Метод ассоциированных систем для решения обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащих однородные функции Текст научной статьи по специальности «Математика»

MSC 34A34

МЕТОД АССОЦИИРОВАННЫХ СИСТЕМ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ ОДНОРОДНЫЕ ФУНКЦИИ

И.В. Рахмелевич

Нижегородский Государственный Университет им. Н.И. Лобачевского пр. Гагарина, 23, Нижний Новгород, 603950, Россия, e-mail: [email protected]

Аннотация. Предложен метод поиска частных решений обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), содержащих однородные функции от некоторых дифференциальных выражений. Введено понятие ассоциированной системы, решения которой при определенных условиях совпадают с решениями исходного уравнения, и исследованы ее свойства. Предлагаемый метод проиллюстрирован для некоторых частных случаев.

Ключевые слова: дифференциальное уравнение, однородная функция, ассоциированная система, условия совместности.

1. Введение. В настоящее время существует достаточно много методов решения нелинейных дифференциальных уравнений [1-3]. В этих методах используются, как правило, свойства симметрии или некоторые специальные свойства уравнения. Это относится, например, к однородным и обобщенно-однородным обыкновенным дифференциальным уравнениям (ОДУ) [1,2]. Также получены решения ряда уравнений в частных производных, содержащих однородные функции от производных [4]. В работе сделана попытка обобщения известных результатов для ОДУ, содержащих однородные функции от производных. Предложен метод поиска частных решений нелинейных ОДУ, содержащих однородные функции от некоторых дифференциальных выражений.

2. Понятие ассоциированной системы и ее свойства. Пусть у (ж) - комплекснозначная функция действительного аргумента. Рассмотрим ОДУ следующего вида относительно функции у (ж):

р (ф0(ж у, у',..., у(м)),ф1(ж у, у',..., у(м)),..., (ж,у,у',..., у(м))) =0 , (1)

где Р, ф0, ф1,..., фм - некоторые заданные функции. Пусть Р является однородной функцией с показателем однородности г, т.е. для произвольных комплексных а, и0, и1,..., им и некоторого действительного г выполняется соотношение [5]:

(2)

Определение 1. Пусть Ф(ж) = |^0(ж), ^1(ж),... , (ж)} - вектор-функция, удовле-

творяющая функциональному уравнению:

Р (^0(ж),^1(ж),...,^м (ж)) = 0 . (3)

Ассоциированной системой (АС) для уравнения (1), соответствующей вектор-функции Ф (ж), будем называть систему дифференциальных уравнений следующего вида:

У>о(ж,у,у;, ...,У(М)) = У’1(ж, у, у', ■ ■ ■ , у(М)) = = фм{х,у,у{М))

<Ро(х) <Р1(х) <рм(х)

Если ввести некоторую произвольную функцию ^(ж), то АС можно записать в альтернативной форме:

фп(х,у,у\... ,'У(М])

---------7—\------- = <1(Х) ■ 5

^п(ж)

(п = 0,1,..., N).

Отметим, что в общем случае АС является переопределенной, так как одна неизвестная функция у = у (ж) должна удовлетворять одновременно N уравнениям, входящим в систему (4).

Теорема 1 (о решениях ассоциированной системы). Пусть у = у (ж) - некоторая функция, дифференцируемая до порядка М включительно, и пусть ассоциированная система (4) совместна. Тогда для того, чтобы функция у = у (ж) была решением уравнения (1), необходимо и достаточно, чтобы эта функция была решением ассоциированной системы (4).

□ Необходимость. Пусть у = у(ж) удовлетворяет уравнению (1). Тогда в качестве функций <^п(ж) можно выбрать ^га(ж) = фп(ж, у, у',... , у(м)). При этом у = у(ж) удовлетворяет системе (4), так как фп(ж,у,у',... ,у(м))/^га(ж) = 1 для всех п = 0,1,..., N.

Достаточность. Пусть при некоторых <^0(ж), ^1(ж),... , (ж) удовлетворяющих урав-

нению (3), у = у(ж) является решением АС. Подставим эту функцию в уравнение (1) и используем АС в виде (5). Тогда уравнение (1) можно записать в виде:

Р (д(ж)<£0(ж), д(ж)<£1(ж),..., д(ж)^м(ж)) = 0 .

В силу свойства однородности (2) функции Р последнее уравнение может быть преобразовано к виду:

(з(ж))г Р (<£0(ж), Ыж),..., (ж)) = 0 . (6)

Уравнение (6) удовлетворяется, так как функции <^0(ж), ^1(ж),..., (ж) удовлетворяют

уравнению (3). Отсюда вытекает, что у = у(ж) удовлетворяет уравнению (1). I

Используя доказанную теорему, можно находить частные решения уравнения (1), решая систему (4), которая, как правило, является более простой, чем исходное уравнение. Ниже приведены некоторые классы таких уравнений.

2. Некоторые уравнения N -го порядка, решаемые методом АС. Рассмотрим уравнение вида ( )

Р (£0(ж)у, С1(ж)у',..., См(ж)у(м]) = 0 . (7)

В данном случае М = N, функции фп(ж,у,у',... ,у(м)) = £п(ж)у(п) являются линейными по у и ее производным, причем каждая из них зависит только от производной того же порядка от неизвестной функции. Для уравнения (7) АС имеет вид:

П0(ж)у = П1(ж)у' = ... = Пм (ж)у(м) , (8)

где Пп(ж) = Сп(ж)/^п(ж) для всех п = 0,1,..., N.

Найдем условия совместности системы (8). Первое уравнение системы (8) имеет следующее решение:

у(ж) = Сехр I / ш(ж)^ж I , (9)

где ш(ж) = п0(ж)/п1(ж), С - произвольная постоянная. Из остальных уравнений системы (8) выразим функции пп(ж) (п = 1,..., N):

= (Ю)

Подставим функцию у(ж), определяемую формулой (9), в выражение (10), и после пре-

образований получим:

Ъ(*) = Ш • (П)

где функции (п(ж) определяются рекуррентной формулой:

С«(ж) = СП-1(ж) - ^(ж)Сп-1(ж), С0(ж) = 1. (12)

Соотношения (11) представляют собой условия совместности ассоциированной системы для уравнения (7). Для нахождения неизвестной функции ш(ж) необходимо подставить выражение (9) в уравнение (7), и учесть (11) и (12), в результате чего можно получить уравнение порядка ^ — 1) относительно ш(ж).

Аналогичный результат приведен в работе [2, с. 90], где рассматривается понижение порядка уравнения Р ж, у, у , . . . , у(м) = 0 основанное на замене переменной, с точ-

ностью до обозначений совпадающей с выражением (9). В простейшем частном случае уравнения Р у, у , . . . , у(м) = 0, когда уравнение явно не содержит ж, частным решением является функция у = ехр(Аж), причем постоянная Л должна быть корнем уравнения Р (1, А,..., Ам) = 0. Таким образом, применение метода АС к уравнению (7) приводит к известной замене переменной, позволяющей понизить порядок исходного уравнения.

Пусть теперь фп(ж, у, у',...) = у(тп) (ж) где {тп} (п = 1,..., N) - множество значений индекса, определяющего порядки производных, входящих в уравнение (1). Пусть также

т0 = 0 (этого всегда можно добиться с помощью замены переменной г = у(то) ). При этом уравнение (1) принимает вид:

Р (у,у(т1),у(тз) ...,у(тм)) =0 . (13)

Предполагаем также, что уравнению (3) удовлетворяют функции <^п(ж) = Ьп. Тогда

запишем АС для уравнения (13):

у у(т1) у(т^)

ь= ь = "= ь ■ (14)

ь0 Ь1 ьм

(14) представляет собой переопределенную систему ОДУ с постоянными коэффициентами. Первое уравнение этой системы у(т1) — а1у = 0 (а1 = Ь1/Ь0) имеет следующее решение:

Ш1 — 1

у = ^ С ехр(А^ж), (15)

«=0

где

А« = |а1|1/т1 ехр[г(2пв + 0)/ш1] (16)

— корни характеристического уравнения А™1 — а1 = 0, в = а^а1, С« - произвольные постоянные, в = 0,1,..., т1 — 1. Для нахождения условий совместности АС запишем п-е уравнение этой системы у(тп) — апу = 0 (ап = Ьп/Ь0) и подставим в него решение

(15). Тогда приходим к следующему соотношению:

Ш1-1 \ / /Ш1-1

У, СД™ ехр(А«ж) I / | ^ С« ехр(А5ж) ) . (17)

«=0 / / \ «=0

Учитывая (16), нетрудно видеть, что соотношение (17) может быть удовлетворено, если при каждом фиксированном п (1 < п < N) для любого в = 0,1,..., т1 — 1 выполняется хотя бы одно из условий:

а) втп/т1 - целое число;

б) С« = 0.

В этом случае из (16) и (17) следует, что ап = . В частности, если все тп кратны

т1, то условие а) удовлетворяется при каждом фиксированном п (1 ^ п ^ N) для всех в = 0,1,..., т1 — 1.

Тогда из (3) с учетом однородности функции Р легко получить алгебраическое уравнение для определения величины а1:

Р (1,аьаГ/т1 ,...,аГ/т1) =0 . (18)

Итак, уравнение (13) имеет частное решение вида (15), в котором постоянные С« могут быть отличны от 0, если при каждом п (1 ^ п ^ N) втп/т1 - целое число, причем величина а1 должна удовлетворять алгебраическому уравнению (18).

Пример. Рассмотрим следующее уравнение:

Р (у,у(2),у(4),у(8)) = Ріу(8)(у(4))2 + Р2У(4)(У(2))2 + РзУ3 = 0 .

Согласно изложенному выше, из (14) получаем АС для данного уравнения:

у__ уМ_ уМ Ьо Ьі Ъ2 Ьз

Решение первого уравнения этой системы:

у = С1 ехр(Л1ж) + С2 ехр(Л2х),

где Л1)2 = ±у/а1. Для определения величины а1 используем уравнение (18), которое в данном случае сводится к виду:

Р (1, а1, а1, а1) = р1«8 + р2а1 + р3 = 0 , откуда получаем формулу для возможных значений а1:

^_4 _ -р2 ± (р22 - іргрз)1/'2 СІ і — ^ .

1 2Р1

Рассмотрим случай, когда в уравнение (1) входят некоторые степени от неизвестной функции и ее производных:

Р (у*, (у')'3‘,..., (у("У'*) =0, (19)

где во, въ • • •, вм - некоторые действительные числа, причем предполагаем, что в«. = 0 для всех п = 0,1, • • •, N. Пусть так же, как в предыдущей задаче, ^га(ж) = - некоторые

постоянные. Тогда АС для уравнения (19) можно записать в виде:

v'J 0 (У )ві (v(N ^)в

во

(20)

bo bi bw

1). Пусть в1 = в0 • Решая первое уравнение системы (20) y1 = fc1yCT1 находим:

y = Ao(x + C )V1, (21)

где A0 = ((1 — a1)fc1)Vl, v1 = 1/(1 — a1), a1 = в0/въ k1 = (b1/b0)1/ei; C - произвольная

постоянная. Для нахождения условий совместности системы (20) продифференциру-

ем функцию (21) N раз и подставим полученные производные в остальные уравнения системы. Тогда получим искомые условия совместности:

в0/вп = 1 — n(1 — ^М) , bn/b0 = АП"/A0° , (22)

где А„ = Д)^1(^1 — 1)... (v1 — n +1) ; n = 1,..., N.

Подставив функцию из (21) и её производные в уравнение (19) , учитывая условия (22) и свойство однородности функции Р, получим уравнение, которому должны удовлетворять параметры в0,в1,к1:

Р (мв1 /Ав0,..., Мв0) =0 . (23)

2). Пусть в1 = во . Тогда из первого уравнения системы (20) у' = к1у находим решение у = Сехр(к1ж), где, так же как и выше, к1 = (61/60)1/в1. Далее, используя остальные уравнения АС, нетрудно получить условия ее совместности: вп = во, Ьп/Ь0 = (Ь1/Ь0)п для всех п = 1,... , N. Тогда из уравнения (19) следует, что величина к1 должна удовлетворять уравнению:

Р (1, А;ь..., *1) =0 . (24)

Таким образом, при в1 = во уравнение (19) имеет решение (21) при условии, что входящие в него параметры удовлетворяют уравнению (23). В случае в1 = во решением уравнения (19) является экспоненциальная функция у = Сехр(*1ж), причем величина *1 должна удовлетворять уравнению (24).

3. Решение некоторых уравнений 2-го порядка методом АС. Рассмотрим уравнение 2-го порядка:

Р (у, у', у'') = 0 . (25)

Будем предполагать, что уравнение (3) разрешимо относительно одной из функций <^п(ж) (в отличие от задач, рассмотренных в п. 2, эти функции, вообще говоря, не предполагаются постоянными).

1). Пусть Р (и0,и1,и2) = Р0 (и0,и1) + и2Р1 (и0,иь), где Р0 (и0,и1), Р1 (и0,и1) - од-

нородные функции с показателями однородности г, (г — 1) соответственно. Тогда из уравнения (3) можно получить:

Мх) _ *о(1,¥>1(я)М)И)

^0 (ж) Р1 (1,^1(ж)/^0(ж))

Запишем АС для уравнения (25):

= -1— = -1— . (27)

^0 (ж) ^1 (ж) ^2 (ж)

Решение первого уравнения системы (27) выражается формулой (9), где

ш(ж) = ^1(ж)/^0(ж). Для получения условия совместности АС используем второе урав-

нение этой системы, которое запишем в виде:

/ = Ых)

У <Ро(х) '

Подставив в это уравнение функцию у (ж), определяемую формулой (9), и учитывая соотношение (26), получим уравнение относительно функции ш(ж):

ш'(ж) = —ш2(ж) + д (ш(ж)) , (28)

где д (ш(ж)) = Р0 (1,ш(ж)) /Р1 (1,ш(ж)). Поскольку (28) представляет собой уравнение 1-го порядка с разделяющимися переменными, то его решение запишем в виде:

Г -х + А, (29)

ш2 + д (ш)

где А - произвольная постоянная. Соотношение (29) определяет в неявном виде функцию ш(ж) = ^1(ж)/^0(ж), при которой система (27) является совместной. Таким образом, для рассмотренного случая решение уравнения (25) определяется формулами (9) и (29).

2). Пусть теперь Р (и0, и1, и2) = Р0 (и1, и2) + и0Р1 (и1, и2,) где Р0 (и1, и2), Р1 (и1, и2) -однородные функции с показателями однородности г, (г — 1) соответственно. Тогда уравнение (3) разрешимо относительно функции ш(ж):

= Мх) = р1 (1^2(ж)М(а:))

Ш (р0(х) ро (1, </?2(ж)/<Мж))

или

^(ж) = ~9 Мж)) , Х'(ж) = ^44 , 9 (х) = р1 • (31)

<Мж) Р0 (1,Х)

Так же, как и в предыдущем случае, АС имеет вид (27), а решение уравнения (25) определяется формулой (9). Для получения условия совместности АС второе уравнение этой системы запишем в виде:

< = = *(*>. (32)

у' <Мж)

Подставляя в уравнение (32) функцию у (ж), определяемую формулой (9), и учитывая, что ш'(ж) = —д' (х(ж)) х'(ж), после несложных преобразований получаем уравнение относительно функции х(ж) :

где Л,(х) = —д' (х) /д (х). Решение уравнения (33) в неявной форме:

[ Мх)^х

д (х) + х

X + А , (34)

Соотношение (34) определяет в неявном виде функцию х(ж), при которой система (27) для рассматриваемого случая является совместной. Используя (31), можно выразить через эту функцию решение уравнения (25):

у(ж) = Сехр ^^ д (х(ж)) ^ • (35)

Таким образом, для рассмотренного случая решение уравнения (25) определяется формулами (34), (35).

4. Заключение. Метод ассоциированных систем, предложенный в данной работе, является эффективным средством решения обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащих однородные функции от дифференциальных выражений произвольного вида. В процессе применения метода задача решения исходного уравнения (1) разбивается на две более простые задачи:

1) решение функционального уравнения (3);

2) решение ассоциированной системы вида (4) и нахождение условий ее совместности.

В примерах, рассмотренных в настоящей работе, с помощью представленного метода получены решения уравнений второго порядка в неявной форме для случая, когда уравнение разрешимо относительно искомой функции или одной из ее производных. Также найдены некоторые частные решения уравнений произвольного порядка, для которых АС представляет собой переопределенную систему ОДУ с постоянными коэффициентами, и исследованы условия её совместности. Предложенный метод является перспективным для решения дифференциальных уравнений сложного вида.

Литература

1. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям // М.: Физматлит, 2001. - 576 с.

2. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление / М.: Наука. 1969. - 424 с.

3. Полянин А.Д., Зайцев В.Ф., Журов А.И. Методы решения нелинейных уравнений математической физики и механики // М.: Физматлит, 2005. - 256 с.

4. Рахмелевич И.В. О применении метода разделения переменных к уравнениям математической физики, содержащим однородные функции от производных // Вестник Томского университета. Математика и механика. - 2013. - 3(23). - С.37-44.

5. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров / М.: Наука, 1984. - 832 с.

METHOD OF ASSOCIATED SYSTEMS FOR SOLVING OF ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS CONTAINING HOMOGENEOUS FUNCTIONS I.V. Rakhmelevich

Nizhny Novgorod State University,

Gagarin Av., 23, Nizhny Novgorod, 603950, Russia, e-mail: [email protected]

Abstract. The method for search of particular solutions of ordinary differential equations containing homogeneous functions of some differential expressions is proposed. The concept of associated system is introduced and its properties are investigated. The solutions of this system coincide with the solutions of initial equation under certain conditions. The proposed method is illustrated for some particular cases.

Key words: differential equation, homogeneous function, associated system, conditions of compatibility.