Нормализации Фосса и Грина гиперполосного распределения аффинного пространства Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.75

Ю. И. Попов

НОРМАЛИЗАЦИИ ФОССА И ГРИНА ГИПЕРПОЛОСНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА

Внутренним инвариантным образом построены нормализации

__Фосса и Грина основных структурных подрасслоений гиперполосного

16 распределения H-распределения аффинного пространства.

Voss and Green's normalizations of the main structural subbundles of hyperband distribution of H-distribution of affine space are constructed internally invariantly.

Ключевые слова: распределение, подрасслоение, нормализация, фокальное многообразие, фокальная плоскость.

Key words: distribution, subbundle, normalization, focal manifold, focal hyperplane.

Во всей работе использована следующая схема индексов:

К,Ь = 1,п; i,],к = 1,т; а,р,у,... = т +1,п-1; а,Ь,с,... = 1,п-1; а,р,у, ... = т +1,п. Знак = означает сравнение по модулю базисных форм юК.

1. Рассмотрим п-мерное аффинное пространство Ап, отнесенное к подвижному реперу {А, е1, е2, ..., еп}, дифференциальные уравнения инфинитезимального перемещения которого имеют вид

йА = ю-е-, йе^ = юК?К, (1)

а инвариантные формы ю- и юК аффинной группы преобразований удовлетворяют структурным уравнениям аффинного пространства

йю- = юЬ лю[, йю— = юЬ люК. (2)

Известно [1; 2], что в дифференциальной окрестности 2-го порядка регулярное Н1 -распределение (гиперполосное распределение) аффинного пространства Ап задается относительно репера уравнениями

юп=л к юК, юа=л Ос юК, юа=л ар юр, юа=л аК юК, (3)

где функции в системе (3) удовлетворяют условиям

УЛК = ЛКьюЬ, улОк +лкюа = лОкьюь, улар = лОркюК, УЛ а„ -л"арюР = л а„к юК, Ул Ок +лОк ю'п = л Окь юЬ.

© Попов Ю. И., 2016

Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. Сер.: Физико-математические и технические науки. 2016. № 4. С. 16

В общем случае определители

л0 = а<*||л, ь0 = |л;р||, н = |л;

отличны от нуля.

Компоненты определителя Н0 имеют строение

H0 = det Л "J = det

Л" Л", 0 л пл

и удовлетворяют уравнениям

vл г, =л , юк.

Для невырожденных несимметрических фундаментальных тензоров {л:}, {л"р}, {л:,} 1-го порядка введем несимметрические обращенные тензоры {л:}, {л:ар}, {лГ}, компоненты которых удовлетворяют соотношениям

л Г л; = л: л;. = 5;, л л; = лГл; = 5;, л; л;с = л;: л:, = 5:

и, соответственно, уравнениям

УлГ = 0, ул?р = 0, Ула, = 0.

(5)

17

2. Следуя работе [3], назовем фокальной гиперплоскостью базисного Л-подрасслоения в центре А данного -распределения всякую гиперплоскость $(А), которая содержит две бесконечно близкие плоскости Л-подрасслоения при смещении центра А вдоль некоторой интегральной кривой Л-подрасслоения.

Так как Л(А) с $(А), то уравнение гиперплоскости v(A) в локальном репере R1 зададим в вице

+ &пХп = 0. (6)

Из (1) — (3) следует, что

dA\ffl"=0 = , dii L=0 = j +Л j +ЛП®;гп . (7)

В силу (6), (7) для искомых интегральных кривых Л-подрасслоения выполняются соотношения

юа=юп = 0, (ЗаЛ £ + ЗпЛ" )юj = 0. (8)

Система (8) имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда выполняется условие

det | |заЛ £ +9"Л П|| = 0. (9)

Таким образом, уравнение (9) определяет геометрическое место фокальных гиперплоскостей — фокальный гиперконус класса m [3], вершина которого есть m-плоскость Л(А).

18

Линейной полярой гиперплоскости Н(А) [4] относительно фокального гиперконуса (9) является связка гиперплоскостей

+т л а л £да=о,

т '

которую, используя (6), представим в вице

(* а-1Л ал Цх" )Эа= 0. (10)

п п "

т

Все гиперплоскости связки (10) пересекаются по (т + 1)-плоскости

Фт+1(А) = [А; ^, еи + Ф„аеа ], (11)

которую и будем называть линейной полярой гиперплоскости Н(А) [4] относительно фокального гиперконуса (9).

В локальном репере Яг(А) плоскость Фт+1 (11) задается уравнениями

х а-Ф ахп = 0,

где функции Фа, согласно (4), (5), удовлетворяют уравнениям

фо=т л а л п, уфо+юа=фо юк. (12)

т '

Поле квазитензора {Фп} (12) 1-го порядка задает поле нормалей Фт+1 1-го порядка Ь-подрасслоения.

3. Аналогичные построения (см. п. 2) производим для Ь-подрасслое-ния данного Н -распределения. Уравнение искомой фокальной гиперплоскости "л(А) Ь-подрасслоения зададим следующим образом (в локальном репере Я1):

чХ + ЦпХп = 0. (13)

Геометрическое место фокальных гиперплоскостей ч(А) (13) Ь-подрасслоения — фокальный гиперконус класса (п - т - 1), вершиной которого служит плоскость Ь(А), представим в виде

|ч«л л Ор| = 0. (14)

Линейной полярой гиперплоскости Н(А) относительно гиперконуса (14) является связка гиперплоскостей

(х —т__ л Орл^у к=0,

п - т -1

которая определяет (п - т)-плоскость

Фп-т(А) = [А; 4, еи +Ф&], (15)

где

фп = —Л ОрЛР«, уф п +юп =фПК юК. (16)

п - т -1

Таким образом, поле квазитензора {Ф П} (16) 2-го порядка задает поле плоскостей Фп-т (15) — поле нормалей 1-го рода л-подрасслоения. Плоскости (11) и (15) пересекаются в каждом центре А по прямой

Ф1(А) = [А; Ф 1(А)]:

Ф 1(А) = Фт+1(А)П Ф„-т(А), Ф 1(А) = е„ +Фапеа, (17)

где

{Ф;} = {Фа, ф; }, уф; + ф ; = ф :пК аК. (18)

Следуя работам [5; 6], прямую Фг(А) (17) назовем нормалью Фосса Н -распределения в центре А. Соответственно плоскости Фт+г(А) (11) и Фп-т(А) (15) назовем нормалями Фосса 1-го рода в смысле Нордена [7] Ь-, л-подрасслоений данного Н -распределения.

В силу биекций Бомпьяни — Пантази [2] полям нормалей Фосса {Ф;}, {Ф;}, {Ф;} 1-го рода поставим в соответствие поля нормалей 2-го рода Ь-, л-, Н-подрасслоений {Фа}, {ФК}, {Ф„}:

Фа = -л;РФГ - Аа, УФа = ФаКа

К

К

где

Фк =-л: ф; - А, УФ, =ФКК а . Ф: =-лПьФП - А:, УФ„ =Ф„каК,

Аа = лап, УАа = ларюП, = -л; А; , УА1 = л,

А„ = л Г;, УА„ - л ПьаГ, УАГ +®П = АПК аК.

В результате справедлива

Теорема 1. Нормаль Фосса Фг(А) Н1 -распределения в каждом центре А есть пересечение линейных поляр гиперплоскости Н(А) относительно фокальных гиперконусов (9) и (14) соответственно Ь-, л-подрасслоений.

Н-распределение внутренним инвариантным образом порождает нормализацию Фосса (Фа, Фа) Ь-подрасслоения в дифференциальной окрестности 1-го порядка и нормализации Фосса (ФП, ФК), (ФП, Фя) соответственно Ь-, Н-подрасслоений в дифференциальной окрестности 2-го порядка.

4. Пусть задано поле нормалей 1-го рода

А = [А; V; =Уапеа + еп ] оснащающего Н-распределения:

УуП + < =vnк аК. (19)

Рассмотрим фокальные образы, связанные с л-, Ь-подрасслоениями данного Н -распределения.

19

20

Найдем фокальное многообразие уп-т, Л) нормали 1-го рода уп_т (А) = [А; уп, ЦА)] плоскости Л(А) при смещении центра А вдоль кривых (X):

(я,): а = ц;е, Уц; = ц;е, ое = еле1, юа = о, юп = о, (20)

принадлежащих Л-подрасслоению.

Пусть Р — фокальная точка плоскости уп-т( А):

р = А + + уп уп, Vп =<еа + еп. Из условия ее фокальности

¿Р = Уа4 + Уп( +< еа + еп) в силу соотношений (1), (3), (19), (20), в частности, находим:

[5;.+у ал а+уп (уп; -л п уп уп +л а уа)]а. = о. (21)

Нетривиальное решение (относительно форм ю;) система (21) имеет тогда и только тогда, когда определитель системы равен нулю. Отсюда следует, что фокальное многообразие уг(уп-т, Л) задается уравнениями

у = у;пУп ,ае1|| 5. + уа Л а. + уп (п -Л п укпУ;п +Л а. уа )|| = 0, (22)

т. е. является алгебраическим многообразием размерности (п - т - 1) порядка т.

Линейная поляра центра А Н-распределения относительно фокального многообразия уп-т, Л) есть плоскость Кп-т-г(А) ^ уп-т (А):

у = у'пуп,Xауа +упуп -1 = о, (23)

где

1 к

ха=--Л'а;, УХа = ХаКа ,

т

у =-—(у;.-Лк1.уку; +Ла ■ уа), Уу = у Кюк

п У т Ш п п а! п/' п пК •

т

Отметим, что плоскость Кп-т-г(А) (23) — аналог плоскости Кёнигса [8] для элемента Л-подрасслоения (для Л-плоскости) в данном центре А. В силу этого точку пересечения нормали уп (А) с плоскостью Кп-т-1(А), т. е. точку

Кп (У): уа = !п , Уп = 1

Хауп + уп Хауп + уп

назовем точкой Кёнигса для данного Н-распределения, ассоциированной с Л-подрасслоением, или уЛ-виртуальной точкой Кёнигса.

Фокальное многообразие .(Ь, л) плоскости Ь(А) при смещении центра А вдоль кривых (X) (20) имеет вид

У = 0, уп = 0,&*| ^ + у ал = 0, (24)

т. е. является алгебраическим многообразием размерности (п - т - 2) порядка т.

Линейная поляра центра А относительно многообразия (24) есть плоскость Кп-т-2(А):

у = 0, уп = 0, Хауа-1 = 0, (25)

которая является нормалью 2-го рода плоскости Ь(А).

Следует заметить, что структура плоскости Кёнигса Кп-т-г(у) (23) такова:

К;-т-1(У) = [К;-т-2( А),К; (V)],

где Кп(у) — ул-виртуальная точка Кёнигса.

Если задать другое поле инвариантных нормалей V* Н-подрасслое-ния, то в соответствующей точке А плоскость Кёнигса имеет следующий вид:

К;-т-1(У* ) = [К;-т-2( А),К; ( V* )],

т. е. плоскость Кп-т-2(А) (25) есть ось оснащающих плоскостей Кёнигса в нормалях 1-го рода ^¡-т л-подрасслоения в данном центре А. Таким образом, имеет место

Теорема 2. Для пучка нормалей 1-го рода Ып-т(А) плоскости л(А) в данном центре А все плоскости Кёнигса проходят через неподвижную плоскость Кп-т-2(А) (25) - ось пучка плоскостей Кёнигса.

Следствие. Ось пучка плоскостей Кёнигса К;-т-2(А) (25) всех нормалей 1-го рода Жн-т плоскости л(А) в данном центре А Н1 -распределения есть линейная поляра центра А относительно фокального многообразия .(Ь, л) плоскости Ь(А).

5. Аналогично находим в каждом центре А фокальное многообразие .(Ут+1, Ь) нормали 1-го рода Уп+1(А) плоскости Ь(А) при смещениях центра А вдоль кривых

(£): юа = дае, Уда - цае1 = д ае, ое = е ле1, а = 0, а = 0, (26)

принадлежащих Ь-подрасслоению

уа = у„ауп,й*||5а + у1 лар + уп(у« -лПру;у„: + уару;)|| = 0, (27)

где

уар=лар-лпру;, у^ 0. (28)

21

22

Линейная поляра центра A относительно фокального многообразия v, L) (27) при смещении центра вдоль кривых (£) (26) есть плоскость

Km(A): ya=vanyn, vy + V nyn -1 = 0, (29)

где

v i=—m_ vnn, vv i =v к ю^

n-m-1 (30)

v n =--L-1 (vnn-A nnvnvn+vlvn), vv n =vnK

n - m -1

Плоскость Km (29) назовем vL-виртуальной плоскостью Кёнигса в центре A.

Пересечение многообразия (27) с плоскостью A(A) определяет фокальное многообразие A, L) плоскости A(A) при смещении центра A вдоль кривых (£) (26):

yn= 0, yn = 0, det|15П + yiAnp|| = 0. (31)

Линейная поляра центра A относительно фокального многообразия (31) есть плоскость

Km-1(A): yn = 0, yn = 0, vy -1 = 0. (32)

Рассмотрим (n - 2)-плоскость qn-2(A), проходящую через линейные поляры Kn-m-2(A) (25), Km-i(A) (32) точки A относительно фокальных многообразий (24), (31) соответственно. Плоскость qn-2(A) определяется системой уравнений

yn = 0, qya -1 = 0, (33)

где qi = v i, qn = ^n.

Так как задание плоскости qn-2(A) зависит от выбора нормали } L-подрасслоения (или нормали |vn} Н-подрасслоения), то, следуя работам [6], [7], плоскость qn-2(A) назовем vH-виртуальной плоскостью Грина Н-подрасслоения.

Если задано поле нормалей Фосса |®n} Н-подрасслоения, то охват тензора |v i} в силу (28), (30) можно представить в вице

1 def

v i =--^ (A ПП - A Ппф n) = G (34)

n - m -1

в дифференциальной окрестности 1-го порядка. В этом случае, согласно работам [6; 7; 9], плоскость (33) назовем ребром Грина G„_2(A) Н-под-расслоения:

yn = 0, Gya -1 = 0,

def def

где v i = Gi, Gn=K = Kn.

В биекции Бомпьяни — Пантази нормали 2-го рода Грина (Са} соответствует нормаль 1-го рода (Сп}, где

ап = -Л пЬаь+4а,

которую назовем нормалью 1-го рода Грина (Сап} Н-подрасслоения, а уН-виртуальной нормали 2-го рода Грина (ца} (33) соответствует нормаль 1-го рода (^}, где

^п = -Л пЧ + 4а.

Резюмируя результаты п. 5, приходим к предложению:

Теорема 3. Н-подрасслоение внутренним инвариантным образом порождает нормализацию (®п, Са) Фосса - Грина и нормализацию {Сап, Са) Грина Н-подрасслоения в дифференциальной окрестности 2-го порядка, а уН-вирту-альную нормализацию Грина (цап, ца) не ниже окрестности 2-го порядка (порядок окрестности определяется порядком дифференциальной окрестности квазитензора (уа} ).

Список литературы

1. Попов Ю. И. Введение в теорию регулярного гиперполостного распределения аффинного пространства // Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. 2013. Вып. 10. С. 49 — 56.

2. Попов Ю. И. Поля геометрических объектов Н-распределения аффинного пространства // Диф. геометрия многообр. фигур. Калининград, 2013. Вып. 44. С. 113 — 125.

3. Акивис М. А. Фокальные образы поверхности ранга г // Изв. вузов. Математика. 1957. № 1. С. 9—19.

4. Ивлев Е. Т., Лучинин А. А. О полярном соответствии относительно алгебраической поверхности и его приложениях // Геом. сб. Томск. 1968. Т. 7. С. 23—24.

5. Акивис М. А. О нормалях Фосса поверхности, несущей сеть сопряженных линий // Мат. сборник. 1962. Т. 58, № 2. С. 695—706.

6. Благонравов В. В. Распределения на гиперповерхности аффинного пространства / Деп. в ВИНИТИ 17.08.1982. № 4552-82.

7. Норден А. П. Пространства аффинной связности. М., 1976.

8. Остиану Н. М. Распределение гиперплоскостных элементов в проективном пространстве // Тр. Геом. семин. Т. 4. ВИНИТИ. М., 1973. С. 71 — 120.

9. Юрьева С. Н. Нормализация Фосса — Грина гиперполосы Нм (Л) // Диф. геометрия многообр. фигур. Калининград, 2005. Вып. 36. С. 160 — 165.

23

Об авторе

Юрий Иванович Попов — канд. физ.-мат. наук, проф., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград. E-mail: [email protected]

About author

Dr Juriy Popov — Ass. Prof., I. Kant Baltic Federal University, Kaliningrad. E-mail: [email protected]