Об уравнениях математической физики, содержащих мультиоднородные функции от производных Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2014 Математика и механика № 1(27)

УДК 517.9

И.В. Рахмелевич

ОБ УРАВНЕНИЯХ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, СОДЕРЖАЩИХ МУЛЬТИОДНОРОДНЫЕ ФУНКЦИИ ОТ ПРОИЗВОДНЫХ

Рассмотрено понятие мультиоднородной функции и сформулированы некоторые их свойства. С помощью метода разделения переменных получены решения некоторых уравнений математической физики, содержащих муль-тиоднородные функции от производных по пространственным переменным. Выполнен анализ решений для некоторых частных случаев.

Ключевые слова: уравнение, мультиоднородная функция, метод разделения переменных, частная производная.

В современной математической физике и ее приложениях одним из важнейших методов является метод разделения переменных (РП), который успешно применяется для решения уравнений в частных производных [1, 2]. В работе [3] с помощью этого метода получены решения некоторых уравнений, содержащих однородные функции от производных по пространственным переменным. Данная работа является логическим продолжением работы [3]. Здесь рассматривается случай, когда в уравнение входит мультиоднородная функция от производных, у которой свойство однородности выполняется для некоторых подмножеств ее множества аргументов.

1. Мультиоднородные функции и некоторые их свойства

Пусть рассматривается функция N переменных Е(р^,..., ры). Предполагаем, что множество значений I = {1,...,N} индекса /, нумерующего переменные, разбито на К+1 непересекающихся подмножеств 1к (к = 0,1,...,К). Тогда вектор переменных Р = {р1,...,pN} можно разбить на К+1 непересекающихся подвекто-ров Рк = {pi }ш^ . По определению, функция Е называется мультиоднородной

относительно подвекторов Р1,...,РК , если для произвольных значений Р ,...,РК и произвольного действительного а выполняются соотношения

Е (Ро, Р,..., аРк,..., Рк ) = а ГкЕ Р Р,..., Рк ) (1)

Соотношения (1) должны выполняться для всех к =1,...,К ; показатели однородности гк являются некоторыми действительными постоянными. Понятие муль-тиоднородной функции, введенное в работе [5], является обобщением классического понятия однородной функции [4]. Однако здесь, в отличие от работы [5], рассматривается более общий случай, когда имеется подвектор переменных Р0 , по которым функция Е не является однородной.

Отметим некоторые свойства мультиоднородных функций, которые будут использованы в дальнейшем.

Свойство 1. При всех 1 < к < К , для которых гк > 0,

Е (Ро, Р,..., Рк,..., Рк )|Рк = о = 0. (1а)

Это свойство вытекает непосредственно из соотношений (1).

Свойство 2. Пусть множество значений 2 ={1,...,К} индекса к разделено произвольно на L (1 < L < К) непересекающихся подмножеств 21 (I = 1,..., L). Определим новую систему подвекторов Р1,...,PL следующим образом: Р1 = и Рк . То-

ке~1

гда, если функция Е является мультиоднородной относительно подвекторов Р ,...,РК с показателями однородности гк , то она является мультиоднородной и

относительно подвекторов Р,...,PL с показателями однородности гг = X гк . В

ке!

частности, если функция Е является мультиоднородной относительно любой системы подвекторов Р,..., РК, то она является однородной в обычном смысле

К

относительно вектора переменных Р = и Рк.

к=1

Это свойство также можно получить из соотношений (1), применив эти соотношения последовательно для всех значений к, принадлежащих одному и тому же подмножеству 21 .

2. Уравнение, содержащее мультиоднородную функцию

Рассмотрим уравнение относительно неизвестной функции и(/, х1,..., xN)

„( ди ди Л

Líм=Е\д- >•••> I. (2)

^ дxN)

м дт

Здесь Lt = Х ат (/)-----линейный дифференциальный оператор по переменной t.

т=1 дт

ди

Пусть р1 =— (/' =1,., К). Далее, предположим, что вектор Р = {р1,...,pN}

дхг

можно разбить на К+1 непересекающихся подвекторов Р0,Р,...,РК таким образом, что функция Е является мультиоднородной относительно подвекторов Р,..., РК . Вектор независимых пространственных переменных X = {х^,..., xN} разбиваем на соответствующие подвекторы Хк = {хг-} ,е1 и введем также соответ-

д Г д 1

ствующие векторы производных---------= < — > (к = 0,1,..., К).

дХк [дх, ),е1к

Применяя метод РП к уравнению (2), решение будем искать в виде

u(t, X) = 7^0 (t) + У0 (X0) + £ Тк ^) V (Хк). (3)

к=1

Подставим выражение (3) в уравнение (2) и, учитывая соотношения мультиоднородности (1), приводим это уравнение к виду

^+£ук (х,) ±М1 = ^ (*У_, *У_,„. ^), (4)

Я(?) к= я(?) [Х ах! Х1

Я(?) = П Т (г)]Гк. (4а)

к=1

Продифференцируем уравнение (4) по Х, (к =1,..., К), откуда получаем

1<Тк(0 д¥к = ^_F[зу^ ЗуЛ ()

Я (?) дХк дХк ^5Х0 , дХ1 дХК ) ' ()

Так как правая часть уравнения (5) не зависит от ?, то это уравнение может удовлетворяться только при выполнении условий

^М)=ч, (6)

Я (/) к

где к =1,..., К.

Подставляя (6) в уравнение (4) и учитывая, что правая часть этого уравнения также не зависит от /, получим

= Ь0. (6а)

Я(/) 0

В итоге уравнение (4) приводится к виду

^+Х (Хк)=[|уч дХт). (

к=1 15Х о дХ1 дХК )

Рассмотрим частные случаи, в которых может быть удовлетворено уравнение (7). Случай 1:

х0 = 0, Хк = о (к =1,..., К).

Тогда функции Ук (Хк) должны удовлетворять уравнению

[^, ^ч... ^) = 0. (8)

[дХ 0 5Х1 5Хк 1

Решение уравнения (8) будем искать в виде

Ук (Хк) =Фк (гк) (к =1,..., К) , ¥0 (Х0) = *0, (9)

г,

= X СгХг , (9а)

г'е/;

к

где ci - некоторые постоянные, Фк (гк) - некоторые неизвестные дифференци-

ЛУ,

= ^ Ф'к (гк), уравнение (8)

руемые функции. Принимая во внимание, что к

дхг

сводим к следующему:

геА

П[Фк(*к)]Гк^ (С0,С1,...,^ )= 0, (10)

к=1

где введены постоянные векторы Ск = {сг}.е/ . Уравнение (10) удовлетворяется в следующих случаях.

а) F (C0,Q,...,CK ) = 0. (11)

Тогда решение уравнения (2) в этом случае

u(t,X) = 70(0 + Zo +Y^Tk(t)фк(zk) . (12)

k=1

Здесь функции Ф к (zk) являются произвольными, zk определяются формулой (9а) при к = 0,1,...,K , причем постоянные ct должны удовлетворять соотношению

(11), а функции Tk (t) при тех же значениях к должны удовлетворять уравнению

LtTk (t) = 0. (12а)

б) Фk (zk) = 0 при некотором фиксированном k = k0, удовлетворяющем условию rk > 0 . Тогда решение уравнения (2) также определяется формулой (12), причем функция Фk = const, а остальные функции Фk (zk) являются произвольными. При этом, в отличие от п. а), постоянные ct также являются произвольными.

Случай 2:

Х0 ф 0, Xk = 0 (k =1,...,K).

В этом случае левая часть уравнения (7) равна Х0 , т.е. не зависит от пространственных переменных, поэтому Vk (Xk) = zk и решение уравнения (2) запишется как

u(t,X) = 7i(t) + z0 +£Tk(t)zk . (13)

k=1

Здесь функции Tk (t) определяются из уравнения (12а), после чего функция 7i(t) находится из уравнения (6а). Постоянные cf, входящие в выражение (9а) для ik, должны удовлетворять условию

F (C0,Q,...,Ck )=X (13а)

Случай 3: Xk ф 0 при некоторых значениях k еН . Множество значений

S ={1,...,K} индекса k разделим на два непересекающихся подмножества Si, S2 следующим образом: если k еН1 (k еН2), то для данного значения k Xk ф 0

(Xk = 0) соответственно. Тогда уравнение (7) запишется следующим образом:

X0+s x > = f (f, t-fr) <|4)

Так как левая часть уравнения (14) не зависит от Xk при k еН2, k = 0 , то для

этих значений k Vk (Xk) = zk.

Далее, покажем, что уравнение (14) может быть удовлетворено только в том случае, если множество S1 включает в себя не более одного элемента. Так как левая часть (14) представляет собой сумму функций, зависящих от разных аргументов, то и правая часть этого уравнения должна быть представима в виде суммы функций, зависящих от тех же аргументов:

F ((0, P,- Pk )=Е Fk (Pk). (15)

keHi

Пусть I еН1 - некоторое фиксированное значение индекса к. Тогда из соотношений (1) и (15) следует

Р(Ро,Р,...,ар,...,РК) = аг‘ X Рк(Рк). (16)

ке^1

С другой стороны, из (15) непосредственно вытекает

Р(Ро,Р1,...,ар,...,Рк) = X Рк(&кРк) , (17)

ке^1

где

(а если k = l, если k ф l.

^ I WJ1*1 /V — — Ч

(аk = {, (17а)

(а

1

Сопоставляя (16) и (17), приходим к соотношению

Е { (Pk) - Fk (akPk )} = 0. (18)

ke^i

Равенство (18) должно удовлетворяться при произвольных а, Pk . Так как слагаемые в левой части (18) зависят от разных аргументов , то (18) эквивалентно следующей системе равенств:

(аri -1)Fk (Pk) = 0 (k еН1, k Ф l), (19а)

a riFl (P) - F (xP ) = 0 (19б)

Равенства (19а) могут быть удовлетворены при произвольных a, Pk только в том

случае, если Fk (Pk) = 0 при всех k еН1, k ф l. Это означает, что при выбранном

значении l F (P0, P1,...PK) = Fl (P), т.е. множество S1 состоит из одного элемента.

Поэтому сумма в левой части (14) включает только одно слагаемое, благодаря чему это уравнение можно записать в виде

( 9V, ^

X0 +X Vl (Xl) = Fl ^J . (20)

~ X0

С помощью линейной замены Уг = Vi + — это уравнение сводится к следующему:

xi

( dV ^ -

Fl IXJ-XV(Xl) = 0. (а)

Уравнение (20а) было рассмотрено в работе [3]. Его решение имеет вид

а) в случае Pi Ф 0 (гф 1):

V (Xl) = ®,В,)1/Pl (zl + d, )1/Pl, zl = Е cx ; (21a)

xi eXl

б) в случае pl = 0 (rl = 1):

V (Xl) = exp ( (zl + dt)). (21 б)

Здесь введены обозначения:

Pi = (rl-1)/rl, Bl = ^|'" , (21в)

ci, dl - произвольные постоянные, С1 = {с }ieI . Тогда решение исходного уравнения (2) для рассматриваемого случая можно записать как

u(t, X) = T0 (t) + z0 + Е Tk (t) zk + T (t) V (zl). (23)

k=1 k ф-l

Здесь функции Tk (t) являются решениями уравнения (12а), функция T0(t) находится из уравнения (6а), Tl (t) определяется из уравнения (6), в котором необходимо заменить k ^ l, Vl (zl) определяется формулами (21).

Случай 4: Vk = const при некоторых значениях k еН , причем предполагаем, что для этих значений k rk > 0 . Разделим множество Н на два непересекающих-ся подмножества Sb S2 следующим образом: если k ен1 (k еН2), то для данного значения k Vk = const (Vk ф const) соответственно. Из свойства (1а) мультиод-

нородной функции следует, что в рассматриваемом случае правая часть уравне-

ния (7) тождественно равна 0. Тогда это уравнение можно переписать в виде

X 0 +Ех Vk (Xk) = 0, (24)

keH 2

X0 = X0 + Е XkVk . (24а)

keH1

Так как слагаемые под знаком суммы в левой части (24) зависят от разных аргументов и при этом не являются постоянными, то это уравнение может быть удовлетворено в том и только в том случае, если

X 0 = 0, X k = 0

для всех k еН2 . Тогда, введя функцию T0(t) = T0(t) + Е Tk(t)Vk , решение

keH 1

уравнения (2) для данного случая запишем в виде

u(t,X) = 7^0(t) + z0 + Е Tk(t)Vk(Xk). (25)

keH 2

Здесь функции T0(t) , Tk (t) должны удовлетворять уравнению (12а), а функции Vk (Xk) являются произвольными.

Кроме рассмотренных выше решений уравнение (2) может иметь также дополнительные решения. Это вытекает из свойства 2 мультиоднородных функций, сформулированного в п. 1. Действительно, для каждой из систем подвекторов P,...,PL, образованных способом, описанным в п.1, из исходной системы P,..., PK, проводя рассуждения, аналогичные приведенным выше, можно получить решения, соответствующие этой системе подвекторов.

Пример. Рассмотрим уравнение

d 2u du (du Y du (du л2

dt dx1 V dx3 ) dx2 V dxz

(26)

Функция в правой части этого уравнения является мультиоднородной относи-

тельно подвекторов P = {px, p2 } , P2 = {p3, p4 } , где Pj =

du

dx

Решая уравнение (26) методом РП, в соответствии с описанными выше результатами, получаем следующие решения:

1) u(t,X)=A01 + B0 +X (Akt + Bk)Фк(Zk);

k=1

2) u(t,X)=A0t + B0 + (A1t + B1)V1(x1,x2) ;

3) u(t,X)=A0t + B0 + (A21 + B2)V2(x3,x4);

4) u(t,X) = 70(t) + ]T(Akt + Bk)Zk ,

k=1

где

x 0 [ A1

T0(t) = A0t + B0 + A"TI 20(A2t + B2)5 + B (A2t + B2)4

A = 4L, Bi = Bl -AB2;

a2

a2

2 2 5) u(t,X)=A0t + B0 + T1(t)exp(q1 z1) + (A21 + B2)z2 ,

где 71 (t) = тЩ All

M/4

+ B1K1/4

t = A2t + B2, I1/4,K1/4 - модифи-

цированные функции Бесселя;

6) u(t,X)=A0t + B0 + (A1t + Bj)z1 + 4q2T2(t)(z2 + c0)2 ,

где T2(t) определяется из уравнения T2(t)-X2(A1t + B1 )T22(t) = 0 ;

7) u(t, X)=A0t + B0 +4qT (t)

-(Z + C0)

3/2

где Т (/) определяется из уравнения Т'' (/) -ХТ3(/) = 0 ;

8) и(¿,X)=Aot + Во + ^/3(А^ + В)(г + Со);

9) и^, X)=+ В0 + А + В)Ф(2).

Здесь Ф(г), Ф12 (г1 2), ^ (х1, х2), К2 (х3, х4) являются произвольными дифференцируемыми функциями своих аргументов; с ( = 0, 1, 2, 3, 4), Х, А, В, Хк, Ак, Вк (к = 0,1,2) - произвольные постоянные; q, qk определяются выражениями

q=

X

xk

2 2 , qk 2 2

C1C3 + ^2^4 С1С3 + ^2^4

(k = 0,1,2); zk определяются выражением (9а),

4

z = Х сгхг . Решения 5), 6), 7), 8) применимы при условии qc32 + c2c42 Ф 0 ; реше-

i=1

ния 1), 4), 9) - при условии c1c32 + c2c42 = 0 . Уравнения для функций T(t), T2(t), приведенные выше для решений 6),7), сводятся к уравнению Эмдена - Фаулера [6]; выражение для T1(t), входящее в состав решения 5), также получено в [6, с.157].

Заключение

Таким образом, в данной работе методом разделения переменных получены решения уравнения в частных производных, содержащего мультиоднородную функцию от производных первого порядка по пространственным переменным. Проанализирован вид решения для возможных частных случаев и приведен пример применения полученных в работе соотношений.

ЛИТЕРАТУРА

1. Полянин А.Д., Зайцев В.Ф., Журов А.И. Методы решения нелинейных уравнений математической физики и механики. М.: Физматлит, 2005.

2. Полянин А.Д., Зайцев В.Ф. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики: точные решения. М.: Физматлит, 2002.

3. Рахмелевич И.В. О применении метода разделения переменных к уравнениям математической физики, содержащим однородные функции от производных // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2013. № 3(23). С. 37-44.

4. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1984.

5. Рахмелевич И.В. О некоторых уравнениях в частных производных, содержащих мульти-однородные функции // Материалы III Международной заочной научно-практической конференции «Научная дискуссия: вопросы физики, математики, информатики». 2012. С. 18-23.

6. Зайцев В. Ф., Полянин А.Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Физматлит, 2001.

Статья поступила 03.10.2013 г.

Rakhmelevich I.V. ON EQUATIONS OF MATHEMATICAL PHYSICS CONTAINING MULTI-HOMOGENEOUS FUNCTIONS OF DERIVATIVES. We introduce the concept of a multi-homogeneous function for which the homogeneity property holds for some subsets of its set of arguments. Some properties of such functions have been formulated. A class of mathematical physics equations containing a multi-homogeneous function of the first order derivatives with respect to spatial variables and a linear differential operator in time is considered. Using the method of separation of variables, we obtain solutions of equations of this kind in the form of finite sums in which each term depends on the time and spatial variables belonging to one of the above homogeneity subvectors Xk. It is shown that if all the constants of separation of variables are equal to zero, then the solution depends on arbitrary functions of some linear combinations of spatial variables zk forming subvector Xk. For the cases of non-zero values of constants of separation of variables, we obtained solutions characterized by linear dependence on the values of zk, solutions with the power and exponential dependence on these variables, and solutions containing arbitrary functions of variables forming subvectors Xk. The obtained results are illustrated by an example of an equation of second order in time with a multi-homogeneous function of four variables.

Keywords: equation, multi-homogeneous function, variables separation method, partial derivative.

REFERENCES

1. Polyanin A.D., Zaytsev V.F., Zhurov A.I. Metody resheniya nelineynykh uravneniy matematicheskoy fiziki i mekhaniki. Moscow: Fizmatlit, 2005 (in Russian).

2. Polyanin A.D., Zaytsev V.F. Spravochnik po nelineynym uravneniyam matematicheskoy fiziki: tochnye resheniya. Moscow: Fizmatlit, 2002 (in Russian).

3. Rakhmelevich I.V. O primenenii metoda razdeleniya peremennykh k uravneniyam matematicheskoy fiziki, soderzhashchim odnorodnye funktsii ot proizvodnykh // Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika. 2013. No. 3(23). P. 37-44 (in Russian).

4. Korn G., Korn T. Spravochnik po matematike dlya nauchnykh rabotnikov i inzhenerov. Moscow: Nauka, 1984 (in Russian).

5. Rakhmelevich I.V. O nekotorykh uravneniyakh v chastnykh proizvodnykh, soderzhashchikh mul'tiodnorodnye funktsii // Materialy III Mezhdunarodnoy zaochnoy nauchno-prakticheskoy konferentsii «Nauchnaya diskussiya: voprosy fiziki, matematiki, informatiki». 2012. P. 18-23.

6. Zaytsev V.F., Polyanin A.D. Spravochnik po obyknovennym differentsial'nym uravneniyam. Moscow: Fizmatlit, 2001 (in Russian).

RAKHMELEVICH Igor Vladimirovich

(Nizhny Novgorod State University, Nizhny Novgorod, Russian Federation)

E-mail: [email protected]