CC BY
39опорный к множеству Т 1{В) по лемме A (T*e¿ = Проверим, что функционалы
993 ул e4ra_i _ 1023 ул е4п+1 J-91, Л - 201661 ^ 16га ' 2016ei ^4-16га
п=1 п=1
удовлетворяют условиям 1-4 леммы С для пространства X = со с нормой Дэя р. Ясно, что /1 + /2 = <7i- Сравним p*(fi) и и найдем такие элементы € со, что ) = p*{fi) ■ p{zi), г = 1,2.
Функционалы /i и /2 удовлетворяют условиям леммы 1, поэтому
Легко проверить, что p*(fi) = В силу леммы 1 функционалы f\ и /2 достигают нормы на
векторах, которые коллинеарны z\ = 4 • <fjj|ei + ' ' e4«-i / 0 и 22 = 4 • ^§f|ei +
Sn^i 4ra+1 • ^e^+i ф 0 соответственно. Заметим, что элемент z\ неколлинеарен элементу Z2, поэтому 0 ^ {х € со : — х) + р(х2 — ж) = — Ж2)} в силу строгой выпуклости нормы р.
Из вышесказанного следует, что для функционалов / = дь/ь/г выполнены условия 1-4 леммы С. Поэтому множество Т~1(В) не 2-антипроксиминально. Теорема доказана.
Автор приносит благодарность П. А. Бородину за внимание к работе и полезные замечания. Работа поддержана РФФИ (проекты №14-01-00510, 15-01-08335).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бедное Б.Б. Об п-аптипроксимипальпых множествах // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2015. № 3. 29-34.
2. Бородин П.А. О выпуклости Ж-чебышевских множеств // Изв. РАН. Сер. матем. 2011. 75, № 5. 19-46.
3. Day M.M. Strict convexity and smoothness of normed spaces // Trans. Amer. Math. Soc. 1955. 78, N 2. 516-528.
4. Cobza§ S. Multimifoarte neproximinale in со // Rev. anal, numer. §i teor. approxim. 1973. 2. 137-141.
5. Edelstein M. Antiproximal sets //J. Approx. Theory. 1987. 49. 252-255.
6. Балаганский B.C. Об антнпрокснминальных выпуклых ограниченных множествах в пространстве со(Г) с нормой Дэя // Матем. заметки. 2006. 79, № 3. 323-338.
7. Edelstein M., Thompson A.C. Some results on nearest points and support properties of convex sets in со // Pacif. J. Math. 1972. 40, N 3. 553-560.
8. Кобзаш С. Выпуклые антипроксиминальные множества в пространствах со и с // Матем. заметки. 1975. 17, № 3. 449-457.
Поступила в редакцию 11.01.2016
УДК 519.622
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РЯДОВ ЧЕБЫШЁВА ДЛЯ ПРИБЛИЖЕННОГО АНАЛИТИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
О. Б. Арушанян1, С. Ф. Залеткин2
Описан подход к использованию рядов Чебышёва для интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, основанный на аппроксимации решения задачи Ко-ши и его производной частичными суммами смещенных рядов Чебышёва. Вычисление
1 Арушанян Олег Багратович — доктор техн. наук, проф., зав. лаб. Научно-исслед. вычисл. центра МГУ, e-mail: arushQsrcc.msu.ru.
2 Залет,кин Сергей Федорович — канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр. Научно-исслед. вычисл. центра МГУ, e-mail: irazQsrcc.msu.ru.
коэффициентов рядов осуществляется посредством итерационного процесса с применением квадратурной формулы Маркова. Показано, что данный подход может быть использован для построения приближенного аналитического метода решения задачи Коши. Рассмотрен ряд примеров, для которых получено приближенное аналитическое решение в виде частичных сумм смещенных рядов Чебышёва.
Ключевые слова: обыкновенные дифференциальные уравнения, приближенные аналитические методы, численные методы, ортогональные разложения, смещенные ряды Чебышёва, квадратурные формулы Маркова.
Application of Chebyshev series to solve ordinary differential equations is described. This approach is based on the approximation of the solution to a given Cauchy problem and its derivatives by partial sums of shifted Chebyshev series. The coefficients of the series are determined by an iterative process using Markov quadrature formulas. It is shown that the proposed approach can be applied to formulate an approximate analytical method for solving Cauchy problems. A number of examples are considered to illustrate the obtaining of approximate analytical solutions in the form of partial sums of shifted Chebyshev series.
Key words: ordinary differential equations, approximate analytical methods, numerical methods, orthogonal expansions, shifted Chebyshev series, Markov quadrature formulas.
Рассматривается задача Коши для нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений
y' = f(x,y), у(х0)=уо, х0 ^х ^х0+Х, (1)
при условии, что функция f(x,y) непрерывна в области определения системы вместе с частными производными до некоторого порядка. Предполагается также, что на отрезке [хо,Хо + X] задача Коши (1) имеет единственное решение.
В [1-6] предложен приближенный метод решения задачи (1), основанный на разложении правой части системы f(x,y(x)) на частичном сегменте [жо, Xq + h], h ^ X, в ряд Фурье по смещенным многочленам Чебышёва первого рода Т*(а) = Ti(2a — 1), 0 ^ а ^ 1. Такой ряд будем называть смещенным рядом Чебышёва. Зная коэффициенты этого разложения и используя простые соотношения, связывающие коэффициенты Чебышёва рассматриваемой функции с коэффициентами Чебышёва ее производной, решение задачи у(х) на [жо, Xq + h] можно легко получить также и в виде смещенного ряда Чебышёва:
у(хо + ah) = а*[у]Т*(а), а*[у} = - f + Т*{а) da, Q^a^l tt W y/a(l - a)
(штрих у знака суммы означает, что слагаемое с индексом 0 берется с дополнительным множителем 1/2). Замена рядов для f(x,y(x)) и у(х) частичными суммами к-го и (к + 1)-го порядков
к к+1 Ф(а) = f(x0 + ah,y(x0+ah)) и аШт*(а), у(х0 + ah) и аЦу]Т?(а) (2)
г=0 г=0
и применение формулы численного интегрирования Маркова для вычисления коэффициентов правой части
1
а*[Ф} = - [ r-yj-^-—г Т*(a) da к J Ja( 1 - а) о
приводят к системе уравнений для приближенных значений коэффициентов Чебышёва правой части f(x,y(x)), которая решается методом последовательных приближений. Вместе с решением этой системы определяются также и приближенные коэффициенты Чебышёва функции у(х). Вопросам, относящимся к обоснованию этого метода, его тестированию и сравнению с традиционными численными методами интегрирования, посвящены работы [1-6].
В настоящей статье отмечается, что с помощью описываемого метода возможно находить приближенное решение задачи Коши (1) в аналитической форме, а именно в виде частичной суммы ряда Чебышёва, что наглядно иллюстрируется применением метода к интегрированию дифференциальных уравнений, решения которых имеют известные разложения в смещенные ряды Чебышёва.
Эти ряды используются для оценки абсолютных погрешностей приближенных коэффициентов Че-бышёва, вычисленных с помощью предложенного аналитического метода. Описываемый ниже круг примеров включает уравнения с решениями в виде элементарных и некоторых специальных функций. Во всех задачах приближенное решение строится в виде частичной суммы (2) на заданном промежутке интегрирования. Вычисления проводились с 15-16 значащими цифрами. Пример 1. Интегрируется нелинейное дифференциальное уравнение
1 _ Л~У+Т*{х)
у\х) = (Т*(х))> +-—-, 2/(0)= 0, (3)
где Т*{рс) — смещенный многочлен Чебышёва первого рода п-то порядка, п = 5. На заданном отрезке решение и его производная представляются в виде частичных сумм (2) при к = 8. Вычисленные коэффициенты решения а$[у]/2 и аЦу] равняются соответственно 0,9999999999999997 • 10° и 0,9999999999999999 • 10°. Остальные коэффициенты аЦу], ... ,а1[у],аЦу], ■■■ ,а.д[у] имеют десятичные порядки 10"15, 10"16 или равны нулю. Таким образом, с точностью до ошибок округления найденное методом рядов решение задачи (3) имеет вид у(х) = 1 + Т|(ж). Все коэффициенты Чебышёва для производной у'(х) решения, кроме нулевого, второго и четвертого, имеют десятичные порядки Ю-14 или Ю-15. Нулевой коэффициент а$[у']/2 = 0,9999999999999999 • 101, второй a^iy'} = 20, четвертый щ [у1] = 0,1999999999999999 • 102. Таким образом, вычисленная методом рядов производная решения (с точностью до ошибок округления) представляется в виде
у'(х) = ЮТ0*(ж) + 20 Т2*(ж) + 20Т4*(ж).
Последнее равенство совпадает с выражением производной смещенных многочленов Чебышёва первого рода в виде линейной комбинации этих же многочленов при п = 5:
[(га—1)/2]
(т:(х))' = 4п £ T*_x_2j{x).
3=0
Здесь [ • ] означает целую часть, а в сумме слагаемое, содержащее многочлен Т0*(ж), делится пополам. Заметим, что решение у(х) задачи (3) имеет на отрезке [0,1] колебательный характер и большую по модулю производную.
Пример 2. Интегрируется нелинейное дифференциальное уравнение
I _ gl—y+cos q(2x— 1)
у' = -2qsmq(2x - 1) Н---' 2/(°) = cos <? + 1, 0 ^ ж ^ 1, (4)
где q — произвольное действительное число. Функция у(х) = 1 + cos q(2х — 1) является точным решением задачи (4) и разлагается на отрезке [0,1] в смещенный ряд Чебышёва, коэффициенты которого выражаются через цилиндрические функции:
оо
у(х) = 1 +со8(?(2ж - 1) = 1 + Jo(q) + 2 > (-1)гJ2i(q)T^(ж).
г=1
Здесь ,1т(д) — функция Бесселя первого рода порядка т. Решение раскладывается в ряд по смещенным многочленам Чебышёва с четными номерами. На заданном интервале приближенное решение и его производная представляются в виде частичных сумм (2) при к = 11 для q = 1/2. Коэффициент а1 [у] этой суммы в (2) имеет десятичный порядок Ю-16, остальные коэффициенты этой суммы с нечетными номерами ад[у], ... , (^[у] — порядок Ю-17. Абсолютные погрешности коэффициентов с четными номерами Яо[уЬа2[уЬ ••• >а12[у] имеют десятичные порядки Ю-15, Ю-17, Ю-18, Ю-19.
Пример 3. Интегрируется нелинейное дифференциальное уравнение
!- In (у - eq(-x+V + у/(у - e^+i))2 + l)
3q(x+1) + eq{x+l)y _V-)_
у' = де^х+1> + у/1 + {у- е^+1))2 —Ь-—^-, у{0) = е9, 0 < ж < 1, (5)
где q — произвольное действительное число. Точным решением задачи (5) является показательная функция у(ж) = ед(1+х\ Эта функция разлагается на отрезке [0,1] в смещенный ряд Чебышёва, коэффициенты которого выражаются через специальные функции следующим образом:
оо
i=0
Здесь h{t) — модифицированная функция Бесселя первого рода порядка г, или функция Инфельда. На заданном интервале приближенное решение и его производная представляются в виде частичных сумм (2) при к = 25 для q = 4. Коэффициенты ад [у], ••• >абМ в эт°й сумме имеют десятичные порядки от 104 до 101, а их абсолютные погрешности — порядки Ю-12, Ю-13, Ю-14. Абсолютные погрешности коэффициентов affy], ... , а^б \v\ в (2) имеют порядки Ю-14, Ю-15. Заметим, что у функции у(х) задачи (5) на отрезке [0,1] большая производная.
Пример 4. Интегрируется следующая система уравнений на отрезке 0 ^ х ^ 1:
y'1 = -2qy2, у'2 = q(y1- (у2 + J3(g(2ж - 1))) q{2X ~ 1}), yi(0) = J0(g), у2(0) = -Ji(g). (6)
Здесь q — произвольное действительное число, отличное от 0, и Jm(z) — функция Бесселя первого рода т-то порядка. Решение системы (6) выражается через функции Бесселя первого рода нулевого и первого порядков: у\{х) = Jo{q{2x — 1)) и у2(х) = J\(q(2x — 1)). Компоненты вектора решения раскладываются на отрезке [0,1] в смещенные ряды Чебышёва следующим образом:
оо
У1(х) = Jo(q(2x - 1)) = 2^ '(-1 У4(р)Шх), (7)
г=0
оо
у2(х) = ,h{q{2х - 1)) = 2 ]Г(-1 )\Цр),]1+1{р)Т*г+1{х), р = |. (8)
г=0
На заданном интервале приближенное решение и его производная представляются в виде частичных сумм (2) при к = 11 для q = 1/2.
Как следует из (7), первая компонента решения у\{х) раскладывается в ряд по смещенным многочленам Чебышёва с четными номерами. Для компоненты у\{х) коэффициенты Чебышёва из (2) с нечетными номерами имеют десятичные порядки Ю-16, Ю-17, Ю-18. Абсолютные погрешности коэффициентов с четными номерами в (2) имеют порядки Ю-15, Ю-16, Ю-17, Ю-18, Ю-19.
Из (8) следует, что вторая компонента решения у2(х) раскладывается в ряд по смещенным многочленам Чебышёва с нечетными номерами. Для компоненты у2(х) коэффициент ад[У2] из частичной суммы (2) имеет десятичный порядок Ю-15, остальные коэффициенты с четными номерами а^Уг]) ••• ,а12[У2] в (2) — порядка Ю-16, Ю-17, Ю-18. Абсолютные погрешности коэффициентов с нечетными номерами в (2) имеют порядки Ю-16, Ю-17, Ю-18, Ю-19.
Пример 5. Интегрируется нелинейное дифференциальное уравнение
у1 = 2qh(q(2x - 1)) + (у - I0(q(2x - 1))) Ну ~ ~ 1))}, у(0) = I0(q) + 1, 0 < Ж < 1, (9)
х + 1
где q — произвольное действительное число, отличное от 0, и Im(t) — модифицированная функция Бесселя первого рода m-то порядка, или функция Инфельда. Функция у(х) = 1 + Io{q{2x — 1)) является точным решением задачи (9) и разлагается на отрезке [0,1] в ряд по смещенным многочленам Чебышёва с четными номерами следующим образом:
оо
у(х) = 1 + Ш2х - 1)) = 1 + /02(р) + 2 £ 1!(р)Шх), р = | •
г=1
На заданном промежутке приближенное решение и его производная представляются в виде частичных сумм (2) при к = 11 для q = 1/2. Коэффициенты с нечетными номерами аЦу], ... ,ап[у] этой суммы имеют десятичные порядки Ю-15, Ю-16. Коэффициент a^ly] в (2) имеет порядок 101, а его абсолютная погрешность — порядка Ю-12. Абсолютные погрешности остальных коэффициентов с четными номерами а2[у], ... , 0,12 [у] в (2) имеют порядки Ю-15, Ю-16, Ю-17.
Приведенные примеры показывают, что изложенный в настоящей статье метод интегрирования дает достаточно точное приближение для коэффициентов Чебышёва искомых функций, являющихся решениями дифференциальных уравнений. Следовательно, этот метод можно рассматривать как приближенный аналитический метод интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, позволяющий получать решения уравнений непосредственно в виде частичных сумм ряда Чебышёва.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Залеткин С.Ф. Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием ортогональных разложений // Матем. моделирование. 2010. 22, № 1. 69-85.
2. Арушанян О.Б., Волченскова Н.И., Залеткин С.Ф. О применении ортогональных разложений для приближенного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2010. № 4. 40-43.
3. Арушанян О.Б., Волченскова Н.И., Залеткин С.Ф. Вычисление коэффициентов разложения решения задачи Коши в ряд по многочленам Чебышёва // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2012. № 5. 24-30.
4. Арушанян О.Б., Волченскова Н.И., Залеткин С.Ф. Об одном приближенном методе интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2013. № 6. 43-46.
5. Арушанян О.Б., Волченскова Н.И., Залеткин С.Ф. Об одном подходе к интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью рядов // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2014. № 6. 57-60.
6. Арушанян О.Б., Залеткин С.Ф. О применении формулы численного интегрирования Маркова в ортогональных разложениях // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2009. № 6. 18-22.
Поступила в редакцию 14.03.2016
УДК 515.562, 515.126.4, 515.126.83
НЕПОДВИЖНЫЕ ТОЧКИ СЕМЕЙСТВА КОММУТИРУЮЩИХ ОТОБРАЖЕНИЙ ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫХ МНОЖЕСТВ
Д. А. Подоприхин1
В статье представлены условия, гарантирующие существование общей неподвижной точки семейства коммутирующих изотопных многозначных отображений упорядоченного множества и существование минимального элемента в множестве общих неподвижных точек. Приведены также дополнительные условия, гарантирующие существование наименьшего элемента в этом множестве. Показана связь полученных теорем с соответствующими известными результатами.
Ключевые слова: общие неподвижные точки, упорядоченное множество, изотопное отображение, коммутирующее семейство отображений, многозначное отображение.
The paper presents conditions providing the existence of a common fixed point of a family of commuting isotone multivalued mappings of a partially ordered set and the existence of the minimal element in the set of common fixed points. Additional conditions that guarantee the existence of the least element in that point set are also presented. Relations of the obtained results to well-known fixed point theorems are considered.
Key words: common fixed points, partially ordered set, isotone mapping, commuting family, multivalued mapping.
Настоящая работа посвящена вопросам существования общей неподвижной точки семейства однозначных и многозначных коммутирующих отображений упорядоченных множеств. Как в категории метрических пространств важны не только существование неподвижной точки, но и оценка расстояния от заданного элемента до некоторой неподвижной точки, так и в категории упорядоченных множеств интерес представляет вопрос существования минимального и наименьшего элементов в множестве неподвижных точек. Результаты о существовании неподвижных точек отображений упорядоченных множеств имеют многочисленные приложения. Из недавних публикаций отметим работу [1], где показано применение теоремы Кнастера-Тарского в вычислительной геометрии. В [2, гл. 18] представлена связь между вопросами, касающимися неподвижных точек отображений метрических пространств, и соответствующими результатами для отображений частично упорядоченных множеств. В частности, показано, что известная теорема Надлера [3] выводится из теоремы Смитсона [4]. Автором совместно с Т. Н. Фоменко были также изучены вопросы, связанные с общими
1 Подоприхин Дмитрий Александрович — асп. каф. общей топологии и геометрии мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: podoprikhindmitryQgmail.com.
