CC BY
32
Вестник КемГУ № 3/1 2011 Риманова геометрия
УДК 514.76.2
КАНОНИЧЕСКИЕ ПСЕВДОКЭЛЕРОВЫ МЕТРИКИ НА ШЕСТИМЕРНЫХ НИЛЬПОТЕНТНЫХ ГРУППАХ ЛИ
Н. К. Смоленцев
CANONICAL PSEUDO-KAHLER METRICS ON SIX-DIMENSIONAL NILPOTENT LIE GROUPS
N. K. Smolentsev
Найдены левоинвариантные псевдокэлеровы структуры на шестимерных нильпотентных группах Ли, зависящие только от тех параметров, которые оказывают влияние на кривизну. Все такие структуры имеют нулевой тензор Риччи, нулевую псевдориманову норму и большинство из них не являются плоскими. Полученные псевдокэлеровы структуры дают простые модели псевдокэлеровых шестимерных нильмногообразий.
Left-invariant pseudo-Kahler structures on the six-dimensional nilpotent Lie groups, depending only from those parametres which influence curvature are discovered. All such structures have a zero Ricci tensor, zero Pseudo-Riemannian norm and the majority of them are not flat. The received pseudo-Kahler structures give simple models pseudo-Kahler six-dimensional nilmanifolds.
Ключевые слова: шестимерные группы Ли, нильмногообразия, псевдокэлеровы группы Ли, сим-плектические группы Ли.
Keywords: six-dimensional Lie groups, nilmanifolds, pseudo-Kahler Lie groups, symplectic Lie groups.
1. Кэлеровы и псевдокэлеровы структуры на группах Ли
Левоинвариантная кэлерова структура на группе Ли О - это тройка (д, .1, ш), состоящая из левоинвариантной римановой метрики д, ортогональной левоинвариантной комплексной структуры . и левоинвариантной симплектической формы ш(Х, У), причем
д(Х,У) = ш(Х,.У) Х,У Є 0 . (1)
Поэтому такую структуру на группе Ли О можно задать парой (.,ш), где . - комплексная структура, а ш - симплектическая форма, согласованная с ., т.е. такая, что ш(.Х,.У) = ш(Х,У). Если ш(Х.Х) > 0, УХ = 0, получается кэле-рова метрика, а если условие положительности не выполняется, то д(Х, У) = ш(Х, .У) является псевдоримановой метрикой и тогда (д, .1, ш) называется псевдокэлеровой структурой на группе Ли О. Из левоинвариантности следует, что (псев-до)кэлерова структура (д, ., ш) может быть задана значениями ., ш и д на алгебре Ли д группы Ли О. Тогда (д, ., ш, д) называется псевдокэлеровой алгеброй Ли. Обратно, если (д,., д) есть алгебра Ли, наделенная комплексной структурой . , ортогональной относительно псевдоримановой метрики д, то равенство (1) определяет (фундаментальную) 2-форму ш, которая замкнута тогда и только тогда, когда . параллельна [9].
Поскольку (псевдо)кэлерова группа Ли О является симплектической, то следует также иметь ввиду ряд общих фактов о симплектических структурах. В частности: полупростые группы Ли не допускают симплектической формы, компактные группы Ли (за исключением тора) также не допускают симплектической формы, четырехмер-
ные симплектические и унимодулярные симплек-тические группы Ли являются разрешимыми [4].
Условие существования положительно определенной кэлеровой метрики накладывает серьезные ограничения на структуру алгебры Ли. Например, в работе Benson C. и Gordon C. показано
[3], что такая алгебра Ли не может быть нильпо-тентной за исключением абелевого случая. Задача нахождения эрмитовых или симплектических многообразий, которые не являются кэлеровыми, имеет достаточно длинную историю. Первым можно считать пример, приведенный Терстоном [14], четырехмерного многообразия, которое является симплектическим, но не допускает кэлеровой метрики. Идеи работы Терстона были развиты в серии работ Cordero L.A., Fernandez M. и Gray A. и были получены другие примеры симплектических многообразий, не допускающих кэлеровой метрики. Все эти примеры являются нильмногообрази-ями, т. е. компактными факторами нильпотентной группы Ли по дискретной подгруппе. Итоги исследований представлены в книге Tralle A., Oprea J.
[15].
Хотя нильмногообразия (за исключением тора) не допускают кэлеровой метрики [3], но на таких многообразиях могут существовать псевдо-кэлеровы структуры. В данной работе мы рассмотрим псевдокэлеровы структуры на шестимерных нильпотентных группах Ли. Приведем некоторые общие факты о псевдокэлеровых структурах на группах Ли.
Особыми объектами на симплектической алгебре Ли (g,w) являются изотропные и лагран-жевы подпространства. Напомним, что подпространство W С g называется ш-изотропным, если и только если &(W,W) = 0 и называет-
Вестник КемГУ № 3/1 2011 Риманова геометрия
ся ш-лагранжевым, если оно ш-изотропно и из ш(Ш,и) = 0 следует и € Ш. Подпространства и,У С Ш симплектического пространства (Ш,ш) будем называть ш- дуальными, если для любого вектора и € и существует вектор V € У такой, что ш(и, V) = 0 и, наоборот, Vv € У, Эи € и, ш(и, V) = 0.
Если д - (псевдо)риманова метрика, то для данного подпространства Ш из 0, ортогональное подпространство Ш1 определяется обычным образом, Ш1 = {X € 0| д(Х,У) = 0, V У € Ш}. Подпространство Ш называется изотропным, если Ш С Ш1 и называется вполне изотропным, если Ш = Ш1.
Пусть V - связность Леви-Чивита, соответствующая псевдоримановой метрике д. Она определяется из шестичленной формулы [9], которая для левоинвариантных векторных полей X, У, % на группе Ли принимает вид: 2д(У XУ, %) =
= д([Х, У ]%)+ д(%, X ],У) + д(Х, %, У ]). Напомним, что тензор кривизны К(Х, У) и тензор Риччи Кге(Х,У) определяются формулами:
Е(Х,У) = [Vx, Vу] — V[x,Y],
Еге(Х, У) = £. е.д(К(е., Х)У, а), где {е.} - ортонормированный репер на 0 и е. =
= д(е.,е.). Риманова метрика д называется плоской, если К = 0, и Риччи-плоской, если Кге = 0.
Лемма 1.1. ([12]) Пусть (0,Т,ш) - (псевдо)кэ-лерова алгебра Ли. Тогда если Ь есть ш-изотропный идеал, то:
• Ь является абелевым
• Т(Ь) есть ш-изотропная подалгебра в 0.
Таким образом, Ь + ТЬ есть подалгебра 0 и сумма не обязательно прямая. При этом Ь П ТЬ есть идеал в Ь + ТЬ инвариантный относительно Т.
Доказательство. Поскольку Ь есть ш-изотропный идеал, первое утверждение следует из условия замкнутости и невырожденности ш. Условие интегрируемости Т, ограниченное на абелев идеал Ь, влечет [ТХ,ТУ] = Т ([.1Х,У] + [Х,ТУ]). Это показывает, что ТЬ есть подалгебра в 0. Согласованность Т и ш показывает, что ш(ТХ, ТУ) = ш(Х,У) = 0 для Х,У € Ь, и тогда ТЬ - ш-изотропна. Кроме того, если Ь есть ш-лагранжев, то ТЬ также ш-лагранжева и второе утверждение доказано.
Подмногообразие N является вполне геодезическим, если Vx У € TN для Х,У € TN. На уровне алгебр Ли мы имеем вполне геодезические подпространства и подалгебры, которые соответствуют вполне геодезическим подмногообразиям и подгруппам группы Ли О с левоинвариантной псевдометрикой д.
Следующие свойства сразу вытекают из формулы для определения ковариантной производной и из свойств (псевдо)кэлеровой структуры (Т,ш) алгебры Ли 0.
Предложение 1.2. ([12]) Пусть (д,1,д) -(псевдо)кэлерова алгебра Ли и предположим, что § есть идеал, удовлетворяющий 1 § = ^ и § П 1 § =0 (т. е. § есть и-лагранжев), тогда для Х,У Є § имеет место следующее:
• Ух У Є 1 §;
• У .їх 1У є 1 §;
• Ух 1У є §; и У їх У є §.
Таким образом, подгруппа соответствующая 1 § в группе Ли О является вполне геодезической.
Предложение 1.3. ([12]) Пусть (д,1,д) -(псевдо)кэлерова алгебра Ли и предположим, что § есть абелев идеал, удовлетворяющий условиям
1 § = § = . Тогда имеет место:
• У г У Є § для всех У Є §, и Я Є д; в частности: Ух У = 0 для всех Х,У Є §
Таким образом, нормальная подгруппа Н, соответствующая идеалу §, является вполне геодезической в группе Ли О.
Для в-ступенной нильпотентной алгебры Ли д размерности т определена возрастающая центральная последовательность идеалов:
до = {0} с ді с д2 с •• • с д— с д8 = д,
дк = {X є д| [X, д] С дк-і}, к > 1.
Если 1 - комплексная структура на алгебре Ли д, то можно по аналогии определить возрастающую последовательность идеалов йк(1) следующим образом: а0(1) = {0}, йк(1) = {X Є д | [X, д] С йк-і(1) и [1Х, д] С йк-і(1)}, к > 1. Каждый идеал йк (1) инвариантен относительно 1 и йк (1) С дк для к > 1.
Напомним, что левоинвариантная комплексная структура 1 на О называется нильпотентной, если для ряда йк(1) существует номер р такой, что
йр(1) = д.
Очевидно, что идеал йі(1) лежит в центре
2 алгебры Ли д. Если нильпотентная алгеб-
ра Ли имеет двумерный центр 2, то для любой левоинвариантной комплексной нильпотент-ной структуры 1 идеал 2 инвариантен относительно 1. Если нильпотентная алгебра Ли имеет возрастающую центральную последовательность идеалов дк, к = 0,1,...,в, для которой раз-
мерности возрастают каждый раз на две единицы, то для любой левоинвариантной комплексной нильпотентной структуры 1 выполняются равенства дк = йк(1), к = 0,1,...,в. Если базис д выбран так, что ді = {е2п-і, е2п}, д2 = {е2п-3, Є2п-2, Є2п-і, Є2п}, . .., то комплексная структура 1 имеет следующий блочный вид
Вестник КемГУ № 3/1 2011 Риманова геометрия
(например, для шестимерного случая):
Jn
( Ф11 Ф12 0 0 0 0
Ф21 Ф22 0 0 0 0
Ф31 Ф32 Фзз Ф34 0 0
Ф41 Ф42 Ф43 Ф44 0 0
Фб1 Ф52 Ф53 Ф54 Ф55 Ф56
V ф61 ф62 ф63 Фб4 Фб5 Фбб )
(2)
Оставшиеся параметры в (2) не являются свободными, они связаны условиями интегрируемости NJ = 0 и 12 = —1.
Лемма 1.4. Если С 1(д) - первый производный идеал и Е - центр алгебры Ли, то для любой сим-
плектической
и на 0, и(С1 (д), Е) = 0.
0,
Сразу следует из формулы Зш(Х,У, Z) =
= и([Х,У]^) — и([Х^],У) + и([У^],Х) УХ,У^ е 0.
Лемма 1.5. Если С10 - первый производный идеал, то ш(С 10 ® 1 (С 10), а1(1)) = 0.
Следствие 1.6. Для любой (псевдо)кэлеровой структуры (0,ш,д,1) идеал а1(1) С 2 ортогонален подпространству С10 ф 1 (С 10):
д(С 10 ф 1 (С 10), а1(1)) = 0.
Из формулы 2д(УхУ, Z)=д([Х, У]^)+д(^, X], У)+д(Х, ^, У]) для ковариантной производной V на группе Ли сразу вытекают следующие наблюдения:
• если векторы X и У лежат в центре алгебры Ли, то VхУ = 0 для любой левоинвариантной (псевдо)римановой структуры д на алгебре Ли;
• если вектор X лежит в центре алгебры Ли, то VхУ = VYX.
Лемма 1.7. Если вектор X лежит в идеале 04^) С Е алгебры Ли, то VхУ = VYX = 0,
УУ е 0.
Доказательство. Пусть X е 0і ^) С Е и Z,У е 0. Тогда из следствия 1.6 выше вытекает, что 2д^хУ^) = д(X, [Z,У]) =0.
Следствие 1.8 Если вектор X лежит в идеале 01(J) С Е алгебры Ли, то Е^,У)Z =
= Е^,У)X = 0, УУ, Z е 0. Если согласованная с и комплексная структура J имеет вид (2), то кривизна Е(X, У) ассоциированной метрики не зависит от свободных параметров ф51, ф52, Ф53, Ф54, Фб1, Фб2, Фб3, Фб4.
Замечание 1. Отметим, что параметры ф^ комплексной структуры J связаны тремя условиями: согласованность, интегрируемость и J2 = —1.
Поэтому некоторые из указанных выше параметров могут выражаться через другие, например через фіі и ф 12. В следствии 1.8 речь идет о свободных параметрах, т. е. таких, которые остались независимыми. От них кривизна не зависит.
Как уже отмечалось, (псевдо)кэлерова метрика д может быть неопределенной. В знакоопределенном случае Риччи-плоские метрики являются плоскими [1]. В неопределенном случае это вообще неверно. Однако в размерности четыре, если 0
- унимодулярная и псевдокэлерова метрика является Риччи-плоской, то она плоская.
2. Кэлеровы и псевдокэлеровы структуры на четырехмерных группах Ли
Кэлеровы и псевдокэлеровы структуры (.1, и) на четырехмерных группах Ли изучались в последнее время во многих работах. Отметим серию статей Г. Овандо [11], [12] и работы Е. С. Корнева [8]. В работе [4] показано, что четырехмерные псев-докэлеровы группы Ли могут быть только разрешимыми. В работе Г. Овандо [12] подробно изучены псевдокэлеровы левоинвариантные метрики на четырехмерных группах Ли. Совместимые пары (-І, и) параметризованы с точностью до комплексного изоморфизма. Показано, что многие из таких групп Ли допускают псевдокэлеровы эйнштейновы метрики. Рассмотрены Риччи-плоские и плоские метрики. В частности, показано, что в размерности четыре Риччи-плоские унимодуляр-ные псевдокэлеровы алгебры Ли являются плоскими. Показано, что в восьми из 11 семейств (псев-до)кэлеровых алгебр Ли существуют эйнштейновы представители. В работе [12] показано, что сим-плектическая алгебра Ли, допускающая абелеву комплексную структуру, является псевдокэлеро-вой. В этом случае (0, J) является псевдокэлеровой, если и только если, J является абелевой. Например, алгебра Ли off(C) имеет и абелевы и неабелевы комплексные структуры; однако только абелевы допускают согласованную симплекти-ческую форму. Напомним, что комплексная структура J называется абелевой, если она удовлетворяет условию [JX, ,7У] = [X, У], УX, У е 0.
Четырехмерные (псевдо)кэлеровы алгебры Ли. Классификацию четырехмерных разрешимых вещественных алгебр Ли можно найти, например, в работе [2]. Обозначим {ві} базис на 0* дуальный к базису {ві} алгебры Ли 0 и пусть віі = ві Л ві.
Теорема 2.1. ([12]) Пусть 0 - (псев-
до)кэлерова алгебра Ли, тогда 0 изоморфна одной из следующих алгебр Ли, наделенных комплексной и согласованной симплектической структурами из следующего списка:
Вестник КемГУ № 3/І З0ІІ Риманова геометрия
rh3 :
ГГз.0
rr3.G : Г2Г2 :
r2 :
r4.-1.-1
Г4.0.й :
d4.i : d4.2 :
d
4.1/2
d4.a :
[ei, e2] [ei, e2] [ei, e2] [ei, e2] [ei, єз] Ji ei = J2 ei =
a(e13 + e24) + b(e14 - e23) + ce12,
34
= єз, Jei = e2, Je3 = e4, с = Є2, Jei = Є2, Je3 = Є4, ш = ae12 + be = -єз, [єі,єз] = Є2, Jei = Є4, Je2 = єз, ш = ae
+ b2 =0
ab = 0
14 + be23
Є2, Je3 — Є4, ш — = Є4, [є2, Є4] = -єз,
= Є2, [єз, Є4] = Є4, Jei =
= єз, [єі, Є4] = Є4, [е2,ез]
єз, Jie2 = Є4, Ші = a (e13 - e24) + b (є14
-Є2, J2e3 = Є4, Ш2 = a (e13 - e24) + b (є14
[Є4, єі] = єі, [Є4, Є2] = -Є2, [Є4, єз] = -єз,
a e12 + be
34
ab = 0 ab = 0
+ e23), a2 + b2 =0 + e23) + ce
12
+ b2 = 0
ш = a (e12 + e34)
= ei, [є4, Є2] = -5єз, [є4, єз] = 5є2, 5 > 0,
JЄ4 = ei, JЄ2 = єз,
[є4, єі]
Jl Є4 =
[єі, Є2]
Jei =
[ei, Є2]
J1 e4 =
J2 e4 =
[єі, Є2]
Jl Є4 =
[єі, Є2]
JlЄ4 = єз, Jiei = Є2, J2e4 = -єз, J2ei = Є2,
ш = a (e12 - 5e34), a = 0 .
+ b (e13 - e24) +
,14
+ b2 =0
ei, Jie2 = єз, J2e4 = ei, .І2Є2 = -єз
= єз, [є4,єз] = єз, [є4,єі] = єі,
Є4, Je2 = єз, ш = a (e12 - e34) + be14, a = 0 = єз, [е4,ез] = єз, [e4,ei] = 2ei, [є4, Є2] = -Є2, : —e2, J1e1 = e3, ш1 : -2єі, .І2Є2 = єз, Ш2 = ae
= ^ [e4, e3] = e3, [e4, e1] - 2 : єз, Jiei = Є2, J2e4 = єз, J2ei = -Є2
ш = a e14 + b e23, ab = 0
a (e14 + e23) + be24, a = 0
=14 + be23, ab = 0 [Є4,Є2] = 1
2 єь
- 2 e2i ш = a(e12 - e34), a = 0
єз, [e4,ei] = 2ei - Є2, [є4,єз] = 5єз, [e4,e2] = єі + 2Є2,
5 0,
J3e4 = -єз, J3ei = -Є2,
2
a
2
2
a
Отметим, что r^3 есть тривиальное расширение трехмерной алгебры Ли Гейзенберга, обозначаемой h3; r2r2 есть алгебра Ли aff(R) х aff(R), где aff(R) - алгебра Ли группы Ли аффинных движений R, r2 есть вещественная алгебра Ли, лежащей в основе комплексной алгебры Ли aff(C), r3 g есть тривиальное расширение e(2), алгебры Ли группы Ли движений R2; Гз.-1 - алгебра Ли e(1,1) группы Ли движений 2-пространства Минковско-го. Унимодулярные четырехмерные разрешимые алгебры Ли - это следующие: R4, r^3, rr3 . -1, rr3 G,
n4, r4 . —1/2, r4 .м.-1-м (-1 < ^ < — 1/2), r4.i.-м/2, ^, d4.o.
Из списка теоремы З.І получаем ряд следствий
[ІЗ]:
І. Пусть g - нильпотентная (неабелева) че-тыреxмерная псевдокэлерова алгебра Ли, тогда она изоморфна R х f)3 и любая комплексная структура является абелевой.
З. Пусть g - четыреxмерная алгебра Ли для которой любая комплексная структура допускает (псевдо)кэлерову структуру на g. Тогда g изоморфна одной из алгебр R х f)3, R2 х aff(R), R х e(2), Г4 .-1 .-1, r4 . 0 .г, d4 .1 d4 . 2
3. Пусть g - ч^ет^ыре^^^м^ерн^ая алгебра Ли, допускающая абелеву комплексную структуру. Тогда (g, J) является (псевдо)кэлеровой тогда и только тогда, когда g - симплек-тическая и J - абелева.
4. Пусть (g,J) - неабелева ч,етыреxмерная
алгебра Ли с комплексной структурой 7, допускающая только знакоопределенные кэлеровы метрики, тогда (д, 7) изоморфна либо алгебре Ли (Э4 ,і/2,7і), или алгебре
(^4,г, Jl, ^3)-
Псевдокэлеровы алгебры Ли (М х ()з,7), (а||(С), 7і,72) , (Г4_і_і, 7) и (^4,1,^) и ^ допускают только нейтральные псевдори-мановы метрики.
Здесь комплексные структуры 7, 7і, .І2 и 7з определены в таблице теоремы 2.1.
Теорема 2.2. ([12]) Пусть д - унимодулярная четырехмерная псевдокэлерова алгебра Ли, тогда метрика д является плоской и ее связность Леви-Чивита является полной.
Теорема 2.3. ([12]) Пусть (д, 7) - не унимодулярная четырехмерная кэлерова алгебра Ли с псевдокэлеровой Риччи-плоской метрикой д. Тогда (д, 7) изоморфна одной из (г4,-і,-і,7), (^4,2, 72), (а||(С), 72). Кроме того, эти алгебры Ли имеют плоские метрики и также Риччи-плоские но не плоские метрики.
В работе [12] определены все эйнштейновы кэлеровы метрики в четырехмерном случае. Напомним, что е1 ■ е3 - это симметричное произведение 1-форм е1 и е3.
Предложение 2.4. ([12]) Пусть (д, 7, д) -кэлерова алгебра Ли с эйнштейновой метрикой д. Тогда, если д - не Риччи-плоская, то д есть (псевдо)кэлерова метрика, соответствующая одной из следующих алгебр Ли:
Вестник КемГУ № 3/1 2011 Риманова геометрия
aff(R) x aff(R) J g= - a( e1 • e1 + e2 • е2 + e3 • e3 + e4 • e4),
aff(C) Jl g= - a( e1 • e1 — е2 • е2 + e3 • 4 е — CO е e4),
d4,l/2 Jl, g, = a\ (e1 • e1 + e2 • е2 + e3. ■ e3 + e4 • ■e4),
J2 g = a\ (e1 • e1 + e2 • е2 — e3. е CO 1 е ■e4),
Jl, J3, J2 g = a\ (e1 • e1 + e2 • е2 + S(e 3 • e3 + e 4 4
d4,S g= = a\ (e1 • e1 + e2 • е2 1 On е 3 • e3 + e ее 4
Теорема 2.5. ([12]) Пусть (g,J,g) - кэлерова потентных группах Ли. Псевдокэлерова структура алгебра Ли. Если g не допускает эйнштейновой на группе Ли задается симплектической формой м кэлеровой метрики, то g изоморфна одной из ал- и согласованной с ней комплексной структурой J, гебр R2 x aff(R), r4 0 s, d4jl. т. е. такой, что м(.1Х, JY) = м(Х,Y). Классифика-
ция левоинвариантных комплексных структур на шестимерных нильпотентных группах Ли получе-3. Псевдокэлеровы структуры на ше- на в работе Саламона [13]. Полный список сим-
СТИМерНЫХ НИЛЬПОтентНЫХ группах плектических структур на шестимерных нильпо-Ли тентных группах Ли, установлен в работе M. Goze,
Y. Khakimdjanov, A. Medina [7]:
Как известно [3], не существует нильпотентных Каждая нильпотентная симплектическая групп Ли, допускающих левоинвариантную кэле- алгебра Ли размерности б симплекто-изоморфна рову структуру, кроме абелевых. Однако псевдо- одной и только одной из следующих симплекти-кэлеровы структуры существуют на многих ниль- ческих алгебр Ли:
1. [еі,Є2]= ез, [еі,ез] = Є4, [ei,e4] = Є5, [ei,e5]= Є6, [е2,ез] = Є5, [Є2,Є4] = Є6,
м = е1 Л е6 + (1 — A)e2 Л е5 + Ae3 Л е4, A Є R \ {G, 1} .
2. [еі,Є2]= ез, [еі,ез] = Є4, [еі,е4] = Є5, [еі,е5]= Є6, [е2,ез] = Є6,
м(A) = A(el Л е6 + е2 Л е4 + е3 Л е4 — е2 Л е5), A = G.
3. [еі, Є2] = Єз, [еі, Єз] = Є4, [еі, Є4] = Є5, [еі, Є5] = Є6, м = е1 Л е6 — е2 Л е5 + е3 Л е4 .
4. [еі,Є2]= ез, [еі,ез] = Є4, [еі,Є4] = Є6, [е2,ез]= Є5, [Є2,Є5] = Є6,
м(Al, A2) = Aie1 Л е4 + A2(el Л е5 + е1 Л е6 + е2 Л е4 + е3 Л е5), Ai, A2 Є R, A2 = G .
5. [еі,е2]= ез, [еі,ез] = Є4, [еі,е4] = —Є6, [е2,ез] = Є5, [Є2,Є5] = Є6,
Ml(Al, A2) = Aie1 Л е4 + A2(el Л е5 + е1 Л е6 + е2 Л е4 + е3 Л е5), Ai, A2 Є R, A2 = G , м2(A) = A(el Л е6 — 2Є1 Л е5 — 2е2 Л е4 + е2 Л е6 + е3 Л е4 + е3 Л е5), A = G,
м3 (A) = A(el Л е4 — е1 Л е5 + е1 Л е6 — е2 Л е4 + е2 Л е5 + е2 Л е6 + е3 Л е4 + е3 Л е5), A = G,
м4^) = A(2el Л е4 + е1 Л е6 + 2е2 Л е5 + е2 Л е6 + е3 Л е4 + е3 Л е5), A = G .
6. [еі,Є2]= ез, [еі,ез] = Є4, [еі,е4] = Є5, [е2,ез]= Є6,
мі = е1 Л е6 + е2 Л е4 + е2 Л е5 — е3 Л е4, м2 = —е1 Л е6 — е2 Л е4 — е2 Л е5 + е3 Л е4 .
7. [еі,Є2]= Є4, [еі,е4] = Є5, [еі,е5] = Є6, [е2,ез]= Є6, [Є2,Є4] = Є6,
Ml(A) = A(el Л е3 + е2 Л е6 — е4 Л е5), M2(A) = A(el Л е6 + е2 Л е5 — е3 Л е4), A = G .
S. [еі,Є2]= Є4, [еі,Є4] = Є5, [еі,Є5] = Є6, [е2,ез]= Є5, [Є2,Є4] = Є6,
м = е1 Л е6 + е2 Л е5 — е3 Л е4 .
9. [еі,е2] = Є4, [еі, Є4] = Є5, [еі,е5] = е6, [е2,ез] = е6, м(A)=A(el Л ез+е2 Л е6—е4 Л е5), A = G.
10. [еі,Є2]= Є4, [еі,Є4] = Є5, [еі,ез] = Є6, [Є2,Є4]= Є6,
мі = е1 Л е6 + е2 Л е5 — е2 Л е6 — е3 Л е4, м2 = —е1 Л е6 — е2 Л е5 + е2 Л е6 + е3 Л е4 .
11. [еі,е2]= Є4, [еі,е4] = Є5, [е2,ез] = Є6, [Є2,Є4]= Є6,
мl(A) = е1 Л е6+е2 Л e5+Ae2 Л е6—е3 Л е4, м2(A) = —е1 Л е6—е2 Л e5+Ae2 Л е6+ез Л е4, A Є R .
Вестник КемГУ № 3/1 2011 Риманова геометрия
12. [еЬе2] = в4, [в1,в4] = вб, [в1,еэ] = ев, [в2,еэ] = -вб, [в2, в4] = вв,
ш(Л) = Ае1 Л е5 + е2 Л ев + (А + 1)е3 Л е4, А = 0, —1.
13. [еь е2] = е4, [е1,ез] = еб, [е1,е4] = ев, [е2,ез] = ев,
ш1(Л) = е1 Л ев + Ле2 Л е5 + (Л — 1) е3 Л е4, Л = 0, 1,
ш2(Л) = е1 Л ев + Ле2 Л е4 + е2 Л е5 + е3 Л е5, Л = 0,
ш3 = е1 Л ев + е2 Л е4 + 1 е2 Л е5 — 1 е3 Л е4 .
14. [е1,е2] = е4, [е1,е4] = ев, [е1,е3] = е5, ^1 = е1 Л ев + е2 Л е4 + е3 Л е5,
ш2 = е1 Л ев — е2 Л е4 + е3 Л е5, ш3 = е1 Л ев + е2 Л е5 + е3 Л е4 .
15. [е1, е2] = е4, [е1, е4] = ев, [е2, е3] = е5, ш1 = —е1 Л е5 + е1 Л ев + е2 Л е5 + е3 Л е4,
ш2 = е1 Л е5 — е1 Л ев — е2 Л е5 — е3 Л е4, ш3 = е1 Л ев + е2 Л е4 + е3 Л е5 .
16. [е1,е2] = е5, [еье3] = ев, [е2,е4] = ев, [е3,е4] = —е5,
^1 = е1 Л ев + е2 Л е3 — е4 Л е5, ш2 = е1 Л ев — е2 Л е3 + е4 Л е5 .
17. [е1,е3] = е5, [е1,е4] = ев, [е2,е3] = ев, ш = е1 Л ев + е2 Л е5 + е3 Л е4 .
18. [еье2] = е4, [еье3] = е5, [е2,е3] = ев,
ш1(Л) = е1 Л ев + Ле2 Л е5 + (Л — 1) е3 Л е4, Л = 0, 1,
ш2(Л) = е1 Л е5 + Ле1 Л ев — Ле2 Л е5 + е2 Л ев — 2Ле3 Л е4, Л = 0,
ш3 = е3 Л е5 — е1 Л ев + е2 Л е5 + 2е3 Л е4 .
19. [е1, е2] = е4, [е1, е4] = е5, [е1, е5] = ев, ш = е1 Л е3 + е2 Л ев — е4 Л е5 .
20. [е1,е2] = е3, [еье3] = е4, [е1,е4] = е5, [е2,е3] = е5, ш = е1 Л ев + е2 Л е5 — е3 Л е4 .
21. [е1, е2] = е4, [е1, е4] = ев, [е2, е3] = ев, Ш1 = е1 Л ев + е2 Л е4 — е3 Л е4 — е3 Л е5,
ш2 = е1 Л ев + е2 Л е5 — е3 Л е4, ш3 = —е1 Л ев — е2 Л е5 + е3 Л е4 .
22. [е1, е2] = е5, [е1, е5] = ев, ш = е1 Л ев + е2 Л е5 + е3 Л е4 .
23. [е1, е2] = е5, [е1, е3] = ев, Ш1 = е1 Л ев + е2 Л е5 + е3 Л е4,
ш2 = е1 Л е4 + е2 Л ев + е3 Л е5, ш3 = е1 Л е4 + е2 Л ев — е3 Л е5 .
24. [е1,е4] = ев, [е2,е3] = е5,
ш1 = е1 Л ев + е2 Л е5 + е3 Л е4, ш1 = —е1 Л ев — е2 Л е5 — е3 Л е4 .
25. [е1, е2] = ев, ш = е1 Л ев + е2 Л е5 + е3 Л е4 .
26. Мв, ш = е1 Л ев + е2 Л е5 + е3 Л е4 .
Укажем также нильпотентные алгебры Ли, не допускающие ни комплексной, ни симплектиче-ской структур [13]:
1. [е1,е2] = е3, [еье3] = е4, [е1,е4] = е5,
[е2,е3] = е5, [е3,е4] = ев, [е2,е5] = —ев.
2. [е1,е2] = е3, [еье3] = е4, [е1,е4] = е5,
[е3, е4] = ев, [е2, е5] = —ев.
3. [е1, е2] = е4, [е1,е3] = е5, [еье4] = ев,
[e3, е5] = ев.
4. [е1,е2] = е4, [е2,е3 ]= е5, [е1,е4] = ев,
[е3, е5] = ев.
5. [е1,е2] = е5, [е1,е5 ]= ев, [е3,е4] = ев.
Следующие нильпотентные алгебры Ли не допускают только симплектической структуры:
1. [е1,е2] = ^, [е2,е3 ]= e5, [е1,е4] = ^
[е3, е5] = —ев.
2. [е1,е2] = e4, [е1,е4 ]= ^, [е2,е4] = ев.
3. [е1,е2] = ^ [е3,е4 ]= ев.
Вестник КемГУ № 3/1 2011 Риманова геометрия
Алгебра Ли с коммутационными соотношениями [el, e2] = Єз, [el, Єз] = e4, [e2, Єз] = e5, [el, e4] = eg, [e2,e5] = eg допускает комплексные структуры и отдельно симплектические, но не допускает согласованных, т. е. псевдокэлеровых структур.
Как уже упоминалось, на нильпотентных группах Ли нет кэлеровых метрик, но могут существовать псевдокэлеровы структуры. Достаточно подробное изучение псевдокэлеровых структур в шестимерном нильпотентном случае проведено недавно L.A. Cordero, M. Fernandez и L. Ugarte
[5]. Показано, что для псевдокэлеровой структуры (J, м) на шестимерной нильпотентной группе Ли комплексная структура J должна быть ниль-потентной, а на некоторых группах Ли - абелевой. В работе [б] показано, что левоинвариантные псевдокэлеровы метрики на нильпотентной группе Ли являются Риччи-плоскими, но многие из них неплоские.
В следующей теореме алгебру Ли g будем записывать в виде m-ки (0, 0, de3,. .., dem), в которой используется сокращение записи вгз = вг Л вj как ij. Например, запись (0, 0, 0,12) обозначает алгебру Ли со структурными уравнениями: de1 =0, de2 = 0, de3 = 0 и de4 = в1 Л в2. Кроме того, у каждой алгебры указан также ее номер в списке симплектических алгебр Ли работы M. Goze, Y. Khakimdjanov, A. Medina [Т].
Теорема 3.1. ([5]) Шестимерная нильпо-тентная неабелева алгебра Ли g допускает согласованную пару (J, м) тогда и только тогда, когда она изоморфна одной из алгебр следующего списка:
h2l = (0,0, 0, 0,12,14 + 25),
h 14 = (0,0, 0,12,13,14),
h із = (о, 0, 0,12,13,14 + 23),
h 15 = (о, 0, 0,12,13, 24),
hll = (о, 0, 0,12,13 + 14, 24),
h 10 = (о, 0, 0,12,14,13 + 42),
h 12 = (о, 0, 0,12,13 + 42,14 + 23),
h24 = (о, 0, 0, 0,12, 34),
h 17 = (о, 0, 0, 0,12,14 + 23),
h lg = (о, 0, 0, 0,13 + 42,14 + 23),
h23 = (о, 0, 0, 0,12,13),
h is = (о, 0, 0,12,13, 23),
h 25 = (о, 0, 0, 0,0,12).
Для каждой алгебры Ли этого списка в работе [5] выбран пример нильпотентной комплексной структуры и для нее найдены согласованные симплектические формы. Естественнее опираться на классификационный список M. Goze, Y. Khakimdjanov, A. Medina [Т], в котором приведены все симплектические б-мерные алгебры Ли и показано, что каждая нильпотентная алгебра Ли симплектоизоморфна одной их алгебр этого списка. Таким образом, мы будем рассматривать алгебры Ли теоремы 3.1 с симплектической структурой из списка [Т] и для них искать все согла-
сованные комплексные структуры. Мы получим явные выражения комплексных структур и исследуем свойства кривизны. Оказывается, что существуют многопараметрические семейства таких комплексных структур. Однако все они имеют ряд общих свойств. А именно: ассоциированная псев-докэлерова метрика является Риччи-плоской, тензор Римана имеет нулевую псевдориманову норму, тензор Римана имеет несколько ненулевых компонент, зависящих, только от двух или, самое большее, трех параметров.
Для шестимерной нильпотентная алгебры Ли
0, допускающей комплексную структуру, размерности ее возрастающей центральной последовательности 0к могут быть: (2, 4, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6) и 6. Последовательность этих размерностей будем называть типом алгебры Ли. В списке алгебр Ли теоремы 3.1 алгебры Ли типа (2, 4, 6) стоят в начале - семь первых алгебр Ли.
3.1 Алгебры Ли типа (2, 4, 6)
Рассмотрим нильпотентные алгебры Ли, у которых последовательность идеалов 01 С 02 С 0з = 0 имеет размерности (2,4, 6). Легко видеть, что такая алгебра Ли типа (2, 4, 6) раскладывается в прямую сумму двумерных подпространств:
0 = а ф Ь ф Я,
обладающих свойствами:
• Я = 01 - центр алгебры Ли 0,
• Ь ф Я = 02,
• [а, а] С Ь ф Я, [а, Ь] С Я.
Будем далее считать, что в 0 выбран базис е1,... ,е6 так, что {е1, е2}, {е3, е4} и {е5, е6} - это базисы подпространств а, Ь и Я соответственно.
Для любой нильпотентной комплексной структуры 7 на алгебре типа (2,4,6) последовательность идеалов ак(7) совпадает с 0к, к = 1, 2, 3 и матрица 7 имеет вид (2). Кроме того, для такой комплексной структуры 7 имеем С10 ф 7(С 10) =
= Ь ф Я = 02.
Теорема 3.2. Пусть шестимерная симплек-тическая алгебра Ли (0,ш) имеет тип (2,4, 6) и
0 = а ф Ь ф Я,
где Ь ф Я = С10 ф 7(С 10) - абелева подалгебра. Предположим, что подпространства а и Я
- ш-изотропны и ш-дуальны, а на Ь форма ш невырождена. Тогда для любой согласованной с ш комплексной структуры 7 и связности Леви-Чивита V соответствующей псевдоримановой метрики дз имеют место свойства:
• VxУ є Ь ф Я, УХ,У є а,
• VxУ є Я, УХ є а, У є Ь,
• VxУ = 0, УХ,У є Ь фЯ.
Вестник КемГУ № 3/1 2011 Риманова геометрия
Доказательство. Пусть Х,У Є а. Если У х У имеет ненулевую компоненту из а, тогда существует вектор JZ Є 2, такой, что ш(УхУ., JZ) = 0. С другой стороны, 2&(УхУ, JZ) = 2(УхУ, Z) =
= {[X, У], Z) + {^, X], У) + {^, У],Х) =
= ш([Х,У],JZ) = 0, поскольку ш(С 1д, аі^)) = 0. Пусть теперь X Є а и У Є Ь. Совершенно аналогично показывается, что Ух У имеет нулевую компоненту из а. Предположим, что Ух У имеет ненулевую компоненту из Ь. Тогда существует вектор Z Є Ь, что JZ Є Ь и такой, что ш(УхУ, JZ) = 0. В то же время, 2&(УхУ, JZ) = 2{УхУ, Z) =
= {[Х,У]^) + (^,Х ],У) = ш([Х,У ],JZ) +
+ ш(^,Х], ,1У) = 0. Последнее равенство следует из того, что У, .ІУ, Z, JZ Є Ь С С1д ® .1 (С 1д), тогда [Х, У], [^Х] Є 2 и и(С 10 ф J(С10), 2) = 0. Рассмотрим третье утверждение. Пусть Х,У Є Ь ф 2. Тогда для любого Z Є 0, 2{УхУ, Z) =
= {[Х, У], Z) + (^, Х], У) + (^, У],Х) =
= ш(^, Х], ,1У) + ш(^, У], ЛХ) =0 по тем же аргументам, что и в предыдущем пункте.
Следствие 3.3. В предположениях теоремы 3.2, если вектор Х лежит в идеале a2(J) алгебры Ли, то Е(Х, У^ = Е^, У)Х = 0, Є 0. Ес-
ли согласованная комплексная структура J имеет вид (2), то кривизна Е(Х,У) ассоциированной метрики не зависит от свободных параметров фз1, фз2, Ф41, ФА2.
Отметим, что параметры ф^ комплексной структуры .1 связаны тремя условиями: согласованность, интегрируемость и J2 = —1. Поэтому некоторые из указанных выше параметров могут выражаться через другие. Если в результате среди Фз1, Фз2, Ф41, Ф42 остались независимые параметры, то их можно считать нулевыми, поскольку от них кривизна не зависит. Напомним, что, согласно следствию 1.8, кривизна Е(Х,У) ассоциированной метрики не зависит также от свободных параметров Ф51, Ф52, Ф53, Ф54, Фб1, Фб2, Фб3, Фб4.
Следствие 3.4. В предположениях теоремы 3.2 для любых Х,У^ Є 0, Е(Х,У)Z Є 2. Поэтому псевдориманова норма тензора Рима,-на равна нулю. В соответствии с разложением 0 = а ф Ь ф 2 выберем базисе {е1,е2}, {е3,е4} и {е5,е6}. Тогда тензор кривизны может иметь с точностью до симметрий только четыре ненулевые компоненты Е52д, Е62д, Е522, Е622.
Аналогичные утверждения имеют место для алгебр Ли типа (2,6). Алгебра Ли типа (4,6) является прямым произведением четырехмерной алгебры Ли и М2. Случай (3,6) является наиболее сложным.
Теперь рассмотрим все шестимерные нильпо-тентные алгебры Ли типа (2, 4, 6). В соответствии с теоремой 3.1 имеется 7 таких алгебр Ли, которые допускают псевдокэлерову структуру. Напомним, что номер у каждой алгебры соответствует ее номеру в списке работы [7].
1. Алгебра Ли [)14- Рассмотрим шестимерную группу Ли 014, которая имеет алгебру Ли [) 14, определенную следующими коммутационными соотношениями: [е1,е2] = Є4, [е2,ез] = Єб, [е2,е4] = е5. Легко видеть, что она имеет тип (2,4,6), 2 = 01 = {е5,ев}, 02 = {ез,е4,е5,еб}, 03 = 0. Согласно результатам [7], данная алгебра имеет три симплектических структуры:
о>1 = —е1 Л е4 + е2 Л е5 + е3 Л е6,
^2 = е1 Л е4 + е2 Л е5 + е3 Л е6, ш3 = е1 Л е6 + е2 Л е5 + е3 Л е4. Левоинвариантные комплексные структуры на этой группе найдены в явном виде в работе Магнина [10] (алгебра М1). Показано, что группа Ли О14 имеет 10 параметрическое семейство левоинвариантных комплексных структур. Прямая проверка согласованности семейства комплексных структур на 014 показывает, что для первых двух симплектических форм не существует согласованных комплексных структур. Для формы ^3 согласованная комплексная структура зависит от 6 параметров и имеет вид:
.1
/ Ф11 — Ф12 0 0 0 0
Ф 4,+1 Ф 14 — Ф11 0 0 0 0
ф42ф і 1+Ф44 + 2Ф4 1 Ф 1 2Ф 1 1 Ф41 — Ф11 +1 ІФ 0 0
Ф22 1
Ф41 Ф42 Ф12 Ф11 0 0
Ф51 J52 Ф42 — Ф41 Ф11 Ф12
V Ф61 51 Ф Ф 1 Ф42Ф 2 1+Ф42+2Ф4 1Ф 12Ф 1 1 Фі21+1 -Ф11
Ф22 2 1
где J52
2Ф 1 1 Ф43Ф42Ф4 1
2'Ф 1 1 ^43^5 1 + Ф42Ф 1 1 + Ф42+Ф43Ф4 1
(Ф 2 1 + 1)ф4
ф43ф2 1
(3)
Тензор кривизны метрики д(Х, У) — ^ , ^122
имеет, с точностью до симметрий, четыре 6
_ (ф 2 1 + 1)ф
ненулевых компоненты:
5
Е1 2 1
--^(ХДУ) Е5 Е
= Ф2
рб
Е1 2 2
= (Ф 4 1 + 1)Ф 1
Ф 14
+ 1,
. Мы видим, что тензор кривиз-
Ф1
11
(Ф 41+1)4 1 ,2 Л- Ф44
ны зависит только от двух параметров Ф11 и Ф12
Вестник КемГУ № 3/1 2011 Риманова геометрия
что вполне соответствует теореме 3.2 и следствиям 3.3 и 1.8. После опускания индекса, получаем
одну компоненту кривизны Ді,2,і,2 = ^—і^11. Параметры ф^ метрического тензора д и комплексной структуры 7, которые на кривизну не влияют, естественно считать нулевыми.
Определение. Пусть (д(ф),7(ф)) - многопараметрическое семейство псевдокэлеровых структур. Пседокэлерову структуру (д, 7) на группе Ли О будем называть полуканонической, если метрический тензор gij зависит только от тех параметров ф, которые влияют на кривизну Е.1^к. Канонической будем называть такую псев-докэлерову структуру (д, 7) на группе Ли О, у которой метрический тензор gij зависит только от тех параметров, которые влияют на кривизну Дijkl.
Тогда получаем следующую полуканониче-скую комплексную структуру 7 и псевдокэлерову метрику д(Х,У) = ш(Х, ЛУ) на группе О14:
7(Є2) = Ф12 Є1 - Фіі Є2,
7(ез) = -фіі Є3 + ф 12 Є4,
7(еб) = фі2 Є5 - фіі Є6.
Каноническая псевдокэлерова метрика:
д=
0 0 0 0 + ^ — - - 1
0 0 0 0 фіі ф 12
0 0 ф 12 фіі 0 0
0 0 фіі —21+1 — 12 0 0
+ ^ — - фіі 0 0 0 0
- і ф 12 0 0 0 0
-а е® 7(е4) = а е3, 7 (еб) =
0 0 0 0- а— 1 0
0 0 0 0 0 а
0 0 а— 1 0 0 0
0 0 0 а 0 0
а—1 0 0 0 0 0
0 а 0 0 0 0
(4)
2. Алгебра Ли ^2і- Коммутационные соотношения: [еі,е2] = Є4, [еі,е4] = еб, [е2,ез] = еб. Алгебра Ли [)2і имеет две симплектических структуры [7]. Прямая проверка показывает, что для первой структуры ш® = е1 Л еб + е2 Л е4 — е3 Л е4 — е3 Л е5 нет согласованных комплексных структур. Рассмотрим вторую симплектическую структуру
ш = е1 Л еб + е2 Л е5 — е3 Л е4.
Имеется многопараметрическое семейство согласованных комплексных структур. С учетом результатов теоремы 3.2 и следствий 3.3 и 1.8, прямыми вычислениями получаем, что тензор кривизны ассоциированной метрики д(Х,У) = ш(Х,7У) зависит от двух парамет-
ров фи и ф 12 =0 и имеет следующие ненулевые компоненты: Д® 2 і = 1 + ф2®, Дб 2 2 = фі2фіі,
Д5 2 і = ф12фи, Д5 2 2 = ф22. Поэтому полукано-
ническая комплексная структуру задается следующим образом:
7(е2) = ф 12 еі - фіі е2,
7(е4) = ф 12 е3 - фіі е4,
7(еб) = ф 12 е5 - фіі еб.
При опускании индекса получается всего одна (с точностью до симметрий) ненулевая компонен-
та тензора кривизны Д® , 2 д , 2 = - ф12. Тогда, полагая фі2 = -а = 0 и фц = 0, получаем следующую каноническую комплексную структуру и псевдо-кэлерову метрику кривизны Д® , 2 ,і , 2 = а на алгебре Ли [)2і:
а е5,
д=
3. Алгебра Ли ^13. Коммутационные соотношения: [еі,е2] = е4, [е®,е3] = е5, [еі,е4] = еб, [е2,е3] = еб. Алгебра Ли [)13 имеет [7] три симплектических структуры. Левоинвариантные комплексные структуры на этой группе найдены в явном виде в работе Магнина [10] (алгебра М6). Для использования результатов Магнина переобо-значим векторы базиса е3 := -е3, е5 := -е5 и получаем коммутационные соотношения в списке Магнина: [е1,е2] = е4, [е®,е3] = е5, [е1,е4] = еб,
[е2,е3] = -еб. Симплектические структуры:
ші = е1 Л еб - Ле2 Л е5 - (А - 1)е3 Л е4,
ш2 = е1 Л еб + Ле2 Л е4 - е2 Л е5 + е3 Л е5,
ш3 = е1 Л еб + е2 Л е4 - 2е2 Л е5 + 1 е3 Л е4.
Первый случай. Рассмотрим форму ші = е1 Л еб - Ле2 Л е5 - (А - 1)е3 Л е4. Имеется многопараметрическое семейство согласованных комплексных структур. С учетом результатов теоремы 3.2 и следствий 3.3 и 1.8, прямыми вычислениями получаем, что тензор кривизны ассоциированной метрики ді(Х, У) = ш® (Х,7®У) зависит от двух параметров фц и ф®2 =0 и имеет следую-
Дб (3Л—1) —12 —^
, ^ б 2 2 = -----------------------------,
р5 (1 + Л)(3Л —1)^22 рб (3Л—1)(1+—21 )
Д1,2 ,2 = - Л(Л —1) , Д1,2 ,1 = Л2 —1 ,
Д5,2 д = - (3Л— (Л—^11 . Поэтому полуканониче-ская комплексная структура задается следующим образом: 71(е2) = (1 + Л)ф12 е® - фц е2,
7і(е4) = ф 12 е3-фіі е4, 7і(еб) = (1+Л)—12 е5-фіі еб. Соответствующая псевдокэлерова метрика находится по формуле д® = ш® о 7®.
После опускания индекса получается одна
с (3Л—1) —12 ггл
ненулевая компонента Ді,2,і,2 = -—л-® . Тогда, полагая ф12 = а = 0 и фц = 0, по-
лучаем следующую каноническую комплексную структуру и псевдокэлерову метрику кривизны Д1,2,1,2 = -(3Л—І)а на алгебре Ли [)13:
7і(е2) = (1 + А)аеі, 7(е4) = ае3,
7(еб) = (1+Ла е5, ді(Х,У ) = ші(Х,7іУ ).
Второй случай. Для симплектической формы ш2 = е1 Л еб + Ле2 Л е4 - е2 Л е5 + е3 Л е5 нет
согласованных комплексных структур.
Третий случай. Симплектическая структура: ш3 = е1 Л еб + е2 Л е4 - 2е2 Л е5 + 2е3 Л е4. Тензор кривизны зависит от двух параметров фц и ф®2:
Вестник КемГУ № 3/1 2011 Риманова геометрия
р5
п1,2,2
4ф22
р5
п1,2,1
4^12^1
3
р6
п1,2,2
2Ф12Ф1
3
П6 2 1 = — 2(1+з^11}. Поэтому полуканоническая комплексная структуру задается следующим образом:
Тз(е2) = ф12 Є1 — фц Є2,
^(ез) = фи ез — 3 ф
2 ф-2 "4 " ф Ь(е4) = ез — фц Є4 — 4фц Є5 + ф
73(е6) = 2 ф12 е5 — ф11 е6-
Є5,
2+1
І1
Є6,
0 0 -а х 2а 0
0 0 0 0 а
0 _3_ 4а 0 0 0
0 0 а 3 0 0
0 0 0 0 0
а 0 0 0 0
Соответствующий метрический тензор получается по формуле д3(Х,У) = ш3(Х,73У). При опускании индекса получается всего одна (с точностью до симметрий) ненулевая компонента тензора кривизны й1 , 2,1 , 2 = . Тогда, полагая
ф12 = —а = 0 и ф11 = 0, получаем следующую каноническую комплексную структуру и псевдокэле-рову метрику кривизны й1 , 2 д , 2 = — 2т на алгебре Ли ї) 13 с 73-инвариантными площадками {е1, е2 } и {е5, е6}:
*^3 (е2) = —ае1,
= 23їе4 + а е5,
^е) = — ^ Є3 — а е6,
^3(е6) = —2 ае5,
0 0 0
д3 = 1
0
4. Алгебра Ли ї)15- Коммутационные соотношения: [е1,е2] = е4, [е1,е3] = е6, [е2,е4] = е5. Группа Ли имеет [7] три симплектические структуры:
о>1 = е1 Л е6 — е1 Л е5 + е2 Л е5 + е3 Л е4,
ш2 = е1 Л е6 + е2 Л е4 + е3 Л е5,
ш3 = е1 Л е6 + е2 Л е5 — е3 Л е4.
Это алгебра Ли М7, рассмотренная в работе Маг-
нина [10]. Чтобы увидеть это, сделаем замену: е1 := Е2, е2 := —Е1, е5 := — #6, е6 := Е5. Тогда [ЕъЕУ = Е4, [ЕЬЕ3] = #6, [#2,#4] = Е5. Сим-плектические структуры принимают вид:
ш1 = Е1 Л Е6 + Е2 Л Е6 + Е2 Л Е5 + Е3 Л Е4, ш2 = —Е1 Л Е4 + Е2 Л Е5 — Е3 Л Е6, ш3 = Е1 Л Е6 + Е2 Л Е5 — Е3 Л Е4.
Первый случай. Симплектическая структура: ш1 = Е2 Л Е6 + Е2 Л Е5 + Е1 Л Е6 + Е3 Л Е4 Тензор кривизны зависит от двух параметров фц и Ф12. После опускания индекса остается одна ненулевая компонента
п = _ ф1- + ф3- ф12 + 2 ф2- -2 ф22 ф2- +ф11 ф12 + 1
1 ’ 2 ^ ’ 2 Ф12 (-2 фиф12 + 1+Ф21 } '
Поэтому каноническая комплексная структура 71 задается следующим образом:
71 (Е2) = Ф12 Е1 — фц Е2,
^1 (Е4)
Ф1
1 + 2 фи +Ф11_______ Е |
І (-2 Ф11 Ф12 + 1+Ф112} 3
+
Ф11 -Ф11 Ф12+Ф11+Ф1
71 (Е5) = —
-2 фц Ф12 + 1+Ф11 = _ -Ф11Ф12+1+Ф112 е + 1+Ф1
Ф12 5 Ф12
#4
■ #6.
Метрический тензор псевдокэлеровой структуры находится по формуле д1 = Ш1 о 71.
Второй случай. Нет комплексных структур, согласованных с формой ш2.
Третий случай. Симплектическая структура ш3 = Е1 Л Е6 + Е2 Л Е5 — Е3 Л Е4
Тензор кривизны зависит от двух параметров фц и Ф12. После опускания верхнего индекса остается одна компонента
о _ 3+4 ф11ф12-8 ф21ф22+4 ф12ф11+6 ф21+3 ф11
П ’2 -1’2 = 8 Ф11Ф22 .
Тогда получаем следующую каноническую комплексную структуру и псевдокэлерову метрику на алгебре Ли [)15:
73(Е2) = ф12 Е1 — ф11 E2,
73 (#3)
-^ Е3 + Е4,
2 фц 3 2 ф-і 45
д15
73(Е6) = —ф12 Е5 — ф11 Е6.
Ненулевые компоненты метрического тензора: 1+ф11 , д16 = — фи, д25 = фи, д26 = —ф1
Ф1
Ф1
^12,
д33 = — 2фТ, д34
1-І1
2 фц , д44 2 Ф122Ф11 '
5. Алгебра Ли [)11- Коммутационные соотношения: [е1,е2] = е4, [е1,е4] = е5, [е2,е3] = е6, [е2, е4] = е6, Это алгебра Ли М8, рассмотренная в работе Магнина [10]. Симплектическая структура: ш = е1 Л е6 + е2 Л е5 — е3 Л е4 + Ле2 Л е6 Тензор кривизны зависит от параметра Л и еще двух параметров ф11 и ф12 = 0. Согласованная комплексная структура имеет 7-инвариантные площадки {е1, е2}, {е3, е4} и {е5, е6}, однако ее вид является достаточно сложным:
7(е2) = ф 12 е1 — ф11 е2,
1+2 Ф112+Ф1
7 (е3) = —
2 Ф122 3фц Лф12+Л2(1+фц2} А ф12 2
е3+
22
, ф122-2 ф-1 Лф-2+Л2(1+ф2- } „
+ ЛфГ2 е4,
7(е5) = ф11 ф12фЛ2(1+ф11} е5 + ^ е6-Псевдокэлерова метрика находится по формуле д = ш о 7.
При опускании индекса тензора кривиз-
ны получается одна ненулевая компонента и = Л2(ф;!1 + 1}-5Лф12 фц+4ф22
п ,2 ,1,2 =------------Лф12---------.
6. Алгебра Ли ї) 10- Коммутационные соот-
ношения: [е1,е2] = е4, [е1,е4] = е5, [е1,е3] = е6, [е2,е4] = е6, Симплектическая структура: ш = е1 Л е6 + е2 Л е5 — е3 Л е4 — е2 Л е6.
Тензор кривизны зависит от двух параметров ф11 и ф12 = 0. Тогда получаем следующую каноническую комплексную структуру 7 и псевдокэле-рову метрику д = ш о 7:
7е) = ф 12 е1 — ф11 е2,
7(е3) = — ф12+3 ф112ф12+2 ф122ф11+ф11+ф1
(ф122+2 ф12 ф11 + 1 + ф112}ф1 2 ф12 2 + 2 ф12 ф11 + 1 + ф1
2 2 1 2 ф12 2 + 2 ф12 ф11 + 1 + ф112 е3 2 2 1 2 ф-- ф-- 1 11 ф--2^ 12
-ч 2 _1_ Ті/|,п і/|,, _|_ 1 -І_ч/і і і 2 4 5
7(е5) = ф12 ф11 + 1+ф112 + 1+ф1-
ф1
е5 + -ф-^ е6.
При опускании индекса получается одна ненулевая компонента тензора Римана Д1,2,1,2 =
ф114+4 ф-2 ф-13+3 ф112ф122+2 ф-12+4 ф-1 ф-ф12 (2 ф122 + 2 ф-1 ф12 + 1 + ф112}
■+
3
2
2
а
2
2
Вестник КемГУ № 3/1 2011 Риманова геометрия
Ф12 (2 фц2+2 Ф11 фи + і+фц2) '
7. Алгебра Ли [)12- Коммутационные соотношения [еі,е2] = Є4, [еі, Є4] = Є5, [еі,ез ] = Є6, [е2, ез] = —Є5, [е2, Є4] = Єб. Симплектическая структура ш = Ае1 Л е5 + е2 Л е6 + (А + 1)е3 Л е4 Это алгебра Ли М10, рассмотренная в работе Маг-нина [10]. Сделаем замену е1 = —Е1, е2 = Е2, ез = —Е4, е4 = —Ез, е5 = Е5, еб = Еб, для приведения коммутационных соотношений к виду М10: [Еі, Е2] = Ез, [Еі, Ез] = Е5, [Еі, Е4] = Еб, [Е2, Е4] = Е5, [Е2,Ез] = —Еб. Тогда симплектиче-ская структура принимает вид
ш = —АЕі Л Е5 + Е2 Л Е6 + (А + 1)Ез Л Е4.
В этом случае получаем следующую каноническую комплексную структуру и псевдокэлерову метрику д = ш о 1, зависящую от А и от одного параметра Ф12 = 0:
1 (еі) = — Ф^ е2, 1 (е2 ) = Фі2 еі,
9. Алгебра Ли [)17- Коммутационные соот-
Ф
= Ф122А-і
і2
1 (е*) = Ф-Фг ез,
і
вые компоненты: Р6 2 2
5
Р1 , 2 ,1
Ф2 Р6 = (і+ф21)ф1
— Ф11, Р1,2 , і = — ф12
е6, [е2,ез] = е6, {е5, е6} = Сі(д).
ношения: [еі,ез] = е5, [еі,е4] =
Двустепенно нильпотентная, 2 Симплектическая структура: ш = еі Л е6 + е2 Л е5 + ез Л е4 Тензор кривизны зависит от двух параметров Фі2 = 0 и фи. Поэтому получаем следующую по-луканоническую комплексную структуру 1 и псев-докэлерову метрику д = ш о 1:
1 е) = Фі2 еі — фіі е2,
1 (е4) = — Ф22 ез — фіі е4,
5
Ді , 2 ,1
6
Р1 , 2 , 2
тензора
2
Римана:
Ф2
1 (ез) = — (Л-і)фГг е4,
1 (е5 ) = Афі2 e6, 1 (е6) = — е5 .
Тензор кривизны имеет следующие ненуле-
?6 Л(ф22(зЛ+і) —Л —з)
л2- і ,
= зф 12Л Л з+ф 12 После опус-
= (Л2 —і)ф22 . После опус
кания индекса остается одна компонента
Р _ (зЛф 21—Л —з+ф 21)Л
Ді,2,і>2 =---------(Л2 —і)ф 12----.
3.1 Алгебры Ли типа (2, 6)
Имеется три алгебры данного типа.
8. Алгебра Ли [)24. Коммутационные соотношения [еі, е4] = е6, [е2, ез] = е5. Двухсту-пенно нильпотентная алгебра Ли. Прямое произведение двух трехмерных алгебр Гейзенберга
0 = [)з х [)з Центр и первый производный идеал: 2 = {е5, е6} = Сі(0). Симплектическая
структура: ш = еі Л е6 + е2 Л е5 + ез Л е4.
Тензор кривизны зависит от двух параметров ф11 = 0 и ф12 = 0. Поэтому получаем следующую полуканоническую комплексную структуру
1 и псевдокэлерову метрику д = ш о 1:
1 (е2) = Ф12 еі — Фи е2,
Т(е ) — ф22 е _ ф21 —і е 1 (е4) = 2ф11 ез 2 Ф11 е4,
1 (е6) = —Фі2 е5 — Фіі е6.
Ненулевые компоненты тензора кривизны: р6?2?2 Р5
Р1,2,2
1 (е6) = —Фі2 е5 — Фіі е6.
Ненулевые компоненты
= Фі іФі 2, р6,2, і = 1 + Ф2 1, р5,2,2 — Vу і 2) Ф і іФ і 2. При опускании индекса получается всего одна (с точностью до симметрий) ненулевая компонента тензора кривизны Рі 2, і ,2 = —Ф12. Тогда полагая Ф12 = а и Ф1 і = 0, получаем следующую каноническую псевдокэлерову структуру
д=
10. Алгебра Ли Ь1 6- Комплексная алгебра Гейзенберга. Коммутационные соотношения: [е і, е2] = е5, [е 1, ез] = е6, [е2, е4] = е6, [ез, е4] = — е5. Имеет [7] две симплектические структуры: ш
,2 1,2 = а н а 1 алгебре Ли 4 2
0 0 0 0 1/а 0
0 0 0 0 0 -а
0 0 а 2/ 0 0 0
0 0 0 а/2 0 0
1/а 0 0 0 0 0
0 а 0 0 0 0
е 1 Л е6 + е2 Л ез — е4 Л е5,
ш2 = е Л е6 - е2 Л ез
-е4 Л е5.
—Ф12Ф11, Р5,2, і = —Ф2 1. При опускании индекса получается всего одна (с точностью до симметрий) ненулевая компонента тензора кривизны Р1,2,1,2 = Ф11. Тогда, полагая Ф12 = 1 и Фіі = Ь, получаем следующую каноническую псевдокэлерову структуру кривизны Рі,2,і,2 = Ь на алгебре Ли [)24:
1 (е2 ) = еі — Ье2,
1 (е4) = 2Ь ез 2-Г е4,
1 е) = — е5 — Ье6. д(Х,У) = ш(Х, 1У.
Это алгебра М5, рассмотренная в работе Магни-на [10], поэтому сделаем замену: е1 = Е1, е2 = Ез, ез = Е4, е4 = Е2, е5 = Е5, е6 = Е6. Новые коммутационные соотношения: [Е1,Ез] = Е5, [Е 1,Е4] = Е6, [Е2,Ез] = —Е6, [Е2,Е4] = Е5. Симплектические структуры принимают вид: ш1 = Е1 Л Е6 + Ез Л Е4 — Е2 Л Е5,
ш2 = Е1 Л Е6 — Ез Л Е4 + Е2 Л Е5.
Пусть ^і = 2(Еі + ІЕ2), ^2 = 2(Ез — ІЕ4),
^з = ^ (Е5 — ІЕ6), тогда коммутационные соотно-
шения выражаются одной формулой [^і, ^2 ] = Zз. Оператор комплексной структуры 1о комплексной алгебры Ли М5 действует следующим образом: 1о(Еі) = —Е2, 1о(Ез) = Е4, 1о(Е5) = Е6. Комплексная структура 1о не согласована с формой ш1 = Е1 Л Е6 — Е2 Л Е5 + Ез Л Е4, но согласована с формой ш2 = Е1 Л Е6 + Е2 Л Е5 — Ез Л Е4. При этом, псевдокэлерова метрика имеет матрицу:
до =
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 -1
0 0 -1 0 0 0
0 0 0 -1 0 0
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
и ненулевые компоненты тензора кривизны: 1 Р1,2,1,2 = —1.
6
Р1,2,1
1, Р5,2,2
2 Ф11 Ф123+з Ф122 + 1 — 2 Ф124
Вестник КемГУ № 3/1 2011 Риманова геометрия
Первый случай. Симплектическая структура: ш1 = E1 Л E6 — E2 Л E5 + E3 Л E4. Тензор кривизны зависит от двух параметров: ф12 = О и ф11. Поэтому получаем следующую каноническую комплексную структуру J1 и псевдокэлерову метрику gi = ш о Ji:
J1 (e2) = ф 12 ei — ф11 e2,
Ji(e3) = —
Ф11 (1+Ф11 —Ф12 ) „ ---------------72— єз —
2(1+фц2)ф1
5
R1 2 1
Фі22 + 1 + Фі12 Є3 Фі22 + 1+Фі12 e4,
Jl(e6) = ф 12 e5 — ф11 e6.
Ненулевые компоненты тензора Римана:
= ф11(1+ф21+ф22) R5 = 1 + ф21 + ф22,
R6 _ (1 + ф21 )(1+ф21 +ф22) R6 _ ф1 1(1+ф21 +ф22)
R1 , 2 ,1 = — ф 22 , R1 , 2 , 2 = — ф 1 2
После опускания индекса остается одна нену-
1+ф 2 +ф 22
левая компонента Ri ,2,1,2 = —Ф12 2.
Второй случай. Симплектическая структура: ш2 = E1 Л E6 + E2 Л E5 — E3 Л E4. Одно из условий согласованности выражается равенством ф22 = 1. Далее пусть ф12 = 1. Тогда полуканони-ческая комплексная структура действует следующим образом:
J2 (e2 ) = ei,
J2 (e4) = фз4 Єз — фзз e4,
J2 (e6) = —Є5 .
Ненулевые компоненты тензора Римана: R6J2J1 = — sign^i2^34, R5,2,2 = — sign^i2^34. После опускания индекса остается одна ненулевая компонента Ri,2,i,2 = sign^i2^34. Полагая фзз и ф34 = a, получаем (при ф12 = 1) следующую каноническую псевдокэлерову структуру кривизны Ri,2,i,2 = a на алгебре Ли (^16,ш2)
О О О О 1 О
О О О О О —1
О О і a О О О
О О О a О О
1 О О О О О
О 1 О О О О
g2
Полученная комплексная структура является би-инвариантной (комплексная группа Ли) только в том случае, когда фзз = 0 и ф34 = —1, т. е. когда 1 = 1о.
3.1. Алгебры Ли типа (4, 6)
В этом классе всего одна алгебра.
11. Алгебра Ли ^25- Алгебра Ли с одним коммутационным соотношением [еі,е2] = ез. Алгебра Ли такого типа является прямым произведением трехмерной нильпотентной алгебры Ли Гейзенберга [)з и М3. Симплектическая структура: ш = е1 Л е3 + е2 Л е4 + е5 Л е6.
В этом случае имеется 8-параметрическое семейство согласованных комплексных структур и псевдокэлеровых метрик. Все метрики являются плоскими. Поэтому укажем только наиболее простые выражения без параметров:
1 (е1) = е2, 1 (е3) = е4, 1 (е5) = е6.
g=
О1
1О
—1 О О ООО
ООО
О О —1 О О О О О О О
ОО
ОО
00 1О
01
3.1 Алгебры Ли типа (3, б)
Имеется две алгебры Ли типа (3,6), допускающие псевдокэлерову структуру.
12. Алгебра Ли If)i8- Коммутационные соотношения: [ei, Є2] = Є4, [ei, Єз] = Є5, [є2,єз] = Є6. Тогда Z = gi = {e4,e5,e6}, д2 = д. Согласно результатам [7], данная алгебра имеет три симплек-тических структуры:
wi(A) = e1 Л e6 + Ae2 Л e5 + (A — 1) e3 Л e4,
A = О, 1,
Ш2 (A) = e1 Л e5 A = О,
шз = —e1 Л e6 + e2 Л e5 + 2e3 Л e4 + e3 Л e5.
Это алгебра Ли M3 в классификации Магнина [10]. Поэтому для нахождения комплексных структур, согласованных с симплектическими формами воспользуемся результатами работы [10], где найдены в явном виде комплексные структуры на данной группе Ли. Укажем только такие псевдок-элеровы структуры, от параметров которых зависит тензор кривизны.
1. Первый случай. Симплектическая струк-
^(A)=e1 Л e5+Ae1 Л e6— Ae2 Л e5+e2 Л e6 —2Ae3 Л e4,
тура: ші = e1 Л e6 + Ae2 Л e5 + (A — 1)e3 Л e4. В этом случае согласованные комплексные структуры существуют только при A = —1 , т. е. для
ші = e1 Л e6 — e2 Л e5 — 2 e3 Л e4. Получаем следу-
ющую полуканоническую комплексную структуру J и псевдокэлерову метрику g = ш о J:
Jl (e2 ) = ф 12 Єі — фіі Є2,
J1 (Є4) = фз4 Єз — фзз Є4,
Jl(e6) = ф 12 Є5 — фіі Є6.
Ненулевые компоненты тензора Римана:
6
R1,2,1
2фз4(1+ф 2 l)
ф1
6
R1,2,2
_ _ —2фііфз4,
R5 2 2 = 2ф12ф34, R5 2 і = 2ф11ф34. После опускания верхнего индекса получаем одну ненулевую компоненту, Ri ,2 ,1 , 2 = 2фз4. Полагая фз4 = a, фі2 = 1, фіі = О и фзз = О, получаем каноническую псевдокэлерову структуру кривизны Ri, 2,1 , 2 = 2a на алгебре Ли (^18,ш1):
J1 (e2 ) = e1, J1 (e4) = ae3, J1(e6) = e5 .
О О О О —1 О О
2 a-1 О О О
2. Второй случай. Симплектическая структура: ш2 = e1 Л e5 + e2 Л e6 + Ae1 Л e6 — Ae2 Л e5 — — 2Ae3 Л e4. Из условий интегрируемости и согласованности следует, в частности, что ф^ = 1. Берем
g1
ОО
ОО
00 —1 О
01
О О 1
О
2a
О
О
Вестник КемГУ № 3I1 2011 Риманова геометрия
случай ф12 = 1. Тогда семейство согласованных комплексных структур принимает вид:
J2 (e2 ) = Є1,
J2 (Є4) = Фз4 Єз - Фзз Є4,
J2 (Єб) = Є5 .
Ненулевые компоненты тензора Римана:
Е»б ____ 2Лфз4 с»б ______ 2Л2фз4 о5 __ 2Лфз4
Д1,2,2 = Л2 + 1 , Д1,2,1 = Л2 + 1 , Д1,2,1 = Л2 + 1 ,
R5,2,2 = ^2+14. После опускания индекса получаем одну ненулевую компоненту, Rl,2,l,2 = 2Aфз4. Полагая фз4 = a и фзз = О, получаем каноническую псевдокэлерову структуру кривизны Rl,2,l,2 = 2aA на алгебре Ли (h18,w2):
J2 (Є2, = e1 , J2 (Є4) — a ез, J2 (еб) = Є5
О О О О -A 1
О О О О -1 -A
О О 2 Л О О О
g2 = О О a О 2Aa О О
-A -1 О О О О
1 -A О О О О
З. Третий случай.
шз = —є1 Л e6 + e2 Л e5 + 2ез Л e4 + ез Л e5.
В этом случае согласованная комплексная структура принимает вид:
J3 (e1) = ф4б1e3,
Jз(е2) = -З ф46 Є1 - Ф-51Є4 + Ф-51Є5,
Jз(ез) = -Ф46 Є1,
J3 (е4) = З ф25 е2 - 9 ф25 ез + 2 'Ф2Іeб,
Jз (е5 ) = ф25 Є2 - З Ф25 Єз + ф—1 Єб,
Jз (еб ) = ф4б Є4 - З ф4б Є5 .
Первый J-инвариантный идеал ttl(J) порожден векторами еб и ф4бе4 - Зф4бе5.
Ненулевые компоненты тензора Римана:
R1,2,1 = -, R5,2,2 = 54ф4бф25,
д5,2,з = 18ф4бф25, Д4,2,з = -бф4бф25,
RlAl = -2Й5, Д5,з,2 = 18ф4бф25,
R4,2,2 = -18ф4бф25, Д4,з,2 = -6ф4бф25,
й5,з,з = бф46ф25, й4,з,з = -2ф4бф25.
После опускания индекса получаем три ненулевых компоненты кривизны: Д 1,2, 1,з = 6ф25, R 1 ,з, 1 ,з = 2ф25, Д 1,2, 1 ,2 = 18ф25 .
Полагая ф25 = a и ф4б = 1, получаем каноническую псевдокэлерову метрику на алгебре Ли (h 18, ^з):
О О О -2 -1 О
О 2 a2 1 О О О -З
О О О О О -1
-2 О О 18 a 6 a О
-1 О О 6 a 2a О
О З 1 О О О
13. Алгебра Ли ^23- Коммутационные соотношения: [е і,Є2] = Є5, [еі,вз] = вб. Имеется [7] три различных симплектических структуры: ші = е 1 Л е6 + е2 Л е5 + е3 Л е4,
ш2 = е 1 Л е4 + е2 Л е6 + е3 Л е5 и
ш3 = е 1 Л е4 + е2 Л е6 — е3 Л е5.
Для первых двух симплектических структур
не существует согласованных комплексных структур. Для третьей симплектической структуры ш
существует семейство согласованных комплексных структур, зависящих от нескольких параметров. Будет удобно перенумеровать базисные векторы следующим образом: е2 := е 1, e3 := —e2, e 1 := ез, тогда [e 1, ез] = — e5, [e2, ез] = ев и
ш3 = е 1 Л е6 + е2 Л е5 + е3 Л е4.
Легко видеть, что данная алгебра Ли получается из R4 = К{е1, е2, е5, ев} полупрямым произведением с Мез и затем прямым произведением с Ме4, 023 = R4 X Мез X Ме4.
Семейство комплексных структур, параметры которого влияют на кривизну, действует на инвариантных площадках {е1,е2}, {е3,е4} и {е5,е6} следующим образом:
J(е2) = ф12 е1 — фц е2,
J(е4) = фз4 ез — фзз е4,
J(ев) = —Ф12 е5 — Ф11 ев.
Тензор кривизны зависит от четырех параметров и имеет следующие ненулевые компоненты: Д^д = ^34{l+J1l], R5,2,1 = Ф11Ф34,
Д5 2 2 = ф12ф34. После опускания индекса остается одна компонента R1j2j1j2 = — ф34.
Полагая фз4 = —а, ф12 = 1, фц =0 и фзз = 0, получаем каноническую псевдокэлерову структуру кривизны Д1,2,1,2 = а:
J (е2) = е1, J (е4) = —аез, J (ев) = — е5.
' 0 0 0 0 1 0 "
0 0 0 0 0 —1
=00 а-1 000
g = 0 0 0 а 00 '
1 0 0 0 0 0
0 —1 0 0 0 0
Литература
[1] Алексеевский, Д. В. Строение однородных римановых пространств с нулевой кривизной Риччи / Д. В. Алексеевский, Б. Н. Кимельфельд // Функц. анализ и его прил. - 1975. - Т. 9:2. -C. 5 - 11
[2] Andrada, A. Product structures on four dimensional solvable Lie algebras / A. Andrada, M. L. Barberis, I. G. Dotti, G. P. Ovando // Homology Homotopy Appl. - 2005. - Vol. 7. - P. 9 —
- 37. (arXiv, math.RA/0402234).
[3] Benson, C. Kahler and symplectic structures on nilmanifold / C. Benson, C. S. Gordon // Topology. - 1988. - Vol. 27. - P. 513 - 518.
[4] Chu, B.-Y. Symplectic homogeneous spaces /
B.-Y. Chu // Trans. Amer. Math. Soc. - 1974. -Vol. 197. - P. 145 - 159,
[5] Cordero, L. A., Fernandez M., Ugarte L. Pseudo-Kahler metrics on six-dimensional nilpotent Lie algebras / L. A. Cordero, M. Fernandez, L. Ugarte // J. of Geom. and Phys. - 2004. - Vol. 50. -P. 115 - 137.
[6] Fino, A. Families of strong KT structures in six dimensions / A. Fino, M. Parton, S. Salamon
Вестник КемГУ № 3j1 2011 Риманова геометрия
// [Электронный ресурс]. - Режим доступа: arXiv:math/0209259v1 [math.DG], свободный.
[7] Goze, M. Symplectic or contact structures on Lie groups / M. Goze, Y. Khakimdjanov, A. Medina // Differential Geom. Appl. - 2004. - Vol. 21, no. 1.
- P. 41 - 54.
[8] Корнев, Е. С. Почти комплексные структуры и метрики на группах Ли размерности 4 / Е. С. Корнев. - LAP LAMBERT Academic Publishing, 2010. - 156 стр.
[9] Кобаяси, Ш. Основы дифференциальной геометрии / Ш. Кобаяси, К. Намидзу - М.: Наука, 1981. - Т. 2. - 416 с.
[10] Magnin, L. Complex structures on indecomposable 6-dimensional nilpotent real Lie algebras / L. Magnin // Int. J. of Algebra and Computation. - 2007. - Vol. 17, no. 1. - P. 77 - 113.
[11] Ovando, G. Complex, symplectic and
Kaehler structures on four dimensional Lie groups / G. Ovando // Rev. U.M.A. - 2004. - Vol. 45(2). -P. 55 - 68. (arXiv:math/0309146v1 [math.DG])
[12] Ovando, G. Invariant pseudo Kaehler metrics in dimension four / G. Ovando // J. of Lie Theory. - 2006. - Vol. 16(2). - P. 371 - 391. (arXiv:math/0410232v1 [math.DG]).
[13] Salamon, S. M. Complex structure on nilpotent Lie algebras /S. M. Salamon // J. Pure Appl. Algebra. - 2001. - Vol. 157. - P. 311 - 333 (arXiv:math/9808025v2 [math.DG]).
[14] Thurston, W. P. Some simple examples of symplectic manifolds / W. P. Thurston // Proc. Amer. Math. Soc. - 1976. - Vol. 55, no. 2. -P. 467 - 468.
[15] Tralle, A. Symplectic manifolds with no Kahler Structure / A. Tralle, J. Oprea // Lect. Notes. in Math. - Vol. 1661. - Berlin Heidelberg: Springer, 1997.
УДК 514.76.2
ГЕОМЕТРИЯ МНОГООБРАЗИЙ РИМАНА-КАРТАНА
С. Е. Степанов, И. А. Гордеева
GEOMETRY OF RIEMANN-CARTAN MANIFOLDS
S. E. Stepanov, I. A. Gordeeva
Пространство Римана-Картана - это триплет (M, g, V), где (M, g) - риманово n-мерное (n > 2) многообразие с линейной связностью V с ненулевым тензором кручения S, такой, что Vg = 0. Рассматриваются свойства псевдокиллинговых и псевдогармонических векторных полей на многообразиях (M, g, V) различных классов, а также теоремы исчезновения данных векторных полей.
A Riemann-Cartan manifold is a triple (M,g, V), where (M,g) is a Riemannian n-dimensional (n > 2) manifold with linear connection V having nonzero torsion S such that Vg = 0. We consider properties of pseudo-Killing and pseudo-garmonic vector fields on some classes of these manifolds and vanishes theorems as corollaries of these properties
Ключевые слова: многообразие Римана-Картана, связность с кручением, многообразие Вейтцен-бока, псевдокиллинговы и псевдогармонические векторные поля.
Keywords: Riemann-Cartan manifold, linear connection, torsion, Weitzenbock manifold, pseudo-Killing and pseudo-garmonic vector fields.
1. Введение
Пространства Римана-Картана относятся к метрически-аффинным пространствам. Начало теории метрически-аффинных пространств было положено Э. Картаном в 1922 году (см. [В]), который предложил вместо связности Леви-Чивита V в GRT (сокращенное от General Relativity Theory) рассматривать несимметричную линейную связность V, обладающую свойством метричности Vg = 0. В результате пространство-время получало в дополнение к кривизне еще и ненулевое кручение S. Впоследствии в 1924 и 1925 годах им было опубликовано еще две работы (см. [9] и [10]) в развитие своей теории, которая получила в дальнейшем название Einstein-Cartan Theory
of Gravity или сокращенно ECT (см., напр., [4]; [41]). Идея Э. Картана о несимметрической метрической связности почти сразу нашла отражение в известных монографиях по дифференциальной геометрии первой половины прошлого века (см.
[12]; [13]; [61]; [62] и др.).
Вплоть до начала 60-х годов предложение
Э. Картана о применении несимметрической метрической связности в GRT не находила поддержки у физиков-теоретиков. Толчком к изучению ЕСТ послужили работы T. Кибла (см. [23]) и Д. Сци-ямы (см. [36]), которые независимо друг от друга установили связь между кручением S связности V и спин тензором материи s (spin tensor of matter). Впоследствии были найдены и другие физические
