < к.

Из последнего выражения видно, что

9^2 (x, 5 +0 — 9^ (x,5 )|

1х—>5-0

Это и доказывает непрерывность функций К11 (х, 5), Кп (х, 5) в (замкнутом) квадрате П .

Итак, доказано

Утверждение 1. Функции К11 (х,5), К22 (х,5), К33 (х,5), Кп (х,5), К22(х,5), К33 (х,5) непрерывны в (замкну^^ом) квадрате П^ —[ к,к]х [-к, к]. Функции К13(х,5), К31 (х,5), К13(х,5), К31 (х,5) ограничены в П и непрерывны в Т+ и Т -.

Все вышесказанное позволяет утверждать ограниченность операторов К: С[-к,к] — С [-к, к] и К: С [-к, к] — С [-к, к]. Очевидно, что операторы

J: С [-к, к] — С [-к, к] и 5: С [-к, к] — С [-к, к] также ограничены. Соответствующие утверждения с оценками норм будут даны в следующем параграфе.

6. Оценки норм интегральных операторов

Оценим нормы интегральных операторов в пространстве С[-к,к] —

— С [-к, к] X С [-к, к]х С [-к, к], которые потребуются в дальнейшем. Рассмотрим сначала скалярный случай. Пусть интегральный оператор задан формулой

п

Кф— | К (х, у )ф(у )<яу

(39)

-к

с ограниченным, кусочно-непрерывным в квадрате [-к,к]х[-к,к] ядром К(х, у), тогда

к к IК(х,у)ф(у)у < ||К(х,у)||ф(у)|Ф-

<

-к

Следовательно,

||кф| С — тах

11 |1С хе[-к,к]

П

| К (х, у )ф(у )с1у

< м о

п

где м о—^11К (х,у )у.

Таким образом, для нормы оператора К : С[—И,ИС[—И,И] имеем оценку ||К|С^С < М0. Отметим, что если ядро К(х,у) интегрального оператора К непрерывно в квадрате [—И,И]х [-И,И], то имеет место равенство ||К||С^С = Мо [7, 8]. Итак, верно

Утверждение 2. Пусть К : С [—И,И]^ С[—И,И] - интегральный оператор, заданный формулой (39) с кусочно-непрерывным в квадрате [—И,И]х[—И,И] ядром К(х,у). Тогда он ограничен и верна оценка для его

нормы И С „с 5 М" , где М0 = тах | \К ^ у )\с1у.

, -и

Рассмотрим векторный случай. Пусть матричный линейный интегральный оператор К задан формулой

Кф = J K(x,y)ф(у)dy ,

гдЄ K (x, У )= Knm (x, У )}3n,m=l

—h

Г Kll o K13 'j

o 2 2 K o

v K31 o K33,

с ограниченными ядрами

Knm (x, y), обладающими свойствами, сформулированными в утверждении 1. Тогда имеют место оценки

IIMIC =||КпЧ>1 + к„ф,£ +||К,-ф,||с +|К,1Ф1 + К^ <((4 +|К1,ф,|с )- +

+ ||К--ф-||с +^К31ф1|с +1 |Кззфз| C ) <(||Кп|1с^с hi с +||К1з|1с^€ WI с) +

+11 К--1 £| |ф2|1С+((1 с .с К+1Кзз1Ы|фз1с )2 < -КпИс^Ыс +

+21К1^1с^с WIC+1К--1с^1|ф-11с+-К-Л^Ыс+^Lc НС <

<max(„Ес .21 К1^|сс -К-,с -21 КлЕ„с -21 Кзз|

где М- = max ( ( ( .-КзЦ^с ■(-11^ .-Кз^Ё^с А К Тогда ||K||C^C < М .

Утверждение 3. Пусть К : C[-h, h] ^ C[-h, h] и

К : C[-h,h]^ C[-h,h] - интегральные операторы, заданные формулами (з5), (з7) с ограниченными в квадрате [-h,h]x[-h,h] ядрами Кпт (x,y) и Кпт (x,у), заданными формулами (з4) и (зб). Тогда они ограничены и верна оценка для их норм ||К

llC^C < М, |K||c c < М , где

2

Ic ^c

М = тах

(21 (с .2( (II (С ^с .21Ы ІС .с А к

1|2

М2 = тах (2II (11 К(

ІІС^С '

ІІС^С '

\\К2.

ІІС^С '

,2 К.

31

,2 К

33С^с ) ’

2

33

7. Итерационный метод решения операторного уравнения

Приближенные решения и(п)(х ) = ( ^и)(х ), 7(и)(х), 2 (п)(х)) ,

хе [—й,й], операторного уравнения (38) могут быть определены с помощью итерационного процесса метода сжимающих отображений:

,(п+1) =

= аК

и(и; I + аJ

и(г‘! I + аК

и(и; I + аД

и(и; I+ Ь.

Докажем, что последовательность и(п) (х) равномерно сходится к решению уравнения (38) вследствие того, что правая часть уравнения (38) определяет сжимающий оператор. Ниже при записи норм операторов не будем писать индекс, поскольку из контекста ясно, о каком - векторном или скалярном - пространстве идет речь.

Теорема 1. Пусть ВГо =|и : ||и| < г0] - шар радиуса г0 с центром в нуле и выполнены два условия:

':= 3аг02 К — J — К — Д ;

аг0 К — Д — К — Д + Ь < г0.

(40)

(41)

Тогда существует и единственно решение и е В0 уравнения (38) (или

системы (33)), и последовательность приближенных решений и(п) е В0

уравнения (38) (или системы (33)), определяемых посредством итерационного алгоритма

1(я+1)=аК

и(”; I + аД

,(п

и(п) I + аК

,(п

и(”; I + аД

,(п

и(я; I+ Ь

сходится в норме пространства С [—И, И] к (единственному) точному решению и є В0 уравнения (38) (или системы (33)) при любом начальном приближении и(0) є ВГ0 со скоростью геометрической прогрессии с показателем д.

Доказательство. Рассмотрим уравнение и = А (и) с нелинейным оператором

А (и) = аК К|2 и ) + аД (и|2 и ) + аК (и|2 и) + аД (и|2 и) + Ь

в пространстве С [—И, И].

Пусть и, у є В; 11и11 < г0, IV! < г0, тогда

А (и)- А (у| = а К (2 и - |у|2 V) + 3 (2 и - |у|2 V

+ К (и|2 и - |у|2 у | + 3 (и|2 и - |у|2 у

< 3а К + 3 + К + 3г02 ||и - у. (42)

Докажем оценку (42). Действительно

<

2 2 2

-у у (и - -у

2 2 •| Ш+ 2

|ц|- у у

- у у

• и - у = ш - у • и + у • и +

< (Ы - у ІІІІІІи + у ІІІи + у •и - у .

< 1 |2 1 |2 1 |2 1 |2

и и - у и + у и - у у

<

• и - у <

Учитывая, что и < и - V + V, и - у < и - V и, аналогично,

V < |и - У + , |у| - < |и - У, получаем, что (|и| - |у|)

< и - у < и - у , по-

этому

(и| -I у

Тогда

< и - у .

и - у

ІиІІ +1 МІ )|Щ| +1 Ы|2 • I |и - у < ||и - у ПІиІІ +1 Ы| )|и|| +1 Ы12 • I |и - у|| <

- у .

;( + Го ))ц - у = 3г02 ||и

Получаем, что Так как

|2 I |2

и и - у у

< 3г02 и - у . Отсюда следует оценка (42).

||А (и )|| = аК (и|2 и) + а3 (и|2 и) + аК (и|2 и) + а3 (и|2 и |

+Ы <

< аго || К + Д + К + ^Г|| +1 |Ь||,

то при выполнении условия (41) оператор А отображает шар ВГо в себя. Из

оценок (40), (41) следует, что оператор А является сжимающим в шаре ВГо .

Тогда все утверждения теоремы следуют из принципа сжимающих отображений [7, 8]. Теорема доказана.

Нетрудно видеть, что, выбрав достаточно большой радиус шара г0,

чтобы выполнялась оценка ЦьЦ < г0, а потом, выбрав достаточно малое а, можно удовлетворить оценкам (40), (41).

Разберем условие (41) более подробно. В последующих рассуждениях нам понадобится следующее вспомогательное числовое кубическое уравнение:

Го + Ы = Го>

(43)

где норма оператора |М| = а| К + 3 + К + 3 > 0 .

Рассмотрим уравнение

Г0 - N Г03 = Ы

(44)

и функцию у (Г0) := Г0 -||И|| Г03.

Легко показать, что функция у (г0 ) имеет только одну положительную

1 -, значение функции в которой равно

точку максимума: гтах =

3

Утах = У ( Гтах ) =

Тогда при условии 0 < Ь < -

3ф\\

уравнение (44) имеет два неотри-

* *

цательных корня г* и г , г* < г , удовлетворяющих неравенствам

0 < г* < -

1

1 < *< 1

■ < Г < -

>/3М’ да-

Эти корни нетрудно выписать как решения следующего кубического уравнения:

1 ИЬ

__V

Г03-^-17Г0 + ^4 = 0.

Имеем

Г =-

л/^ЙІ

008

—агссо8 3

^#1 МЛ

г = -

008

-агссо8

2

3^3

ніЛ

^ 2^

3

/ У

^ 2л ^

+ —

, 3

У У

1-------------------------------------2 1 Если Ь = 0, то г* = 0, г * = ,-------. Если 0 < Ь <

#1

’

то

(45)

Г<

П ІІЬІІ 2 1 *21

При Ь =-----------, .. .. имеем г* = г =■

Итак, доказано следующее утверждение. Лемма 1. Если выполняется неравенство

0 < Ь <

2 1

(46)

(47)

2

*

1

то уравнение (43) имеет два неотрицательных решения г* и г *, причем г* < г *.

Докажем, что если выполняется условие (47), то уравнение (38) имеет единственное решение в шаре ВГ = |и : ||и|| < г* } .

2 1 ц ~ -и

Теорема 2. Если а< А2, где А =------------. и Цй,!^ К + 3 + К + 3

Р 3 Ук М 11 111 11 11

(> 0), то уравнение (38) имеет единственное решение в шаре Вг, -{и : ||и|| < г|, являющееся непрерывной функцией: и е С [ Н,Н j, ||и|| < г . Доказательство. Если и е В , то

||Аи|| = аК||и|2 и) + аД||и|2 и) + аК||и|2 и) + аД ||и|2 и) + Ь <

< аг/1| К + Д + К ^ 5|| ^||Ь||= Г .

Если и, у е Вг , то

||Аи - Ау|| = а К(|и|2 и - |у|2 у) + 3 (|и|2 и - |у|2 у

+К (и|2 и - |у|2 у) + 3 (и|2 и

2

- у у

< 3аг*2 К + 3 + К + 3 • I|и - у||.

Так как а< А2, то вектор Ь удовлетворяет условию (47). Поэтому выполняется неравенство (46), откуда получаем, что

■ = 3аг*2 К + 3 + К + 3 = 31 N1 г*2 < 1.

Следовательно, выполняются оба неравенства (40) и (41).

Таким образом, А отображает Вг в себя и является сжимающим оператором на Вг . Поэтому уравнение (38) имеет единственное решение в Вг .

Теорема доказана.

Отметим, что А > 0 и не зависит от а .

В нескольких следующих параграфах будут доказаны результаты о свойствах решений краевой задачи, в частности, утверждение о существовании собственных значений для нелинейной задачи на собственные значения, т.е. существование решений системы дисперсионных уравнений (31), (32) при некоторых достаточных условиях, наложенных на параметры задачи. Основным методом при доказательстве будет метод малого параметра. В данном случае малым является параметр нелинейности а . Такой подход является естественным, так как известно [9], что закон Керра (который предполагается выполненным в этой работе) справедлив именно при малых а .

8. Теорема о непрерывной зависимости решения от спектрального параметра

В дальнейшем нам понадобится утверждение о зависимости решений операторного уравнения (38) от параметра. Перепишем уравнение (38) в форме

и = N (2 и ) + Ь ,

где N :=а(к + 3 + К + 3).

Теорема 3. Пусть ядра матричного оператора N и правая часть Ь уравнения (38) непрерывно зависят от параметра уеГ0, N(у)сС(Г0),

Ь(у) с С(Г0), на некотором отрезке Г0 вещественной числовой оси. Пусть также

2 1

h <-

(4S)

Тогда решения и (у) уравнения (38) при уеГ0 существуют, единственны и непрерывно зависят от параметра у, и (у) с C (Г0).

Доказательство. Рассмотрим уравнение (38). Существование и единственность решений и (у) при условиях теоремы следует из теоремы 2. Докажем непрерывную зависимость этих решений от спектрального параметра у .

Нетрудно видеть из формулы (45), что г* (у) непрерывно зависит от у на отрезке Г0. Пусть r„ = maxr* (у) и максимум достигается в точке у *,

уеГо

О ,

г (у * ) = г**. Выберем у + АуеГ0, тогда г* (у)< г** и г* (у + Ау) < г**.

Далее, пусть Q0 = тах(г*2 (у)||N(у)||) и максимум достигается в точке

у е Г0, Q0 = 3г* (у)|| N (у) . Тогда Q0 < 1 в силу условия (48) теоремы. Предположим сначала, что

||и (у)||> ||и (у + Ау)||. (49)

Тогда имеют место следующие оценки:

Н

|и(,у + Ау)-и(5,у)|= |N(х,5,у + Ау)|и(х,у + Ау)| и(х,у + Ау)х-

-Н

Н

-1N(х,5,у)|и(х,у) и(х,у)ёх + Ь(5,у +Ау)-Ь(5,у) <

-Н

Н

/ ( (х, у, у + Аy)-N(х,5,у)и(х,у + Ау)| и(х,у + Ау)х +

-Н

+1N (х, 5, у)( |и (х, у + Ау)2 и (х, у +Ау)-|и (х, у)2 и (х, у)) ёх +

-Н

+ |Ь (5, у + Ау)-Ь (5, у),

<

3

поэтому (см. доказательство теоремы 2)

||u (у + Aу) — u (у) < г3 (у)| N (у + Aу) —N (у)| +

+ 1 |u (у + Aу) — u (у)||3г*2 (у )||N (у I + llh (у + Aу) — h

Здесь использовано условие (49). Отсюда получаем, что

u (у + Aу) —u

r*3 (у) N (у + Aу) —N (у) +| h (у + Aу) —h (у)

1 — 3r*2 (у)| N (у)

и

r 3

||„ (у + Ду)-„ (у).'"'' 'Р(У + АУ)^ Ь + II, (50)

где О, и гш не зависят от у .

Пусть теперь ||„ (у)||< ||„ (у + Лу)||. Тогда все предыдущие оценки остаются в силе, если заменить аргументы у на у + Лу, а у + Ду на у . Таким образом, оценка (50) также остается в силе, откуда следует утверждение теоремы. Теорема доказана.

9. Теоремы о существовании и единственности решений системы дисперсионных уравнений и задачи на собственные значения

Сначала приведем некоторые факты относительно линейного случая. Рассмотрим систему дисперсионных уравнений (31), (32).

Из (31)-(32) имеем

c24«e ( у e )=<* Qe (у'1 E ’ ум d;

(51)

sin 2kEh

Ci^)kMgM (h, YM) = « 6м(мhE) • (52)

sin 2kMh

Приравняем нулю левые части уравнений (51), (52). Получим дисперсионные уравнения для линейной среды в слое, т.е. при а = 0 :

gE (Ye ) = (E - kEikE3) sin )kEh — kE ( + kE3 )cos 2kEh = 0 , (53)

gM (yM ) = (£1£3kM — £2kM 1kM3 )sin 2kMh — £2kM (1kM3 + £3kM 1 )cos2kMh = 0 • (54)

Обозначим

22 XEm :=є2 —^m, XEm := є2 j

sm • 2 4h^ c^ 2 4h2

22 м ]sm м ]cm

__ _ Jsm _ ________

Asm : Є2 4h2 , cm : Є2 4h2

где jsm = row - m -й неотрицательный корень уравнения sin x = 0, а n(2m +1)

jcm = — —2--- - т -й положительный корень уравнения cos x = 0;

т = 0,1,2,...

Можно показать [10], что справедливы следующие утверждения. Утверждение 4. Пусть уравнение (53) имеет lE корней

Y()Y^,---,YYe). Число lE может быть представлено как lE = mE + пЕ, где

Y^V^^ ) , i = 0, mE - 1 и Y^i) е ) > г' = mE, «E.

Утверждение 5. Пусть уравнение (54) имеет lM корней Ym, Ym) , —, yMm). Число lM может быть представлено как lM = mM + пМ, где

Y{ie(ylK[,ylK ), i = 0, mM -1 и yM^a/^^) > i = mM, nM.

Числа mE и mM определяются в [10]. Их определение связано с точкой

перемены знака выражений kE - kElkE3 и EJE3kM -E22kM 1kM3 соответственно.

Докажем существование решений нелинейной задачи при условии, что толщина слоя 2h такова, что каждое из уравнений gE (ye ) = 0 и gM (ym ) = 0

имеет хотя бы по одному решению на интервале (max(ej, е3),е2).

Заметим, что точки ^XEi, № являются полюсами функций Грина (13), (14). В этих точках функции Грина не определены. Поэтому выберем такие (достаточно малые) числа 8Е > 0 и 8 j > 0 , i = 1, lE , j = 1, lM , чтобы ранее

сформулированные условия существования корней уравнений gE (ye ) = 0 и gM (ym ) = 0 не нарушались, т.е. считаем, что уравнения (53), (54) имеют lE и lM корней соответственно и выполняются утверждения 4 и 5.

Образуем

отрезки

ГЕ = 1 1i •

ГМ ._______

Г 1i •=

XSE +8Е ,Л/Х

ХМ +8М ,л IX

i = 0, mE -1;

i = 0, mM -1:

При наших предположениях функция gE (уЕ) имеет разные знаки на концах ГЕ, ГЕ и обращается в ноль в точке ), ^ = 1,1Е , а функция gM (ум) имеет разные знаки на концах Г^, Гм и обращается в ноль в точке уМ),

f mE -1

j = 1, lM . Обозначим Г :=

(

\

\

( п„ ^

M 2 j

V j=mM J

U ГЕ U U rEj . ГМ =1 и ГМ и U Г

V i=J J Vj =mE J V i =1

и Г :=ГЕ хГМ .

°цениваЯ функции Qe и Qm , полУчаем, что \Qe\^ СЕГ00 , |Qm| ^ CMr030 и Г00 = max Г . Пусть C = max{Ce, Cm } .

(Y E ,УM )Г

Обозначим

Пусть MI = min {МE, Mf, М,, М, ] .

Далее, пусть A = ( min A (у е , У,), где A (у е , У,)

31HIV 31N. (у)

2

Тогда верна следующая [10]

Теорема 4. Пусть числа е2 >max(ej,є3)>0, 0<а<а0, где

а0 = min , и выполняются условия Xе,Xе є (max(ej,є3),є2) при

i = 1, lE і XM , X,M Є(max (s^ Е3 ), e2 ) )и j = I lM

Тогда существует по крайней мере lElM пар , где i = 1, lE ,

j = 1,1М таких, что задача Р имеет единственное ненулевое решение для

Из теоремы 4 следует, что при указанных предположениях существуют поверхностные связанные ТЕ-ТМ-волны, распространяющиеся вдоль границы изотропного слоя с керровской нелинейностью. Так как в линейном слое связанных волн не существует, то мы показали, что в нелинейном слое существует новый режим распространения волн.

Ясно, что достаточные условия существования нетривиального решения рассматриваемой задачи зависят не только от коэффициента нелинейности а, но и от толщины слоя Н и параметра е2 .

Мы рассмотрели задачу о распространении связанных поверхностных ТЕ- и ТМ-волн в слое с керровской нелинейностью. В результате этого рассмотрения было сделано следующее:

1. Доказано существование рассматриваемых связанных волн.

2. Рассмотрена новая математическая задача. А именно нелинейная двухпараметрическая задача на собственные значения.

3. Для исследования указанной задачи предложен метод интегральных уравнений.

1. Eleonskii, P. N. Cylindrical Nonlinear Waveguides / P. N. Eleonskii, L. G. Ogan-es'yants, V. P. Silin // Soviet Physics Jetp. - 1972. - V. 35, № 1. - P. 44-47.

2. Smirnov, Yu. G. Electromagnetic wave propagation in nonlinear layered waveguide structures / Yu. G. Smirnov, D. V. Valovik. - Penza : PSU Press, 2011. - 248 p.

3. Nonlinear surface electromagnetic phenomena (Modern problems in condensed matter sciences, Vol. 29) / ed.: H.-E. Ponath, G. I. Stegeman. - Netherlands : Elsevier Science publishers, 1991.

каждой пары индексов (i, j).

Заключение

Список литературы

4. Вайнштейн, Л. А. Электромагнитные волны / Л. А. Вайнштейн. - М. : Радио и связь, 1988. - 440 с.

5. Стрэттон, Дж. А. Теория электромагнетизма / Дж. А. Стрэттон. - М. ; Л. : ГИТТЛ, 1948. - 540 с.

6. Владимиров, В. С. Уравнения математической физики / В. С. Владимиров .М. : Наука, 1981. - 512 с.

7. Колмогоров, А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. - М. : Наука, 1989. - 624 с.

8. Треногин, В. А. Функциональный анализ / В. А. Треногин. - М. : Наука, 1980. -496 с.

9. Ахмедиев, Н. Н. Солитоны. Нелинейные импульсы и пучки / Н. Н. Ахмедиев, А. Анкевич. - М. : Физматлит, 2003. - 299 с.

10. Smirnov, Yu. G. Coupled electromagnetic TE-TM wave propagation in a layer with Kerr nonlinearity / Yu. G. Smirnov, D. V. Valovik // Journal of mathematical physics. 2013. - Vol. 53, № 12. - P. 123530-1-24.

Валовик Дмитрий Викторович

кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет

E-mail: [email protected]

Смирнов Юрий Геннадьевич

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет

E-mail: [email protected]

Valovik Dmitry Victorovich Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of mathematics and supercomputer modeling, Penza State University

Smirnov Yury Gennadyevich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of sub-department of mathematics and supercomputer modeling, Penza State University

УДК 517.927, 517.968, 519.6 Валовик, Д. В.

О распространении связанных электромагнитных ТЕ- и ТМ-волн в плоском слое с керровской нелинейностью / Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физикоматематические науки. - 2012. - № 4 (24). - С. 21-48.