CC BY
23
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2013 Математика и механика № 3(23)
УДК 514.76
А. Г. Седых
О ПРИБЛИЖЕННО ИНТЕГРИРУЕМЫХ 5'0(3)-СТРУКТУРАХ НА 5-МЕРНЫХ МНОГООБРАЗИЯХ
Рассматриваются неприводимые 50(3)-структуры на пятимерном многообразии. Показано, что для приближенно интегрируемых неприводимых 50(3)-структур ковариантная дивергенция структурного тензора равна нулю. Приведены примеры левоинвариантных неприводимых 50(3)-структур на пятимерных группах Ли, которые имеют нулевую дивергенцию структурного тензора, но не являются приблизиженно интегрируемыми, а также неприводимых БО(3)-структур с ненулевой дивергенцией структурного тензора.
Ключевые слова: специальная БО(3)-структура, пятимерное многообразие, группа Ли.
Традиционно в геометрии большой интерес представляют римановы многообразия с некоторой дополнительно заданной структурой, согласованной с метрикой. Примером может служить почти комплексная структура, согласованная с метрикой. Соответствующая структурная группа действует неприводимо на касательных пространствах многообразия. Для нечетномерного аналога - контактной метрической структуры - структурная группа действует приводимо - она имеет два инвариантных подпространства: контактную плоскость и направление Риба. Интересно, что в случае пятимерного риманова многообразия существует [1] структура, у которой структурной группой является SO(3), и она действует неприводимо. Эта структура представляет интерес в контексте характеристических связностей и специальной неинтегрируемой геометрии [5]. В данной работе рассматривается такая неприводимая SO(3)-структура на пятимерном многообразии и изучаются свойства ее структурного тензора.
Неприводимое представление группы SO(3) в пространстве Я5 основано на том, что векторное пространство Я5 изоморфно множеству действительных симметричных бесследовых матриц порядка 3. Изоморфизм устанавливается следующим образом:
Ґ
Х = (х1,...,х5) ^ ст(Х) =
Л
>/з
- хА
73 + х4
'л/Т
Неприводимое представление р на К задается формулой р(И)X = И<з(Х)И-1,И е £0(3).
Для элементаXрассмотрим характеристический полином матрицы а(Х) [1]:
Г\ /о
РХ (X) = det(ст( X) -XI) = -Х3 +Хя (X, X) + -9- ¥ (X, X, X).
Этот полином инвариантен относительно SO(3) действия, заданного представлением р. Поэтому его коэффициенты являются SO(3)-инвариантными. Квадратичная часть g(X, X) - это стандартное скалярное произведение на Я5,
2 2 2 2 2 g (X, X) = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 , а свободный член Т имеет вид
1 'Х І'Х
Т(Х,Х,Х) = 2х1 (6х22 + 6х42 - 2х12 - 3х32 - 3х52) + -2-х4(х52 - х32) + 3%/3х2х3х5. Он определяет симметричный 3-линейный ковариантный тензор
Т = Х ^=1 е'® е‘ ® е .
где (е1,..., е5} - дуальный корепер к стандартному ортонормированному реперу (еь е2, е3, е4, е5} пространства Я5.
Отметим основные свойства тензора Т, полученные в работе [1]. Свертка тензора Т по любым его двум индексам равна нулю. Чтобы сформулировать следующее свойство, нам потребуется тензор ТX = lXТ , полученный сверткой с вектором X: ТX (•, •) = Т(X, •, •). Поскольку мы считаем фиксированным ортонор-мированный репер, то симметричная 2-форма ТХ естественным образом отождествляется с эндоморфизмом пространства Я5. Поэтому можно брать композиции таких эндоморфизмов ТХ, в частности можно рассматривать квадраты эндоморфизмов (ТХ)2. Тогда для всех XєR5 имеет место равенство (ТХ)2Х = g(X.X)X.
При действии SO(5) группа изотропии тензора Т совпадает с группой SO(3), неприводимо вложенной в SO(5), т.е. так, как описано выше. Это позволяет определить неприводимую SO(3)-структуру на пятимерном ориентированном римано-вом многообразии (М^), задавая в каждой точке такой тензор Т.
Определение 1 [1]. Неприводимой SO(3)-структурой на 5-мерном римановом многообразии (М^) называется тензорное поле Т типа (0,3), для которого линейное отображениеX^ТX є ЕпС(ТМ),XєTM, имеет следующие свойства:
1) Симметричность: g(X, ТТ2~) = g(Z,ТГX) = g(X, Т2У).
2) Нулевой след: ^r(ТX)=0.
3) Для любого векторного поля Хє ТМ имеет место равенство = g(XX)X.
В [1] показано, что в каждом касательном пространстве можно выбрать адаптированный базис (е1, е2, е3, е4, е5}, т.е. такой, в котором метрика g и тензор Т будут иметь канонический вид, а именно gij = и
Т= і+ 6</)2 -2<е')2 -3(^ -3(е')2) +
+^е4((е5)2 -(е3)2) + 3-ІЬе2е3е5. (2)
Здесь (е1, е2, е3, е4, е5} - дуальный репер. Из (2) мы получаем ненулевые компоненты тензора Т в адаптированном репере (с точностью до симметрий):
= 1 = 1 = 1 = 1 = 1
^111 = 1, ^122 = 1, 4*144 = 1, ^133 = 2, ^155 = 2,
л/3 73 л/3
V433 = ^, V455 = "^, V235 = (3)
Таким образом, неприводимая SO(3)-структура на многообразии - это римано-ва структура g и тензорное поле Т, обладающее указанными выше свойствами
1-3 определения 1. Представляют интерес так называемые приближенно интегрируемые SO(3)-структуры [1, 2], как некоторые аналоги почти комплексной структуры 3 приближенно кэлерова многообразия, т.е. такого, что (VXJ)(X) = 0.
Определение 2 [2]. Неприводимая SO(3)-сmрукmура на многообразии М называется приближенно интегрируемой, если (VX Т )(XXX) = 0 для любого векторного поля Х на М.
Теорема 1. Если SO(3)-сmрукmура Т приближенно интегрируемая, то дивергенция тензора Травна нулю, 5Т = 0.
Доказательство. Пусть SO(3)-структура Т приближенно интегрируема, тогда, по определению, (VXТ)(X,X,X) = 0. Перепишем это условие в координатах ^' Т ]Ы) XiXJXkXI = 0, или V(ТJkl) = 0. Поскольку тензор У полностью симметричен, то
V' Т ]к1 + V ] тш + Vk т ]1 + VI т ]к = 0,
V' т]кі +v] Т'кі =^кТ]'і -VIт]й.
Вычислим дивергенцию 5Т тензорного поля Т с учетом последнего равенства:
5Т = -V] Т ]кі = - ^ V' Т ]кі = - 2 ^ (V' Т ]кі + V ] Т 'кі) =
= 2 ^ (Vk Т ]'і + VIТ ].и) = ■1( Vkg']' Т']і + vg Т]к) = 0,
п°ск°льку gУТ]і = ^Т']к = 0.
Замечание 1. Условие 5Т = 0 является только необходимым. Существуют примеры, когда 5Т = 0, но SO(3)-структура Т не является приближенно интегрируемой.
Замечание 2. Дивергенция 5Т обращается в нуль тогда и только тогда, когда тензор V(i Т ]кі) имеет нулевой след по любым двум индексам.
Рассмотрим левоинвариантные приближенно интегрируемые SO(3) на пятимерных группах Ли. В работе [2] получены необходимые и достаточные условия на левоинвариантный тензор Т для приближенной интегрируемости в терминах структурных констант группы. Получим аналогичные условия для равенства нулю дивергенции тензора Т. Пусть (е1, е2, е3, е4, е5} - адаптированный базис алгебры Ли ДО) группы О. Задав такой репер, получаем левоинвариантную риманову метрику g на группе О, для которой выбранный репер (е1,..., е5} является орто-нормированным. Кроме того, на группе О можно считать заданной левоинвариантную SO(3)-структуру тензором Т на алгебре Ли ДО), компоненты которого в выбранном адаптированном репере (е1,..., е5} определены равенствами (3). Пусть С] - структурные константы алгебры Ли ДО) в адаптированном базисе.
Теорема 2. Дивергенция 5Т тензора Т левоинвариантной SO(3)-сmрукmуры на пятимерной группе Ли равна нулю тогда и только тогда, когда структурные константы соответствующей алгебры Ли удовлетворяют следующим линейным соотношениям:
2С* = л/3 (С253 + С235), 2С4 = Т3(С334 + С45), С33 = л/3(С253 + С334 - С325),
С55 + С13 = 2(С122 + С4),
С35 - С13 - л/3(С!52 - С134 - С4 + С2) - 2(С34 - С223) = 0,
С45 - С224 - 73(С!33 - С2 ) + 2(^4 - С334) = 0,
С!32 - 2С2 - 3С23 - л/3(С243 + С234 - С225 - С\5) = 0,
С15 + С335 + л/3(С132 + С2 + С154 + С4 ) - 2(С225 + С* ) = 0,
С2 + С142 -3^ + С135) = л/3(2С112 + С244 - С^ + ^ - С^)),
2С152 + 5С2 + 3(С15 - С4 - С134) = л/3(3С223 - С13 - 2С344 + С245),
5С134 - С4 + 6С14 - 9(С25 + С15) = у/3(С3 - С254 - 5С223 - 3С245 - 2С425),
^5 + С3 - С435 -^(С* - С^ - 2С12 + ^^(С45 + С^)) = 0,
2С4 - С14 + 3С45 -л/3(С445 + С335 - С234 - С324) = 0,
С255 + С233 ^>/3(С153 + С!35 ) - С - 2С244 = 0.
Доказательство. Дивергенция 5Т тензорного поля Т = у^кег ® е1 ® ек находится по формуле (5у)]к = -V'Щ]к = -g1SV2у]к , где е' - ковекторы дуального базиса к адаптированному базису {е1, е2, е3, е4, е5} алгебры Ли и V = Ve - ковари-антная производная вдоль базисного векторного поля е2. Пусть Г] - компоненты связности Леви-Чивита левоинвариантной римановой метрики g, Ve e]■ = Гкек.
Тогда для ковекторов имеем: V е' = -Г]є]. Учитывая, что компоненты у] левоинвариантного тензорного поля Т в левоинвариантном адаптированном репере постоянны на группе Ли, получаем
V ^ ] ® е> ® ек = (-у ф Г Г -У'Рк Г? -] % )(е' ® е> ® ек),
где Гр = Ср + g]SCkagkp + g'SC]gkp .
Теперь используем систему Маріє для вычислений 5Т (см. ниже листинг программы).
Приведем примеры левоинвариантных неприводимых SO(3)-структур на двух пятимерных группах Ли из классификационного списка [3] контактных групп Ли. Первый пример - с ненулевой дивергенцией, а второй - имеет нулевую дивергенцию, но не является приближенно интегрируемым. В этих примерах считается, что выбранный базис {е1, е2, е3, е4, е5} алгебры Ли является адаптированным. Следовательно, на группе Ли имеется левоинвариантная риманова структура и левоинвариантный тензор Т.
Пример 1. Алгебра ж/(2)хрК2. Это алгебра Ли группы аффинных преобразований Я2, у которых линейная часть имеет определитель равный единице. Данная алгебра Ли имеет следующие коммутационные соотношения:
[е2,е3] = -еь [еье4] = -еь [еьез] = -е2, [е2,е4] = е2, [е3,е5] = е4,
[е3,е4] = -2е3, [е4,ез] = -2е5.
Вычислим дивергенцию Т (при помощи компьютерных программ, используя вышеприведенные формулы):
0 0 73 2 3 0
0 0 32 - 0 -1
л/3 2 3 2 л/3 0 -73
3 0 0 -2л/3 0
0 -1 -л/3 0 л/3
Пример 2. Алгебра ^5д (обозначение взято из классификации [3]) задается следующими коммутационными соотношениями: [е2,е4] = е1, [е3,е5] = е1. Дивергенция тензора Т будет равна 0. Покажем, что данная 5^0(3)-структура не является приближенно интегрируемой. Для этого вычислим тензор (УхТ)(Х,Х,Х) = 0 или МіТи). Для доказательства достаточно привести одну ненулевую координату, например
^(1^233) =-Ур33Гр2 -^2х3Г13 -У231Г13 -Уд33ГІ2 -^2и3Г13 --^23уГ13 -Ух33Г12 -^2_у3Г13 - ^23гГ13 Уа33Г12 V213Г13 ^23сГ13 ,
оставляя только ненулевые компоненты тензора Т, получаем
4^133Г12 - 4^433Г12 - 8^235Г13 = ^ ^ 0.
Приведем программу вычисления дивергенции в программе Маріє. Здесь С[і,у,к] = Ск, ватта[і, j, р] = Гр , паЪ1а_Т - ковариантная производная тензора Т и dє1ta_Т - дивергенция тензора Т.
Вычисление компонент связности
> :Еог і Ьо 5 Со £ог j to 5 Со £ог р to 5 Со
>Gamma.[i,j,p]:=siпIp1ify((C[i,j,p]+s■um(s■um(g[j,s]*C[k,i,s]*g[k,p],
,k:,=1..5),,s,=1..5)+sum(sum(g[i,s1]*C[k:1,j,s1]*g[k:1,p],,s1,=1..5)
,'к1'=1..5))/2);
> оС; оС; оС;
Вычисление ковариантной производной тензора Т
> паЬ1а_Т :=аггау(1..5,1..5,1..5,1..5):
> £ог І2 Ьо 5 Со :Еог j2 Ьо 5 Со :Еог к2 Ьо 5 Со :Еог s2 Ьо 5 Со
> паЬ1а_Т [s2,i2,j2,k2]:=simp1ify
(^ит(у [r2,j2,k2]* Gamшa[s2,i2,r2],r2=1..5)-sum(y [i2,p2,k2]*Gamшa[s2,j2,p2],p2=1..5)-sum(y [i2,j2,q2]*Gamшa[s2,k2,q2],q2=1..5));
> оС; оС; оС; оС;
Свертка с метрикой, для нахождения дивергенции тензора Т
> delta_T :=array(1..5,1..5):
> for j to 5 do for k to 5 do
> delta_T [j,k]:=simplify(sum(sum(g[i,s]*nabla [s,i,j,k], 'i'=1..5),'s'=1..5));
> od; od;
ЛИТЕРАТУРА
1. Bobienski M.M., Nurowski P. Irreducible SO(3) geometry in dimension five. arXiv:math/ 0507152v3 [math.DG], 2005.
2. Fino A.A., Chiossi S.G. Nearly integrable SO(3) structures on 5-dimentional lie groups // J. Lie Theory. 2007. V. 17. No. 3. P. 539-562. (arXiv:math/0607392v1 [math.DG]).
3. Diatta A. Left invariant contact structures on Lie groups // arXiv:math/0403555v2 [math.DG], 2004.
4. Кобаяси Ш.,Намидзу К Основы дифференциальной геометрии: в 2 т. М.: Наука, 1981.
5. Agricola I. The Srni lectures on non-integrable geometries with torsion // arXiv:math/ 0606705v1
Статья поступила 28.06.2012 г.
Sedykh A.G. ON APPROXIMATELY INTEGRABLE SO(3) STRUCTURES ON 5-DIMENSIONAL MANIFOLDS. In this work, irreducible SO(3) structures on a 5-dimentional manifold are considered. The covariant divergence of the structure tensor is shown to be zero for approximately integrable irreducible SO(3) structures. Examples of left invariant irreducible SO(3) structures on 5-dimentional Lie groups that have a zero covariant divergence of the structure tensor but are not approximately integrable, as well as of irreducible SO(3) structures with nonzero covariant divergence of the structure tensor are presented.
Keywords: special SO(3) structure, 5-dimentional manifold, Lie group.
SEDYKH Anna Gennad’evna (Kemerovo State University)
E-mail: [email protected]
