О применении ортогональных разложений для приближенного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.622

О ПРИМЕНЕНИИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИИ ДЛЯ ПРИБЛИЖЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

О. Б. Арушанян1, Н. И. Волченскова2, С. Ф. Залеткин3

Предложен приближенный метод решения задачи Коши для нормальных и канонических систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Метод основан на представлении решения и его производной на шаге интегрирования в виде частичной суммы ряда по смещенным многочленам Чебышева первого рода. С помощью квадратурной формулы Маркова построены уравнения для приближенных значений коэффициентов Чебышева правой части системы, рассмотрены достаточные условия сходимости итерационного метода решения этих уравнений, приведены оценки погрешности приближенных коэффициентов и решения относительно величины шага интегрирования.

Ключевые слова: обыкновенные дифференциальные уравнения, приближенные аналитические методы интегрирования, численные методы интегрирования, ортогональные разложения, смещенные ряды Чебышева, квадратурные формулы Маркова.

An approximate method to solve the Cauchy problem for normal and canonical systems of second-order ordinary differential equations is proposed. The method is based on the representation of a solution and its derivative at each integration step in the form of partial sums of series in shifted Chebyshev polynomials of the first kind. A Markov quadrature formula is used to derive the equations for the approximate values of Chebyshev coefficients in the right-hand sides of systems. Some sufficient convergence conditions are obtained for the iterative method solving these equations. Several error estimates for the approximate Chebyshev coefficients and for the solution are given with respect to the integration step size.

Key words: ordinary differential equations, approximate analytical methods of integration, numerical methods of integration, orthogonal expansions, shifted Chebyshev polynomials, Markov quadrature formulas.

В работе рассматривается приближенный аналитический метод решения задачи Коши для канонической системы М обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка

В основе метода лежит разложение правой части системы, взятой на решении дифференциального уравнения в пределах частичного сегмента Хо,Хо + Н], Н < X, в ряд Фурье по ортогональным многочленам Чебышева первого рода. Частичная сумма этого ряда используется в качестве многочлена, аппроксимирующего правую часть. Вычисление коэффициентов разложения ведется с помощью квадратурной формулы Маркова. Предлагаемый подход отличается от известного способа отыскания коэффициентов посредством линейных рекуррентных соотношений [1—4], предназначенного, как правило, для интегрирования линейных дифференциальных уравнений и имеющего ряд ограничений в применении.

1 Арушанян Олег Багратович — доктор техн. наук, проф., зав. лаб. Научно-исслед. вычисл. центра МГУ, e-mail: arush@srcc. msu. ru.

2 Волченскова Надежда Ивановна — канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр. Научно-исслед. вычисл. центра МГУ, e-mail: [email protected].

3 Залеткин Сергей Федорович — канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр. Научно-исслед. вычисл. центра МГУ, e-mail: [email protected].

y" = f (x, y, y'), y(xo) = yo, y'(xo) = , xo < x < xo + x,

(1)

и задачи Коши для нормальной системы

y' = f (x,y), y(xo) = yo, xo ^ x ^ xo + X.

(2)

Будем использовать систему смещенных многочленов Чебышева первого рода Т*(х) на отрезке [0,1]

те

и смещенный ряд Чебышева a*[^] T*(x) функции ^>(x) £ i] с коэффициентами

г=0

1

О Г 1

п } л/х(1 - х) 0

т 1

(символ ^^ определен формулой ^^ а^ = — Щ + Щ-^ 1+ ... +ат, т ^ I). Будем считать функцию /(ж, у, у')

3=1

достаточно гладкой, чтобы гарантировать справедливость оценок для погрешности метода.

1. Разложение решения задачи Коши и его производной в ряд Чебышева. Зададим Н < X и рассмотрим на частичном сегменте [хо, хо + Н] задачу Коши (1). Приведем соотношения [3], которые связывают коэффициенты Чебышева производной у'(хо + аН), рассматриваемой как функция переменной а, 0 ^ а ^ 1, с коэффициентами Чебышева функции Ф(а) = /(х0 + аН,у(х0 + аН),у'(х0 + аН)):

Н

а* [у'{хо + аК)] = ^(^[Ф] - а*+1[Ф]), г > 0; (4)

\ а*0 [у\хо + ah)] =у'о + ~ (^[Ф] - \ а?[Ф]) + j f>l)J' (у^т " ^т) <$[Ф]. (5)

j=2 j + j

Подобным образом выражаются коэффициенты Чебышева решения y(xo + ah):

*Г , ^ M1 h2 (i + 1)а*_2[Ф] - 2га*[Ф] + (г - 1)а?+2[Ф]

а* [у(х0 + ah)] = —-——--±-, г >2; (6)

16 г(г2 — 1)

a*2[y(x0 + ah)] =^(За^Ф]-4^[Ф]+а1[Ф]); (7)

h

o*i [у(хо + ah)] = -

У'о + ~4{ат -г-а№ + + \ - а*[Ф]

j=2 J J

1 h h2 h2 ™ / 11 \

- ад [y(xо + ah)] =yo + - y'0 + - (За^[Ф] - 2а\[Ф] + а^[Ф]) + - £(-1)' (— - —) a*[Ф] -

j=2 j + j

iyf 1 1Ла;[Ф]-а;+2[ф1

(8)

(9)

16 j=f 7 \j + 2 j) j + 1

Из предположения о гладкости правой части уравнения следует равномерная сходимость рассматриваемых рядов. Из условия а* [Ф] = 0, i ^ k + 1, заключаем, что a* [y'] =0, i ^ k + 2, и a*[y] = 0,

г ^ k + 3.

2. Вывод уравнений для приближенных значений коэффициентов Чебышева правой части и оценка их погрешности. Ограничимся k-й частичной суммой ряда Чебышева функции Ф(а) и заменим интеграл (3) для а* [Ф] квадратурной формулой Маркова [5, 6] с одним наперед заданным узлом ао = 0 и к нефиксированными узлами и с весовой функцией 1/^/а(1 — а). Тогда получим уравнения для определения приближенных значений a*[,Jk], i = 0,1, ... ,k, коэффициентов Чебышева функции Ф(а):

k

a*[Jk ] = '/(xo + aj h,U{xo + aj h; a0[Jk ], ... ,ak [Jk 0 ,U (xo + aj h; aO [J к ], ... ,a% [J к ])) T*(aj), (10) j=o

где

k+1 k+2 U' (xo + ah; aO [Jk ], ... ,a*k [Jk ]) = £' a*[U']T* (a), U(xo + ah; a0 [Jk ], ... ,a*k [Jk ]) = £' <№»,

=o =o

= 5 = «о = 0, = + со8 ^-^У з = 1 ,...,к.

г=0 ^ '

Коэффициенты а* [и'], а* [и] вычисляются по формулам (4)—(9), в правых частях которых следует заменить а*[Ф] на а*[Лк], г = 0,1, ... ,к.

Обозначим 5г = а*[Ф] — а*[,1к], г = 0,1, ... ,к. Используя оценки для остатков ряда Чебышева [5, 7] и квадратурной формулы Маркова, можно получить асимптотическую оценку погрешности приближенных значений коэффициентов Чебышева а*,к]. Эта погрешность дг имеет следующий порядок относительно Н: 5к = 0(Нк+1), 5г = 0(Нк+2), 0 ^ г ^ к — 1, для уравнения у" = / (х,у,у'); 5к = 0(Нк+1), 5к-1 = 0(Нк+2), §г = 0(Нк+3), 0 < г < к — 2, для уравнения у" = /(х,у); 5г = 0(Н2к+1-г), 0 ^ г ^ к, для уравнения у" = /(х).

Система (10) является системой уравнений специального вида а*[,1к] = фг{а0[,1к], ... , ак^к0, которая решается методом итераций. Обозначим 1-ю компоненту вектор-функции ф г через фц, а п-ю компоненту вектора а^^к] — через апт. Сходимость метода итераций следует из того, что соответствующие частные

дфи . п дЧ>н

производные —- являются малыми величинами при п —0, а именно —- = Оуп) для уравнения

дапт дапт

у" = ¡{х,у,у') и ^1г = 0{Ь?) для уравнения у" = /(х,у). Поэтому, выбрав малую величину /г, можно

дапт

обеспечить выполнение достаточного условия сходимости метода итераций [8, 9].

3. Вычисление приближенного решения задачи Кош и и его производной на шаге интегрирования. Найденные значения коэффициентов Чебышева а* [у'(хо +аН)] и а* [у(хо+аН)] используются в частичных суммах

к+1 к+2 и'(хо + аН) = ^2'а*г [у']Тг*(а), и(хо + аН) = 'а*[у]Тг*(а)

г=0 г=0

для вычисления приближенных значений производной у'(х0 + аН) и и'(х0 + аН) и решения у(х0 + аН) и и(х0 + аН) задачи Коши (1) в любой точке х = х0 + аН, 0 ^ а ^ 1. В частности,

к+1 к+2 у'(х0 + Н) = у1 (х\) и и'(х1) = ^'а*[у'], у(х0 + Н) = у(х{) и и(х1) = ^'а*[у].

г=0 г=0

При этом погрешность приближенного значения производной и'(х0 + Н) имеет порядок 0(Нк+2), а погрешность приближенного значения решения и(х0 + Н) — порядок 0(Нк+3).

Для нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений (2) коэффициенты Чебышева решения задачи Коши связаны с коэффициентами правой части системы Ф(а) = /{х0 + аН,у(х0 + аН)) следующим образом:

Н

а* [у{хо + аЬ)] = - (а*^Ф] - а*+1[Ф]), г > 0;

1 7 7 ^^ -л -л

-а*0 [у(х0 + аЛ)] =у0 + - (а^[Ф] - -а?[Ф]) + - £(-1)' (— - —) а*[Ф].

3=2 ■ + ■>

к+1

Частичная сумма ряда и(х0 + аН) = ^^'а*[у]Т* (а) является приближенным решением у(х0 + аН) и

=0

к+1

и(х0 + аН) на [х0,х0 + Н]; в частности, у(х0 + Н) = у(х1) и и(х\) = ^^'а*[у]. Погрешность приближенного

=0

значения решения и(х0 + Н) имеет порядок 0(Нк+2).

4. Пример. Интегрируется система обыкновенных дифференциальных уравнений

У>1=У2 + Щ^, у>2 = -у1 + ?+^, 2/1(0) = 1, 2/2(0) = 0. ух+1 ух+1

Точное решение системы содержит периодическую составляющую и возрастающую или убывающую составляющую: У\{х) = sin ж + \/х + 1, У2(%) = cosa; — \/х + 1. Задача решалась описанным в статье методом рядов Чебышева на промежутке [0, X]. При этом задавалось разбиение промежутка на девять частичных сегментов длиной h и на каждом сегменте решение представлялось в виде частичной суммы ряда Чебышева. Вычисления проводились с 16 значащими цифрами. Количество верных десятичных знаков в приближенных значениях обеих компонент решения yi(X) и y2(X), вычисленных в конце интервала интегрирования X, т.е. — lg |е|], приведено в таблице. Также в таблице даны результаты, полученные классическим методом Рунге-Кутты четвертого порядка, методом Адамса пятого порядка типа предиктор-корректор и неявным трехстадийным методом Рунге-Кутты шестого порядка с постоянным шагом, равным диаметру заданного разбиения интервала интегрирования. Прочерк в таблице означает, что при указанных в ней значениях h либо не может быть получено приближение с удовлетворительной точностью, либо вычисленное значение вообще не имеет ни одной верной цифры. Строки 1-9 таблицы соответствуют k = 5, строки 10-13 соответствуют k = 30.

Количество нулей в погрешности е после десятичной

запятой для yi(X) и у2(Х)

№ п/п X h Классический Неявный

Метод рядов метод Метод Адамса метод

Рунге-Кутты Рунге-Кутты

1 0,09 0,01 16 15 И И И 10 15 15

2 0,18 0,02 15 15 9 10 9 9 16 15

3 0,36 0,04 15 14 8 8 7 7 13 13

4 0,72 0,08 13 13 6 6 5 5 12 И

5 0,9 0,1 13 12 6 6 5 5 И И

6 1,8 0,2 И И 5 4 4 4 9 9

7 3,6 0,4 9 9 3 3 4 2 7 7

8 7,2 0,8 6 6 1 2 — 5 4

9 9,0 1,0 5 5 1 1 — 4 4

10 17,0 2,0 14 15 0 0 — 2 2

И 25,5 3,0 14 14 — 0 1

12 34,0 4,0 13 15 — 0 0

13 42,5 5,0 14 13 — —

Из таблицы следует, что метод рядов Чебышева при одних и тех же Н дает на несколько порядков более высокую точность, чем методы Рунге-Кутты и Адамса, и обеспечивает вычисление приближенного решения с высокой точностью при тех значениях Н, с которыми эти методы не справляются.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (гранты № 10-01-00297-а и 10-01-91219-ст-а) и проекта № 2.1.1/3828 Минобрнауки РФ.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа. М.: Физматгиз, 1961.

2. Дзядык В.К. Аппроксимационные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. Киев: Нау-кова думка, 1988.

3. Пашковский С. Вычислительные применения многочленов и рядов Чебышева. М.: Наука, 1983.

4. Хемминг Р.В. Численные методы для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1972.

5. Арушанян О.Б., Залеткин С.Ф. О применении формулы численного интегрирования Маркова в ортогональных разложениях // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2009. № 6. 18-22.

6. Мысовских И.П. Лекции по методам вычислений. СПб.: Изд-во С.-Петербург. ун-та, 1998.

7. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. М.: Наука, 1979.

8. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т. 2. М.: Физматгиз, 1962.

9. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П, Кобельков Г.М. Численные методы. М.: БИНОМ, 2007.

Поступила в редакцию 01.12.2009