Метрика 6-мерного псевдориманова пространства специального типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

© ЗХ. Закирова УДК 514.764

МЕТРИКА 6-МЕРНОГО ПСЕВДОРИМАНОВА ПРОСТРАНСТВА СПЕЦИАЛЬНОГО ТИПА

З.Х. Закирова

Казанский государственный энергетический университет, г. Казань, Россия

[email protected]

Резюме: В работе ведется исследование 6-мерных псевдоримановых пространств, которые допускают проективные движения, то есть группы непрерывных преобразований, сохраняющих геодезические. Для того чтобы найти псевдориманово пространство, допускающее негомотетическое инфинитезимальное проективное преобразование, нужно проинтегрировать уравнение Эйзенхарта. В работе найдена метрика 6-мерного пространства типа.

Ключевые слова: дифференциальная геометрия, псевдоримановы многообразия, системы дифференциальных уравнений с частными производными.

Благодарности: Работа частично поддержана грантом Российского фонда фундаментальных исследований № 16-01-00291 А.

METRICA OF 6-DIMENSIONAL PSEUDO-RIEMANNIAN SPACE OF THE SPECIAL TYPE

Z.Kh. Zakirova

Kazan State Power Engineering University, Kazan, Russia

[email protected]

Abstract: In this note, we study an 6-dimensional pseudo-Riemannian space, which admits projective motions, i. e. continuous transformation groups preserving geodesics. Remind that in order to find a pseudo-Riemannian space admitting a nonhomothetic infinitesimal projective transformation, one needs to integrate the Eisenhart equation. In note we find a metrics 6-dimensional spaces of the [(51)] type.

Keywords: differential geometry, pseudo-Riemannian manifolds, systems of partial differential equations.

Acknowledgments: The work is partially supported by the grant of the Russian Foundation for basic research № 16-01-00291 A.

Введение

Линия x' (t) называется геодезической, если ее вектор скорости T1 = dx' / dt параллелен вдоль нее самой. Уравнение геодезических в локальных координатах имеет вид

d2 X ' dX dxk

-г—Ъ1 ju--= 0 ,

dt2 JK dt dt

где T)k - компоненты связности псевдориманова многообразия (M, g).

Преобразование f псевдориманова многообразия M на себя называется проективным преобразованием, если оно переводит геодезические линии в геодезические линии.

Векторное поле X называется инфинитезимальным проективным преобразованием или проективным движением, если локальная однопараметрическая группа преобразований, порождаемая этим полем в окрестности каждой точки, состоит из локальных проективных преобразований.

Векторное поле X является инфинитезимальным проективным преобразованием на многообразии M с аффинной связностью V тогда и только тогда, когда [1]

V7 (LXZ - V xZ ) - (Lx -Vx )VYZ = R(X ,Y )Z - ф(7 )Z - Yф(Z ) для поля 1 -формы ф и всех векторных полей Y, Z на M, где R - тензор кривизны.

Если M - псевдориманово многообразие с метрикой g и римановой связностью V , то последнее условие эквивалентно двум уравнениям [1]:

Lxg = h,

Vh(Y, Z, W) = 2g(Y, Z) Wф + g(Y, WZ + g (Z, W^,

где (Y, Z ,W) e T (M), ф = —— divX. Первое уравнение называется обобщенным уравнением

n +1

Киллинга, второе уравнение называется уравнением Эйзенхарта.

Впервые проблема определения 2-мерных римановых многообразий, которые допускают проективные движения или инфинитезимальные проективные преобразования, рассматривались С. Ли и М. Кенигсом [2]. Для риманова многообразия с размерностью больше чем 2 похожая проблема была решена Г. Фубини в [3] и А.С. Солодовниковым в [4], в их трудах содержится классификация римановых пространств с размерностью больше 2 по локальным группам проективных преобразований более широким, чем группы гомотетий. В дальнейшем в работе [5] А.В. Аминова классифицировала все лоренцевы

многообразия c сигнатурой [+----...-] размерности больше 3, допускающие

негомотетические инфинитезимальные проективные и аффинные преобразования. В работах [6-8] автором были исследованы проективно-групповые свойства 6-мерных

псевдоримановых пространств с сигнатурой [ + +-----]. Данная проблема в общем случае

для w-мерного псевдориманова пространства с произвольной сигнатурой не решена.

Для того, чтобы найти псевдориманово пространство, допускающее негомотетическое инфинитезимальное проективное преобразование, нужно проинтегрировать уравнение Эйзенхарта [1]

h,j,k = 2 gij фл + gik ф, j + 2 gjk ф,1.

Псевдоримановы многообразия, для которых существуют нетривиальные решения hj Ф cgj уравнения Эйзенхарта, называются ^-пространствами. Определение таких

пространств зависит от типа й-пространства, т.е. от типа билинейной формы Lxgj,

определенной характеристикой X -матрицы (hj - Xg j). Если характеристика тензора Lxgj

есть [abc...], то соответствующее пространство называется й-пространством типа [abc...]. Число возможных типов зависит от размерности и сигнатуры й-пространства. В работе найдена метрика 6-мерного й-пространства типа [(51)] с сигнатурой [++-----].

Интегрирование уравнения Эйзенхарта будет проделано с помощью техники интегрирования в косонормальном репере [5]. В косонормальном репере уравнение Эйзенхарата имеет вид

n

xrapq + S eh ŒhqYhpr + aphY~hqr ) = gprxqф + gqrXpФ, (1)

h=1

где

ХгФ = 4' , Ypqr = —Yqpr = 4',j % 4j aj = h'j - 2Ф% ,

г Cx p q r

4j - компоненты косонормального репера, gpr = epSp и «pq - канонические формы

'

тензоров gpr, apq , соответственно, Yp = epуp - компоненты связности в косонормальном репере, p, q, r = 1,...,n .

Коммутаторы векторных полей Xq и Xr определяются по формуле [5]

n

[ Xq, X

r ] / j ep (ypqr —Yprq )Xp . (2)

p=i

Отображение которое переводит одни индексы в другие, было введено в определении косонормального репера. В нашем случае, для h-пространства типа [(51)]:

1 = 5,2 = 4,3 = 3,4 = 2,5 = 1,(6 =(5 .

Нахождение метрики

В случае h-пространства типа [(51)] имеется один непростой элементарный делитель X -матрицы, которому соответствует одно изотропное главное направление. Канонические значения имеют вид

' ' 15 2 4 3 2 6 2

g'jdx'dX = e(2dx dx + 2dx dx + (dx ) ) + e6(dx ) ,

' ' 15 24 32 25 34 62

a'jdx'dxJ = eX(2dx dx + 2dx dx + (dx ) ) + 2edx dx + 2edx dx + e62(dx ) ,

где X - корень уравнения det(hj — Xgj) = 0, e, e6 = +1.

Подставив канонические значения в уравнение (1) с учетом e = в2 = 63 = 64 = 65 = e , получим

XrX = 0 , Ypqr = 0 (p * 5, q * 6), (3)

/56r произвольные, p,q,r = 1,...,6 . Отсюда следует, что ^ = const.

Для того, чтобы система линейных дифференциальных уравнений в частных производных

Xq0 = 4' dj0 = 0, (q = 1,...,m,' = 1,...,n, m < n) .

q

где 4г - компоненты косонормального репера, была вполне интегрируемой, т.е. чтобы она

я

допускала п^ независимых решений, необходимо и достаточно, чтобы все коммутаторы операторов (2) системы линейно выражались через операторы Хд .

Используя формулы (2) и (3), составим коммутаторы операторов:

(Xа, Хр ) = 0, (Xа, X 5 ) = -е6у65аХ6, (4)

(Ха, Х6 ) = -еУ56аХЬ (Х5' Хб) = -еУ565Х1 + e6У656X6,

где а, р = 1,2,3,4 .

Вполне интегрируемыми системами из равенств (4) являются системы Хг0 = 0 (г Ф 2), Х;0 = 0(] Ф 3), Хк0 = 0 (к Ф 4), Хт0 = 0 (да ф 5), которые имеют по одному

решению 02,03,04 и 05 соответственно. Системы Х^ = Х20 = Х30 = Х40 = 0 и Х20 = Х30 = Х40 = 0 также вполне интегрируемые и имеют решения 05,06 и 01,05,06 . За

счет преобразования координат X = 0г (х) в новой системе, опустив штрихи, определим следующие компоненты косонормального репера:

4 = Ра(х)5га, 4в= 4в= 45 =0 (р * 1), (5)

5'а, 4в=4в=45 =

а 5 6 6

где Ра (х) - произвольные функции.

Из соотношений (4) с учетом (3) и (5), получим систему дифференциальных уравнений в частных производных на компоненты косонормального репера

1. 4а1х4в= ^а^5 =0, (а'Р),

а в а 5

2. ^гД1 =-^бУб5а^1,

а 5 6

3. 4^4° =-ебУб5а 4 , а 5 6

4. 4ага 4^ -еГ56а 41,

а 6 1

5. 4а1а46 =0,

а 6

6. 4* 1 41 -4Г г, 41 =-еУ565 41 +е67656 41,

5 6 6 5 1 6

7. 4* г 46 -4Г гГ 46 =^67656 46 ,

5 6 6 5 6

где q = 1,5,6, г = 1,6 . Интегрируя уравнения 1 и 5, после подходящих преобразований координат получим

4а= 45 =1, 46 =г(х5, х6), а 5 6

6

следовательно, по формуле (см. [5]) = ^ в^ ^ , найдем

Ь=1 Ь И

= 833 = 815 = 0, 866 = а( х5, х6).

С помощью уравнений (2-4) можно показать, что 4^а 8 П = 4а^а 816 =0, отсюда, §11

а а

и 816 зависят только от переменных х5, х6 . За счет координатного преобразования можно

сделать 816' = 0,866' = 1.

Вычислив ковариантные компоненты метрического тензора рассматриваемого

6

пространства, а затем по формулам (см. [5]) 4, = 8у 4 и а^ = ^ екг1ак1 4г- 4] компоненты

Ь И и,1=1 Ь I

векторов репера и компоненты тензоров ау , Иу, получим следующую теорему. Теорема

Если симметрический тензор Ьу типа [(51)] и скаляр р удовлетворяют в V6 с метрикой 8 у уравнениям Эйзенхарта, то существует голономная система координат, в которой 8у, Ьу и р определяются формулами

gydx'dx-j = e((dx3)2 + ldx2dx4 + 2dxïdx5 + œ(dr5)2) + e6(dx6)2 ;

ajdx1 dx-i = Xg jdx'dx-' + 2dx3dx4 + 2dx2dx5 , hj = «j + cgj , где X, с — const, ra(x5, x6) - произвольная функция указанных переменных.

Заключение

В данной работе было найдено 6-мерное h-пространство типа [(51)], допускающее негомотетическое инфинитезимальное проективное преобразование. Следующая задача -это исследование проективно-групповых свойств рассматриваемого пространства. Остается открытой проблема о восстановлении векторного поля, определяющего инфинитезимальное проективное преобразование и проблема о структуре проективной алгебры Ли. Решение этой задачи сводится к интегрированию уравнения Киллинга.

Литература

1. Эйзенхарт Л.П. Риманова геометрия. M: ИЛ. 1948.

2. Königs M.G. Leçons sur la theorie generalle des surfaces // Appl. II to G. Darboux. 1896.

3. Fubini G. Sui gruppi transformazioni geodetiche // Mem. Acc. Torino. Cl. Fif. Mat. Nat. 1903. № 2. P. 261-313.

4. Солодовников А.С. Проективные преобразования римановых пространств // Успехи Математических Наук. 1956. № 11. С. 45-116.

5. Аминова А.В. Алгебры Ли инфинитезимальных проективных преобразований лоренцевых многообразий // Успехи Математических Наук. 1995. № 1. С. 69-142.

6. Закирова З.Х. Жесткие 6-мерные h-пространства постоянной кривизны // Теоретическая и математическая физика. 2009. № 11. С. 293-299.

7. Закирова З.Х. О некоторых специальных решениях уравнения Эйзенхарта // Уфимский математический журнал. 2013. № 3. С. 41-53.

8. Закирова З.Х. О проективном движении в 6-мерном псевдоримановом пространстве специального типа // Краткие сообщения по физике ФИАН. 2015. №5. С. 12-20.

Автор публикации

Закирова Зольфира Хаписовна - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Высшая математика» Казанского государственного энергетического университета.

References

1. Eyzenhart L.P. Riemannian geometry. M.:IL. 1948.

2. Konigs M.G. Lecons sur la theorie generalle des surfaces // Appl. II to G. Darboux. IV. 1896. P.

368.

3. Fubini G. Sui gruppi transformazioni geodetiche // Mem. Acc. Torino. Cl. Fif. Mat. Nat. 1903. № 2. P. 261-313.

4. Solodovnikov A.S. Projective transformations of the Riemannian spaces // Russian Mathematical Surveys. 1956. №11. P. 45-116.

5. Aminova A.V. Lie algebras of infinitesimal projective transformations of Lorentz manifolds // Russian Mathematical Surveys. 1995. №1. P. 69-142.

6. Zakirova Z.Kh. Rigid 6-dimensional h-spaces of constant curvature // Theoretical and Mathematical Physics. 2009. №3. P. 293-299.

7. Zakirova Z.Kh. On one special solution of the Eisenhart equation // Ufa Mathematical Journal. 2013. №3. P. 41-53.

8. Zakirova Z.Kh. On projective motion in the 6-dimensional pseudo-riemannian space of the special type // Bulletin of the Lebedev Physics Institute. 2015. №5. P. 12-20.

Author of the publication

Zolfira Kh. Zakirova - Cand. Sci. (phys.-math.), Associate Professor of the Department of Mathematics, Kazan State Power Engineering University.

Дата поступления 12.02.2018.