О пространствах с направленными системами открытых отображений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 515.12

О ПРОСТРАНСТВАХ С НАПРАВЛЕННЫМИ СИСТЕМАМИ ОТКРЫТЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ

© И.В. Блудова

Ключевые слова: счетно направленная система открытых отображений топологического пространства; тихоновское произведение; £ -произведение; наследственно сепара-бельное пространство; пространство со счетной сетью; 0$ -свойство Суслина. Если топологическое пространство X обладает счетно направленной системой Ь открытых отображений /а на наследственно сепарабельные пространства Ха , а € А, и эта система обладает некоторыми естественными свойствами, то 1. все системы А Ь -цилиндрических подможеств пространства X (т. е. множеств вида 1М : М С С Ха, а € А ) и все системы А объединений 0$ -подмножеств в X содержат счетные подсистемы ц систем А, плотные в А (т. е. замыкания объединений систем ц и А совпадают), 2. любое непрерывное отображение / пространства X на сепарабельное метризуемое пространство «пропускается» через одно из отображений /а (т. е. / есть композиция этого /а и непрерывного отображения пространства Xa ). Из указанных результатов вытекают соответствующие результаты для тихоновских произведений наследственно сепарабельных пространств и для подпространств тихоновских произведений пространств со счетной сетью.

Часть результатов этой статьи (следствие 2 и часть теоремы 4 (см. замечание после теоремы 4)) получены К.В. Устьянцевым.

Ниже под пространством понимается топологическое пространство, под непрерывным отображением - непрерывное отображение пространств.

Напомним некоторые используемые далее определения.

Фиксируем пространство X.

Система С = {/а : а € А} непрерывных сюръективных отображений /а : X ^ Xa пространства X называется направленной (С , кратко, называется ББ на X), если множество А направлено и, для любых а, в € А, в > а, определено такое непрерывное отображение Пва : Xв ^ Xa , что

/а = Пва ° /в■ (!)

ББ С = {/а : а € А} на X называется счетно направленной, если счетно направлено множество А (это значит, что для любой счетной системы В элементов из А существует элемент в = в (В) множества А, следующий за всеми элементами из В .

ББ С = {/а : а € А} на X называется разделяющей (кратко, БББ С на X), если диагональное произведение АС : X ^ П{Xa : а € А} является топологическим вложением. Другими словами, в соответствии с определением тихоновской топологии произведений пространств и в силу направленности С ,

( * )для любой точки х € X и любой ее окрестности О существуют а € А и открытое в Xa множество Оа , такие, что х € /—1 Оа С О .

ББ С = {/а : а € А} на X называется:

открытой, если все /а открыты;

а -разделяющей, если

(**) для любых а^ € А, а^ < а^+1,г € N, в А существует в = вир{а(г) : г € М} и диагональное произведение А^ = А{пда(г) : г € М} есть топологическое вложение Xв в предел Xs С П{Xa(г) : г € М} обратной последовательности Б = {Xa(i), па(г+1)а(^; г € М} .

В дальнейшем мы будем отождествлять:

Хв с подпространством Д^предела Xs при помощи Д^

и

ограничение на ДsXв проекции пг предела Xs в элемент Х^) обратной последовательности Б - с отображением пва(г) (так как пва(г) = пг о Дs).

Отметим, что множество Хд всюду плотно в Xs , так как все пва(г) - отображения «на».

Из (**) следует, что множество А счетно направлено.

Подмножество С пространства X с ББ С (на X) называется цилиндрическим (соответственно, -цилиндрическим или открыто цилиндрическим), если существуют а € А и множество (соответственно, -множество или открытое множество) О в Xa , такие, что С = /-1Б . Систему ( -)цилиндрических (соответственно, открыто цилиндрических) подмножеств пространства X будем называть (-)цилиндрической (соответственно, открыто цилиндрической).

Л е м м а 1. Если БББ С = |/а : а € А} на X является счетно направленной, то любое

-множество в X (и любое объединение -множеств в X ) является объединением

-цилиндрических множеств в X .

Система п подмножеств множества X называется вписанной в систему £ подмножеств множества X , если каждый элемент системы п содержится хотя бы в одном из элементов системы £ . Вписанная в систему £ подмножеств пространства X система п подмножеств этого пространства называтся плотной в £ , если и£ С е1(ип) . (В качестве вписанной в £ или плотной в £ системы п может выступать подсистема системы £ .)

Теорема 1. Пусть ББ С = {/а : а € А} на пространстве X является открытой и а -разделяющей, а все пространства Xa = /аX наследственно сепарабельны. Тогда любая система £ цилиндрических подмножеств пространства X обладает счетной плотной (в £) подсистемой, а замыкание е1(и£) также является цилиндрическим подмножеством пространства X . Более точно, для £ существуют в € А и счетная система ( подмножеств пространства Xв , такие, что система п = /-1( является плотной подсистемой системы £ и е1(и£) = е1(^п) = /-1е1(^() .

Напомним, что открытое подмножество О пространства называется каноническим открытым, если О = гиЬ(е1(О)).

Л е м м а 2. Пусть в условиях теоремы 1 система С является разделяющей. Тогда для любого открытого в X множества О существуют а € А и каноническое открытое в Xa множество и такие, что множество V = /-1и является каноническим открытым в X и О С V С е1(О) . Если множество О является каноническим открытым, то оно является открыто цилиндрическим (точнее, О = (V =)/-1 и). Более того, открыто цилиндрическим множеством является любое объединение счетного числа канонических открытых множеств (в частности, любое функционально окрытое множество).

Теорема2. Пусть в условиях теоремы 1 система С является разделяющей. Тогда для любого непрерывного отображения д пространства X на метризуемое пространство со счетной базой У существуют а € А и непрерывное отображение Н : Xa ^ У, такие, что д = Н о /a .

Введем, по-видимому, новое название следующего уже довольно давно изучаемого топологического инварианта. Будем говорить, что пространство X обладает -свойством Суслина, если любая система -подмножеств пространства X обладает счетной плотной подсистемой. Очевидно,

пространство, обладающее 0$ -свойством Суслина, обладает и свойством Суслина.

Из теоремы 1 и леммы 1 вытекает

Теорема 3. Если в теореме 1, дополнительно, система С является разделяющей, то для любой системы £ подмножеств пространства X, являющихся объединениями 0$ -множеств, существует счетная вписанная в £ и плотная в £ система 0$ -цилиндрических множеств в X , а сама система £ содержит счетную плотную подсистему (и, следовательно, X обладает 0$ -свойством Суслина).

Применим полученные результаты к тихоновским произведениям.

Фиксируем тихоновское произведение П = Л {Xj : ] € 3} . Пусть А - множество всех счетных (и конечных) подмножеств множества 3. Для а € А пусть Xа = Л {Xj : ] € а} . Для а, в € А , а = в , будем считать а < в , если а С в . Для а € А , соответственно, для а, в € А, через рга , соответственно, через фв,а , обозначим проекцию произведения П на его грань Xa , соответственно, проекцию грани Xв на грань Xa .

Фиксируем подпространство X произведения П. Для а € А через /а обозначим ограничение проекции рга на X. Если все /а сюръективны, то легко удостовериться, что система Срго^ = {/а : а € А} непрерывных сюръективных отображений постранства X является счетно направленной, разделяющей и а -разделяющей. Если еще все /а открыты, то система Срго^ открыта.

Напомним, что подмножество С подпространства X тихоновского произведения П называется счетно цилиндрическим, соответственно, счетно 0$ -цилиндрическим, если существует такое подмножество, соответственно, 0$ -подмножество, В некоторой счетной грани У произведения П, что С = п-1В , где п - ограничение на X проекции произведения П на грань У .)

При помощи теорем 1-3 и следствия 1 мы получаем следующее утверждение.

Теорема 4. Пусть все счетные грани тихоновского произведения П = П {Xj : ] € 3} наследственно сепарабельны и для подмножества X этого произведения ограничения на X всех проекций произведения П на счетные грани этого произведения сюръективны и открыты. Тогда

1. любая система £ счетно цилиндрических подмножеств пространства X обладает счетной плотной (в £) подсистемой, а замыкание с1(и£) также является счетно цилиндрическим подмножеством пространства X ;

2. для любой счетно цилиндрической системы £ подмножеств пространства X существуют счетная грань Xa произведения П и счетное множество С в Xa , такие, что счетно цилиндрическая система {/а-1х : х € С} вписана в систему £ и плотна в ней;

3. для любого непрерывного отображения д пространства X на метризуемое пространство со счетной базой У существуют счетная грань Xa произведения П и непрерывное отображение Н : Xa ^ У , такие, что д = Н ° /а ;

4. для любой системы £ подмножеств пространства X , представимых в виде объединения 0$ -множеств в X, существует счетная вписанная в £ и плотная в £ система 0$ -цилиндрических множеств в X , а сама система £ содержит счетную плотную подсистему (и, следовательно, X обладает 0$ -свойством Суслина).

Замечание. Теорема 4 частично (точнее, первая часть ее пункта 1 и ее пункт 3 (все в случае X = П)) содержится в дипломной работе «О диадических бикомпактах» Анны Беляевой, выполненной в 2004 г. под руководством Б.А.Пасынкова.

Если X есть или открытое в П множество, содержащее £ -произведение всех пространств Xj с центром в некоторой точке произведения П, или само X является таким £ -произведением, то ограничение на X любой проекции pra является открытым и сюръективным отображением. Кроме того, пространство со счетной сетью наследственно сепарабельно и тихоновское произведение счетной системы пространств со счетной сетью является пространством со счетной сетью. Поэтому получаем

Следствие 2. Пусть все сомножители тихоновского произведения П = П {Xj : j € € J} являются пространствами со счетной сетью, а подмножество X этого произведения есть или открытое в П множество, содержащее £ -произведение всех пространств Xj с центром в некоторой точке произведения П, или само является таким £ -произведением, то верны утверждения 1.-4- теоремы 4-

Поступила в редакцию 22 мая 2015 г.

Bludova I.V. ON SPACES WITH DIRECTED SYSTEMS OF OPEN MAPS

If a topological space X has a countably directed system L of open maps fa onto hereditarily separable spaces Xa , a € A, and L has some natural properties, then 1. any system Л of L -cylinder subsets in X (i. e. sets of the form f-1M such that M с Xa,a € A) and any system Л of unions of Gg -subsets in X contains a countable subsystem / of Л, that is dense in Л (i.e. the closures of the unions of the systems / and Л coincide), 2. any maps f of X onto a separable metric space may be «passed through» one of maps fa (i.e. f is the composition of this fa and a map of Xa ). These results allow to obtain correspondent results for Tychonoff products of hereditarily separable spaces and for subspaces of Tychonoff products of spaces with a countable nets.

Key words: countably directed system of open onto maps of a topological space; Tychonoff product; £ -product; hereditarily separable space; space with a countable net; Gg-(Suslin property).

Блудова Ирина Валентиновна, Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана, г. Москва, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Основы математики и информатики» СУНЦ 1, e-mail: [email protected]

Bludova Irina Valentinovna, Bauman Moscow State Technical University, Moscow, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of the Fundamentals of Mathematics and Computer Science Department, e-mail: [email protected]

УДК 517

О ТОПОЛОГИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО МНОЖЕСТВА В ДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ЛЕОНТЬЕВА С НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ

© О.М. Божинская, Н.Г. Павлова

Ключевые слова:линейные управляемые системы; множество достижимости. В работе исследуется вопрос о топологических свойствах технологического множества в динамической модели Леонтьева с непрерывным временем, в которой управлением служит функция непроизводственного потребления. Получены необходимые условия замкнутости технологического множества.