CC BY
49
Если X есть или открытое в П множество, содержащее £ -произведение всех пространств Xj с центром в некоторой точке произведения П, или само X является таким £ -произведением, то ограничение на X любой проекции pra является открытым и сюръективным отображением. Кроме того, пространство со счетной сетью наследственно сепарабельно и тихоновское произведение счетной системы пространств со счетной сетью является пространством со счетной сетью. Поэтому получаем
Следствие 2. Пусть все сомножители тихоновского произведения П = П {Xj : j € € J} являются пространствами со счетной сетью, а подмножество X этого произведения есть или открытое в П множество, содержащее £ -произведение всех пространств Xj с центром в некоторой точке произведения П, или само является таким £ -произведением, то верны утверждения 1.-4- теоремы 4-
Поступила в редакцию 22 мая 2015 г.
Bludova I.V. ON SPACES WITH DIRECTED SYSTEMS OF OPEN MAPS
If a topological space X has a countably directed system L of open maps fa onto hereditarily separable spaces Xa , a € A, and L has some natural properties, then 1. any system Л of L -cylinder subsets in X (i. e. sets of the form f-1M such that M с Xa,a € A) and any system Л of unions of Gg -subsets in X contains a countable subsystem / of Л, that is dense in Л (i.e. the closures of the unions of the systems / and Л coincide), 2. any maps f of X onto a separable metric space may be «passed through» one of maps fa (i.e. f is the composition of this fa and a map of Xa ). These results allow to obtain correspondent results for Tychonoff products of hereditarily separable spaces and for subspaces of Tychonoff products of spaces with a countable nets.
Key words: countably directed system of open onto maps of a topological space; Tychonoff product; £ -product; hereditarily separable space; space with a countable net; Gg-(Suslin property).
Блудова Ирина Валентиновна, Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана, г. Москва, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Основы математики и информатики» СУНЦ 1, e-mail: [email protected]
Bludova Irina Valentinovna, Bauman Moscow State Technical University, Moscow, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of the Fundamentals of Mathematics and Computer Science Department, e-mail: [email protected]
УДК 517
О ТОПОЛОГИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО МНОЖЕСТВА В ДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ЛЕОНТЬЕВА С НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ
© О.М. Божинская, Н.Г. Павлова
Ключевые слова:линейные управляемые системы; множество достижимости. В работе исследуется вопрос о топологических свойствах технологического множества в динамической модели Леонтьева с непрерывным временем, в которой управлением служит функция непроизводственного потребления. Получены необходимые условия замкнутости технологического множества.
В настоящей работе изучаются топологические свойства технологического множества в динамической модели Леонтьева с непрерывным временем. Коэффициенты матрицы прямых затрат в динамической модели включают прямые материальные затраты, возмещение выбытия и ремонт основных фондов, а зависимость размера капиталовложений от валового выпуска выражается в форме линейного акселератора Харрода. В исследуемой модели управлением служит функция непроизводственного потребления, принимающая значения в конечнопорожденном выпуклом конусе. Модель может быть применима для исследования поведения экономической системы на длительных временных интервалах при условии отсутствия технического прогресса.
В изучаемой модели производственный процесс описывается с помощью технологического множества. Технологическим множеством называется множество всех технологически допустимых векторов чистых выпусков продукции. Одним из важных (с экономической точки зрения) свойств технологического множества является его замкнутость, т.е. возможность применения «крайних» режимов производства. В данной работе получены необходимые условия замкнутости технологического множества в открытой динамической модели Леонтьева с непрерывным временем.
Формализуем поставленную задачу. Рассмотрим объект, поведение которого описывается линейной системой обыкновенных дифференциальных уравнений
х = Ах + Ви, г € [0,Т], (1)
с начальным условием
х(0) = 0. (2)
Здесь х = (ж1, х2,..., хп)* € Мп — п -мерный вектор фазового состояния системы, и = = (и1,и2,..., ит)* € Мт — т -мерный вектор управления, А — матрица п х п , а В — матрица п х т . Здесь и далее знак «*» означает транспонирование.
Допустимым управлением будем называть всякую существенно ограниченную функцию и(г),г € [0,Т] , для которой и(г) € К для п. в. г, К — выпуклый конечнопорождённый конус, т. е.
К = | V € Мт : V = ^ А^, Xi ^ 0, и € Мт, г = ТД | .
Здесь щ — заданные векторы из Мт, причем щ = 0 Уг = 1,
Множеством достижимости Бу в момент времени Т назовем множество всех точек из фазового пространства Мп , в которые можно перейти на отрезке времени [0; Т] из точки х(0) = 0 по решениям системы уравнений (1) при всех возможных допустимых управлениях и(-) :
Бу = {у € Мп : Зи(-) € £^[0; Т],и(г) € К Уг€ [0; Т],
у = х(Т), где х(-)—решение (1), (2), соответствующееи(-)}.
Определим матрицы:
Bi = Ai-1B, г =Т"П. (3)
Следующая теорема дает условия, гарантирующие открытость множества Бу\{0} .
Теорема1 [1]. Пусть для любого г € {1, 2,..., й}
гапд{В1^, В2Щ = п. (4)
Тогда множество Дт\{0} является открытым.
Открытая динамическая модель Леонтьева описывается системой межотраслевых балансовых соотношений (см. [2])
х = Ах + Вх + и,* € [0,Т], (5)
с начальным условием
х(0) = 0. (6)
Здесь х = (х^ х2,..., хп)* € Мп — п -мерный вектор валовых выпусков отраслей, и = = (и1 ,и2,...,ига)* € Мп — п-мерный вектор управления (вектор непроизводственного потребления), А — матрица (п х п) прямых затрат, а В — матрица (п х п) прироста основных производственных фондов.
Матрица А = (аг,) , г,; = 1,п, является продуктивной. Считаем также, что матрица В является диагональной: В = ^га${Ь1, Ь2,..., Ьп} , Ь > 0 , г = 1, п , т. е. прирост выпуска каждого вида продукции пропорционален капитальным вложениям в его производство.
Допустимой функцией непроизводственного потребления (допустимым управлением) будем называть всякую существенно ограниченную функцию и(*),* € [0, Т] , для которой и(*) € М+ для п. в. * .
Технологическим множеством в момент времени Т является множество
Рт ={(-Ау; у) | у € Дг} , (7)
где Дт — множество достижимости, т. е. множество всех возможных векторов валовых выпусков, которые можно получить на отрезке времени [0; Т] для модели (5), (6) при всех возможных допустимых функциях непроизводственного потребления.
Для получения основных результатов применим теорему 1 к модели (5), (6). Заметим, что задача (5), (6) эквивалентна
(8)
X = Ах + Ви, * € [0,Т], х(0) = 0,
где А = В-1(Е — А) , В = —В-1 , Е — единичная матрица порядка п . Тогда матрицы (3) для исследуемой модели имеют вид
В1 = —В-1 = (ЬН,), г,; = 1Гп, (9)
Ьш = —Ь-1, г = 1,п; Ьщ = 0, г = г,; = 1,п;
В2 = В-1(А — Е)В-1 = (Ь2г,-), г,; =Т7п, (10)
Ь2гг = (Ь-1) (агг — 1), г = 1,п; Ь2г, = Ь-1 Ь^а*,, г = г,; = 1,п; Вз = (В-1 (Е — А))2 (—В-1) = —В-1(А — Е)В2 = (Ьзч-), г,; = Щ (11)
п
Ьзг, = —Ь-1 Ь-1 ак] г,; = 1,п,
к=1
агг = агг — 1, г = 1, п, а*, = аг,, г = г,; = 1, п;
Вг = (б-1(Е — А))Г-1 (—В-1) = —В-1(А — Е)ВГ_1 = (ЬГг,), г,; = 1"^ г = 4~п, (12)
Ьгу = (-1)г Ь- 1Ъ-1 П 6-г1 П ак1 ак1+1 ^, ^ = 1
п,
кг = 1 1=1,г—2 1=1,г—3 г=1,э— 2
а« = аii - 1, г = 1, п, ау = йу, г = г, j = 1, п. Заметим также, что для рассматриваемой задачи
щ = (1, 0,..., 0), Щ2 = (0,1,..., 0), ...,ип = (0, 0,..., 1).
(13)
Тогда в силу (9) и (13) имеем
В1Щ = (- Ъ-1,0,..., 0) , г = 1,п;
(14)
в силу (10) и (13)
В2Ui = Ь-1 Ь- 1ali,Ь2 1 Ь- 1a2i,... , Ь-1 Ь- , г = 1,п,
(15)
где
в силу (11) и (13)
aii = aii - 1, г = 1, п, ау = йу, г = j, г, j = 1, п;
^ - Ь-1 Ь- 1 Е Ь- 1а1кaki ^ к=1
В3Щ =
- Ь- Ь- Е Ь- а2к aki
к=1
- Ь-1 Ь- 1 Е Ь- 1апк aki \ к=1
, г = 1, п,
где
aii = aii - 1, г = 1, п, ау = йу, г = г, j = 1, п
в силу (12) и (13)
(16)
/
Вг и,- =
(-1)Г Ч 1 Е П Ь-1 П акг акг+1 а1кх ак
кг = 1 г=1,г-2 1=1,г - 3 г=1,т— 2
г—2i
(-1)Г Ь-1 Ь- 1 Е Г^Ь-1 П_ акг акг+1 а2к1 акг—2i
кг = 1 г=1,г - 2 1=1,г - 3 г=1,т— 2
(-1)Г Ь-1 Ь- Е П^- П_ акг акг+1 апк1 акг
кг=1 г=1,т— 2 г=1,э— 3
, г = 1, п, г = 4, п, (17)
г=1,э— 2
где
й,, = й, - 1, г = 1, п, ау = йу, г = г, j = 1, п.
Отсюда получаем необходимые условия замкнутости технологического множества в рассматриваемой модели.
*
Теорема 2. Пусть в модели (5), (6) технологическое множество Ру замкнуто. Тогда выполнены следующие условия
3 г = 1, п, Зоу € М,; = 2,п : Е а? = 0,
¿=2
= 2, п а? Ь-1 Ь- 1а5г + аз 6- 1 1 Е ^^
к=1
(18)
+ Е аг 6- 1 Е П_ак ^¡+1 а^1айг-2г =
г=4 к=1 г=1,э— 2 г=1,г-з
г=1,э— 2
где агг = агг — 1, г = 1, п, а^ = а^, г = г,; = 1, п .
Доказательство. В силу (7) из замкнутости технологического множества Ру следует замкнутость множества достижимости Бу . Тогда в силу теоремы 1 имеем
3 г = 1, п : гапд{В1иг, В2иг..., < п.
Из (14) следует, что условие (19) эквивалентно следующему
3 г = 1, п : гапд{В2-иг..., < п — 1.
В свою очередь условие (20) выполняется тогда и только тогда, когда
(19)
(20)
3 г = 1, п, 3а, € М,; = 2, п : ^ а? = 0, ^ а,В,и = 0.
.7=2 .7=2
В силу (15) - (17) имеем
У] а^- В и» = а2
.7=2
/ Ь-1 Ь-1а1г \
1 1а2г
\ 6-1 6 1а„г )
+ аз
^ —Ь-1 6 1 Е Ь- 1а1ка^ ^ к=1
—Ь-1 б-1 Е Ь-1а2ка^ к=1
—Ь-1 6 1 Е 6 ¿/а^а^ к=1
+
(21)
+Е
аг
г=4
V
(— -1)г6-16-1 г Е П 6-1 П ак1+1 а1к1 акг-2г
к=1 1= = 1,г- -2 1= = 1,г- з
г=1,г-2
(— -1)г 6-"1 6-1 Е П П ак1+1 а2к1 акг_2г
Ь=1 г= = 1,г- -2 1= = 1,г- з
г=1,г-2
(— -1)г 6"1 6"1 г Е П П акг+1 апк1 акг-2»
^¡=1 1= = 1,г- -2 1= = 1 ,г- з
г=1,т— 2
Отсюда и из (21) следует утверждение теоремы. □
Для случая п = 2 и п = 3 условия (18) имеют более простой вид. Рассмотрим двухсекторную модель экономики
( Х1 ) = ( а11 а12 ) ( Х1 ) + ( Ь1 0 )( х 1 ) + ( и ) , г € [0,Т], и^ V а21 а22 / I 10 6^ V XX2 / V и2 /
(22)
с начальным условием
х1(0) = х2(0) = 0.
Заметим, что задача (22), (23) эквивалентна следующей
х 1 х 2
0
0
Ь-1
1 — а11 —а12 —а21 1 — а22
х1 х2
Ь-1 0
Ь-1
и1 и2
х1(0) = х2(0) = 0.
Тогда для рассматриваемой задачи
В1 =
^ 0 0 Ь-1
В2 =
Ь-1
0 Ь
0
-1 2
1
а11 — 1 а12 а21 а22 — 1
Ь-1
0 Ь
0
-1 2
Ь - ) (й11 — 1) Ь - Ь2 Й12
Ь-1 Ь-1а21 (Ь-^2 (Й22 — 1)
В силу того, что и1 = (1, 0)* , и2 = (0,1)* имеем
В1и1 =
—Ь-
1
В2и1 =
Ь-1] (й11 — 1) Ь -1 Ь-1а21
, В1и2 =
, В2и2 =
—Ь-1
Ь - 1 Ь- 1а12
1
(а22 — 1)
Таким образом,
гапд {В1и1, В2и1} =
гапд {В1и2, В2и2} =
1, а21 = 0,
2, а21 = 0,
1, а12 = 0,
(23)
* € [0,Т],
2, а12 = 0.
Отсюда и из теоремы 1 следует утверждение теоремы 3.
Теорема 3. Пусть в двухсекторной модели (22), (23) технологическое множество Рт замкнуто. Тогда а12а21 = 0 .
Рассмотрим трехсекторную модель экономики
х = Ах + Вх + и, * € [0, Т],
(24)
с начальным условием
х(0) = 0.
(25)
Здесь х = (х1,х2,х3)* € М3 , и = (и1,и2,и3)* € М3 , А , В — матрицы размера ( 3 х 3 ). Для модели (24), (25) имеем
и1 = (1, 0, 0), и2 = (0,1, 0)*, и3 = (0, 0,1),
1
В1 = —
00 1
0 0 Ь-1
0
2
0
0
2
2
0
где
( (г
В =
b-1] (an - 1)
b-1 b-W
b3 1 b- 1a3i
b 31 b- 1ai2
b- M (Й22 - 1) b- 1 b- 1a23
b 31 b- 1a13
-1г-1;
( (г-
Вз = —
23
b Eb-1 a1fcafc1 b b^^b/a^afc2 b-1 b- ^ b- 1 a1fcafc3
b- 1 b - 1a32
t—1 г—1 г — 1
3- 1 (a33 - 1)
-1 г-1 г-1.
\
fc=1 3
k-1 г-1 г-ь
fc=1 3
k-1г-1 г-1.
b- 1 b- 1 ^ b- Wafc1 f b- 1) b- Wafc2 b- 1 b- 1 ^ b- 1 a2fc afc3
fc=1 23
1
fc=1 3
t—1г— 1 г— 1,
fc=1
fc=1
3 _ /_ \2 3 _
, b-1 b- 1 £ b-1a3fcafc1 b-1 b-1 £ b-Wafc2 b-1 £ b-Wafc3 ,
\ fc=i fc=i v 7 fc=i /
aii = aii - 1, i = 1,3, aij = aj, i = j, i, j = 1, 3.
Тогда для модели (24), (25)
B1U1 =
-b-1 0 0
B1U2 = I - b-1 I , B1U3 =
0 0
b
1
(26)
( fb-1
B2U1 =
b- 1 b- 1a21
\ b-1b-1a31 )
, B2U2 =
b (an - 1) \ ( b - - 1a12 \
b2 (a22 - 1) \ b-1b-1a32 '
B2U3 =
( b-1b-1a13 \ b-1b-1a23
V (b-M (a33 - 1)
f (г-A2£~-I . \ I
£3 U1 =
- b - E b- a1fc afc1 v J fc=1
„ 3
- b-1 b-1 £ b-Wafc1
fc=1 3
, B3U2 =
- b- b- E b- a3fc afc1
\ fc=1 / /
V
„ _ 3 „ \
- b-1 b-^ b-Vfcafc2
fc=1
(~_1\2 3 г_1
- b- E b- a2fcafc2 v 7 fc=1
3
- b-1 b-^ b-Wafc2
fc=1
B3U3 =
„ _ 3 „ \
- b-1 b-^ b-1a1fcafc3 fc=1 „ 3
-b-1 b-^ b-1a2fcafc3 fc=1
23 1 2 1
^ - (k=1 bfc a3fc afc3 у
(27)
(28)
a« = йгг - 1, i = 1,3, aij = aij, i = j, i, j = 1, 3.
Из (26) следует, что для любого i = 1, 3
rang {B1Ui, B2Ui, B3Ui} = rang {£2^, ^3^»} + 1.
В то же время, вследствие (27) и (28), Vi = 1, 3 rang {В2и^, = 2 тогда и только тогда,
когда
a2i b- 1a3fcafci = a3i ^ b- 1 a2fcafci, i = 1,3.
fc=1
fc=1
2
2
0
0
2
Отсюда из теоремы 1 следует утверждение теоремы 4.
Теорема 4. Пусть в трехсекторной модели (24), (25) технологическое множество Ру замкнуто. Тогда существует такое г = 1, 3, что
зз
а2г ^ 6-1а3какг = а3г ^ 6-1а2каfcг, к=1 к=1
где
агг = а»г — 1, г = 1,3, й», = аг,, г = г,; = 1, 3.
ЛИТЕРАТУРА
1. Арутюнов А.В., Павлова Н.Г. О топологических свойствах множества достижимости линейных систем // Дифференциальные уравнения. 2004. Т. 40. № 2. С. 1564-1566.
2. Батищева С.Э., Каданэр Э.Д., Симонов П.М. Экономико-математическое моделирование. П.: ПГУ, 2010.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 15-01-04601).
Поступила в редакцию 26 мая 2015 г.
Bozhinskaya O.M., Pavlova N.G. TOPOLOGICAL PROPERTIES OF THE TECHNOLOGICAL SET IN LEONTIEV DYNAMIC MODEL WITH CONTINUOUS TIME
Topological properties of the technological set in Leontiev dynamical model with continuous time are analyzed. The function of non-production consumption is taken as a control. Necessary conditions of closedness of technological set are given.
Key words: linear controlled system; set of attainability.
Божинская Ольга Михайловна, Российский университет дружбы народов, г. Москва, Российская Федерация, аспирант кафедры нелинейного анализа и оптимизации, e-mail: [email protected]
Bozhinskaya Olga Mikhailovna, Peoples' Friendship University of Russia, Moscow, the Russian Federation, Post-graduate Student of the Department of Nonlinear Analysis and Optimization, e-mail: [email protected]
Павлова Наталья Геннадьевна, Российский университет дружбы народов, г. Москва, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры нелинейного анализа и оптимизации, e-mail: [email protected]
Pavlova Natalia Gennadievna, Peoples' Friendship University of Russia, Moscow, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of the Department of Nonlinear Analysis and Optimization, e-mail: [email protected]
