CC BY
9
Владикавказский математический журнал Январь-март, 2004, Том 6, Выпуск 1
УДК 517.98
О ПОРЯДКОВОЙ СТРУКТУРЕ АБСТРАКТНОГО СПИН-ФАКТОРА
К. В. Коробова, В. Т. Худалов
Памяти Юрия Александровича Абрамовича посвящается
В статье изучены геометрические свойства конуса положительных элементов в абстрактном спин-факторе. Устанавливается равносильность (с некоторыми ограничениями) ортогональности элементов по Роберу и их ортогональности как элементов алгебры.
Введение
В последние годы возрос интерес к изучению ЗВ-алгебр — вещественных аналогов С*-алгебр. Основы теории ЗВ-алгебр разработаны в работе Э. Алфсена, Ф. Шульца и Э. Штёрмера [6], где, в частности, установлен аналог теоремы Гельфанда — Наймарка для 3В-алгебр. Ранее этот крут вопросов рассматривал Д. М. Топпинг [7] в рамках класса йордановых алгебр самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. В работе А. Г. Кусраева [3] к вопросу о классификации и представлении спин-алгебр применены методы булевозначного анализа. Данная работа посвящена исследованию порядковых свойств абстрактного спин-фактора.
В первом параграфе приведены необходимые определения и вспомогательные факты. Второй параграф посвящен геометрическим свойствам конуса положительных элементов в абстрактном спин-факторе. В третьем параграфе устанавливаются условия совпадения алгебраической ортогональности и ортогональности по Роберу. Четвертый параграф содержит описание множеств положительных и отрицательных частей произвольного элемента, а также множества элементов, на котором реализуется минимум в формуле расстояния от элемента до конуса.
В статье использованы терминология и обозначения из [1, 2]. Необходимые сведения из теории конусов имеются в [4].
1. Предварительные сведения
Приведем необходимые для дальнейшего определения и результаты.
1.1. Пусть Е — банахово пространство над полем действительных чисел Ж, Е+ — конус в Е. Конус Е+ называется регулярным, если выполнены следующие условия:
(1) ±х ^ у ||ж|| ^ ||у|| для любых х,у € Е,
© 2004 Коробова К. В., Худалов В. Т.
(2) для любого .г £ I-j и любого е > 0 существует у £ Е+ такой, что ±ж ^ у и
||yK(l + e)IN|.
Регулярный конус Е+ называется строго регулярным, если выполнено условие (2) при е = 0, т. е.
(2') для любого х £ Е существует у £ Е+ такой, что ±ж ^ у и ||у|| = ||ж||.
Если Е упорядочено замкнутым строго регулярным конусом Е+, то пишут (Е, Е+) £ (SK), см. [1, 21.
1.2. Напомним один общий метод построения конуса в произвольном банаховом пространстве. Пусть X — банахово пространство, / £ X* — произвольный непрерывный линейный функционал на X такой, что ||/|| = 1. Для любого a £ (0,1] определим круглый конус
K(f,a) := {х £ X : f(x) ^ а||ж||}.
Конус K(f,a) замкнут, нормален и несплющен [4].
1.3. Пусть (Е 5 E-j-) £ (*И). Для любого х £ Е обозначим через |Х| множество элементов у £ Е таких, что ±ж ^ у и ||ж|| = ||у||. Положим
Х+ = \* + \\Х\, Х- = -\х + \\Х\-
Множества Х+ и Л" называются множествами положительных (соответственно отрицательных) част,ей элемента х. Строго регулярный конус Е+ называется простым, если для любого х £ Е множество |Х| состоит из одного элемента. В этом случае этот элемент называется метрическим модулем и обозначается \х\. Тогда метрически положительная и метрически отрицательная части элемента х имеют вид:
1 1
ж+ = -(ж + |ж|), х- = -{\х\—х).
Из этих определений следует, что \х\ ^ ±ж, причем
ОС — X X — ^ | X | — X | X — ^ 11X X — 11 — 11X | X — || X11 — 111X1111
Понятно, что в случае простого конуса элементы \х\, определены однозначно.
Примером пространства с простым конусом является (//. //. ). где Н — гильбертово пространство [4].
1.4. Напомним, что конус Е+ в упорядоченном банаховом пространстве (/v. /v. ) называется достижимым, если для любого х £ Е существует элемент Рх £ Е+, на котором реализуется минимум в формуле расстояния от х до Е+, т. е. d(x,E+) = inf{11сь — a?11 : a £ E+} = ||Рх — ж||. Множество всех таких Рх обозначается символом М(х). Достижимый конус Е+ называется чебышевским, если для любого х £ Е множество М(х) состоит из одного элемента. Достижимый строго регулярный конус Е+ называется вполне достижимым, если М(х) = для любого х £ Е. Чебышевский простой конус Е+ называется вполне чебышевским, если Рх = х+ для любого х £ Е, см. [4].
Приведем двойственное условие, характеризующее ближайшую к элементу х точку Рх [4].
Теорема. Пусть Е+ — произвольный клин в нормированном пространстве Е и х £ Е — произвольный элемент, не принадлежащий замыканию Е+. Для того, чтобы элемент Рх £ Е+ был ближайшим к х элементом клина Е+ необходимо и достаточно, чтобы существовал функционал / £ с нормой ||/|| = 1 такой, что f(Px) = 0, f(Px — х) = || Рх — х\\.
Следствием этой теоремы является утверждение, устанавливающее зависимость между величиной расстояния от элемента до конуса и разложением элемента на положительную и отрицательную метрические части.
Утверждение. Пусть (Е,Е+) G (£Н) н .г (f Е+. Элемент G Е+ является ближайшим к х элементом конуса Е+ тогда и только тогда, когда существует / G ||/|| = 1, f(x+) = 0, f(x-) = ||ж_||. В этом случае d(x,E+) = ||ж_||.
1.5. Пусть Е — банахово пространство над Ж со строго регулярным замкнутым конусом Е+. Элементы х,у G Е+ называются п-дизъюнктными или ортогональными по
Роберу (обозначается х .Ly), если ||ж + Ау|| = ||ж — Ау|| для любого А ^ 0.
R
1.6. Напомним, что векторное пространство А над полем Ж называется йордановой алгеброй, если в А введена операция умножения х о у (х,у G А), удовлетворяющая условиям:
(1) х о у = у о х для любых ij G 4;
(2) (х + у) о z = х о z + у о z для любых x,y,z G А;
(3) Х(х о у) = (Хх) о у для любых Л G л. и .г. у G А :
(4) (ж2 о у) о х = х2 о (у о х) для любых ij G 4.
2. Об отношении порядка в абстрактном спин-факторе
В этом параграфе изучаются геометрические свойства конуса положительных элементов в абстрактном спин-факторе.
2.1. Пусть H — вещественное гильбертово пространство со скалярным произведением (•,•). Рассмотрим декартово произведение Ж х H = {(a, h) : a G Ж, h G H}. Определим в Ж х H бинарную операцию о следующим образом:
(a, h) о (/3, /) = (а/3 + (h, /), а/ + 0h) (а, /3 G Ж, Л, / G Я). Норму на Ж х H определим по формуле
|| (a, h) || = \а\ + л/(h, h) (a G Ж, h G Я).
Непосредственно проверяется [5-7], что А = Ш х H является JB-алгеброй, т. е. йордановой алгеброй с единицей 1 = (1,0) и нормой, удовлетворяющей условиям:
(1) ||ж о у|| <С ||ж|| • ||у|| для любых х, у G А;
(2) ||ж2|| = ||ж||2 для любых х £ А;
(3) ||ж2|| si ||ж2 + у21| для любых х,у G А.
Эту алгебру принято называть абстрактным спин-фактором, см. [6, 7]. Так как А:= Ж х Я — рефлексивное банахово пространство, то А будет также и ^LJW-алгеброй.
2.2. Для конуса положительных элементов А+ = {z2 : z £ А} в алгебре А = Ж х Я имеет место представление А+ = {(¡3, /) G А : /3 ^ ||/||}-
<1 Действительно, если z = (a, h) G A, то
z2 = {a2 + \\h\\2,2ah) и a2 + \\h\\2 > \\2ah\\ = 2\a\\\h\\.
Обратно, пусть элемент (/3,/) G A такой, что /3 ^ ||/||. Покажем, что существует (a, h) G A такой, что (a, h)2 = (/3,/). Действительно, определим (a, h) из следующих условий: 2ah = /, a2 + \\h\\2 = /3.
Если / = 0, то берем (а, Л) = ( ± ^/АО). Если / ^ 0, то а ^ 0 и, полагая Н = //2а, получаем а2 + = ¡3. По условию ¡3 ^ ||/||. Рассмотрим два случая.
1. Если ¡3 = ||/||, то для элемента (||/||,/) существуют два корня
причем один из них является положительным элементом, другой — отрицательным.
2. Если /3 > ||/||, то существует четыре квадратных корня.
s/pWW2
z1 = i --/=-, - ^ = i , = -zl.
V2 V2 yjp + y/p--
= | --/=-5 --^ = I 5 =
щр - ^рчт
Таким образом, равенство множеств (г2 : гбА} = {(/3,/) £ А: [3^ ||/||} доказано. >
2.3. Пространство (Ж х Н) с конусом А+ является пространством ограниченных элементов с единицей и = (1,0) и нормой
||а|| := 1п£{0 < А £ К : ^А« < а < А«} (а £ А).
<1 См. [6; теорема 2.1]. >
Ответ на вопрос, при каких условиях произведение элементов из конуса попадает в конус, дает следующее утверждение.
2.4. Пусть х = (а,Ъ) £ А+,у = (/3,/) £ А+. Тогда справедливы утверждения:
(1) Если к = 0 или / = 0, то ж о у £ А+;
(2) Если к ф 0 и f ф 0, то ж о у £ А+ тогда и только тогда, когда
а 0 . ч
+ < 2(1 + вш{р),
где (р — угол между h и /.
<1 Рассмотрим х о у = (af3 + (h, /),«/ + j3h). Согласно 2.2 х о у £ А+ тогда и только тогда, когда
aP + (hj) ^ \\af + Ph\\. (2.1)
(1): Если х = (a,h) £ А+,у = (/3,f) £ A+ и h = 0, то неравенство (2.1) имеет вид:
ai3>\\af\\^i3>\\f\\. (2.2)
Последнее выполняется, так как у = (/3,/) £ При / = 0 рассуждения аналогичны.
(2): Пусть h ф 0,/ 0. Возводя в квадрат неравенство (2.1), получаем
а2/32 + (/г,/)2 + 2a/3(hJ) > а2||/||2 + P2\\h\\2 + 2a/3(hJ). Учитывая, что (h,f) = ||/i||||/|| cos 93, где 93 — угол между h и /, имеем
а2/?2 + ||/i||2||/||2cosV > а2||/||2 + P2llhn2
или
Обозначив (a/||/i||)2 = а, (/3/Ц/Ц)2 = Ь, cos2 93 = t, заметим, что a, b > 0, 0 ^ t ^ 1. Более того, так как х = (a,h) € А+,у = (ft,f) € А+, то а,Ь ^ 1. Таким образом, последнее неравенство примет вид ab + t — (а + b) ^ 0. Поскольку (а + Ь)2 ^ 4аЬ, то
а + b ^ ab + t, — (а + Ь)2 sg
значит, 4(а + Ь) — (а + Ь)2 si t. Таким образом, получаем
2 - 2>/l -i < a + b < 2 + 2л/1 - i, a + b < 2 + 2л/1 - i,
откуда выводим
а /3 п.--ск 8
ТТТТ + ТГ7ТТ ^ 2 + 2л/1 — í ТТГТТ + ТГ7ТТ ^ 2(х + $Ш(Р)- >
2.5. Заметим, что (Ж х Я, || • ||)* = (Ж х Я, || • Цоо), где ||(/0,/)||оо = вгар{|/3|, Двойственность между 4 = 1хЯи его сопряженным задается формулой
<(а,/0,03,/)> =а0 + (Л,/).
Конус А+ совпадает с круглым конусом K(F, 1/2), где G ^4*, F = (1,0). <1 Действительно,
1ВД1/2) = {(«, Л) = <(«, Л),(1,0)> > (|а| + ||Л||)/2} = {(а, К) : а > (|а| + ||Л||)/2}
= {(а,h) : a > ||/i||} = Л+. >
2.6. Конус А+ строго регулярен.
<¡ Пусть ±х ^ у,х = (a,h),y = (/3,/). Имеем
0 < у - я = (/3 - а, / - Л) =>■ /3 - а > ||/ - h\\ > ЦЛЦ - ||/||, 0^y + x = (fi + a,f + h) + Ц/ + ЛЦ > 1НЫ1/Н,
следовательно,
/3+Ш-ЦЛЦ ^а, >3 +11/11 - ||Л|| ^
Отсюда получаем /3 + ||/|| — ||/г|| ^ \а\, т. е. |/3| + ||/|| ^ |а| + ||/г|| или, что то же самое,
1Ы1 > INI-
Возьмем произвольный х = (а, К) и рассмотрим два случая.
1. Пусть \а\ ^ ||/г||. Если а ^ 0, то полагаем у = ж; если а < 0, то — у = (—a,h). В обоих случаях ±ж ^ у и ||ж|| = ||у||.
2. Пусть |а| < ||/i||. Тогда \\h\\ > 0. Возьмем у = (||/i||,ah/\\h\\). Убедимся, что ±х ^ у и ||ж|| = ||у||. Действительно, у±ж = (\\h\\±a,ah/\\h\\±h) и ||/i||±a ^ ||/i(a¡± ||^||)/||/i|||| = \\h\\ ±а, т. е. ±х ^ у. Кроме того, ||у|| = \\h\\ + |а|||/г||/||/г|| = ||ж||. >
2.7. Для любого х G А (х ^ ±^4+) положим
{ж}+ = i « G А+ : и = у е у > ±ж, ||у|| = ||ж|| L
= G А+ : v = у ±х, ||у|| = ||ж|
Тогда согласно 2.6 для элемента х = (a, К) имеем
« = = \ ( (||Л||, щ) + («, Kyj =\(а+ \\h\\) (l, = (а + |\h\\)P(x),
v = x- = ^ = m-<x)P4x),
где Р(х) = ^(l,Л/||Л||) и Р^-(х) = ^(1, —/i/||/i||). При этом Р и Р1- — ортогональные проекторы, т. е. Р2 = Р, (PL)2 Г и По Г П.
Утверждение. Конус А+ является н-дизъюнктно разложимым.
<1 Пусть х = (a,h). Если \a\ ^ \\h\\, то при а > 0 имеем х G А+, х = х ^ 0, ж_1_0, а
R
при а < 0 будет х = 0 — (—a, —h), О _L(—a, —h).
R
Если \а\ < \\h\\, то х = х+ — Покажем, что х+ т. е. ||ж+ = ||ж+ — tx-\\
R
для любого t ^ 0. Действительно,
||ж+ + tx-\\2 = ||(ж+ + tx-)21| = ||ж+ + i2x2_\\] ||ж+ - tx-1|2 = ||(ж+ - te_)2|| = \\х2+ + t2x2_ 11, >
2.8. Вычислим расстояние от произвольного элемента х G А до конуса А+. Пусть х = (a,h) G А. Ясно, что если а ^ ||/i||, т. е. х G А+, то d(x,A+) = 0, и ближайшим к элементу х в конусе А+ является он сам. Если х = (a,h) и а ^ —||/i||, то х G ||ж|| = |а| + ||/г|| и ближайшим элементом является 0. Пусть теперь |а| < ||/i||. Тогда, согласно пункту 2.7 х = х+ — где = (а + ||Л||)Рж, Ж— = (\\h\\ — а)Рх±, где Рх = ^(1,/г/||/г||) и Рх1- = ^(1, —h/\\h\\). Покажем, что сопряженным к конусу А+ в сопряженном пространстве (Ж х Н, || • ||оо) будет конус А+, т. е. А*+ = А+.
В самом деле, если (/3, /) G А+, то для любой пары (a, h) G А+ имеем ((a, h), (¡3, /)} = a/3+(h, /) > IN|||/|| + (/i, /) так как а > ||/i|| и /3 > ||/||, т. е. С Наоборот, пусть (/3,/) € т. е. для любой пары (а, /г) £ А+ имеем а/3 + (h,f) ^ 0. Если / = 0, то для (а, Л) = (1,0) получим /3 > 0, т. е. (/3,0) G Пусть / ^ 0 и возьмем (а, Л) = (1, —//||/||). Тогда (а,Л) G ^4+ и /3 > ||/||, т. е. (/3,/) G Тем самым установлено А+ = А*+.
Докажем теперь, что элемент является ближайшим к элементом конуса А+. В силу следствия 2.2.14 из [4] достаточно предъявить линейный функционал F G А*+, такой что F(x+) = 0 и F(x-) = ||ж_||. Таким функционалом является F = (1,/i/||/i||). Действительно,
FeA%, ||F|| = sup < |1|
-h
— X ^ ^¡с J — 0 ^
*■(*-) = ((11М1 -0)^(1,щ), (1,щ)) = 1Н -« = 11.-11.
Следовательно, в случае |а| < ||Л|| имеем с1(х,А+) = ||ж_|| = ||Л|| — а, а ближайшим элементом является
1 / И
х+ = -(« + ||/г||)( 1,
Так как А+ = {г2 : г £ ^4}, то для любого элемента х = (а, ¡г) £ А ближайший квадрат находится по формуле:
если х € А+, если х € —А+, г2 = ^(а + ||Л||)(1, тщт), если х ^ ±А+.
3. Эквивалентность алгебраической ортогональности и ортогональности по Роберу
Исследуем связь между алгебраической ортогональностью элементов х и у абстрактного спин-фактора (т. е. когда х о у = 0) и ортогональностью по Роберу (т. е. когда 11ж + %II = 11ж — %11 Для каждого I ^ 0). Покажем, что если а/3 ф 0, то эти понятия равносильны.
3.1. Рассмотрим сначала случай, когда а/3 = 0.
1. Пусть а = 0. Имеем (0,Л) о (/3,/) = ((Л, /), ¡ЗК) = 0, что возможно лишь при /1_1_/
и ¡3 = 0 или Ь, = 0. Ясно, что если Ь, = 0, то х = 0 и алгебраическая ортогональность
равносильна ортогональности по Роберу. Если же Ь, ф 0, то ¡3 = 0 и /1_1_/. С другой
стороны, если , то для любых Ли ¡3 имеем (0,Л) _1_ (/3,/)• В самом деле,
н,
\\х + гу\\ = \\(0,к + гт = \щ + \\к + гп,
\\х-гу\\ = \\(-0,к-гт = \-щ + \\к-гп.
Так как в гильбертовом пространстве обычная ортогональность совпадает с ортогональностью по Роберу [4], то ||/г + = ||/г — для I ^ 0 и, значит,
\\х + гу\\ = \\х-гу\\
т. е. х _1_ у. Следовательно, при а = 0 в случае, когда ¡3 ф 0, hJ-f и Ь, ф 0 имеем: х _1_ у,
н, н,
но х о у ф 0, т. е. ортогональность по Роберу не влечет алгебраическую ортогональность
(хотя обратное имеет место). Случай /3 = 0 рассматривается симметричным образом.
2. Пусть / = 0 (или к = 0). Имеем: (а,К) о (/3,0) = (а/3,¡ЗК) = 0, если /3 = 0 (т. е. у = 0) или /3 ф 0 и одновременно а = 0, Ь, = 0. С другой стороны, так как
||ж + %|| = || (а + ¿/3, К) || = \а + Щ +
||ж — %|| = ||(а — ^/3, 1г)\\ = |а — ^/3| +
то ж_1_у тогда и только тогда, когда |а + ^/3| = |а — ^/3| для любого I. А это возможно н,
только в том случае, если /3 = 0 или а = 0. И мы приходим к уже рассмотренному выше случаю.
3.2. Пусть теперь а/3 ф 0 и / ф 0 (так как случай / = 0 приводит к а = 0 или /3 = 0).
Теорема. Пусть х = (а, Л) € А, у = (¡3, /)е4я а/3 ф 0, ф 0. Тоща эквивалентны следующие утверждения:
(1) хоу = 0;
(2) ®_|_у.
ТУ
к
<1 (1) ==>• (2): Пусть ж о у = 0. Для всех t ^ 0 имеем
\\x + ty\\2 = ||(ж + %)2|| = \\х2 + t2y2\\;
||® — ty||2 = || (ж — %)2|| = ||ж2 + i2y2\\,
т. е. ||ж + %|| = ||ж —ij/Ц. Отметим, что импликация (1) ==>• (2) верна для любых ж, у G А. (2) =• ( 1 ) : При t ^ 0 имеем
II® + %ll = IK« + 0, h + tf) || = |а + Щ + || h + tf У;
||ж - %|| = ||(«-tp, h - tf) || = |a - tp | + || h - tf ||.
Так как ж_1_у, то \a + tp\ — \a — tp\ = ||h — tf || — ||h + tf || (t > 0). Положим <p(t) = r
\a + tp| — \a — tp| при t ^ 0. Рассмотрим два случая 1. Пусть sgna = sgn/З. Тогда to = ot/P > 0 и
<p(t) = (a + tp) sgna — (a — tp) sgna = 2t\P\, если 0 ^ t < to, (3.1)
<p(t) = (a + tp) sgna + (a — tp) sgna = 2|a|, если t > to- (3.2)
Отсюда ||h — tf\\ = ||h + tf || + 2|a| (t ^ to). Возведя в квадрат обе части, получим
-(h,f) = \a\\\h/t + f\\+a2/t, tZh.
При t —+оо получаем —(h, f ) = |a|||/||, откуда |a| = —(h, /)/||/||- Далее, имеем
^t{hJ) = J'Wllh + m + ZÎ7¥~
Так как (h,f) ф 0 (иначе a = 0), то -i||/||2 = -||h + tf\\\\f\\ + (h,f) или ||h + i/|| = Il ¿/Il + (h, //Il/II)- Вновь возводя в квадрат, будем иметь
Поскольку случай h = 0 исключается тем, что по предположению a ф 0 и Р ф 0, получаем h = А/. При этом, |а| = —(А/, /)/||/|| = —А/, поэтому А < 0.
Пусть /л = —А, /л > 0. Тогда h = —fxf и |a| = /i||/|| = ||/i||. При 0 ^ t < to, согласно (3.1) будет \\h-tf\\ - \\h + tf\\ = 2t\P\, откуда \\~nf-tf\\ = \\~nf + tf\\ + 2t\P\ или (/i + i)||/|| = I/-4-¿111/11 +2t\P\. Для всех t > 0, t ^ /i, будем иметь (/i + t)||/|| = (/i — i)||/|| + 2t|/3|. Значит,
11/11 = 2|0|-||/1И \P\ = \\f\\.
Поскольку sgna = sgn/3, то либо a = \\h\\ и p = ||/||, либо a = —\\h\\ и p = —1|/||. В первом случае имеем
» = (И/И,/> = ll/ll(i.^)
и при этом ж о у = 0. Во втором случае будет и снова ж о у = 0.
2. Пусть sgna = — sgn¡3. Рассмотрим (a, h) и —{¡3, /). Если (a, h) _L(/3, /), то
r
(a, h) _L(—/3, —/) и так как теперь sgna = — sgn/3, то в силу предыдущего пункта верно r
х о (—у) = 0, значит, х о у = (), что и завершает доказательство. >
Следствие. Пусть х,у G ф 0, у 0. Тогда х о у = 0 в том и только в том
случае, когда х _L у = 0.
r
4. Описание множеств положительных и отрицательных частей элемента
Дадим теперь явное описание множеств \Х\, Х+, М(х) для произвольного элемента х = (a, h) G А.
4.1. Пусть ж G А+, т. е. а ^ ||/г||. Если у = (7,/), то 7 - а ^ II/ — ^11) так как в рассматриваемом случае соотношения у ^ ±ж иу ) i равносильны. Пусть при этом ||у|| = ||ж||, т. е. 7 + 11/11 = « + \\h\\ или 7 - a = \\h\\ - ||/||. Тогда \\h\\ - ||/|| > ||/ - h\\ > ll^ll — 11/11) откуда получаем ||/ — /г|| = Ц^Ц — ||/||. Возведение в квадрат последнего равенства приводит к соотношению (/, h) = ||/г||||/||, которое влечет / = Л /г, где Л ^ 0. Так как \\h\\ > ||/||, то \\h\\ > Л||/г||, стало быть, Л ^ 1. Тем самым 7 = a + ||/г||(1 — Л). Таким образом, элемент у = (а: + ||/г||(1 — Л), Л/г), где 0 ^ Л ^ 1, обладает свойствами: у ^ х и ||у|| = ||ж||. Следовательно, получаем формулы:
\Х\ ={(а+||/г||(1 — Л), Л/г) : 0 < Л < 1}, Х+ = |(а + Ь^||/г||,^1/г) : 0 < Л < l|,
= |(^||/г||,^/г) : 0 ^ Л ^ l|,
М(х) = {(а, /г)}.
Отметим, что в этом случае М(х) С Х+ и М(х) П Х+ = М(х).
4.2. Пусть х G —А+, т. е. х = (—а, —/г), где (а,/г) G т. е. а ^ ||/г||. Предположим, что у ^ ±ж и ||у|| = ||ж||. Тогда у ^ (a, h) и согласно 4.1 будем иметь у = (а + ||/г||(1 — Л), Л/г), где 0 ^ Л ^ 1, стало быть, справедливы формулы:
\Х\ ={(а+||/г||(1 — Л), Л/г) : 0 < Л < 1},
= : 0 ^ Л ^ lj>.
В силу монотонности нормы на конусе, М(х) содержит (0,0) и, значит, d(x, А+) = а+||/г||.
Пусть (7,/) G М(х). Тогда 7 > ||/|| и ||(7,/) - (-а, -Л)|| = ||(7,/) + (а,Л)|| = а+ ||/г||, откуда 7 + a + ||/ + /г|| = a + ||/г||. Используя те же соображения, что и в 4.1, выводим:
IHI-II/K 11/ + Л11 = 11Л||-7< INI-11/11 =>
II/ + h\\ = \\h\\ - 11/11 => (/, h) = —||/г|| 11/11 =>/ = -£/» 0).
Тем самым ||/ + h|| = |1 — ß\\\h\\ = ||/г|| — ß\\h\\ = ||/г||(1 — /3), значит, ß ^ 1. Кроме того,
7 = II/II = ß\\h\\-
Итак, если (у,/) G М(х), то (у,/) = (/3||/г||, —ßh), где 0 ^ /3 ^ 1. Стало быть,
М(х) = {(ß\\h\\,-ßh) : 0^/3^1},
Как видно, М(х) D Х+,М(х) П =
4.3. Рассмотрим теперь основной случай, когда х ^ ±А+. Пусть х = (a, h) и \а\ < ||/г||. Предположим, что (7,/) G А+ и (7,/) ^ ±(а,/г), причем ||(7,/)|| = ||(а,/г)||, т. е. 7+ II/II = M + 11^11- Тогда справедливы неравенства
7 + «>11/ + Л.||>ЦЛ|Ы1/11-
Отсюда при а ^ 0 получаем ||/г|| — ||/|| = у — \а\ = у — а ^ ||/ — h\\ ^ ||/г|| — ||/||, поэтому II/ — /г|| = ||/г|| — К/)) и, в частности, ||/г|| ^ ||/||. Вновь рассуждая как в 4.1, приходим к равенству (/,/г) = ||/г||||/||, следовательно, / = Л/г, А ^ 0.
Поскольку 7 + Л||/г|| = |а| + ||/г||, то ||/г|| — Л||/г|| = (1 — Л)||/г|| >0, стало быть, 0 ^ А ^ 1 и 7 = (1 —А)||/г|| + а. Итак, (у, /) = ((1 —А)||/г|| +а, Л/г), где 0 ^ А ^ 1, при а > 0. При этом II(7î/)II = INI (Т)/) ^ (et, h). Из условия (7,/) > —(a, h) вытекает (1 — Л)||/г|| + 2а > (1 + Л) Il h II, поэтому Л ^ а/II/г II-
Итак, при а > 0 (7,/) = ((1 — Л)||/г|| + а, Л/г), где 0 ^ А ^ а/||/г||. Если а < 0, то INI - 11/11 =! + <*> \\f + h\\Z \\h\\ - II/II, значит, \\f + h\\ = \\h\\ - ||/|| и (f, h) = -ЦЛЦЦ/Ц, откуда / = —Л/г, Л > 0. Тогда 7 + а = ||/г|| — Л||/г|| = (1 — Л)||/г|| > 0 и, стало быть, 0 ^ А ^ 1, 7 = (1 — Л)||/г|| — а. Кроме того, из неравенства (7,/) ^ (a, h) вытекает (1 — Л)||/г|| — 2а > (1 + Л)||/г||, поэтому Л ^ —а/||/г||. Объединив оба случая а > 0 и а < 0, находим
\Х\ = |(1 - Л)||/г|| + |а|, Лsgnah) : 0 < Л < M}.
Выведем другую формулу для |Х|. Поскольку множество |Х| выпукло и содержит элементы (||/г||,а/г/||/г||) и (|а| + ||/г||,0), то оно содержит и соединяющий их отрезок, т. е. множество
{^(^И'щ) +(l-/i)(l«l + H,0) : 0^/i^lj
= I (||/г|| + (1 - „)|а|, ^ : 0 < „ < 1} =: |Х|.
Покажем, что |Х| = |Х|. Включение |Х| С |Х| очевидно. Обратно, пусть 0 ^ Л ^ |а|/||/г||, а > 0, и возьмем элемент ((1 — Л)||/г|| + а, Л/г). Если положить \х\= А||/г||/а, то 0 ^ ¡и ^ 1 и
(||Л|| + (1 - м)|«|, ^щ) = (« - Л||/г|| + \\h\\, Л||/г||) = ((1 - Л)||/г|| + а, Л||/г||). Пусть а < 0, 0 ^ Л ^ |а|/||/г|| и положим ц:= —Л||/г||/о;. Тогда 0 ^ 1 и
(||Л|| + (1 - м)|«|, ^щ) = (-(« + Л||Л||) + ||Л||, -ЛЛ)
= ((1 -X)\\h\\ — а, —ЛЛ,) = ((1 -X)\\h\\ + |a|,Äsgn ah).
Наконец, если а = 0, то получаем (||Л||,0). Этот же элемент принадлежит |Х| при а = 0. Следовательно, требуемое равенство обосновано. Соответствующие формулы для Х+ и А" имеют вид:
Х+ = Ц ((1 - fj,)\a\ + а + \\h\\, ',',"") : 0 < fj, < 1
= ^Н - « + INI, (Pa:}^)h ) : 0 ^ ^ 1
Опишем теперь множество М(х) = {Рх : Рх — х G для х = (a,h), \а\ < ||Л||. Пусть (ft, g) G А+ удовлетворяет равенству \\(ft,g) — (a, h) || = d(x,A+) = ||Л|| — а. Тогда \@—ot\ + ^11 = ||/г|| —аи/0—/г||, поэтому /г|| = ||Л|| ^/3 и /3 ^ \\h\\. Возведение в квадрат последнего равенства дает ||д||2 — 2(g, h) = /З2 — 2/ЗЦЛЦ, где ||g|| ^ /3 ^ \\h\\. Так как min{/32 — 2/0ЦЛЦ : ||д|| ^/3 ^ ||Л||} достигается при /3 = \\h\\, то тах{/32 — 2/0ЦЛЦ : ||д|| ^ Р ^ 11^11} = 1Ы12 — 2||<7||||Л||, следовательно,
||9||2 - 2(g, Л) < ||g||2 - 2\\g\\\\h\\ => Ы||Л|| > (g, h) > \\g\\\\h\\ => (g,h) = \\g\\\\h\\^g = \h,\>0.
Кроме того, ||g|| = X\\h\\ ^ \\h\\, значит 0 ^ Л ^ 1. Отсюда /3 = \\h\\ — \\g — h|| = \\h\\ — (1 — X)\\h\\ = Л11 Л, 11, стало быть, (j3,g) = (А||Л||, Xh), где 0 ^ A ^ 1. Но с другой стороны /0 — о; ^ ||АЛ — Л|| = (1 — А)||Л||, а как как /3 = А||Л||, то получаем А ^ °2[jl.[f ■ Итак, имеет место представление
М(х) = {(А||Л||,АЛ) : ^^ < А < l}. (4.2)
Действительно, (А||Л||, Xh) G А+. Кроме того, (А||Л||,Аh) — (a,h) = (A||/i||—ck, (X—l)h) и •а,(А-1 )Л) = |А||Л|| —а| + (1 —А)||Л||. Так как А > ^ff, то ХЩ^а > =
Щ^, то \X\\h\\ - а\ + (1 - X)\\h\\ = А||Л|| - а + \\h\\ - А||Л|| = \\h\\ - а = d(x,A+), т. е. формула (4.2) справедлива.
Найдем множество Х+ П М(х). Пусть ^ А ^ 1. Подберем 0 ^ ц ^ 1 так, чтобы
(1 -/¿)|а| + ||Л|| +а _ (ца + м..м/.. _
2 "А||Л||; Щ\
Из второго равенства при а ф 0 выводим ¿ц = ||Л||(2А — 1)/а. Из первого равенства получаем (1 — ¡л)\сх\ = (2А — 1)||Л|| — а. Если а > 0, то отсюда выводим ц = (2а — (2А^ 1))||Л||/а. Приравняв оба найденных для ¿ц выражения, получим (2А — 1)||Л||/а = 1,
Откуда А = 2||/г|| '
Таким образом, /Ц = 1 и элемент на котором достигается расстояние от х до А+, имеет вид
_ /||Л|| (а +
2 ' 2||Л||
Пусть а < 0. Тогда ц = При этом, при а < 0 имеем < щщу = Так как
0 ^ /и ^ 1, то ^ А ^ Следовательно, при а < 0 множество Х+ ПМ(х) имеет вид:
Х+ПМ(х) = {(А||Л||,АЛ) : < А < 1
Если а = 0, то Х+ = {(||/i||/2, h/2)} и
М(х) = {(A||/i||,A/i) : 1/2 ^ Л ^ 1}, Х+Г\М(х) = Х+.
Таким образом, множества \Х\, Х+, М(х) описаны для всех х £ А.
Отметим, что для каждого х G А множество Х+ П М(х) не пусто. Для х G А+ и X ^ ±А+, X = (a, h), а ^ 0 множество Х+ П М(х) состоит из одного элемента, в остальных случаях представляет собой линейный сегмент.
Своим интересом к порядковым свойствам абстрактного спин-фактора авторы обязаны А. Г. Кусраеву, которому они выражают благодарность за внимание к работе и полезные советы.
Литература
1. Булях Б. 3. Введение в теорию конусов в нормированных пространствах.—Калинин.: Изд-во КГУ, 1977.-84 с.
2. Вулих Б. 3. Специальные вопросы геометрии конусов в нормированных пространствах.— Калинин.: Изд-во КГУ, 1978.—84 с.
3. Кусраев А. Г. О структуре AJW-алгебр тпиа Ь // Сиб. мат. журн.—1999.—Т. 40, № 4.—С. 905-917.
4. Худалов В. Т. Упорядоченные банаховы пространства и их приложения.—Владикавказ: Иристон, 1999.-200 с.
5. Ajupov Sh. A., Usmanov Sh. M., Rakhimov A. A. Jordan real and Li structures in operator algebras.— Dordrecht: Kluwer, 2001.—225 p.
6. Alisen E. M., Shultz F. W., Stürmer E. A Gelfand-Neumark theorem for Jordan algebras // Adv. Math.—1978.—V. 28, №. l.-P.11-56.
7. Topping D. M. Jordan algebras of self-adjoint operators // Mem. Amer. Math. Soc.—1965.—V. 53.-48 p.
Статья поступила 16 января 2004 г-Коробова Карина Валерьевна
г. Владикавказ, Владикавказский институт управления E-mail: [email protected]
Худалов Владимир Темирсолтанович, к. ф.-м. н. г. Москва, Московский автодорожный институт — Государственный технический университет; Институт прикладной математики и информатики ВИЦ РАН
