О некоторых специальных решениях уравнения Эйзенхарта Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 5. № 3 (2013). С. 41-53.

УДК 514.764:517.95

О НЕКОТОРЫХ СПЕЦИАЛЬНЫХ РЕШЕНИЯХ УРАВНЕНИЯ ЭЙЗЕНХАРТА

З.Х. ЗАКИРОВА

Аннотация. В работе ведется исследование 6-мерных псевдоримановых пространств

V6(gij) с сигнатурой [+ +-------], которые допускают проективные движения, то

есть группы непрерывных преобразований, сохраняющих геодезические. Общий метод определения псевдоримановых многообразий, которые допускают негомотетическую проективную группу Gr, был развит А.В.Аминовой. А.В. Аминова классифицировала все лоренцевы многообразия размерности > 3, которые допускают негомотетические проективные или афинные преобразования. Эта проблема не решена для псевдорима-новых пространств с произвольной сигнатурой.

Для того чтобы найти псевдо-риманово пространство, допускающее негомотетиче-ское инфинитезимальное проективное преобразование, нужно проинтегрировать уравнение Эйзенхарта

hij,k = 2gij ф ,k + gik ф ,j + gjk V,i.

Псевдоримановы многообразия, для которых существуют нетривиальные решения hij = cgij уравнений Эйзенхарта, называются h-пространствами. Известно, что проблема определения таких пространств зависит от типа h-пространства, т.е. от типа билинейной формы Lxgij, определенной характеристикой А-матрицы (hij — \gij). Число возможных типов зависит от размерности и сигнатуры h-пространства.

В работе найдены метрики и определены квадратичные первые интегралы уравнений геодезических 6-мерных h-пространств типов [(21... 1)(21... 1)... (1... 1)].

Ключевые слова: дифференциальная геометрия, псевдоримановы многообразия, системы дифференциальных уравнений с частными производными.

Mathematics Subject Classification: 53C50, 53B30.

1. Введение

Линия xi (t) называется геодезической, если ее вектор скорости Ti = dxi/dt параллелен вдоль нее самой (см. [1]): 'VtT = 0 . Уравнение геодезических в локальных координатах имеет вид

d2 xi dxj dxk

ж+j -ж=0 (1)

где rjk — компоненты связности псевдориманова многообразия (M, g). Отметим, что здесь и далее по повторяющимся индексам идет суммирование.

Преобразование f псевдориманова многообразия M на себя называется проективным преобразованием, если оно переводит геодезические линии в геодезические линии.

Векторное поле X называется инфинитезимальным проективным преобразованием или проективным движением, если локальная однопараметрическая группа преобразований, порождаемая этим полем в окрестности каждой точки p Е M, состоит из локальных проективных преобразований.

Z.Kh. Zakirova, On some special solutions of Eisenhart equation.

© Закирова З.Х. 2013.

Работа поддержана РФФИ (грант 13-02-00457-а).

Поступила 27 декабря 2011 г.

41

Векторное поле X является инфинитезимальным проективным преобразованием на

многообразии М с аффинной связностью V тогда и только тогда, когда [2] (см. также

[8])

Vу(ЬхЯ - VxЯ) - (Ьх - VxVЯ = К(Х,У)Я - р(У)Я - Ур(Я), (2)

для поля 1-формы р и всех векторных полей У, Я на М, где К — тензор кривизны.

В локальных координатах:

Ьх Г)к = 5) рк + 8кр), (3)

что равносильно

ЬхГ)к = д)кс + £1 дГ)к - Г)кдiC + Гсд)£1 + Г}ДС1 =

= е)к + е 1 Щгк = 8) рк + 8кр).

Если М — псевдориманово многообразие с метрикой д и римановой связностью V, то условие (2) эквивалентно уравнениям (см. [2], [8]):

Ьх д = h, (4)

Vh(У, Я, Ж) = 2д(У, Я)Жр + д(У, Ж)Яр + д(Я, Ж)Ур, (5)

где (У,Я,Ш) € Т(М), р = п+1 &уХ. Уравнение (4) называется обобщенным уравнением Киллинга, второе уравнение (5) называется уравнением Эйзенхарта.

Впервые проблема определения 20 римановых многообразий, которые допускают проективные движения или инфинитезимальные проективные преобразования, т.е. непрерывные группы преобразований, сохраняющих геодезические, рассматривались С. Ли и М. Кенигсом (см. [3]). Другие важные результаты были получены А.З. Петровым в работе [4], который классифицировал геодезически эквивалентные псевдоримановы пространства V3. В дальнейшем, А.В. Аминова полностью решила эту задачу в [5]. Для рима-

нова многообразия с размерностью > 2 похожая проблема была решена Г. Фубини в [6]

и А.С. Солодовниковым в [7]1, в их трудах содержится классификация римановых пространств с размерностью > 2 по локальным группам проективных преобразований, более широким, чем группы гомотетий. Заметим, что их выводы опирались на предположение

о положительной определенности рассматриваемых метрик. Если отказаться от условия знакоопределенности, задача намного усложняется и требует совершенно нового метода решения.

В работе [8] А.В. Аминова классифицировала все лоренцевы многообразия размерности > 3, допускающие негомотетические инфинитезимальные проективные и аффинные преобразования. В каждом случае были определены соответствующие максимальные проективные и аффинные алгебры Ли.

Данная проблема не решена для псевдориманова пространства с произвольной сигнатурой.

Для того чтобы найти псевдориманово пространство, допускающее негомотетическое инфинитезимальное проективное преобразование, нужно проинтегрировать уравнение Эйзенхарта (5). Задача определения таких пространств зависит от типа ^пространств, т.е. от типа билинейной формы Ьхд, определяемой характеристикой Сегре А-матрицы ^ - Ад) (см. [8]). Если характеристика тензора Ьхд есть [аЬе...], то мы будем называть соответствующее пространство — ^пространством типа [аЬс...]. Эти идеи впервые были высказаны П.А. Широковым (см. [10]). Таким образом, псевдориманово пространство, для которого существует нетривиальное решение h = сд уравнения Эйзенхарта, называется h-пространством.

Число возможных типов зависит от размерности и сигнатуры псевдориманова пространства. В частности, для 6-мерного псевдориманова пространства V6(д%)) с сигнатурой [+ +--------] возможны следующие типы:

1) [(1...1)...(1...1)], т.е. [111111], [(11)1111], [(111)111] и т.д.;

1 Следует отметить, что полный обзор литературы по этой теме дан в работе [8] и в кандидатской диссертации автора [9].

2) [11(1...1)...(1...1)], т.е. [111111], [11(11)11], [11(111)1] и т.д;

3) [11П(1...1)...(1...1)], т.е. [(11)1111], [(11)(П)11], [1111(11)] и т.д ;

4) [(21...1)...(1...1)],_т.е. [21111], [(21)111], [(211)11] и т.д.;

5) [(21)111], [(211)11], [2(11)11];

6) [(21...1)(21...1)(1...1)(1...1)], т.е. [2211], [(22)11], [2(21)1], [(21)(21)] и т.д.;

7) [2211], [22(11)];

8) [(31...1)...(1..Л)], т.е. [3111], [(31)11], [(311)1] и т.д.;

9) [3111], [(31)11];

1Q) [321], [3(21)], [(32)1], [(321)];

11) [33], [(33)];

12) [411], (41)1], [4(11)], [(411)];

13) [51], [(51)].

Отметим, что h-пространства под номерами 1), 2), 3) были исследованы Г.Фубини в [6] и А.С. Солодовниковым в [7], h-пространства под номерами 4), 5), 8), 9) были исследованы А.В. Аминовой в [8], h-пространства под номерами 6), 7), 1Q), 11), 12), 13) были исследованы автором в кандидатской диссертации [9]. Некоторые результаты были опубликованы

в [11]-[15].

Целью данной работы является исследование 6-мерных псевдоримановых пространств

V6(gij) с сигнатурой [+ + — —--------------]. В частности, мы найдем метрики 6-мерных h-

пространств типов [22(11)], [2(21)1],[2(211)], [(22)11], [(221)1], [(2211)], [(22)(11)], [(21)(21)] и определим первые квадратичные интегралы уравнений геодезических этих h-пространств. Метрика h-пространства типа [2211] была получена автором в [11].

Основной метод определения псевдоримановых многообразий, допускающих негомоте-тическую проективную группу Or, был развит А.В. Аминовой (см. [8])1. Используя в данной работе технику интегрирования в косонормальном (подвижном) репере, мы найдем метрики рассматриваемых h-пространств.

Уравнение Эйзенхарта

hij,k — 2gij V ,k + gik V ,j + gjk p,ij (6)

в косонормальном репере имеет вид (см. [8])2

n

Xrapq + eh(ahqYhpr + aphYhqr ) = QprXqV + 9qrXPV (P,Q,r = 1, . . . , n) , (7)

h=1

где

v — ti дv _ _ t titj _ 1 о

XrV — с д~г , Ypqr Yqpr C i,jC C , aij hij — 2Vgij,

r дх p q r

cj — компоненты косонормального репера, ~gpr = eP8pr и apq — канонические формы тензо-

i

p

ров gpr, apq, соответственно, Ylk = epYlpk — компоненты связности в косонормальном репере X. Коммутаторы векторных полей Xk and Xh определяются по формуле (см. [8])

n

[Xk, Xh] = ^ el (Ylkh — Ylhk )Xf, (8)

l=1

1 Впервые техника интегрирования в косонормальном репере была применена в работах [16], [17].

2 Отображение ~, которое переводит одни индексы в другие, было впервые введено А.В. Ами-

новой в работах [16], [17] (см. также [В]) в определении косонормального (подвижного) репера. Следует заметить, что данные статьи А.В. Аминовой можно найти в интернете по ссылке http://www.mathnet.ru/php/person.phtml?option_lang=rus&personid=8394. Опуская громоздкое определение косонормального (подвижного) репера, достаточно привести несколько примеров, и читателям станет понятно действие отображения ~. К примеру, для h-пространства типа [22ІІ] І = 2, 2 = І, З = 4,

4 = З, Б = Б, б = б; для h-пространства типа [З2І] І = З, 2 = 2, З = І, 4 = Б, Б = 4, б = б; для h-пространства типа [4ІІ] І = 4, 2 = З, З = 2, 4 = І, Б = Б, б = б. Эти же соотношения сохраняются и в случае кратных элементарных делителей, т.е. при наличие скобок в типах h-пространств, например, в случае [22(ІІ)], [2(2ІІ)] и т.д.

что равносильно

п п

[Хк ,ХН ] = ЕЕ (гУткЬ, 'УтНк)д ХЬ

г=1 т=1

Отметим, что для 6-мерных Л,-пространств типа [(21... 1)(21... 1)

(1... 1)] 1=2,

2 = 1, 3 = 4, 4 = 3, 5 = 5, 6= 6 (см . [8]).

Для 6-мерных h-пространств типа [(21 .1)(21... 1) ...(1 . . . 1)] к

и ар9 имеют вид (см. [4])

0 62 0 0 0 0 \

62 0 0 0 0 0

0 0 0 64 0 0

дрг 0 0 64 0 0 0 ,

0 0 0 0 65 0

0 0 0 0 0 6б

0 62А2 0 0 0 0 \

62А2 0 0 0 0 0

0 0 0 64А4 0 0

ард = 0 0 64А4 0 0 0

0 0 0 0 65А5 0

0 0 0 0 0 6бАб

где 61 = 62,63 = = 64,6г = -- ±1, (г = 1, 2, .. , 6), А1 = А 2, А3 = А4,

Зрт

Аб — вещественные

функции, которые могут совпадать. Эти функции являются корнями характеристического уравнения З.еЬфг) - Ад)) = 0.

2. Метрика ^пространства типа [22(11)]

Подставив канонические формы д и ар9 из (9) в (7) и учитывая, что для Л,-пространства типа [22(11)] А5 = Аб, 1 = 2, 2 = 1, 3 = 4, 4 = 3, 5 = 5, 6 = 6, получим следующую систему уравнений

ХгА2 = 0 (г = 2), ХгА4 = 0 (г = 4), ХгАб = 0,

Х2(А2 - Р) = Х4(А4 - Р) = 0, 7121 = 62Х2Р,> 7343 = 64Х4Р-,

62 Х4Р 62Х4Р 64Х2Р

7142 = 7241 7424 =

А2 - А4

64Х2Р

7242 = 7244

(А2 - А4)2 64Х2Р

7324 = 7423

Ъ

А4 - А2

6а Хвр

10)

(А4 - А2)2' ,2‘“ (А2 - А4)2! (А, - А„)•

где г = 1, 2,..., 6, а = 5, 6, в = 2, 4, 75бг — произвольные. Остальные 7рдг равны нулю.

Известно, для того чтобы система линейных дифференциальных уравнений в частных производных

Хд9 = £гдг9 = 0, (д = 1,...,т,г = 1,..., 6,т < 6), (11)

9

где £г — компоненты косонормального репера, была вполне интегрируемой, т.е. чтобы она

9

допускала 6 - т независимых решений, необходимо и достаточно, чтобы все коммутаторы операторов системы ([2], см. также [8])

[Х9, Хг ] = Х9 Хг - Хг Х, линейно выражались через операторы Х9.

б

^ °р

р=1

6р(,Урдг 'Уртд )Хр

12)

Используя формулы (1Q) и (12), выпишем коммутаторы операторов Xi (i = 1,... , 6) в рассматриваемом h-пространстве:

[X1,X2] = — elYl21X2, [X1,X3] = 0, [X2,X3] = e4Y423X3,

[X1,X4] = —e2 Y241X1, [X3,X4] = — eзY343X4,

[X2,X4] = — e2Y242X1 — elYl42X2 + e4Y424X3 + eзY324 X4, (13)

[Xp, X"] єтYтаpXт, [Xq, X"] eaY"qaXa єтYтаqXт,

[X5, X6] = —e5Y565X5 + e6Y656X6,

где p = 1, 3, q = 2, 4, а, т = 5, 6 (а = т).

Далее, составляя вполне интегрируемые системы (11) из (13), мы определим допускаемые этими системами независимые решения, которые обозначим через в-. После чего, с помощью преобразования координат xг = вi(x), мы можем обратить в нуль некоторые компоненты С- введенного выше косонормального репера. В частности, вполне интегри-q

руемыми системами из (13) являются системы: X^ = X^ = X^ = X^ = X^ = 0,

X^ = X2в = Xзв = X5в = X6в = 0, X^ = X2в = X3в = X4в, Xзв = X4в = X5в = X6в = 0,

X^ = X2в = X^ = X6в = 0. Обозначим решение первой системы — в2, второй системы — в4, решения третьей системы — в5 и в6. Четвертая система имеет два независимых решения, одно из которых обозначим через в1 , а второе выберем совпадающим с в2 . Последняя система имеет также два независимых решения, одно обозначим через в3, а второе выберем совпадающим с в4. После преобразования координат x- = в-^) в новой системе координат, опустив штрихи, определим

С- = Pp(x)V, С3 = С4 = С" = С1 = С2 = С" = Са = 0, (14)

p 222444 а

где p = 1, 3, а = 5,6, а = 1, 2, 3, 4, Pp(x) — произвольные функции.

С помощью равенств (14) из той части уравнений (1Q), которая не содержит Ypqr, найдем

6

2v = Efi+c A- = ^ (15)

І=1

где f1 = f2(x2), f3 = f4(x4) — произвольные функции, f5 = f6 = A — const, c — const.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых производных д/дxi в правых и левых частях равенств (13), с помощью формул (1Q) и (14) получим систему уравнений на компоненты Cj косонормального репера:

1° С We1 — С 1д1С1 — С2д2С1 = — А£2£1,

12 2 12 1 2 2

20 С 1д1С2 = — А(С2)2,

1 2 2

30 С3дзС1 = С3дзС1 = С3дзС2 = 0,

3 1 3 2 3 2

40 = /2-/4С1.

50 де1 — f4 с1_________f4 с 1

5 д4С = /2-/4 С (/2-/4)2 С ,

60 д4С2 = //С2,

2 2- 4 2 70 С3дзС3 — С3дзС3 — С4д4С3 = — ЛС4е3,

344343 44

80 е3дзС4 = — А(С4)2,

3 4 4

90 С 1д1С3 = С1д1С3 = С1д1 С4 = 0,

1 3 1 4 1 4

100 д2С3 = //С3,

з /2 з

11 о а А3 __ /2 А3 /2 аЗ

11 д24 /4-/2 4 (/4-/2)2 3 ,

12о д2А4 _ /а4,

4 •/4 ^2 4

13о А'діА" _ -ЪагС, (т _ а),

1 а т

140 _ -7таіГ, (т _ а)

1 а т

150 А3дзАа _ -7тазЄа, (т _ а),

3 а т

160 ^зСт _ -7тазГ, (т _ а)

3 а т

170 А1діАа + _ -/ а2Са - 7та2^а, (т _ а),

2 а 2 а 2- 2 а т

180 А1д1Ат + _ -/ С2Ст - 7та2^т, (т _ а),

2 а 2 а 2- 2 а т

19° А3дзГ + _ -/С4Са - 7та4^а, (т _ а),

4 а 4 а 4 а т

200 А3дзАт + _ -/С4Ст - 7та4^т, (т _ а),

4 а 4 а 4 а т

210 £5дб£5 + А6дбА5 - А^ - а6дбА5 _ -7565^5 + 7656Є5,

56566565 5 6

220 А5д5А6 + АЖ6 - А5д5А6 - А6 _ -7565^6 + 7656А6,

5 6 5 6 6 5 6 5 5 6

230 (Аада + Атдт)Ав _0, (т _ а),

а а а

гДе а,в _ 1, 2, 3,4, а,т _ 5, 6, /2 _ Ц-, Л _ .

Из уравнения 230 следует, что все не зависят от переменных ж5, ж6. Интегрируя

а

уравнения 30, 40, 90, 100, найдем

А1 _(/4 - /2)-1^1(ж1,ж2),

1

А3 _(/2 - /4)-1^з(ж3,Х4),

3

где ^1, ^3 — функции указанных переменных, не равные нулю вследствие линейной независимости векторов репера и формул (14). Из уравнения 30 также следует, что А1 не зависит

2

... 3

от переменной ж3.

Выражения для найденных компонент репера можно упростить с помощью преобразования координат

_1 _ Г ^ —2 _ _2 -3 _ [ -4 _ _4 -а _ _а

J -Т1 J -Т3

которое не меняет вида равенств (14). В новой системе координат получим

А1 _(/4 - /2)—1, А3 _(/2 - /4)-1. (16)

1 3

После этого, интегрируя уравнения 20 и 60 с учетом 30, найдем

А2 _(/4 - /2)-1(/2-1 + ^(_2))-1,

2

где в(х2) — произвольная функция переменной х2.

Возможны два случая: 1) /2 _ 0, 2) /2 _ 0. Во втором случае сделаем координатное преобразование _2 _ /2(х2), — _ хр (р _ 2) и положим в _ (/2)-1в. Опуская черту, можно объединить оба случая одной формулой

А2 _(/4 - /2)-1А-1, (17)

2

где

А = еж1 + 0, /1 = /2 = еж2,

е равно 0 либо 1, 0 — функция переменной ж2, отличная от нуля при е = 0.

Следуя подобным рассуждениям, проинтегрировав уравнения 8°, 12° с учетом 9°, получим

£4 = (/2 - /4)-1А-1. (18)

A = 2x3 + w, f3 = f4 = 3x4 + a,

Здесь

e ,_з , . . , f4

e равно 0 либо 1, a — const, отличная от нуля при e = 0, и — функция переменной x4, также отличная от нуля при e = 0.

Интегрируя уравнения 1°, 5°, 7° и 11° с учетом 3°, 9°, найдем

С1 = (/4 — /2) 1 ((/4 — /2) 1 + Q(x2)),

2

С3 = (/2 — /4) 1 ((/2 — /4) 1 + R(x4))

4

где Q(x2), R(x4) — функции указанных переменных.

С помощью преобразования координат

x

x1 — Qdx2, x3 = x3 — Rdx2, xp = xp (p =1, 3)

можно обратить в нуль функции ф и Л, при этом не изменив полученные раннее формулы. После чего компоненты £1 и £3 косонормального репера примут вид

24

С1 = (/4 - /2)—2, £3 = (/2 - /4)— 2. (19)

24

Используя полученные результаты и формулу (см. [8])

б

дг) = Е б»£г£) • (20)

ь=1 ь ь

можно вычислить следующие контравариантные компоненты метрического тензора рассматриваемого h-пространства:

д11 = 2б2(/4 - /2)—3, д12 = б2(/4 - /2)—2А—1,

д33 = 2б4(/2 - /4)—3, д34 = б4(/2 - /4)—2 А—1.

Из формулы (20) также следует, что в рассматриваемом ^.-пространстве

дат = еа£а£т + 6Т£а£т, а, т = 5, 6. С помощью уравнений 13°, 14°, 15°, 16° нетрудно по-

а а т т

казать, что £1д1дат = £3д3дат = 0, отсюда д1дат = д3дат = 0. Тогда из уравнений 17°, 18°,

13 19° , 20° следует

929ат = -2-^ Яат, д4«ат = -2-^-9ат.

/2 - А /4 - А

Интегрируя эти уравнения, принимая во внимание уравнения 210, 220, найдем

9ат _ (/2 - А)-2(/4 - А)-2^ат(х5,х6), (21)

где ^ат — произвольные функции переменных х5, х6.

Далее, вычислив ковариантные компоненты 9^ метрического тензора, с помощью формул (см. [8])

П

£ і _ 9 із£'У ^ аЫ £ і£], (22)

Л Л ^=1 Л мы найдем компоненты тензора .

Запишем итоговый результат в виде следующей теоремы.

4

Теорема 1. Если симметрический тензор Ну типа [22(11)] и скаляр р удовлетворяют в V6(9у) уравнениям (1), то существует голономная система координат, в которой <р, 9ц и Ну определяются формулами

9ізйхгйху _ е2А(/4 - /2){(/4 - /2)^х1^х2 - А(^х2)2)}+

+Є4А/2 - /4){(/2 - /4)^х3^х4 - А(^х4)2}+ (23)

+ ^ат(/2 - А)2(/4 - А)2^ха^,

аг7-йхгйх3 _ /29г1,-1 ^хгі ^хл + у . і (24)

+А912(^х2)2+/49г2у2 ^хгг ^х-7'2 + А934(^х4)2 + А9ат ^ха ^хт,

Нгу _ агу + 2р9гу, 2р _ 2/2 + 2/4 + с, (25)

А _ ех1 + в(х2), Л _ ех3 + ^(х4), (26)

где е, е _ 0,1, /2 _ ех2, /4 _ ех4 + а, А, с и а — постоянные, а _ 0 когда е _ 0,

Гат(х5, х6), в(х2), ^(х4) — произвольные функции, в _ 0 когда е _ 0, ^ _ 0 когда е _ 0,

І1,^'1 _ 1, 2, г2,^2 _ 3, 4, а, т _ 5, 6, е2, е4 _ ±1.

3. Метрики Н-прострлнств типов [2(21)1],[2(211)]

В этом случае и в остальных случаях, рассмотренных ниже, проделываются вычисления, аналогичные Н-пространству типа [22(11)]. В связи с этим некоторые выкладки будут опущены.

Подставив канонические формы 9рг и ~аш из (9) в (7) с учетом того, что для Н-пространства типа [2(21)1] А4 _ А5, получим

ХгА2 _ 0 (г _ 2), ХгА5 _ 0, ХгА6 _ 0 (г _ 6),

Х2(А2 - Р) _ Х6(А6 - Р) _ 0 7121 _ e2X2P,

е2 Х6Р е2Х6Р е4Х«Р /0„ч

7162 _ 7261 _ Т-----Т-, 7262 _ - ^------, 73«4 _ 74«3 _ Т------Г“ , (27)

А2 - А6 (А2 - А6) А5 - А.,

е4 Хвр еа Х2р е5 Х6р

74«4 _ - ^------------------Т“^Г2 , І2аа _ ТТ-, 7565

(А5 - \з)^ "аа (А2 - АаГ ' А5 - V

где г = 1, 2,..., 6, а = 5, 6, в = 2, 6, 745г — произвольные, остальные 7рдг равны нулю. Коммутаторы операторов ^.-пространства типа [2(21)1] имеют вид

[Х1,Х2] = -в17121Х2, [Х1,Х3] = 0,

[Х2, Х3] = е47423X3, [Х1, Х4] = -e57541X5,

[Х1, Х5] = -е47451Х3, [Х1,Х6] = -627261ХЪ

[Х2, Х4] = е37324Х4 + е47424Х3 - е57542Х5,

[Х2, Х5] = е57525Х5 - e47425X3, (28)

[Х2 ,Х6] = -627262Х1 - 617162Х2 + 667626X6,

[Х3,Х4] = -65 7543Х5, [Х3,Х5] = -647453X3,

[Х3,Х6] = -647463X3, [Х4,Х5] = -64 7454 Х3 + е57545Х5,

[Х4,Х6] = -е37364Х4 - е47464Х3 + e57546 X5,

[Х5, Х6] = е47456Х3 - е57565Х5.

Отсюда следует, что системы Хг0 = 0 (г = 2), Х30 = 0 (7 = 4), Х&0 = 0 (к = 6) являются вполне интегрируемыми и имеют, соответственно, следующие решения: 02, 04, 06. Системы Х30 = Х40 = Х50 = Х60 = 0, Х10 = Х20 = Х30 = Х60 = 0 и Х10 = Х20 = Х60 = 0 также вполне интегрируемые. Первая система имеет решения 01 и 02, вторая система

имеет решения в4 и в5, третья система имеет решения в3, в4 и в5. После координатного преобразования хг _ вг(х), опустив штрихи, получим

е _ Рр(х)£рг, Г _ е _ £4 _ 0, (29)

р 2 4 5 5

где р _ 1, 2, 3, 5 _ 3, 4,5, 6, д _ 1, 2, 6, Рр(х) — произвольные функции.

Проинтегрировав систему уравнений (28) с учетом (27) и (29) подобно предыдущему случаю, а затем вычислив компоненты тензоров ду и ау, мы придем к следующему результату

дгуйхгйх3 _ е2{2(/6 - /2)А^хМх2 - А2(йх2)2}+

+ (/6 - А)(/2 - А)2{2е4йх3йх4 - е4(£ + ^)(йх4)2 + е5(йх5)2}+ (30)

+е6(/2 - /6)2(dx6)2,

ау йхгйх3 _ /2дгі3і йхгі йх31 +

+д12 (йх2)2+Адг2 у2 йхг2 йх32 + д34 (йх4)2 + /6д66 (йх6)

(31)

^ = аг^- + (2/2 + /6 + с)дг^-, р = /2 + - /6 + с, (32)

А = еж1 + ^ж2^ £ = 2(/2 - А) 1 + (/6 - А) 1, (33)

где е = 0,1, /2 = еж2, А и с — постоянные, 0(ж2),^(ж4,ж5), /6(ж6) — произвольные функции,

0 = 0 когда е = 0, г1,7 = 1, 2, г2,72 = 3, 4, 5, е2, е4, е5, е6 = ±1.

После похожих выкладок для ^.-пространства типа [2(211)] , получим

дг3йхгйх3 _ 2е2Айх1йх2+

+ (/2 - А)2{2е4йх3йх4 - е4(£ + ^)(йх4)2 + датйхайхт},

(34)

агзйхгйх3 _ 2/2д12йх1йх2 + д12(йх2)2 + Адряйхрйхя + д34(йх4)2, (35)

Нгз _ агз + (2/2 + с)дгу, р _ /2 + с, (36)

А _ ех1 + в(х2), £ _ 2(/2 - А)-1, (37)

где е _ 0,1, /2 _ ех2, А, с — постоянные, в(х2), ^(х4, х5, х6), дат(х4,х5,х6) — произвольные

функции, в _ 0 когда е _ 0, р, д _ 3, 4, 5, 6, а, т _ 5, 6, е2, е4 _ ±1.

Сформулируем полученные результаты в виде следующей теоремы.

Теорема 2. Если симметрический тензор Ну типов [2(21)1], [2(211)] и функция р удовлетворяют в V6(gгз•) уравнениям Эйзенхарта, то существует голономная система координат, в которой функция р и тензоры дгу, Ну определяются формулами (30)-(37).

4. Метрики Н-прострлнств типов [(22)11], [(221)1]

Для Н-пространства типа [(22)11] из (7) следует система уравнений ХгА4 _ 0, ХгАа _ 0 (г _ а), Ха(Аа - р) _ 0,

е2Ха р е4Ха р

714г _723г, 71а2 _ 72а1 _ Т---Т- , 73а4 _ 74а3 _

А4 - V ,3а4 ~ ,4а^ А4 - V (38)

евХар еаХтр ґ / \

Івав _ - ТГ , 7ата _ Т Т- (а _ т),

(А4 - Аа) Аа - Ат

где г _ 1, 2,..., 6, а, т _ 5, 6, в _ 2, 4, 724г — произвольные, остальные ^Рдг равны нулю.

Составим коммутаторы операторов:

[Х1 , Х2 ] = е47412Х3 — е47421Х3 — 637411X4,

[Х1,Х3] = е47413Х3 — е27141Х1,

[Х2,Х3] = —е27142Х1 + е3 Т413Х4 + е4Т423Х3,

[Х1 ,Х4] = —е17141Х2 + е4 Т414Х3 — е27241ХЪ

[Х1,Ха] = е4741а Х3 — е272а1Х1, (39)

[Х2, Х4] = —е17142Х2 + е4^424Х3 + е37414Х4 — e27242X1,

[Х2, Ха] = е3741стХ4 + е4742стХ3 — е272а2Х1 — е171а2X2,

[Х3 ,Х4] = —е17143Х2 — е27243Х1 + е27144ХЪ [Х3, Ха] = е2723аХ1 — el74ст3X3,

[Х4, Ха] = е1714стХ2 — е373ст4Х4 + е2724аХ1 — е474а4^,

[Х5, Х6] = —еб7565Х5 + ев7б56Х6.

Составив вполне интегрируемые системы из (39), после координатных преобразований, найдем

е = Ра (хИД е = г = 0, (40)

а р а

где а = 1, 2, 3, 4, р = 1, 3, д = 2, 4, а, т = 5, 6, , Ра(х) — произвольные функции.

Из (38), (39), (40) получим систему уравнений на компоненты ^ косонормального рег

пера:

1° - £“д„$в = 7442$'’ - 742.С'’ - 741.$в,

1 2 2 1 3 3 4

2° Є9аЄ - Є8аЄ = 7413$в - 7.41 $в,

1 3 3 1 3 1

3° СВ*Є - $“д„$в = -7141 $в - 7414$в - 7241$^,

1 4 4 1 2 3 1

4° д„$в = 1 /а$в - 741^’,

а 1 1 7 а 1 3

5° $ад„$р - $“д„$р = 7142$в + 7413? + 7423$",

2 3 3 2 1 4 3

6° $ад«$* = -7413$*,

3 2 4

7° $“д«$в - $“д«$в = -7142$в + 7414$в - 7242$в + 7424$в,

2 4 4 2 2 4 1 3

8° Г да= 1 л/Єа- *(/ Г - 741а- 742а,

а 2 а 2 а 1 4 3

9° $ада$в - $“д„$в = -7143$в + 7144$в - 7243$^,

3 4 4 3 2 1 1

10° $ада$в = 1 л-7$а$в - 714а$в,

а 3 7 а 3 1

11° $ая = 1 /7 $а 1 /7 $а $в $в $в

11 $ да$ = 2 $ - 2 (Л-/)2 $ $ - 714а$ - 724а$ ,

а 4 ^7 а 4 ^ 17 а 3 2 1

12° $ад«$а = 0,

в а

>° еа д £Т 1 /7 ра ст

2 /т-/</

13° $ада$т = 1 ///$а$Т, (т = а),

аТ

где а, в = 1, 2, 3, 4, р = 1, 3, д = 2,4, а, т = 5,6, /т = /т(хт),/а = /а(ха) — произвольные

функции указанных переменных.

Интегрируя 12° и 13°, после координатного преобразования ж5,ж6 найдем

$5 = (/6 - /5)-1/2, $6 = (/5 - /б)-1/2.

5

6

6

Дифференцируя дав = ^ в^£а£в по жр (р = 1, 3), с учетом уравнений 1° — 3° и 5° — 7°,

й=1 ь ь

найдем дР9ав = 0.

Дифференцируя дав по жа (а = 5, 6), из уравнений 4°, 8°, 10°, 11°, получим

Я „рг _ рг За тт (Г \\-1 а рч _ ./Ст рч

да 9 = — 7--Г 9 — 77-ТТ2 Па (/а — А) , да9 = — 7-Г 9 ,

/а — А (/а — А)2 /а — А

где р, г = 1, 3, q = 2, 4.

Проинтегрировав эти уравнения, найдем

9РГ = Па (/а — А)-1(£ + ), 9РЧ = Па (/а — А)-1^,

где ^рг, ^р? — произвольные функции переменных ж2, ж4, Е = ^а(/а — А)-1, ^а — означает суммирование по а, Па — означает произведение по а.

Выполнив подобные вычисления для Н-пространства типа [(221)1], после удачно подобранных координатных преобразований, в итоге получим

9у дьХгдьХ3 = Па (/а — А){2912^жМж2 — е2(Е + 01)(^ж2)2+

+ 2934^ж3^ж4 — в4(Е + б^Х^Ж4)2 + С} + ^ ва(/т — /а)(^Жа)2, (41)

а

йу = А^^Ж^Ж* + С) +

912(^Ж2)2 + 934(^Ж4)2 + /а9аа(^Жа)2 + С (42)

а

1

2

а

Е = £(/* — А)-1, (44)

hi, — ai, + ( ^ /ст + c)gi, I р 9 /<7 + С. (43)

ст

1

G = 2в5{1 + 03(/б - Л)}^х5 + (/б - %55(dx5)2 + Єб(^хб)2, (45)

где Л, с — постоянные. Здесь для h-пространства типа [(22)11] т, а = Б, б (т = а), s,t = 1, 2, З, 4, G = 0, gst,01,02 — произвольные функции переменных х2,х4, /ст — произвольная функция переменного х°. Для h-пространства типа [(221)1] а = б, s, t = 1, 2, З, 4, Б, gst,01,02,03 — произвольные функции переменных х2,х4,х5, /т = Л, /б — произвольная функция переменного хб.

Имеет место следующая теорема.

Теорема 3. Если симметрический тензор h,, типов [(22)11], [(221)1] и функция р удовлетворяют в Vб (g,,) уравнению Эйзенхарта, то существует голономная система координат, в которой функция р и тензоры g,,, h,, определяются формулами (41)-(45).

5. Метрики h-простРАнств типов [(2211)], [(22)(11)], [(21)(21)]

Во всех этих случаях функция р = const, следовательно, в силу равенства (б) тензор h,, является ковариантно постоянным. Опуская дальнейшие выкладки, сводящиеся к интегрированию уравнений относительно ^ вместе с удачно подобранными координатными

,

преобразованиями, получим для h-пространства типа [(2211)]:

g,, ^хМх-7' = 2g12dx1dx2 — е20(^х2)2 + 2g34 ^х3^х4 + grq ^хг ^х9, (4б)

a,, ^х-7' = Лgij ^х,^х3 + g12(^2 )2, (47)

h,, = a,, + cg,,, (48)

где r, q = Б, б, Л, с — постоянные, 0, g12, g34, grq — произвольные функции переменных

/х2 /х4 ,х5 ,хб •

для h-пространства типа [(22)(11)]:

gjj dxjdxj = e2{2dx1dx2 — 9(dx2)2 } + e4{2dx3dx4 — u(dx4)2} + gCTT dxCT dxT, (49)

ai?- dxjdxj = ЛЛ g-— dxj1 dxj1 +

2 2 ij ■ ■ 4 2 (50)

+e2(dx ) +gi2j2dxj2dxj2 + e4(dx ) } + Л2дсттdxCTdxT,

hij aij + cgij, (51)

где 9, и — произвольные функции переменных x2,x4, gCTT — произвольные функции переменных x5, x6, Л1, Л2, c — постоянные, здесь Л1 = Л2, i1, j = 1, 2, i2,j2 = 3, 4, а, т = 5, 6; для h-пространства типа [(21)(21)]:

gjj dxjdxj = e2{2dx1dx2 — 9(dx2)2}+

+e3(dx3)2 + e5{2dx4dx5 — u(dx5 )2} + e6 (dx6)2, ( )

ajj dxjdxj = Л1о*1^1 dx*1 dxj1 + e2(dx2)2 + Л2 gi2j2 dxj2 dxj2 + e5(dx5)2, (53)

hij aij + cgij, (54)

где 9 — произвольная функция переменных x2, x3, и — произвольная функция переменных x5, x6, Л1, Л2, c — постоянные, Л1 = Л2, i1, j = 1, 2, 3, i2, j2 = 4,5, 6.

Резюмируем результат этого параграфа в виде следующей теоремы.

Теорема 4. Если тензор hj типов [(2211)], [(22)(11)], [(21)(21)] и функция р удовлетворяют в V6(gy) уравнению Эйзенхарта, то существует голономная система координат, в которой функция р и тензоры , hj определяются формулами (46)-(54).

6. Первые квадратичные интегралы уравнений геодезических h-ПРОСТРАНСТВ типов [(21... 1)(21... 1)... (1... 1)]

Каждому решению hj уравнения (6) соответствует первый квадратичный интеграл уравнений геодезических (см. [8])

(hj — 4pgy )xjxj = const, (55)

где xj — касательный вектор геодезической.

Следовательно, первые квадратичные интегралы уравнений геодезических h-пространств типов [(21... 1)(21... 1)... (1... 1)] определяются формулой (55), где тензоры hj, и функция р указаны в теоремах 1-4.

7. Заключение

В данной работе мы нашли небольшой класс 6-мерных псевдоримановых пространств с сигнатурой [+ +----------], допускающих негомотетические инфинитезимальные проек-

тивные преобразования, в частности, мы нашли метрики h-пространств типов [22(11)], [2(21)1],[2(211)], [(22)11], [(221)1], [(2211)], [(22)(11)], [(21)(21)] и затем определили первые квадратичные интегралы уравнений геодезических этих h-пространств. Отметим, что полученные результаты легко обобщаются в случае n-мерного псевдориманова пространства с сигнатурой [++-----------...----].

Определение метрик всех h-пространств, перечисленных во введение, полностью решит

задачу о нахождение 6-мерных псевдоримановых пространств с сигнатурой [+ +--------------],

допускающих негомотетические инфинитезимальные проективные преобразования или проективные движения. Эта задача была полностью решена автором в кандидатской диссертации [9].

Следующая задача — это исследование проективно-групповых свойств рассматриваемых пространств. Здесь остается открытой проблема о восстановлении векторного поля, определяющего инфинитезимальное проективное преобразование и проблема о структуре проективной алгебры Ли. Решение этой задачи сводится к интегрированию уравнения Киллинга.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия // M.: Эдиториал УРСС,1998, 278 с.

[2] Эйзенхарт Л.П. Риманова геометрия М.:ИЛ, 1948, 316 с.

[3] M.G. Konigs Lecons sur la theorie generalle des surfaces // Appl. II to G. Darboux. IV. (1896), P. 368.

[4] Петров А.З. О геодезическом отображении римановых пространств неопределенной метрики // Уч. зап. Казан. ун-та. 1949. T. 109, № 3. C. 7-36.

[5] Аминова А.В. Псевдоримановы многообразия с общими геодезическими // Успехи Мат.Наук 48 (1993), 2(290), C. 107-164.

[6] G. Fubini Sui gruppi transformazioni geodetiche // Mem. Acc. Torino. Cl. Fif. Mat. Nat. 1903, Vol. 53, № 2, P. 261-313.

[7] Солодовников А.С. Проективные преобразования римановых пространств // Успехи Мат.Наук, 1956, № 11, P. 45-116.

[8] Аминова А.В. Алгебры Ли инфинитезимальных проективных преобразований лоренцевых многообразий // Успехи Мат.Наук 50 (1995), 1(301). C. 69-142.

[9] Закирова З.Х. Проективно-групповые свойства 6-мерных теорий типа Калуцы-Клейна // Кандидатская диссертация, КГУ, 2001, с. 129.

[10] Широков П.А. Постоянные поля векторов и тензоров 2-го порядка в римановых пространствах // Изв. Казанск. физ.-мат. общ., 1925 (25), № 2. C. 86-114.

[11] Закирова З.Х. 6-мерные h-пространства специального типа //Междунар. геом. семин. им. Н.И. Лобачевского, Казань, 4-6 февр., 1997: Тез. докл.- Казань. 1997. с.52.

[12] Закирова З.Х. Первые интегралы уравнений геодезических h-пространств типа [51] // Труды геом. семинара: Межвуз. темат. сб. науч. тр. Казань, 23. 1997. C. 57-64.

[13] Закирова З.Х. Первые интегралы уравнений геодезических h-пространств типа [411] // Изв. вузов. Матем. 1999, № 9(448). C. 78-79.

[14] Закирова З.Х. Жесткие 6-мерные h-пространства постоянной кривизны // Теоретическая и математическая физика. 158(3): 293--299 (2009).

[15] Закирова З.Х. Метрики 6-мерных h-пространств типов [3(21)], [(32)1], [(321)] // Краткие сообщения по физике ФИАН. T. 38, № 9 . 2011. C. 270-274.

[16] Аминова А.В. О косоортогональных реперах и некоторых свойствах параллельных тензорных полей на римановых многообразиях // Изв. вузов. Матем. 1982, № 6. C. 63--67.

[17] Аминова А.В. О подвижном косоортогональном репере и одном типе проективных движений римановых многообразий // Изв. вузов. Матем. 1982, № 9. C. 69--74.

Зольфира Хаписовна Закирова,

Казанский Государственный Энергетический Университет, ул. Красносельская, 51,

420066, г. Казань, Россия E-mail: [email protected]