CC BY
43
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2013 Математика и механика № 3(23)
УДК 517.9
И.В. Рахмелевич
О ПРИМЕНЕНИИ МЕТОДА РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ К УРАВНЕНИЯМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, СОДЕРЖАЩИМ ОДНОРОДНЫЕ ФУНКЦИИ ОТ ПРОИЗВОДНЫХ
С помощью метода разделения переменных получены решения некоторых уравнений математической физики, содержащих однородные функции от производных. Рассмотрены уравнения, содержащие одну или несколько однородных функций. Выполнен анализ решений для некоторых частных случаев.
Ключевые слова: уравнение, однородная функция, метод разделения переменных, частная производная.
Метод разделения переменных (РП) является одним из наиболее универсальных методов решения линейных и нелинейных уравнений в частных производных
[1], который позволяет свести исходное уравнение к обыкновенным дифференциальным уравнениям, а во многих случаях - получить точные решения. В данной работе этот метод применяется к решению уравнений, содержащих однородные функции от производных.
1. Уравнение, содержащее однородную функцию
Рассмотрим уравнение относительно неизвестной функции и(/, х1,..., хы)
ди ди
Ци = ,..,— |. (1)
дх1 дхы
м дт
Здесь Ц = ^ ат (/)------------------линейный дифференциальный оператор по переменной
т=1 дт
/; ^ - некоторая однородная функция с показателем однородности г (г>0), т.е. для любых а, р1,..., ры выполняется соотношение [2]
^(ар!,..., ары) = аг¥(#,..., ры). (2)
Применяя метод РП к уравнению (1), решение будем искать в виде
и(/,х1,...,хы) = 7,(0 + 71(0V(х1,...,хы). (3)
Подставив выражение (3) в уравнение (1) и используя свойство однородности
(2), преобразуем уравнение (1) к виду
ЦТ о (0 + V (х,..., хы) ЬТ (О - [7 (0]г ,..., дх-1 = 0. (4)
V дх1 дхы )
Разделим обе части уравнения (4) на [Т1 (0]г и продифференцируем поочередно по переменным хг (г = 1,...,N), тогда получаем
ЬТ'<'>дК -Ал(дК.,.„.^ = о. (5)
[Т,(<)]г сх, сЫ, (,*1 щ
Уравнение (5) может быть удовлетворено в следующих частных случаях:
Случай 1:
= х , (6)
[Т1(/ )]г
где А^0 -некоторая постоянная. Тогда из уравнения (4) следует
ЦТ0(0 дК дК
■ = Л\ —,...,------\-ХК(х1,..., хы). (7)
[Т1(/)]г ^ дхы ' 1 Ы
Согласно известной схеме метода РП [1], уравнение (7) может быть удовлетворено, если обе его части равны некоторой постоянной ц, откуда получаем
уравнения для функций Т0, V
ЦТо(Г) -ц[Т1(/)]г =0; (8а)
( дК дК Л
Е\ , ".,д— |-ХК(х:,...,хы)-Ц = 0. (8б)
^дх1 дхы)
Уравнение (8а) представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) относительно функции Т0 (/) . Уравнение (8б) путем линейной замены ~ Ц
неизвестной функции К = К +— преобразуем к виду
Х
( дК дК Л
Л \~дх~ д— \-Х1/ (Xl,..., хы) = °. ()
V дх1 дхы )
Для решения уравнения (9) разделим его на К и используем свойство однородности (2). В результате уравнение (9) преобразуем к виду
р 1^7-Vг^, ...,К-0-^'1-Х = 0. (10)
V дх дхы)
Предположим вначале, что гф-1 и выполним замену неизвестной функции К по формуле
м ^Р/Р , (11)
где в = (г-1)/ г. Тогда уравнение (10) запишется как
Л (дМ,..., -д^)-х = 0. (12)
1^1 дхы)
Решение уравнения (12) будем искать в виде
ы
м(х1,...,хы) = Ш'ф, 2 = £с,х, . (13)
г =1
Подставляя функцию (13) в уравнение (12) и используя свойство однородности (2), нетрудно получить следующее решение:
W(z) = B(z + с0), B = | ——------------ | , (14)
— (с1,..., cN )y
с0 - произвольная постоянная. Возвращаясь к неизвестной функции V , решение уравнения (9) запишем как
I?(*!,...,Xn) = (PB)1/p(z + со)VP . (15)
Решение (15) имеет место при р^0 (r^1). В случае Р=0 (r=1) нетрудно получить
V ( Xj ,..., Xn ) = exp I X----- (z + со)|. (16)
IF (с!>...> ^) )
~ —
Учитывая выполненную выше замену функции V = V +—, решение (3) можно
X
представить в виде
u(t, Xj,. .., Xn ) = T0(t) + 71(017 ( Xj, ..., Xn ), (17)
где функция T0 (t) = T0 (t) -—7j (t) удовлетворяет уравнению
X
LT0(t) = 0. (17а)
Случай 2: LtTl (t) = 0 . (18)
Тогда уравнение (4) преобразуется следующим образом:
L7)(t) J dV dV
= Л-----, ...,--I. (19)
[71(/)]г ^ N.
Из (19) получаем уравнения для функций 70, V :
Ь(70(Г) =Х[7тГ; (20а)
( д¥ д¥ Л
Л I —,..., — |-Х = 0. (20б)
^ дхн)
При этом вначале необходимо определить функцию 71 (0 из уравнения (18), а затем подставить ее в правую часть уравнения (20а). Уравнение (20б) с точностью до обозначений совпадает с уравнением (12), поэтому его решение определяется формулой вида (14). Если Х=0, то нетрудно убедиться, что решение уравнения (20б) V = Ф(г), где г определяется формулой (13), Ф(г) - произвольная дифференцируемая функция, а постоянные с удовлетворяют условию Л(с1,..., сы) = 0.
Таким образом, в первом частном случае решение уравнения (1) с однородной функцией в правой части можно представить в виде (17), где 71(Г) удовлетворяет
ОДУ (6), 70(0 удовлетворяет ОДУ (17а), а V(х:,...,хм) - уравнению (9), решение которого дается формулами (15) или (16). Во втором частном случае 7:(0 определяется из уравнения (18), функции 70^ определяются из уравнений (20а), (20б) соответственно, причем решение последнего при X Ф 0 дается формулой
вида (14), а при X = 0 - формулой V = Ф(г) с дополнительным условием Р(С1,..., еы) = 0.
Пример. Рассмотрим уравнение
ди ( ди
дх ,=1 ^
С помощью метода РП, согласно изложенному выше, нетрудно получить решения:
1) и(і, х1,..., хм) =
г -1
(
(г + С0)г
+ Л (при г ф 1);
(X)-х )Е ас
I=1 1
( X Л г
2) и (х, х,..., хы) = хх + —----- (г+С));
Е ас1
V г=1 у
3) и(Х, х1,..., ) =Ф( г),
причем А0,х0,с0,X,с - произвольные постоянные, Ф - произвольная дифференцируемая функция, г определяется формулой (13). Решения 1), 2) применимы в
N
случае, если постоянные с1 удовлетворяют соотношению Е аС ^ 0 ; решение 3)
- в случае, если постоянные с1 удовлетворяют соотношению Е аС = 0.
і=1
При г = 1 данное уравнение является линейным и имеет общее решение вида
[3] и(ґ,Х[,...,хы) = ф| 2 + ґ|агег I.
2. Уравнение, содержащее сумму однородных функций
Рассмотрим теперь случай, когда правая часть исходного уравнения представляет собой сумму К однородных функций с различными показателями однородности гк . Пусть множество значений I = {1,...,N} индекса I, нумерующего независимые пространственные переменные, разбито на К непересекающихся подмножеств 1к (к =1,...,К). Тогда вектор переменных X = {х1,...,xN} можно разбить на К непересекающихся подвекторов хк ={ X }1е1к. Введем также соответст-
вующие векторы производных
дХк
дхі
и рассмотрим уравнение вида
»=1 * &
(21)
где функции ¥к удовлетворяют соотношению однородности вида (2) с показателями однородности гк (гк > 0), причем вектор аргументов {л,..., pN} заменяется
і =1
на подвектор {р1 }|е1 . Применяя метод РП к уравнению (21), ищем решение в виде
и(Х, X) = Т0(О + Х7 (07 (Хк). (22)
к=1
Аналогично преобразованиям, выполненным в п.1, подставим выражение (22) в уравнение (21) и с учетом однородности функций р приводим его к виду
77(0+Е т к (X, Хк) = 0; (23)
к=1
Тк (X,Хк) = Vk (Хк) ЦТк (О -[Тк (0Гк Рк {|^ . (23а)
Продифференцируем (23) по Хк и учтем, что левая часть уравнения (23) зависит от Хк только через Тк (X, Хк). Тогда с учетом (23а), приходим к соотношению
_Л_ Рк №| = 0. (24)
[Тк (X)]гк дХк дХк к ^дХк)
Аналогично п.1 рассмотрим частные случаи, в которых может быть удовлетворено это соотношение.
Случай 1:
7Т (X)
[Тк (X )]гк
■= Xк , (25)
к
где Хк Ф 0 - некоторая постоянная. Тогда соотношение (24) можно записать в виде
д Р {^-ХЛ} = 0, (26)
дХк I V дХк
откуда следует уравнение для Vk :
Рк (дХН-ХЛ = Цк , (27)
- Цк
где цк - некоторая постоянная. С помощью замены функции 7 = Vk + — полу-
Х к
чаем следующее уравнение:
Рк (|^]-ХЛ(Хк) = 0. (28)
Решая его аналогично уравнению (9) из п.1, можно получить следующие вы-
ражения для 7 :
В случае Рк Ф 0 (гкф 1):
9к(Хк) = (Рк7)1/Рк (гк + dk )11 Рк, Гк = Е сх . (29а)
Х1еХк
В случае Рк = 0 (гк = 1):
Vk (Xk) = exp (Bk (zk + dk)). (296)
Здесь введены обозначения:
Pk = (Гк-1)/ Гк, Bk = fFTCT1 , (29в)
V Fk (Ck ) )
Cj, dk -произвольные постоянные, Ck = {сi}ш .
Случай 2:
LTk (t) = 0. (30)
T (t )]rk
1к'
Тогда из (24) получаем уравнение для Vk :
р (§ К <31»
Аналогично уравнению (12) решение уравнения (31) при Хк Ф 0 определяется формулой
Vk(Хк) = Вк (гк + Ск), гк = Е с,х, , (32)
хеХк
где Вк определяется формулой (29в), с, Ск - произвольные постоянные.
При Хк= 0 аналогично п.1 решение уравнения (31) определяется формулой
Vk =Фк (гк), (32а)
где Фк - произвольная дифференцируемая функция, а вектор постоянных
Ск ={ с}|е1 должен удовлетворять условию
Рк (Ск) = 0. (322
Множество значений 2 ={1,.. ,,К} индекса к разделим на два непересекающих-ся подмножества Еь 22 следующим образом: если к еЕ1 (к еН2), то для данного значения к реализуется случай 1 (случай 2) соответственно. Тогда выражение (22) можно записать в виде
и(X,Х) = Т0« + Е Тк№к(Хк) + Е Тк(t)Vk(Хк); (33)
ке^! ке^, 2
) = Т0(/) -Е^Тк (X). (33а)
кеН1 Хк
Для того чтобы получить уравнение для функции Т0 (X), подставим выражение (33) в уравнение (21). Тогда, с учетом соотношений (25), (28), (30), (31), получим
ьзд =Ех к [Тк (тгк. (34)
ке^, 2
Таким образом, решение уравнения (21), содержащего сумму однородных функций, дается формулой (33). Функции Тк (X) при к еН1 (к еН2) являются ре-
шениями уравнений (25) и (30) соответственно, функция Т0(/) - решением уравнения (34). Функции Ук (Хк) при к еН1 являются решениями уравнения (28) и определяются формулами (29а,б); функции Vk (Хк) при к еН2 являются решениями уравнения (31) и при Хк Ф 0 определяются формулой (32), а при Хк = 0 -формулой (32а) с дополнительным условием (32б).
Пример. Рассмотрим уравнение
дм
д/
+ а2
дм
дх-,
дм
дх,
+ а л
дм
дх.
дм
дх1 у V ^Л2 У ¥ V ^Л3 У V ^Л4 ,
Правая часть уравнения представляет собой сумму двух однородных функций с показателями однородности гі=2 и г2=1. Решая это уравнение методом РП, в соответствии с результатами данного раздела, получаем следующие решения:
1) м (/, X)=А0 +
2) м (/, X) = Х2/ +
3) м (/, X) = Х1/ +
2
(
4(/0 - /)(а1с12 + а2с2)
+ ехр ■< X2
г2 + й2
2 2 азС + а4^4 у
(21 + ^1)2
Х 2 (22 + й2)
2 2 аз С3 + а4 С4
а, с2 + а2 с2
(г1 + й1) + ехр ■< Х2
Л
22 + Й2
2 2 а3 С3 + а4 С4 у
4) м(/, X) = (X + Х 2)/ +
ас2 + а2с2
Л
2 2 а3С3 + а4С4
Г (г2 + й2 ) ;
5) м (/, X) =
(2! + й^)
--------------2----------г"+ф(22) ;
4(/0 - /)(а1с1 + а2с2)
6) м(/, X) = Х1/ +
X,
а1с1 + а2с2
(гг + й1) + Ф( ^2);
7) м(/,X) = Ф(21) + ехр
8) м (/, X) = Х2/ + Ф(г1) +
22 + й2
Л
2 2 а3с3 + а4с4
л
а3с2 + а4 с42
■(г2 + й2 ) ;
9) и(/,Х) =Ф 1(г1) + Ф2 (г2).
Здесь г1 = с1 х1 + с2х2, г2 = с3х3 + с4х4; Ао,^,с1,с2,с3,с4,С1,С2,Х1,Х2 - произвольные постоянные; Ф, Ф1, Ф2 - произвольные дифференцируемые функции своих аргументов. Решения 1) - 4) применимы при выполнении условий а1с12 + а2с\ Ф 0, а3с3 + а4с42 Ф 0; решения 5), 6) - при выполнении условий а1с12 + а2с^ Ф 0,
а3с3 + а4с42 = 0; решения 7), 8) - при выполнении условий а1с12 + а2с^ = 0,
2 2 2 2 2 2 а3с3 + а4с4 Ф 0 ; решение 9) - при условии а1с1 + а2с2 = 0, а3с3 + а4с4 = 0 .
Х
2
Заключение
Таким образом, в данной работе методом разделения переменных получены решения уравнений в частных производных, содержащих одну или несколько однородных функций от производных первого порядка. Проанализирован вид решения для возможных частных случаев и приведены примеры применения полученных в работе соотношений.
ЛИТЕРАТУРА
1. Полянин А.Д., Зайцев В.Ф., Журов А.И. Методы решения нелинейных уравнений математической физики и механики. М.: Физматлит, 2005.
2. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1984.
3. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка. М.: Физматлит, 2003.
Статья поступила 12.12.2012 г.
Rakhmelevich I.V. ON APPLICATION OF THE VARIABLE SEPARATION METHOD TO MATHEMATICAL PHYSICS EQUATIONS CONTAINING HOMOGENEOUS FUNCTIONS OF DERIVATIVES. The solutions of some evolutionary equations of mathematical physics containing homogeneous functions of derivatives were received using the variables separation method. The equations containing one or several homogeneous functions are considered. Solutions for some particular cases are analyzed.
Keywords: equation, homogeneous function, variable separation method, partial derivative.
RAKHMELEVICH Igor Vladimirovich (Nizhny Novgorod State Commercial Institute)
E-mail: [email protected]
