Исследование существования собственных волн в диэлектрических волноводах Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.958:621.372.8 Д. В. Кондаков

ИССЛЕДОВАНИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ СОБСТВЕННЫХ ВОЛН В ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ВОЛНОВОДАХ

(кафедра математической физики факультета ВМиК)

1. Постановка задачи. Рассмотрим плоский диэлектрический волновод без потерь, который характеризуется относительной диэлектрической проницаемостью е = е(х), являющейся действительной ограниченной кусочно-непрерывной функцией, зависящей только от одной пространственной переменной х и принимающей постоянные значения на полубесконечных интервалах ( —оо, 0) и (d, сю):

(es, х < О,

£\ (ж), 0 <i х <i d, (1)

ес, х > d.

В условиях отсутствия токов и свободных зарядов распространение электромагнитных волн в такой среде описывается следующей системой уравнений Максвелла (см. [1]):

frotE= -Mofr>

rot Н = ££0 Щ , (2)

div ее0Е = О, sdiv ДоН = 0.

Будем искать решение системы (2) в виде гармонических по времени поперечных электромагнитных волн (ТЕ мод), распространяющихся вдоль оси z. Вектор электрической напряженности поля будет иметь вид

Е = ey(p{x)e^konz-ut\ (3)

где еу — единичный вектор, направленный вдоль оси у, ко = cj^/еоДо = — волновое число свободного пространства, и — циклическая частота волны, п — нормированная постоянная распространения.

Непосредственно из системы (2) получаем

( dii\ 9 , ттч 32Е

rot rot Е = rot I -Мо-^- I = (rotH) = -MoSSo-Q-2--

Далее, используя известное векторное тождество

rot rot Е = grad div E - AE

и уравнение div E = 0, которое справедливо в силу представления (3), получаем волновое уравнение для вектора электрической напряженности:

32Е

АЕ = ££0ц0 — . (4)

Можно показать, что аналогичному уравнению удовлетворяет и вектор напряженности магнитного поля Н. При этом Н будет иметь вид (см. [2])

Н = — (~ехк0п<р(х) - ezip'(x))et(-konz-^ , (5)

иц о

где ех и ez — единичные векторы, направленные вдоль осей ж и z соответственно.

После подстановки (3) в уравнение (4) получаем, что функция <~р{х) должна удовлетворять на всей прямой дифференциальному уравнению

-^<р"(х) + е(х)<р(х) = n2Lp(x). (6)

к0

Перейдем в этом уравнении к безразмерной переменной х путем замены х —> к^х, <р(к$х) —> <р{х), е(кох) —т- е(х). В результате получим уравнение

<р"(х) + е{х)<р{х) = п2<р(х). (7)

Дополним его условиями непрерывности функции <р{х) и ее производной на всей прямой, вытекающими из условия непрерывности тангенциальных компонент электрической и магнитной напря-женностей поля на границе раздела сред. Будем также требовать, чтобы <р{х) принадлежала классу Ь2( — оо,оо), тем самым выделяя только те решения, которые соответствуют направляемым ТЕ модам волновода [3], т.е. таким модам, которые способны распространяться в волноводе без излучения энергии в пространство.

Таким образом, мы получили задачу Штурма-Лиувилля

Н<р = \<р (А = —га2), (8)

для сингулярного линейного дифференциального оператора Н, действующего в гильбертовом пространстве Ь2( — оо,оо):

н = <9>

Здесь и далее в качестве Н будем рассматривать замыкание соответствующего дифференциального оператора, заданного выражением (9) в пространстве Ь2( — оо,оо) и определенного на линейном многообразии финитных дважды непрерывно дифференцируемых функций. Известно [4], что область определения замыкания Ин состоит из функций (р, имеющих абсолютно непрерывные первые производные на любом конечном интервале и принадлежащих Ь2( — оо,оо) вместе с ср", что согласуется с введенными ранее условиями, вытекающими из физической постановки задачи.

Рассмотрим теперь некоторые спектральные свойства этого оператора. Пусть (¡р, ф) — скалярное произведение в Ь2( — оо,оо):

+ оо

(уз, -0) = J (р(х)-ф(х) dx.

Тогда для любых функций <р и ф из Dh справедливы соотношения

+ оо

+ оо

(Н<р, ф) = - (¥>", ф) - {е<р, ф) = -<р'ф + (¥>', Ф') - (¥>, £ф) = +<рФ = ~ {<Р, Ф") + (¥>, еф) = (¥>, Нф) ■

— оо —оо

Отсюда следует эрмитовость оператора Н, а значит все его собственные значения А = —га2 действительны. Более того, можно показать, что при указанных ограничениях на функцию е(х) оператор Н является самосопряженным [4], а значит и весь его спектр лежит на действительной оси.

Докажем теперь, что собственные значения га2 оператора Н не превосходят максимума функции е(х). Пусть А = —га2 — некоторое собственное значение, а (р(х) — соответствующая ему собственная функция. Тогда справедливы равенства:

(Н<р, <р) = ~((р", <р) - (е<р, <р) = (<р': <р') - (е<р, <р) = -га2 (<р, <р),

следовательно, откуда очевидно

га2 ^ sup е(х).

ж£(-оо,оо)

Покажем также, что собственные значения га2 больше значений функции е(х) на бесконечности, т.е. га2 > max{es,ec}. Действительно, допустим противное, пусть, например, га2 ^ es. Тогда можно заметить, что легко получаемое общее решение уравнения (7) на интервале ( — оо, 0) удовлетворяет условию на бесконечности только в случае его тождественного равенства нулю на ( — оо,0). В силу условия непрерывной дифференцируемости функции <р{х) на всей прямой, а также с учетом однородности уравнения (7) получаем, что (р(х) = 0 на всей прямой, т.е. для такого га2 существует только тривиальное решение уравнения (7). Получили противоречие. Случай га2 ^ ес рассматривается аналогично.

Таким образом, получаем необходимое условие существования собственных значений оператора Н, являющееся одновременно необходимым условием существования направляемых ТЕ мод волновода:

max{es,ec} < max £1(2:). (10)

ж G [0 ,с/]

Далее будут доказаны некоторые достаточные условия.

2. Случай £1(2:) = const. Рассмотрим частный случай £1(2;) = е1 = const, соответствующий трехслойной среде. Будем искать собственные значения оператора Н, заданного соотношением (9). Из (10) следует, что для существования собственных значений необходимо выполнение условия

max{£s,ec} < гь

при этом собственные значения га2, если они существуют, удовлетворяют неравенствам

max{£s,ec} < га2 < Е\. (11)

Учитывая неравенства (11), а также условие на бесконечности, легко получить следующее общее решение уравнения (7):

(Aeq°x, х < О,

В cos(gia;) + Csin(gia;), 0 ^ х ^ d, (12)

De-qc(x-dX>d,

где qi = \Je\ — га2, qs = \Jга2 — esi qc = \Jn1 — еС1 а А, В, С и D — некоторые коэффициенты.

Из условия непрерывной дифференцируемости функции <~р{х) на всей прямой получаем соотношения на коэффициенты:

А = В, Aqs = Cqi, В cos(qid) + С sm(qid) = D, (С cos(qi d) — В sm(qi d))qi = —qcD. Откуда легко получить следующее уравнение для га:

2

/ т\ Q1 QsQc / \ ctg (qid) = —----, 13

qi {qs + qc)

которое является дисперсионным уравнением для задачи распространения направляемых ТЕ мод в трехслойном диэлектрическом волноводе без потерь. Решения этого уравнения есть собственные значения оператора Н, они же задают постоянные распространения ТЕ мод.

Соответствующие собственные функции, определяющие поле направляемых ТЕ мод, имеют вид

'Aeq'x, х < О,

(р(х) = < А (cos(gia;) + ^ sin(giic)^) , 0 ^ х ^ d, (14)

A (cos(qid) + ^ sin(qid)J e~q^x~d^, х > d,

где А — произвольная нормировочная константа. Выберем ее, например, из условия ^(0) = 1-

Рассмотрим теперь вопрос о существовании корней уравнения (13). Для этого рассмотрим его как уравнение относительно q\ и перепишем в следующем виде:

q\d = g(qi) + тгк, к = 0,1, 2,...,

где

g(qi) = arctg^ + arctg^, giG(0,grx), ?ГХ = Vd ~ тах{г5,гс}.

q 1 q 1

Докажем, что это уравнение разрешимо относительно q\ на интервале (0, д™ах) для всех d, больших некоторого значения d0. Укажем некоторые свойства функции g(qi).

„max

qs

д(0) = тг, g(q™ax) = arctg

.max </l

где g™cax = y/\es - sc

,, ^ 11

9Ы =----< 0,

qs qc

т.е. д(у 1) монотонно убывает на интервале (0,д™ах),

/// ч 11 Чг . п 9 Ы = —з " -3 < О,

что означает, что д{у 1) вогнута на интервале (0,д™ах).

Из этих свойств видно, что дисперсионное уравнение имеет хотя бы один корень при й> й о, где

.гаах

do = -arete;

и „.тлях о

is,с

птах ° птах

41 41

Причем в случае симметричного волновода es = ес дисперсионное уравнение разрешимо для любых d > 0. Видно также, что количество корней уравнения зависит от d следующим образом: уравнение имеет к корней, если d^-i < d < dk, где

1 / qmax \

dk = ^рг (^arcts ^рг + пк) ■ (15)

Таким образом, доказана

Теорема 1. В случае £i(x) = £\ = const число к собственных значений оператора Н, заданного соотношением (9) на области определения Dh, находится из условия d^-i < d < dk, где dk определяется по формуле (15).

Поскольку dk нормированы на волновое число свободного пространства ко = и/с, зависящее от циклической частоты и, то при постоянной толщине центрального слоя числа dk задают частоты отсечки мод ТЕ&.

3. Случай произвольного £1(2:). Рассмотрим теперь случай, когда £1(2:) — произвольная ограниченная кусочно-непрерывная на [0, <1\ функция. Приведем без доказательства формулировку теоремы, которая будет использована в дальнейшем.

Теорема 2. Количество точек спектра самосопряженного оператора А, лежащих левее данной точки Ао, равно максимальной размерности линейных многообразий С Е И а, на которых выполнено неравенство

(А<р- Ао¥>,¥>)<0. (16)

Доказательство см. в [4].

Применим эту теорему для получения достаточного условия существования собственных значений оператора Н, заданного соотношением (9) на области определения Ин, состоящей из функций <р, имеющих абсолютно непрерывные первые производные на любом конечном интервале и принадлежащих Ь2( — оо, оо) вместе с <р". Применение этой теоремы возможно в силу самосопряженности оператора Н.

Теорема 3. Пусть е(х) имеет вид (1) и ет = тах{г„,ес}. Для существования спектра оператора Н левее точки Ао = — ет достаточно выполнения условия

<1

!(е(х) - ет) dx > ^ - ес|. (17)

о

Доказательство. Пусть условие (17) выполнено. В силу теоремы 2 достаточно доказать, что при указанном условии существует ненулевая функция <р 6 Он, удовлетворяющая условию (16) для оператора Н при Ао = — ет. Будем искать эту функцию в виде

(е-^2, х < О,

1, 0 ^ х ^ d, (18)

е-кс(х-<1)2 ^ х у ^

где ккс > 0 — некоторые константы. Как легко показать, при любых положительных константах к8 и кс эта функция непрерывно дифференцируема и принадлежит Ь2( — оо,оо), а значит, принадлежит

области определения оператора Н. Пусть для определенности е8 ^ ес, тогда ет = е8. Вычислим выражение, стоящее в левой части неравенства (16), для оператора Н и функции <р> вида (18):

оо со со

(Нср — Х0ср, ср) = У (—1р" — £1р — Х01р)1рйх= У (<р')2 с1х — J (е + \0)ср2 ¿х =

— со —со —со

со со ¿/со

= J 4к2х2е~2ках2 dx + J 4к2сх2 е~2ксх2 ¿х - ^(е(х) - ет) dx + J(е3 - £с)е~2ксх2 ¿х = о о оо

со с? со

= + Л) J е~х2 dx - J(е(х) - £т) <1X + {е8 - ес)-щ= ^ е~х2 ¿х =

оо о

<1

- ^ ( ^ г^ . ея - е

Возьмем кс = es — ес, тогда

2^vv„. + V]fec+-^r I" l(s(x)-£m)dx.

d

(.Hip - A0<p, <p) = ]J-^(£s - ec) - J(£(x) - £m) dx + y/k~.

о

В силу условия (17) и того, что ks может быть выбрано сколь угодно малым, мы доказали существование искомой функции ср. При £с > es теорема доказывается аналогично.

Как известно, спектр оператора Н левее точки Ао = — £т может состоять только из его собственных значений [4]. Таким образом, в теореме 3 доказано достаточное условие существования хотя бы одной направляемой ТЕ моды для плоского диэлектрического волновода без потерь. Это условие может быть использовано в практических целях при расчете постоянных распространения оптических волноводов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Интегральная оптика / Под ред. Т. Тамира. М.: Мир, 1978.

2. Collin R. Field theory of guided waves. N.Y.: McGraw-Hill Book Company Inc., 1960.

3. Снайдер А., Лав Дж. Теория оптических волноводов. М.: Радио и связь, 1987.

4. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1966.

Поступила в редакцию 25.05.05