Однородное пространство Берже и деформации его геодезическими Sо(3)-структуры на пятимерных группах Ли Текст научной статьи по специальности «Математика»

2014 Математика и механика № 6(32)

УДК 514.76

А.Г. Седых, А. С. Березина

ОДНОРОДНОЕ ПРОСТРАНСТВО БЕРЖЕ И ДЕФОРМАЦИИ ЕГО ГЕОДЕЗИЧЕСКИМИ 80(3)-СТРУКТУРЫ НА ПЯТИМЕРНЫХ ГРУППАХ ЛИ

Рассматриваются неприводимые 8О(3)-структуры на пятимерном многообразии. Изучены топологические и геометрические свойства однородного пространства Берже 8О(5)/8О(3). Приведены примеры групп Ли, вычислены ковариантные дивергенции структурного тензора до и после деформации геодезическими пространства Берже, исследовано свойство приближенной интегрируемости.

Ключевые слова: специальная БО(3)-структура, однородное пространство Берже, группа Ли.

Известно [1], что существует неприводимое представление группы 8О(3) в пространстве Я5. Оно основано на том, что векторное пространство Я5 изоморфно множеству действительных симметричных бесследовых матриц порядка 3. Изоморфизм устанавливается следующим образом:

X = (х1,...,х5) о-ст(Х) =

л/3"

л/3

+ х4

"л/3 *

(1)

Неприводимое представление р на Я задается формулой р(И)X = Иа(Х)И~\И е БО(3).

Для элемента ст(Х) рассмотрим его характеристический полином

Г\ /о

рх (X) = аег(ст(х) -XI) = _х3 + я ( х , х )+-9- т (X, х , х ).

Этот полином инвариантен относительно 8О(3)-действия, заданного представлением р. Поэтому его коэффициенты являются 8О(3)-инвариантными. При действии 8О(5) группа изотропии тензора Т совпадает [1] с 8О(3). Билинейная форма Я - это стандартное скалярное произведение на Я5,

Я (х, х) = х12 + х22 + х32 + х42 + х52, а трилинейная часть Т задается формулой

Т(Х,Х,Х) = 2х1(6х22 + 6х42 _2х12 _3х32 _3х52) + ~~х4(х52 _х32) + 3л/3х2х3х5.

3л/3

Заметим, что Т (х, х, х) = ^ det(х), где Х отождествляется с матрицей по формуле (1). Тензор Т = ^5 ,к® ёх^ ® ёхк симметричен по всем аргу-

ментам, и свертка по любым его двум индексам равна нулю. Кроме того, он обладает еще одним свойством, которое удобно сформулировать при помощи эндоморфизмов Тх = 1ХТ, полученных сверткой с векторами: Тх (•, •) = Т(X, •, •). Тогда

для всех XеR5 имеет место равенство (ТХ)2Х = g(XX)X. Неприводимое представление группы SO(3) в пространстве Я5 дает возможность определить неприводимую SO(3)-структуру на пятимерном ориентированном римановом многообразии (М^) как редукцию структурной группы SO(5) расслоения реперов к группе Ли SO(3). В работе [1] показано, что неприводимую SO(3)-структуру можно определить при помощи симметричного тензорного поля Т типа (0,3) на М. В соответствии с этим подходом мы даем следующее определение:

Определение 1. [1] Неприводимой 80(3)-структурой на 5-мерном римановом многообразии (M,g) [2] называется тензорное поле Т типа (0,3), для которого линейное отображение X^TX е End(TM), XеTM, удовлетворяет следующим свойствам:

1) симметричность: g(X,TrZ) = g(Z,TYX) = g(X,TZY),

2) нулевой след: tr(TX) = 0,

3) для любого векторного поля ХеТМ

Tх2X = g(XX)X.

В статье [1] показано, что в каждом касательном пространстве можно выбрать адаптированный базис {еь е2, е3, е4, е5}, в котором метрика g и тензор Т будут иметь канонический вид, а именно g1j = 8 у и

T = -2е (6(е2)2 + 6(е4)2 - 2(е1)2 - 3(е2)2 - 3(е5)2) +

+^ е4((е5)2 -(е3)2) + 3^е2е3е5 .

Здесь {е1, е2, е3, е4, е5} - дуальный репер. Из этого выражения получаем ненулевые компоненты тензора Т в адаптированном репере:

tШ =-1, ^22 = 1 t144 = 1 ^33 =-^55 =-

73 л/э л/3

^433 = ^55 = ^35 =

Таким образом, неприводимая SO(3)-структура на многообразии - это риманова структура g и тензорное поле Т, обладающее указанными выше свойствами 1) - 3).

Теорема 1 [1]. Стабилизатор тензора Tijk - это неприводимая S0(3), вложенная в 0(5).

Поскольку стабилизатор Tijk есть неприводимая S0(3), его орбита под действием 0(5) - это 7-мерное однородное пространство 0(5)^0(3).

Теорема 2 [1]. 0(5)-орбита тензора Tijk состоит из всех тензоров 7», для которых ассоциированное линейное отображение Я5 з V ^ ¥у е End(R ), (7„)у = ТуЛ, удовлетворяет следующим трем условиям:

1) оно полностью симметрично, т.е. g(u,YVw) = g(w,YVu) = g(u,Ywv);

2) имеет нулевой след 'г(7„) = 0;

3) для любого вектора vеR5'' 72и = g(u,v)v.

Замечание. 0(5)-орбита Tijk, описанная инвариантом в вышеописанной теореме, состоит из двух S0(5)-орбum: орбиты ^ и орбиты —Tуk.

Рассмотрим однородное пространство Ы1 = 80(5)/80(3). Впервые оно было описано М. Берже как многообразие, допускающее нормальную однородную метрику положительной секционной кривизны. Оно топологически эквивалентно [2] 83-расслоению над 84.

Относительно биинвариантного скалярного произведения (А, В) = - ^ ^ (АВ)

на 80(5) получим разложение бо(5) = бо(3)+К алгебры Ли бо(5) в прямую сумму алгебры Ли 8о(3) группы 80(3) и а^80(3)) - инвариантного подпространства V.

Выберем ортонормированный базис Е1, Е2, Е3, такой, что Еь Е2, Е3е8о(3), а юь...,ю7 е V:

Е =

о о о о л/3 1 о о л/3 о о 1

о о 1 о о о о о о 1

о -1 о о о , Е = —ч/3 о о 1 о

о о о о 1 о о -1 о о

-л/3 о о -1 о V V о -1 о о о V

(о о о о о 1 ( о л/5 о о о ^

о о о 2 о л/5 о о о о

= о о о о 1 ю1 = о о о о о ,

о -2 о о о о о о о о

1 о о -1 о о V V о о о о о V

г л/3 ]

о о о о

2

о о 2 о о

о -2 о о о

о о о о 1

2

л/3 о о 1 о

V 2 2 V

о о о л/5 о

о о о о о

о о о о о

л/5 о о о о

о о о о о

л/5 1

о о о о 2

о о о о о

о о о о о л/15

о о о о 2

л/5 о о лЛ! о V

2 2

о о

л/5

л/5

2 о

о о

л/15

2 2

о о о

2

о о о о

(о о о о о 1

о о о -1 о

о о о о 2

о 1 о о о

V о о -2 о о V

( п ^

о о--

2

о о о

л/3 о о

2

1

о о

2

V о -2 о

3

Выпишем ненулевые скобки Ли элементов юь..., ю7:

л/15 1

[ю1,ю2] = 2 Е2 + ю3, [о>1,ю3] = -®2, [ю1,ю4] =-2Е3 + ю5,

1 л/15

[ю1,ю5] = -ю4, [ю1,ю6] = -2Е2-ю7, [ю1,ю7] = 2 Е1 + ю6,

л/15 3

[ю2,ю3] = —— Е3 +ю1, [ю2,ю4] = ю6, [ю2,ю5] = ^Е2 + ю7,

3

[ю2, ю6] = -ю4, [ю2, ю7] = ^ Е3-ю5, [ю3, ю4] =-2Е2 + ю7,

л/15 1

[ю3,ю5] = 2 Е-®6, [ю3,ю6] = 2Е3 + ю5, [ю3,ю7] = -ю4,

[ю4, ю5] = ю1, [ю4, ю6] = -2Е1 + ю2, [ю4, ю7] = ю3,

г т ^^ г +г т ^^

[ю5, ю6] = 2 Е2 -ю3, [ю5, ю7] = -^Е + ю2, [ю6, ю7] =--Е3 -о>1.

Спроектируем скобки Ли на пространство V и результаты запишем в виде таблицы:

Проекции скобок Ли |ю„ю,] на векторное пространство V1

ю1 ю2 ю3 ю4 ю5 ю6 ю7

ю! 0 ю3 -ю2 -ю5 -ю4 -ю7 ю6

ю2 -ю3 0 ю! ю6 ю7 -ю4 ю5

ю3 ю2 -ю1 0 ю7 ю6 -ю5 -ю4

ю4 ю5 -ю6 -ю7 0 -ю! ю2 ю3

ю5 ю4 -ю7 -ю6 ю! 0 ю3 -ю2

ю6 ю7 ю4 ю5 -ю2 -ю3 0

ю7 -ю6 -ю5 ю4 -ю3 ю2 ю! 0

Получаем, что операция V х V ^ V для любых А, В е V определяет на семи-

мерном пространстве V векторное произведение. Рассмотрим кососимметричную

3-форму на векторном пространстве V7:

ф^^) = ^^^

В базисе ю ь.. ,,ю 7 она имеет вид

™ ,,123 . 145 167 . 246 . 257 . 347 356

ф = ю + ю - ю + ю + ю + ю - ю ,

где юу = ю,лю'люк, юi - базис, дуальный к базису ю,. Форма ф определяет так на-

зываемую, ассоциативную калибровку [3] пространства V . Дуальной к ней относительно оператора Ходжа (*) является форма

..4567 4523 4163 ,.4127 , 2367 , ,.1357 , ,.1256

у = *ф = ю - ю - ю - ю + ю + ю + ю , которая задает коассоциативную калибровку [3] пространства V7.

Продолжим эти две формы ф и у на все однородное пространство М1 как инвариантные формы. Если х = gH, то

фх (X(х), 7(х), Z (х)) = ф0 (йГг1X(х), (х), йГ^ (х)).

Это возможно вследствие биинвариантности скалярного произведения на 80(5) и Аа(80(3))-инвариантности пространства V1. Таким образом, мы получаем инвариантные ассоциативную и коассоциативную калибровки на однородном пространстве М7.

Теорема 3. Инвариантные формы р и у на однородном пространстве М1 = 80(5)/80(3) не являются параллельными. Их внешние дифференциалы имеют вид

^1247 , ,-.1256 , 1346 , 1357 , 2345 2367 4567

ар = -ю + ю + ю + ю + ю — ю — ю , % = 0.

Доказательство. Вычислим внешний дифференциал данных форм. Будем использовать обычную формулу [4, т. 1, с. 43]:

й р( XI, X 2, X3, X4) = ¿(-1)'+ X р( XI,..., XXг,..., Х4) +

г =1

х (-1)+1 р([ X,, X ^ ], Xl,..., XXI,..., х;,..., X4). (2)

1< 1

В качестве векторных полей X, на М1 возьмем киллинговы векторные поля, т.е.

такие поля, которые получаются из правоинвариантных векторных полей на группе 80(5) при проекции 80(5) ^ М1 = 80(5)/80(3). Вычисления будем проводить только в точке о = [80(3)] е М1.

Будем считать, что X, - это киллингово векторное поле, соответствующее базисному элементу ю,- пространства V = ТоМ1 . Оно соответствует правоинвариант-ному векторному полю на группе 80(5), X, (g) = йп(йЯгю,). В этом случае

их скобки Ли в точке о = [80(3)] могут быть найдены по формуле XIX'] = -ап([ю,-, ю,]) = -[ю,, ю^, что решает вопрос о вычислении второй суммы в формуле (2).

Вычислим первую сумму. Пусть gt - однопараметрическая группа, порожденная полем Ж. Тогда, учитывая, что поля X,¥,Z - это проекции правоинвариантных векторных полей на 80(5), порожденных элементами X,¥,Z из V7, получаем

й р „ (X (gt), г (gí), г (gí)) =

йг

й йг

ж р( X ,¥, г) =

йг

ре (й п о й1Г} X (gt), й п о йп\ ¥ (gt), й п о йг} г (gt)) =

t=0

ре (йп о йГ.} йЯ X, йп о й!- йЯ ¥, йп о йГ-1 йЯ1) =

= -рв (й п([ж, X ]), ¥, г) - рв (X, й п([ж, ¥ ]), г) -

ре (X, ¥, й п([ж, г ])) = -рв ([Ж, X ]v, ¥, г) +

ре ([Ж, ¥ V, X, г) - ре ([Ж, г V, X, ¥) Учитывая, что X, = ю, в точке о = [80(3)], первая сумма в формуле (4) имеет вид

X, р( X1, Xк, X,) - X1 ((X, Xк, X,) +

+Xk р( X,, X1, X,) - X, р( X,, X1, Xk) =

г=о

= -ф(К, ю j ]F, юк, ) + ф([ю,, ®к ]v , ю j, ffls) -

-ф([Ю;, ffls ]v , Ю j , Юк ) +ф([ю j, юг ]v , Юк, ) -

-ф([ю j , Юк ]v , Юг, <Ю ) +ф([ю j , <ю ]v, юг, Юк ) -

-ф([Юк , Юг ]v, Ю j , ) +ф([Юк , Ю j ]v , Юг, ) --ф([Юк , ]v , Юг, Ю j ) -+ф([Юж , Юг ]v , Ю j , Юк ) --ф(К , Ю j ]v , Юг, Юк ) + ф(К , Юк ]v , Юг, Ю j ) = = -2 ф([Юг, ю j ]v, Юк, ) + 2ф([Юг, Юк ]v, Ю j, Xs) --2 ф([юг, ffls ]v, ю j, Юк) - 2 ф([ю j, Юк ]v, Юг, ffls) + +2 ф([ю j, ffls ]v, юг, Юк) - 2 ф([Юк, ю s ]v, Юг, ю j). Вторую сумму в формуле (2) можно представить как

-ерах, Xj ], Хк, Xs)+ф([ X-, Хк ], X j, Xs) --ф([ X, Xs ], Xj, Xk) - ф([ Xj, Xk ], Xi, Xs) + +ф([X3,Xs],Xi,Xk)-ф([Xk,Xs],Xi,X3).

Учитывая, что X = ю; в точке о = [SO(3)] и [XX] = - ¿гс([ю;, ю^]) = —[ю;, юj■]v, получаем

d ф(Ю; , Ю j , Юк, ffi>s) = -ф([Ю;, ю j ]v, Юк, Юs) +

+ф([ю1, юк ]v, Ю j , Юs ) ф([ю1, Ю ]v, Ю j , Xk ) + +ф([ю j , Юк ]v , Ю;, Юs ) - ф([ю j , Юs ]v , Ю;, Юк ) + +ф([юк , Юs ]v , Ю1, Ю j ). Совершенно аналогично вычисляется внешний дифференциал формы у = *ф:

d у(ю1, ю2, ю4, ю5) = (-1)i+1 у([ю;, Ю j ], ю1,..., Ю 1,..., OD j ,...ю5).

i< j

Прямые вычисления показывают, что

1247 , 1256 , 1346 , ,.1357 , ,.2345 ,.2367 ,.4567 п

dф = —ю + ю + ю + ю + ю — ю — ю , dy = и. Теорема 4. Однородное пространство M7 = SO(5)/SO(3) имеет положительную непостоянную секционную кривизну, является эйнштейновым, кривизны Рич-

27 189

чи Rio = — и имеет скалярную кривизну равную sc = ——.

Доказательство. Вычислим кривизну однородного пространства M1 = SO(5)/SO(3) по формулам [5, с. 214]:

(R(X,7)Y,X) = -4|[X,Y]v |2 + g([X,YX,Y]ао(3)),

Ric(X,X) = - АB(X,X) + 2Xg([X, Ю; ]So(3), [X, Ю; ]So(3)),

sc

=X Ric((°i, ю- ^

где

B(X,X) = -X ([X, ffl,. ]so(5),[X, ffl,. ]so(5)) - X ([X, Ej ]so(5),[X, Ej ]so(5))),

g(•,•) - скалярное произведение на алгебре so(5) и (•,•) - скалярное произведение на V, X,Ye V. Положительность секционной кривизны очевидно следует из первой формулы. Прямые вычисления в системе Maple показывают, что секционная кривизна на площадках, образованных базисными векторами принимает значения от 1 17

7 д° "Т:

4 4

K15 = K24 = K26 = K37 = K45 = K47 = ^

K13 = K16 = K36 = 2 , K25 = K27 = K57 = 2 , K12 = K17 = K23 = K25 = K56 = K67 = 4

= = = 17

K14 = K34 = K37 = .

27

Тензор Риччи пропорционален метрическому тензору, Ric = — g . Скалярная

кривизна, sc = -

189

Т'

Рассмотрим еще одну инвариантную риманову метрику на пространстве М1 = 80(5)/80(3). Тензор Т определяет [1] эндоморфизм пространства бо(5) по формуле Т(Ж)'к = 4Т)тТк1тЖ]1. Это позволяет определить на 8о(5) еще одно инвариантное скалярное произведение по формуле [1]

(Ж') = *(Т(Ж) л*Ж'),

где * - оператор Ходжа. Это скалярное произведение сохраняет ортогональность разложения бо(5) = бо(3) + V и имеет сигнатуру (3,7). В выбранном базисе оно имеет вид: (Е„ Е) = -75--, (ю„ ю-) = 85--. Получается метрика g2 на пространстве М1 = 80(5)/80(3), пропорциональная рассмотренной выше метрике g.

Теорема 5. Однородное пространство М1 = 80(5)/80(3) с инвариантной ри-мановой структурой g2 имеет положительную непостоянную секционную кривизну и является эйнштейновым.

Для примера деформации структурного тензора Т рассмотрим однопараметри-ческую подгруппу, соответствующую ю1:

g* =

cosyfix - sinV5x 0 0 о 1

sinV5x cos-v/5x 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1,

Легко проверить, что gx является геодезической на однородном пространстве. Подействуем геодезической gx на структурный тензор

, гр\ _ гр р Г $

(<?х 'ук = prsgi gjgk.

Получим ненулевые компоненты деформированного тензора (gxt )111 =- со^л/5х(4со82 \/5х - 3),

^х1 '112 = л/5х(4 соб2 л/5х -1), ^х0122 = со^^15х(4СО^2 45Х-3),

(gх:)222 =- 8ш-\/5х(4со82 Л/5х -1),

( gxt )133 =- x,

(gxt )135

(gxt )144 = С0^>/5x, (gxt )155 =- :2со^>/5x,

^х0222 = -8ш\/5х(4со82 л/5х-1),

(gxt )233 =

>/3 Г

^х>:)235 = —с^5X (gxt)244 =- x,

(gxt )255 = ^П^5Х

, ч ^ , , л/3

(gx:1)334 = - —, (gx:1)455 = —.

Рассмотрим, как влияет деформация на такие характеристики структурного тензора, как ковариантная дивергенция и свойство приближенной интегрируемо -сти.

Определение 2 [1]. Неприводимая 80(3)-структура на многообразии М называется приближенно интегрируемой, если (УхТ)(Х,ХХ) = 0 для любого векторного поля X на М.

Теорема 6 [6]. Если $>0(3>)-структура Т приблизительно интегрируемая, то ковариантная дивергенция тензора Травна нулю, 5Т = 0. Обратно не верно.

Пример 1. Алгебра Ли бо(3)х Ж задается следующими коммутационными соотношениями: [еье2] = е3, [е2,е3] = е1, [е3,е1] = е2. Обе структуры являются приблизительно интегрируемыми.

Пример 2. Алгебра £51 [7] задается следующими коммутационными соотношениями [е2,е4] = е1, [е3,е5] = е1. Ковариантная дивергенция тензора Т будет равна 0. Данная 80(3)-струкгура не является приблизительно интегрируемой. Выпишем ненулевые компоненты ковариантной дивергенции деформированного тензора

5(ЯхТ )14 = 8&хТ)41 =- sin^/5x(4cos2 л/5х -1), 8(gхТ)24 =8(gхТ)42 = со^л/5х - со^л/5х(4со82 >/5х - 3),

8(Я хТ )зз = -8( g хТ )55 = >/з вш>/5х.

По теореме 3 эта структура не является приблизительно интегрируемой.

Пример 3. Алгебра Ли а1Т(К)хр8о(3) задается следующими коммутационными соотношениями: [еье2] = е2, [е3,е4] = е5, [е3,е5] = -е4, [е4,е5] = е3. Ковариантные дивергенции тензоров Т и gxT соответственно равны

( 3 0 0 0 01

0 -3 0 0 0

0 0 1 2 0 0

0 0 0 -1 0

0 V 0 0 0 1 2 )

5( g XT )„ =-S( g XT )22 = -3cosV5x(4cos2V5x - 3), 8( g хТ )i2 =5( g хт )21 = -3sinV5x(4cos2%/5x -1),

5( g хТ )33 = 5(gхT )55 = ^co^x

V3 г

5( g хТ )35 =5( g хТ )53 = — sinV5 x,

5( g T )55 = |cosV5x.

Аналогично, можно рассмотреть деформации другими геодезическими пространства SO(5)/SO(3).

ЛИТЕРАТУРА

1. Bobienski M.M., Nurowski P. Irreducible SO(3) geometry in dimension five // J. Reine Angew. Math. 2007. Vol. 605. P. 51-93.

2. Goette S., Kitchloo N., Shankar K. Diffeomorphism type of the Berger space SO(5)/SO(3) // arXiv: math.DG/06001066, vl, 2006.

3. HarveyR.,LawsonH. Calibrated geometries. // Acta Math. 1982. No. 148. P. 47-157.

4. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии: в 2 т. М.: Наука, 1981.

5. Берестовский В.Н., Никоноров Ю.Г. Римановы многообразия и однородные геодезические. Владикавказ: ВНЦ РАН, 2011. 400 с.

6. Седых А.Г. О приближенно интегрируемых SO(3)-структурах на 5-мерных многообразиях // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2013. № 3(23).

7. Diatta A. Left invariant contact structures on Lie groups // arXiv: math.DG/0403555, v2, 2004.

Статья поступила 14.11.2014 г.

Sedykh A.G., Berezina A.S. HOMOGENEOUS BERGER SPACE AND DEFORMATIONS OF THE SO(3)-STRUCTURE BY ITS GEODESIC ON 5-DIMENSION LIE GROUPS

An irreducible SO(3)-structure can be defined by means of a symmetric tensor field T of type (0,3) on a manifold M.

Definition 1. An SO(3) structure on a 5-dimensional Riemannian manifold (M, g) is a structure defined by means of a rank 3 tensor field T for which the associated linear map X^TXeEnd(TM), XeTM, satisfies the following condition:

(1) symmetricity, i. e. g(X,TrZ) = g(Z,TrX) = g(X,TZY),

(2) the trace tr(TX) = 0,

(3) for any vector field XeTM,

Tx2X = g(XXX

In any tangent space, it is possible to choose an adapted basis {e1, e2, e3, e4, e5} in which metrics g and tensor T have the canonical form g, = 8,-,- and

T=2e1(6(e2)2+6(e4)2 - 2(e1)2 - 3(e2)2 - 3(e5)2)+ +e4((e5)2 -(e3)2) + ^V3e2e3e5. Her, {e1, e2, e3, e4, e5} is the dual coframe. Polarising the expression yields components of T:

t111 _ -1, ¿122 _ 1, ¿144 _ 1, ¿133 _ -^155 _ -^

__>/3 _V3

t433 _ 2 , t455 _ 2 , t235 _ ^ '

Thus, an irreducible SO(3)-structure on a manifold is a Riemannian structure g and a tensor field T possessing properties (1) - (3).

Theorem 1. The stabilizer of TiJk is an irreducible SO(3) embedded into O(5). Since the stabilizer Tijk is an irreducible SO(3), its orbit under the action of O(5) is a 7-dimension homogeneous space O(5)/SO(3).

A homogeneous Berger space M7 = SO(5)/SO(3) is topologically equivalent to an S3 fiber bundle over S4.

With respect to the biinvariant scalar product (A,B) _ -tr(AB) on SO(5), a decomposition

of the Lie algebra so(5) into a direct sum so(5) = so(3) + V of the Lie algebra and ad(SO(3)) of an invariant space V has been obtained.

Examples of deformations of the structural tensor T by geodesics gt of the homogeneous space SO(5)/SO(3) are considered, the covariant divergence of the obtained structure tensor is calculated, and the property of nearly integrability is investigated.

Keywords: special SO(3) structure, homogeneous Berger space, Lie group.

Sedykh Anna Gennadyevna (M.Sc., Kemerovo Institute of Plekhanov Russian University of Economics, Kemerovo, Russian Federation)

E-mail: [email protected]

Berezina Anna Sergeevna (M.Sc., Kemerovo Institute of Plekhanov Russian University of Economics, Kemerovo, Russian Federation)

E-mail: [email protected]

REFERENCES

1. Bobienski M.M., Nurowski P. Irreducible SO(3) geometry in dimension five. J. Reine Angew. Math., 2007, vol. 605, pp. 51-93.

2. Goette S., Kitchloo N., Shankar K. Diffeomorphism type of the Berger space SO(5)/SO(3). arXiv: math.DG/06001066, v1, 2006.

3. Harvey R., Lawson H. Calibrated geometries. Acta Math., 1982, no. 148, pp. 47-157.

4. Kobayasi Sh., Nomidzu K. Osnovy differentsial'noy geometrii: v 2 t. Moskow, Nauka Publ., 1981. (in Russian)

5. Berestovskiy V.N., Nikonorov Yu.G. Rimanovy mnogoobraziya i odnorodnye geodezicheskie. Vladikavkaz, VNTs RAN Publ., 2011. 400 p. (in Russian)

6. Sedykh A.G. O priblizhenno integriruemykh SO(3)-strukturakh na 5-mernykh mnogoobra-ziyakh. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika, 2013, no. 3(23). (in Russian)

7. Diatta A. Left invariant contact structures on Lie groups. arXiv: math.DG/0403555, v2, 2004.