Равномерные фреймы в пространстве r^n Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.51+517.98

РАВНОМЕРНЫЕ ФРЕЙМЫ В ПРОСТРАНСТВЕ К"1

© 2008 М.А. Лапшина2

В данной статье приведена конструкция равномерного фрейма Пар-севаля в пространстве К" сколь угодно большого объема. Выяснено какие из построенных фреймов являются фреймами Грассмана и равноугольными фреймами.

Ключевые слова: границы фрейма, оператор анализа, оператор синтеза, фрейм, равномерный фрейм.

Введение

Основное внимание в данной работе уделяется равномерным фреймам для пространства К", то есть фреймам, состоящим из элементов одинаковой нормы. В первом параграфе приведена конструкция равномерного фрейма Парсеваля в пространстве К" сколь угодно большого объема. Аналогичная конструкция в пространстве С" была описана в статье [1] и там же было показано, что стандартный переход к вещественной или мнимой части этой конструкции не приводит к цели.

В работе [2] также были приведены примеры равномерных фреймов Парсеваля в пространстве К", однако при проверке обнаружилось, что требование равномерности нарушается. Поэтому первую часть данной работы можно рассмотреть как уточнение работы [2].

Во второй части работы приводятся другие варианты ограничений на фреймы (это так называемые фреймы Грассмана и равноугольные) и выясняется какие из построенных в первой части фреймы удовлетворяют этим ограничениям.

1 Представлена доктором физико-математических наук, профессором С.В. Асташкиным.

2Лапшина Мария Александровна ([email protected]), кафедра функционального анализа и теории функций Самарского государственного университета, 443011, Россия, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.

1. Построение равномерного фрейма Парсеваля в пространстве RN

Все рассуждения в работе будем проводить в конечномерном пространстве Rn, в котором введено стандартное скалярное произведение (-, ■) и норма ||х|| = л/(х, х). Пусть М и N — натуральные числа, причем М ^ N.

Введем понятие фрейма:

Определение 1.1: Набор элементов {ф,}^ из RN называется фреймом для пространства RN, если существуют положительные числа A и В такие, что для всех x из RN

M

Ayx||2 ^ ^ |<x, ф,->|2 ^ В\\x||2. i=1

Числа A и В называются соответственно нижней и верхней границей фрейма, причем inf В — оптимальная верхняя граница фрейма, а sup A — оптимальная нижняя граница фрейма. Если оптимальные верхняя и нижняя границы совпадают, то есть A = В, то фрейм называется жестким. Жесткий фрейм, у которого A = В = 1, называется фреймом Парсеваля.

Определение 1.2: Фрейм {ф,}^ называется равномерным, если существует число а такое, что ||ф,|| = а для любого i.

[N

Заметим, что для равномерного фрейма Парсеваля а = [1] -

С каждым фреймом связаны три оператора:

1) оператор анализа F : x ^ {<x, фi>}M=1, F : RN ^ RM;

м

2) оператор синтеза F* : {ai} є RM ^ ^ а,ф, є RN, сопряженный для

i=1

оператора анализа;

3) фреймовый оператор S х:

M

Sx = F*Fx = ^ <х, ф,> ф,-.

i=1

Для каждого x из RN справедливо фреймовое представление:

M

x = ^ <x, S _1ф,-> фі. i=1

Перечисленные выше факты с доказательствами изложены в книге [3] и в статье [1]. Следующая теорема в статье [1] получена в качестве следствия общей теоремы П. Касацы (P. Cacazza) и его соавторов. В данной работе предлагается конструктивное доказательство для пространства RN.

Теорема 1.1: В пространстве RN существует фрейм Парсеваля {ф,}M=1 с одинаковыми нормами для любого M ^ N.

Доказательство: Введем в расмотрение следующие M X M матрицы отдельно для четного и нечетного числа M.

Пусть М = 2к + 1, в этом случае определяем матрицу

1 1 1

ф0

ф1

ф2

фМ-2

фМ-1

У2 ^2

<2

1 сое 2л— сое 2л М

О ят 2л-

1

~М

вт 2л-

М

2

~М

пространстве КМ.

Покажем сначала, что

Если г = 0, то

к 2к

СОБ 2л— сое 2л—

М М

к 2к

81П 2 л— вт 2 л—

М М

{фг}Мо 1 образует

008 2п 8Ш 2п

У2

М1

М М1

М

008 2п вш 2л

к(М - 1) М

к(М - 1) ~М

= 1 для всех г = 0,..., М - 1.

22М

= — X — = 1. Если г = 2а - 1, а = 1,... ,к, то М2 4 ’ 4

У2 = Уф2д-1 У2 =

о М-1 , 0 , М-1 , ,

2 V"* 2 2 1 / д1

сое 2л— =----------------> 1 + сое 4л

М

2_

М

2

1=0

М-1

М М 2

М

М 1 . щ

----1— > сое 4л—

2 2 М

1=0

2_

М

Е

1=0

1 М-1

+ Не £(со2«/ /=0

2 /М 1/1 -(со2?)м _М\У + 2 С \ 1 - со2?

М .2 л

где СО = е*, ] = —\.

Рассмотрим цепочку равенств

2п }2дМ

1 - ш2д

1 - ехр М 2п 7'2щ 1 - ехр М

= Ие

(1 - 008 4лщ) 1 - 008

4лд

~М

2 — 2 008

4лд

~М

1 - 008 4лд - ] 81п 4лд

4лд . 4лд

1 - сое-/ вш-

ММ

(1 - сое 4л<?) ,2

------------------= вт 2щ = О

для д = 1,..., к. Таким образом, получаем Уф2щ-1У = 1 для д = 1,..., к. Аналогично, если г = 2д, д = 1,...,к, то

2 2 V- 2 д1 2

= УФ2.11 = 77 2^ 8111 2я~ = ~

1=0

ММ

1 м-1 ,

м 1 V л --------> сое 4л—

2 2 М

1=0

= 1.

1

2

Таким образом, имеем равенство ||ф2д||2 = 1 для всех д = 1,...,к.

2я/

Пусть ш = ехр М . Покажем, что ф, — попарно ортогональны для значений і = 0,..., М - 1

М-1 „ М-1

2 ,, (2д — 1)1

<фо, ф29-1>=--------р > , сое 2п-

2

М

Мл/2

Ие^(ш2д-1/ = 0,

1=0

М-1

<ф0, ф2д> =

М^2 £

_ 2д< вт 2л— М

М-1

^ 1т У (со29)' м Мл/2 ^

2п 7'2дМ

2 1 - ш2дМ 2 1 - ехр М

1т----------— =---------— 1т---------

Мл/2 1 - со2? Мл/2

2п /2д 1 - ехр М

■ 4пд . 2пд

о (1 - сое 4лд + і вт Апд)(\ — сое--------------------1- / вт-----)

2 2____________4 ■> ч,у М 3 М’

Мл/2

2 - 2 ео8

4пд

~М

■ г о . 4лд о вт 2лд вт-----------

2 4 М

Мл/2

1 - 008

4пд

1Й~

= 0,

М-1

2п1(2д - 1) . 4лд1

= —1т М

М ” М

М-1

1=1

М

сое-------------вт

М

М-1 „ М-1

X

/=1

. 2п1(4д - 1)

вт-------------+

М

^2л1 вт-

/=1 М

М-1

2>4д+1У + 2 ш1 /=1 /=1

= —1т М

М-1

М-1

2>4д+1У + 2 ш1 - 2 /=0 /=0

= 0.

Аналогично показывается, что <ф2д-1, ф2р-1>= 0 и <ф2д, ф2р>= 0.

Таким образом, мы показали, что матрица ортогональная. Транспонируем матрицу

Т

Фо

Т

Фі

Т

ФТ

Т

ФМ-2

Т

ФТМ-1

VI

1

Ті

1

VI

1

сое 2 я— М , 2 сое 2я— М

8Іп2я—

М . _ 2

вт2я— М

М - 1

—— соз2я----------

л/2 м

8Іп2я

М- 1 М

1

к

сое 2я— М 2к

сое 2я— М

0

• о к

вт2я —

М

вт2я — М

008 2я

к(М - 1) М

8Іп2я

к(М - 1) М

Далее применяем универсальный метод построения фреймов Парсева-ля [1].

Если N нечетно, то удаляем последние М - N столбцов и получаем, что строки образуют равномерный фрейм Парсеваля в RN. Проверим, что нормы будут одинаковые.

и . п .. — 2 /1 N - 1 \ N

Для і = 0, имеет место равенство

рГИ2 = — I - +

M2

„T112

Для i = 1,..., M - 1 находим

/ ЛЧ

1 о И . г, и

- + > cos 2л------------1- > sin 2л—

2 ^ M ^ M

( лч 1 2

2

M

M

l=1

N-1 2

l=1

2_

М

2 li 2 li

. . , cos 2л-------------1- sin 2л—

2 j-^\ M M

2/1 N-l\_N ~ М\2 + 2 ) ~ М'

Если N четно, то удаляем первые М - N столбцов и получаем, что строки образуют равномерный фрейм Парсеваля в RN. Проверим, что нормы будут одинаковыми.

тг Т 2 2 NN

Для і = 0, справедливо равенство ||ф- | — ‘ — “ —

Для і = 1,..., М - 1 имеем равенство 2

M 2 M

( М-1

2

J\|2

M

cos

l=(M-N-1)/2 2

М-1

2

2 2л— + "У sin2 2л— MM

l=(M-N-1)/2

М-1

2

- У

M

l=(M-N-1)/2

cos2 2л-1- sinz 2л— I = —— = —.

li

2

li

M

M

2 N N

M 2 M

Примеры:

1) Фрейм Парсеваля с одинаковыми нормами для N = 3 и М = 5

/ ф£ N ф^

T фT T

Фз

T

фа

1 1 \ 0

2 1 1

cos 2л— sin 2л-

V2 5 5

1 „ 2 • „ 2

cos 2л— sin 2л-

V2 5 5

1 З З

cos 2л— sin 2л-

V2 5 5

1 4 4

cos 2л— sin 2л-

V2 5 5 ;

2) Фрейм Парсеваля с одинаковыми нормами для N = 4 и М = 7

' Ф° 4

ФТ

Т

Ф°

Т

ф°

ф°

ф°

ф°

1

9 2 сое 2л-7

сое 2л сое 2л сое 2л 008 2п

4

7

6

7

8 7 10 У 12

0

• о 2 віп 2л—

7

8Іп2л 8Іп2л 8Іп2л віп 2л

4

7

6

7

8 7 10 У 12

сов 2л-7

6

7

9

7

12

У

15

У

18

008 2п 008 2п сов 2л сов 2л

0

віп 2л-7

вт 2 л вт 2 л 81п 2п 81п 2п

6

7

9

7

12

У

15

У

18

сов 2л— віп 2л— сов 2л— віп 2л—

7

7

7

7

Норма каждого вектора равна Пусть теперь М = 2к. Определяем матрицу

ф0

Ф1

Ф2

Фм-з

Ф М- 2 Ф М- 1

1

VI

1

0

1

и

сое 2я—

ч

вт2я— М

1

И , 2

сое 2я—

8Іп2я—

М

к - 1 2(к - 1)

1 соз2я----------- соз2я-

0 8Іп2я-

1

к- 1 ^Г

8Іл2я

2(кМ 1)

1

VI

М

VI

1

VI

М - 1 сое 2я-------

зт2я-

М

008 2я

8Іл2я

(к - 1 )(М - 1) М

(£ - 1 )(М - 1)

VI

Аналогично случаю М = 2к + 1, можно показать что семейство фгМ=01

образует ортонормированный базис в пространстве КМ. Покажем сначала, что ||ф(-|| = 1 для всех г = 0,...,М - 1.

Если і = 0 и і = М -1, то

то

2М

II = —X— = 1. Если г = 2о—1, а = . ,к—\,

" М 2 4 ’ 4 ’

М-1

2 2 ^ ^ 2 ді

= ||ф2(7—11I = ------- / сое 2л— = 1.

"Т2д 111 М ^ М

1=0

ді

М

Аналогично, если г = 2д, д = 1,..., к - 1.

М-1

= 11ф2я||2 = -------- У віп2 2л— = 1.

1=0

2

Можно далее показать, что ф, — попарно ортогональны для значений индекса i = 0,М - 1, следовательно

<фо > ф2д-1> =

2 ^ о (29-1)/ п > соз 2л--------—— = 0;

Мл/2 £

о

М

2 М-1

... 2д1

<фо,ф2?>=----р > , 2л—- = 0;

Мл/2 м

<ф2д-Ь ф2д> =

М

М-1

1=1

2л/(2д - 1) . 4лд/ сое-------гг-----яш .. = 0;

М

М

<ф2?-1, ф2р-1>= 0 <ф2?, ф2р>= 0.

Таким образом, данная матрица является ортогональной. Транспонируем матрицу

т

Фо

т

Ф1

т

Фт

т

ФМ-2

т

фМ-1

1

2

±

V2

1

сое 2л — М , 2 сое 2я — М

1

вт2я— М . _ 2 вт2я— М

1 М - 1

—— соз2я---------------

л[2 М

8т2я-

М- 1 М

sin2я

0

(к - 1)

Бт2л;

Бт2л;

(к - 1 )(М - 1) М

1

I

Ф-

ф.

Аналогично предыдущему строим равномерный фрейм Парсеваля. Если N нечетно, то удаляем последние М - N столбцов и получаем, что строки образуют равномерный фрейм Парсеваля в RN. Проверим, что нормы будут одинаковые.

тт . „ .. ™ 2 /1 N - 1 \ N

Для I = 0 имеем

рГН2=тт1т +

М2

Для , = 1,..., М - 1 имеем

2

М

„Т| |2

2_

М

ы-1 2

Ы-1 2

- + У сое2 2л— + У вт2 2л— 2 21 М 2л М

ЛГ-1 1 2

*♦2

2_

м

I, ■ I,

. , , сое 2л-------------------1- вт 2л—

2 =1 М М

N

М'

Если N четно, то удаляем первый и М - N - 1 последних столбцов и получаем, что строки образуют равномерный фрейм Парсеваля в RN. Проверим, что нормы будут одинаковыми.

т 2 2 NN

Если г = 0, то I|ф. || =

М2

М

2

Для і = 1,М - 1

2_

М

2

У сое2 2л----1- У віп2 2л—

£ М £ М

2^1 2 ~ Ч . 2 ~ ІМ 2 N

— > сое 2л-1- віп 2л— =-=

М М ММ 2

2 Ж

Теорема доказана.

Примеры:

3) Фрейм Парсеваля с одинаковыми нормами для N = 3 и М = 6

'фТ'

ф[

Т

Фг

Т

ФТ

Т

ФТ

Т

ФТ

( _1_ 1 1 1 1

и 1

1

О

сое 2л— віп 2л-

6

2

С6

3

с-

6

4 С6

5 С6

22 сое 2л— З1п2л-

33 сов 2л— вт 2л-

44 сов2л— З1п2л-

55 сов2л— З1п2л-

6

2

С6

3

с-

6

4

с6

5 с6

Норма каждого вектора равна л / —.

6

4) Фрейм Парсеваля с одинаковыми нормами для N = 4 и М = 6

ФТ

ФТ

Т

ФТ

Т

ФТ

Т

ФТ

Т

ФТ

Т

ФТ

сое 2л— зіп2л— сое 2л— зіп2л—

6

2

С6

5

6

2

С6

2 2 4 4

сое 2л— З1п2л— сое 2л— зіп2л—

6

4

С6

5

6

6

6

6

4

С6

3 3 6 6

сое 2л— З1п2л— сое 2л— зіп2л—

сое 2л- віп 2л— сое 2л— віп 2л—

6 6 6 6

10

10

сое 2л- віп 2л— сое 2л— віп 2л—

6

1

2. Фреймы Грассмана в пространстве RN

Для прикладных исследований большой интерес представляют фреймы со специальными свойствами. Рассмотрим, например, фреймы Грассмана [4].

Пусть М и N — натуральные числа, причем М ^ N.

Определение 2.1: Пусть XM = {xi}M=i —набор векторов из RN такой, что ||xi|| = 1 для любого i. Максимальную корреляцию в RN обозначим Мет(ХМ) и определим как

Мт(ХМ) = max |<xi, xp>. i+p

Определение 2.2: Последовательность ФМ = {ф('}М=1 из RN такую, что |ф,-1 = 1 для любого i назовем (М, N) — фреймом Грассмана, если она является фреймом и выполнено равенство

Мте(ФМ) = inf МЮ(ХМ),

где инфинум берется по всем наборам из M единичных векторов.

Определение 2.3: Набор нормированных векторов ХМ = {х,-}М=1 называется равноугольным, если существует число а е [0,1] такое, что выполняется равенство |<х,-, xp> = а для i ф p.

В работе [4] доказана Теорема 2.1 [4, th IV.2].

Пусть ХМ = {х,-}М=1 — набор нормированных векторов пространства RN и пусть No = dim (span (ХМ)). Тогда справедливо неравенство

м I М-N0

причем равенство в указанном неравенстве имеет место тогда и только тогда, когда справедливы два следующих условия:

1) набор векторов XМ — равноугольный;

2) набор векторов X^ — жесткий фрейм с границей А = В = —.

N0

Кроме того, если М > --------, то набор X^ не может быть равноуголь-

ным и, следовательно, равенство в рассматриваемом неравенстве невозможно.

Имея ввиду данную теорему становится естественным следующее определение.

Определение 2.4: Положим, что М, N е N и выполняются неравенства Ж ^ М ^ ----. Пусть = {ф;}^1 — фрейм в RІV и ||ф(-|| = 1 для

любого г. Фрейм ФМ называется оптимальным фреймом Грассмана, если

1 м - N

удовлетворяет равенству Мсо(Ф^) =

ЩМ - 1)

Пронормируем построенный фрейм из теоремы 1 и проверим, что он является оптимальным фреймом Грассмана для M = N + 1.

1) Пусть M четно. Рассмотрим <ф;, фр> для i, p = 0,..., M - 1

<фЬ фр> =

N

1 v4 / 2лй 2npl . 2nil . 2npl\

—V > cos----------cos---------v sin-----sin-------I

2 ZjI MM MM

bt

+ у cos

l=i

2

N

2nl(i - p)

- + Re 2

M

' 1 - rn(i-p)

MM

N-1

- + Re 2

1 - (Oi-p 2

' N

J=0

2

N

1 ac - ferf - 2c

— + ---------------------------

2 2c

1 „ /a - jb

- + Re ----------------—

2 \c - jrf

=-----1--(-1 - cos n(i - p j),

N N У

2к£ 9 2jt(z - p)(N + 1) . 2jt(z - p)(N + 1)

где со = e м и j = — 1, a = I — cos------------------------------------гтт----------, b = sin ■

2M

2 M

2n(i - p) . 2n(i - p) 1

с = 1 - cos----—------, d = sin----—-----. Таким образом, |<фьфР>| = ~ для

любых i, p = 0,..., M - 1.

2) Пусть M нечетно. Рассмотрим <ф,-, фp> для i, p = 0,..., M - 1

iV

2 Л/ 2то7 2яр/ . 2то7 . 2лр1\

<ф;, Фв>= — > cos --------------- COS---------h Sin------- Sin-------

^i’^p N ^\ M M M M

lyfcos2^-p)|=lRefy^-l|=lRe M ) N \£j ) N

„4iV+2

1 - <I>( P> 2

1 - rni-p

. i l cos я(г’ ~ P^N + 2) | d

= iRe//z^ - iL - • fc~sd~2c = i . J_____________________M > g = -I

iV \c-;rf / iV 2c N 2c N'

2n(i - p)(N + 2) . 2n(i - p)(N + 2)

где / = 1 - cos-------------------, g = sin —

2M

2M

Таким образом, |<фьфР>| = — для любого i,p = 01. Получаем,

что Мсо(Ф^) =

v N’ v N(M - 1) N

M - N

1

и, значит, построенный фрейм является

оптимальным фреймом Грассмана.

Введем понятие 2-равномерного фрейма [5], используя множество матриц йт:

Определение 2.5: Множество Бт — это множество диагональных матриц, которые имеют т-диагональных элементов равных 1 и остальные т - п элементов равны нулю.

Определение 2.6: Фрейм ФМ называется 2-равномерным, если ФМ — фрейм Парсеваля с одинаковыми нормами и ||Е*СЕ|| равно константе для любой диагональной матрицы D е D2.

В работе [5] доказана следующая теорема.

N-1

2

1

1

Теорема 2.2: Фрейм Парсеваля Ф^ является 2-равномерным тогда и

только тогда, когда |<фг-, ф^| = Cm,n для любого i и p, и

^ I N(M - N)

Cm’n~ умнм-iy

Используя данную теорему и уже проделанные вычисления, легко показать, что построенный нами фрейм Парсеваля является 2-равномерным

для М = N + 1 с константой Cmn = —•

’ М

Литература

[1] Драбкова, Е.С. Объем фрейма Парсеваля / Е.С. Драбкова, С.Я. Новиков. // Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучная серия. - 2007. - №9/1(59) - С. 91-106.

[2] Casazza, P.G. The known equal norm Parseval frames as of - 2005. /

P.G. Casazza, N. Leonhard. Preprint - 2006. - Режим доступа:

www.math.missouri.edu/~pete/

[3] Christensen, O. An Introduction to Frames and Riesz Bases / O. Christensen. Boston: Birkhauser, 2002.

[4] Benedetto, J.J. Geometric properties of Grassmannian frames for R2 and R3 / J.J. Benedetto, J. Kolesar, EURASIP J. Applied Signal Processing -2006.

[5] Holmes, R.B. Optimal frames for erasures / R.B. Holmes, V.I. Paulsen. -Linear Algebra and its Applications 377, - 2004.

Поступила в редакцию 10/VII/2008; Paper received 10/ VII/2008.

в окончательном варианте — 10/VII/2008. Paper accepted 10/VII/2008.

UNIFORM PARSEVAL FRAMES FOR THE SPACE RN 3

© 2008 M.A. Lapshina4

In the paper a construction of the uniform Parseval frames with arbitrary volume for the space RN is obtained. Some of these frames are being Grassman and equiangular are elucidated.

Keywords and phrases: bounds frame, operations analysis, operations synthesis,

frame, steady frame.

3Communicated by Dr. Sci. (Phys. & Math.) Prof. S.V. Astashkin.

4Lapshina Mariya Alexandrovna ([email protected]), Dept. of Theory of Functions and Functional Analysis, Samara State University, Samara, 443011, Russia.