CC BY
9
УДК 514.822
О ПРОЕКТИВНОМ ДВИЖЕНИИ В 6-МЕРНОМ ПСЕВДОРИМАНОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ СПЕЦИАЛЬНОГО
ТИПА1
З.Х. Закирова2
В этой заметке мы продолжаем изучение 6-мерного псевдориманового пространства V6(ду) с сигнатурой [+ +-----], которое допускает проективные движения, т.е. непрерывные группы преобразований, сохраняющих геодезические. Мы находим общую определяющую функцию проективного движения в 6-мерном псевдори-мановом пространстве специального типа.
Ключевые слова: общая теория относительности, псевдоримановы пространства, уравнения Эйзенхарта.
Введение. Начиная с ранних работ по теории Калуцы-Клейна, имеется устойчивый интерес к многомерным теориям пространства с нестандартными сигнатурами метрики. В настоящее время он в основном ассоциирован с теорией струн, где временное(ые) направление(ия) в пространстве-времени связано(ы) с нестандартным знаком кинетического члена в действии лиувиллевского(их) поля(ей). Поэтому изучение таких теорий привлекает много внимания.
В серии работ [1-8] мы изучали 6-мерные псевдоримановы пространства V6(дц) с сигнатурой [+ +-----], которые допускают проективные движения, то есть непрерывные группы преобразований, сохраняющие геодезические.
Напомним, что линия хг(Ь) называется геодезической, если ее касательные вектора Тг = <1хг/сИ остаются параллельными при переносе вдоль этой линии [9]: У^Т = 0. Уравнение геодезических в локальных координатах имеет вид
С2 хг Сх^ Схк
ИГ + = 0, (1)
где О^к - компоненты связности псевдориманова многообразия (М, д).
1 Печатается по представлению Отделения теоретической физики ФИАН.
2 Казанский государственный энергетический университет, e-mail: [email protected].
Векторное поле X является инфинитезимальным проективным преобразованием на многообразии М с аффинной связностью V тогда и только тогда, когда [10]
Уу (Ьх - Vx) = Я(Х, У) - щ(У№ - У у, (2)
для поля 1-формы щ и всех векторных полей У на М, где Я - тензор кривизны, Ьх -производная Ли вдоль векторного поля X. В локальных координатах:
Ьх 0)к = 5} ук + % щ (3)
или
} + = 5} Щ + 5к щ, (4)
где £г, О}к, Я}1к - компоненты соответственно векторного поля X, связности V и тензорного поля кривизны в координатном репере д, а запятая означает ковариантное дифференцирование относительно д. Если М является псевдоримановым многообразием с метрикой д и римановой связностью V, тогда условие (2) можно записать в виде двух уравнений [10]
Ьхд = Н, обобщенное уравнение Киллинга, (5)
УН(У, Ж) = 2д(У, £) Жщ + д(У, Ж)Хщ + д{2, Ж)Ущ, (6)
уравнение Эйзенхарта, где (У, ^ Ж) е Т(М), щ = а1уХ.
Общий метод определения псевдоримановых многообразий, которые допускают негомотетичную проективную группу Ог, был развит А. В. Аминовой [11]. А. В. Амино-ва классифицировала все лоренцевы многообразия размерности > 3, которые допускают негомотетичные проективные или аффинные инфинитезимальные преобразования. В каждом случае были определены соответствующие максимальные проективные и аффинные алгебры Ли. Эта проблема не решена для псевдоримановых пространств с произвольной сигнатурой.
Для того чтобы найти псевдориманово пространство, допускающее негомотетичное инфинитезимальное проективное преобразование, нужно проинтегрировать уравнение Эйзенхарта (6). Проблема определения таких пространств зависит от типа Н-пространства, то есть от типа билинейной формы Ьхд, определенной характеристикой
А-матрицы (к — Ад). Если характеристика Сегре тензора Ьхд - [аЬс...], мы называем соответствующее к-пространство пространством типа [аЬс...]. Эти идеи впервые были обоснованы П. А. Широковым [12]. Таким образом, псевдоримановы многообразия, для которых существуют нетривиальные решения к = сд уравнения Эйзенхарта, называются к-пространствами.
В работах [1-6] мы нашли 6-мерные к-пространства типов [2211], [321], [33], [411] и [51]:
Метрика к-пространства типа [2211]
дгз(х'(X* = б2(/4 — ¡2)2Па (/ — ^^ЛдххЧх2 — А2£1((х2)2} +
е/ — ¡4)2Па (/ — ¡А){2А(х3(х4 — А2^2((х4)2} + ^ П/ — и )((ха )2, (7)
а
где
А = ех1 + в(х2), А = ех3 + ш(х4),
£ = 2(/4 — ¡2)-1 + ^(/а — и2) — 1, ^2 = 2(/2 — /4)-1 + — , (8)
аа
е' = ±1, а = 5,6, /1 = /2 = ех2, /3 = /4 = ех4 + а, е,е = 0,1, е = е, а - постоянная, ненулевая, когда е = 0, /а(ха), в(х2), ш(х4) - произвольные функции, ^а здесь и далее означает суммирование по а, П'(/ — /а) здесь и далее означает произведение множителей (/' — /а) для всех г = 1,... , 6, кроме г = а. Метрика к-пространства типа [321]
д(х'(х* = е3(/5 — ех3)2(/6 — ех3){((х2)2 + 4А(х1(х3+ (9)
2(ех1 — 2АЕ1)(х2(х3 + ((ех1)2 — 4ехМ£ + 4А2£3)((х3)2}+ е5(ех3 — /5 )3(/б — /5 ){2А(х4(х5 — £4А2((х5)2} + е/ — /6)2(/5 — /б)3((х6)2,
где
А = ех2 + в(х3), А = ех4 + ш(х5), (10)
£1 = (/б — ех3)-1 + 2(/5 — ех3)-1, £2 = (/б — ех3)-2 + 2(/ — ех3)-2,
2^3 = (£1 )2 — £2, £4 = 3(ех3 — /5)-1 + (/б — /5)-1,
е3, е5, е6 = ±1, /1 = /2 = /3 = ех3, /4 = /5 = ех5 + а, в(х3), и(х5), /6(х6) - произвольные функции, е, ее = 0, 1, е = ее, а - константа, ненулевая, когда ее = 0.
Метрика Н-пространства типа [33]
д}= бз(/б - /з)3{(^ж2)2 + 4А^ж3+ (11)
2(еж1 - 2А£1)^ж3 + ((еж1)2 - 4ежМ£ + 4А2£2)(^ж3)2}+ еб(/з - /б)3{(^ж5)2 + 4А^жб + 2(4ж4 + 2А£ )^жб + ((¿ж4)2 + 44ж4А£ + 4А2£2((^жб)2}, где
А = еж2 + 0(ж3), А = 4ж4 + ^(жб), (12)
£1 = 3(/б - /3)-1, £2 = 3(/б - /3)-2,
е3, еб = ±1, /1 = /2 = /3 = еж3, /4 = /5 = /б = 4жб + а, е, 4 = 0,1, е = 4, а - константа, ненулевая, когда 4=0, 0(ж3), ш(жб) - произвольные функции. Метрика Н-пространства типа [411]
д}= в4Па(/а - еж4){бА^ж1^ж4 + 2^ж2^ж3 + 2(2еж2 - 3А£1)^ж2^ж4- (13)
3
ЗДж3)2 + 2(еж1 - 2еж2£1)^ж3^ж4 + 4((еж2)2£ + е2ж1ж2 - 3еж1А£1)(^ж4)2}+ 3А^ж4 + 12еж2А(^ж4)2 + ^П'/ - /)(^жа)2,
а
где
А = еж3 + 0(ж4), £1 = (/5 - еж4)-1 + (/б - еж4)-1, (14)
в4,в5,вб = ±1, ^ = 5, 6, /1 = /2 = /3 = /4 = еж4, /5(ж5), /б(жб), 0(ж4) - произвольные функции, е = 0, 1 .
Метрика Н-пространства типа [51]
д}= б5(/б - еж5){8А^жМж5 + 2^ж2^ж4+ (15)
2(3еж3 - 4А£1)^ж2^ж5 + (^ж3)2 - 2£^ж3^ж4 + 2(2еж2 - 3еж3£1)^ж3^ж5+ 2(еж1 - 2еж2£1)^ж4^ж5 + 4(3/2еж1еж3 + (еж2)2 - 2еж1А£1-3еж2еж3£1)(^ж5)2} + вб(еж5 - /б)5(^жб)2,
где
А = еж4 + 0(ж5), £1 = (/б - еж5)-1, (16)
65, вб = ±1, /1 = /2 = /3 = /4 = /5 = еж5, 6»(ж5), /б(жб) - произвольные функции, е = 0,1.
Определяющей функцией проективного движения в 6-мерных h-пространствах является
1 6
i=1
В статье [6] мы определили условия постоянной кривизны 6-мерных h-пространств: для h-пространства типа [2211]:
Pp - Pap = Pp - Ppq = б = 6 = 0 (p = q,p, q = 2,4, а = 5, 6), (18)
для h-пространства типа [321]:
/'б = б = 6=0, (19)
для h-пространства типа [33]:
б = 6=0, (20)
для h-пространства типа [411]:
Pp - Pap = б = Yi = Y2 = 0 (а = 5,6,p = 4), (21)
для h-пространства типа [51]:
/ 'б = б = 0, (22)
где Pp, pap, ppq, Y1 и Y2 определены формулами
= 1 )2 = _)2_ (23)
Pp = 4 (/< - fp)2gaa , ^ = (/< - fp)(/a - fq)gaa , (23)
p = -1 (f)2 __^ + W -/)-i
Pap 4(/< - fp)g<^ (/)2 /< - / + /a)
(/Y )2
_
4 Y,Y=a (/Y - fp)(/Y - /a)gYY
- = 1 У^ (/а)2 _ = 1 (/а)2 (24)
71 4 ^ (/а - /4)3даа , 72 4 ^ (/а - /4)^ ' ( )
Результаты, полученные в работах [1-6], необходимы для исследования свойств определяющей функции проективного движения в 6-мерных Н-пространствах типов [2211], [321], [33], [411] и [51].
Общая определяющая функция проективного движения в 6-мерных Н-пространствах типов [2211], [321], [33], [411] и [51]. Здесь мы доказываем следующую теорему, которая явно дает любую определяющую функцию проективного движения.
1
Теорема. Любая определяющая функция проективного движения в h-пространствах типов [2211], [321], [33], [411] и [51] непостоянной кривизны может быть представлена как ф = а1р, где а1 - постоянная, функция р определена в формуле (17).
Доказательство. Пусть дано векторное поле £i, которое задает проективное движение с определяющей функцией ф в h-пространстве. Тогда для тензора bj = L^gj выполняются следующие уравнения Эйзенхарта [10]
bij,k = 2gij ф,к + gik ф,з + gjk ф,i, (25)
где запятая означает ковариантное дифференцирование относительно g. Условия их интегрируемости -
bmiRjki + bmj = gik ф^ь + gjk ф,а — gliф,jk — gij ф^к. (26)
Покажем, что для любого проективного движения в h-пространствах удовлетворяются следующие условия:
baß = 0, ф,ав = 0, (27)
где а, ß - индексы зануляющихся компонент метрики gaß h-пространств типов [2211], [321], [33], [411] и [51].
Для h-пространств типа [2211] это множество (ijkl) = (3112), (3314), (3а1а), (1334), (1132), (1а3а). Из (26) находим
bisRi12 = — g^,i3, b13Rlu = —g34 ф,1з, bisR^ = —gaa ф,1з, (28)
bl3R334 = —g34ф,13, bi3R332 = — gi2 ф,13, b^R^a = —gaa ф,13. (29)
Из (28) следует, что
и из (29)
где
bi3 (X2 — P24) = bi3(X2 — Pa2) = 0
bi3(X4 — P24) = bi3(X4 — Pa4) = 0,
eÖ'(x2) 6w'(x4)
X2 = - + P2, X4 = - + P4.
A2gi2 A2g34
Здесь штрих означает производную по указанной переменной.
Если Ь13 = 0, тогда хР - Рар = 0 (Р = 2,4). Поскольку мы рассматриваем Н-пространство непостоянной кривизны, необходимо положить Ь13 = 0, отсюда ф,13 = 0. Подобным образом можно получить другие равенства (27).
Для Н-пространств типов [321], [33], [411] и [51] из условий интегрируемости можно также получить подобным образом равенства (27).
Рассмотрим уравнение (25). Полагая (гук) = (1аа), (3аа), (ата), (тат) (а, т = 5, 6, а = г) для Н-пространства типа [2211], мы определяем
ф,1 = 0, ф,3 = 0, (30)
ф,а = /Рат, ф,т = /ТРат, Рат = Ц ^^ - ^^ , (а = г). (31)
Отсюда следует, что /ф,т = /Тф,а. Следовательно, из условия ф,ат = 0 мы получаем
дат ф = 0' (32)
Используя соотношения, полученные из (25) с (гук) = (1т2), (2тт), (ттт), мы находим
ф,т = 1 / (^ - ) , (33)
2 /т - /2 V дтт д12/
ф,2 = ^ (^ - М) , (34)
/т - /2 \дтт д12/
— = -/т Е / - /т)-1 — + 4ф,т' (35)
дтт дтт
Из (33) и (34) мы имеем
2еф,т = /т ф,2' (36)
Эти соотношения и условия ф,2т = 0 дают
д2т ф = 0' (37)
Дифференцируя (33) по хт и учитывая (35), получаем
/т дт ф,т = /т'ф,т' (38)
Теперь из (25) с (гук) = (142), (234) находим
ф,2 = ^ (^ - , = -г^-г (^ - ^У (39)
/4 - ^ V д34 д^/ /4 - ^ V д34 д12/
Отсюда еф,4 = еф,2 и, поскольку ф,24 = 0, получаем д24ф = 0.
Предполагая, что (ijk) = (3т4), (4тт) в уравнении (25), получаем
2ёф,Т = fT ф,4. (40)
Следовательно, учитывая ф,4т = 0, мы имеем д4тф = 0. Если не все fT = 0, то из (36), (38) и (40) получаем
ф,т = 2 aifT, ф,2 = ait, ф,4 = aie. (41)
Первое уравнение из (41) корректно всегда, когда fT = 0 из-за соотношения (33). Интегрируя уравнение (41), мы получаем
1 6
ф =2a1 S fi = a1^, f1 = f2 = ^ f3 = f4 = ёж4 + a, (42)
i=1
где ^ определено формулой (17). Если все fT- = 0, то из (26) с (ijkl) = (т2т2), (т4т4) находим д22ф = д44ф = 0 и, значит, (42) корректно.
Для h-пространств типов [321], [33], [411] и [51] из уравнения (25) можно получить доказательство подобным образом. Следовательно, теорема доказана.
зЗаключение. В данной работе мы установили важное свойство определяющей функции проективного движения в 6-мерном псевдоримановом пространстве специального типа. Следующая задача — это исследование свойств любого ковариантно-постоянного симметрического тензора в рассматриваемых пространствах, что вместе с результатами, полученными в этой работе, даст некоторое представление о проективно-групповых свойствах данных пространств и структуре проективной алгебры Ли. Также остается открытой проблема восстановления векторного поля, определяющего инфинитезималь-ное проективное преобразование.
Исследование частично поддержано грантом РФФИ 13-02-00475-а.
ЛИТЕРАТУРА
[1] З. Х. Закирова, Кандидатская диссертация (КГУ, 2001).
[2] З. Х. Закирова, Итоги науки и техники. Серия: Проблемы геометрии, N 23, 57 (1997).
[3] З. Х. Закирова, Тезисы международного геометрического семинара им. Н. И. Лобачевского (КазГУ, Казань, 1997).
[4] З. Х. Закирова, Известия вузов. Математика N 9, 78 (1999).
[5] Z. Kh. Zakirova, Cz. J. Phys. 50(11), 1541 (2005).
[6] Z. Kh. Zakirova, Theor. Math. Phys. 158(3), 293 (2009).
[7] З. Х. Закирова, Краткие сообщения по физике ФИАН 38(9), 39 (2011).
[8] З. Х. Закирова, Уфимский математический журнал 5(3), 41 (2013).
[9] Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко, Современная геометрия (М., Издательство УРСС, 1998).
[10] Л. П. Эйзенхарт, Риманова геометрия (Москва, ИЛ, 1948).
[11] А. В. Аминова, УМН 50(1), 69 (1995).
[12] П. А. Широков, Известия казанского физ.-мат. общества 25(2), 86 (1925).
Поступила в редакцию 9 сентября 2014 г.
