О геометрии регулярных круглых конусов в пространствах l^n_1 и l_1 Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал Апрель-июнь, 2003, Том 5, Выпуск 3

УДК 517.98

О ГЕОМЕТРИИ РЕГУЛЯРНЫХ КРУГЛЫХ КОНУСОВ В ПРОСТРАНСТВАХ Щ И 1г

К. В. Коробова

В работе исследуются геометрические свойства регулярных круглых конусов в пространствах I" и 1\. Доказано, что любой регулярный круглый конус является н-дизъюнктно разложимым. Получены явные формулы для вычисления расстояния от точки до любого регулярного круглого конуса. Установлена связь между нормой элемента и расстоянием от точки до конуса.

1. Предварительные сведения

В настоящей работе мы следуем терминологии по геометрии конусов в банаховых пространствах из монографий [1-3]. Целью данной статьи является изучение некоторых геометрических свойств регулярных круглых конусов в пространствах I" и Ь • Приведем необходимые определения и факты.

1.1. Пусть Е — банахово пространство над полем действительных чисел Ж, Е+ — конус в Е. Конус Е+ называется регулярным, если выполнены следующие условия:

(1) ±х ^ у =4» ||ж|| ^ ||у|| для любых х,у € Е,

(2) для любого х £ Е и любого е > 0 существует у £ Е+ такой, что ±ж < у и

||уК(1 + е)1И|.

Если условие 2 выполнено при е = 0, то говорят о строго регулярном конусе. Таким образом, регулярный конус Е+ называется строго регулярным, если выполнено условие

(2') для любого х £ Е существует у £ Е+ такой, что ±ж ^ у и ||у|| = ||ж||.

Если Е упорядочено замкнутым строго регулярным конусом Е+, то пишут (Е, Е+) £ (Ж), см. [3].

1.2. Напомним один общий метод построения конуса в произвольном банаховом пространстве. Пусть X — банахово пространство, / £ X* — произвольный непрерывный линейный функционал на X такой, что ||/|| = 1. Для любого а £ (0,1] определим

К($,а) := {х € X : /(ж) ^ а||ж||}.

Конус Ки,а) замкнут, нормален и несплющен [3].

Если Н — гильбертово пространство над Ж, то для любого а £ Н, ||а|| = 1, конус К (а, а) имеет вид:

К (а, а) = {х € X : (а,х) ^ а||ж||}.

Если &\тН > 1, то для любого а £ Н, ||а|| = 1, конус К (а, а) строго регулярен в Н тогда и только тогда, когда а = см. [3].

© 2003 Коробова К. В.

1.3. Отметим, что класс регулярных конусов в пространствах Щ и 1\ совпадает с классом строго регулярных конусов [3]. Данная работа опирается на следующее описание всех регулярных круглых конусов, полученных в [4].

Теорема. Конус K(f, а) является регулярным вЩ,п> 1, только при двух значениях a £ (0,1]:

(1) при a = 1 каждая координата вектора / = (/ь /г, ■ ■ ■, fn) равна +1 или — 1; при этом имеется 2П конусов, порождающих упорядоченные банаховы пространства, порядково изоморфные и линейно изометричные пространству Щ с естественным конусом положительных элементов;

(2) при a = 0,5 одна из координат вектора / = (/ь/г, ■ ■ ■,/п) равна ±1, а все остальные — нули; при этом имеется 2п конусов, порождающих упорядоченные банаховы пространства, порядково изоморфные и линейно изометричные пространству If с конусом

К\ = {х = (xi,x2, ...,xn): xi > \х2\ Н-----Ь \хп\}.

1.4. Пусть (Е 5 E-j-) £ (£И). Для любого х £ Е обозначим через |Х| множество элементов у £ Е таких, что ±ж ^ у и ||ж|| = ||у||. Положим

Множества Х+ и А" называются множествами положительных (соответственно отрицательных) частей элемента х. Если у £ \Х\, т. е. ±х ^ у и ||у|| = ||ж||, то положим х+ = 1/2(у + х), х_ = 1/2(у — х), \х\ = + х-. Из определения следует, что \х\, х+ и Ж— £ Е, \х\ ^ ±ж, причем

X — X X — ^ | X | — X | X — ^ 11X X — 11 — 11X | X — || X11 — 111X1111

1.5. При вычислении расстояния от точки до конуса воспользуемся следующим результатом из [3].

Утверждение. Пусть (Е,Е+) £ (£Н) н .г (f Е+. Элемент £ Е+ является ближайшим к х элементом конуса Е+ тогда и только тогда, когда существует / £ ||/|| = 1, f(x+) = 0, f(x-) = ||ж_||. В этом случае d(x,E+) = ||ж_||.

1.6. Пусть Е — банахово пространство над Ж со строго регулярным замкнутым конусом Е+. Элементы ж, у £ Е+ называются п-дизъюнктпыми или ортогональными по

Роберу (обозначается х _L у), если ||ж + Ау|| = ||ж — Ау|| для любого А ^ 0. Если Ух £ Е

R

найдутся Х- такие, что х = — и _L то конус Е+ называется н-дизъюнктно

R

разложимым [3].

2. Основные результаты

2.1. Рассмотрим конус K(f,a) в пространстве I" (п гДе а = 0,5 и функционал / имеет j-ую координату, равную единице, а остальные координаты нулевыми. Обозначим такой конус через Kj. Как отмечено в 1.3, конусами типа ±Kj исчерпываются все нерешеточные конусы в этом пространстве [4]:

_/ _ » 1

Kj — \ х — (xi,..., хп) £ li : Xj ^ У ^ \xi\ > .

I ¿=1 ,гф] J

В дальнейшем рассматриваются конусы типа Kj, так как для конуса —Kj рассуждения аналогичные.

2.2. Теорема. Пусть € (£Н). Произвольный элемент х € 1Г{ можно пред-

ставить в виде разности х = х+ — X-, где х+ и ортогональны по Роберу. При этом х+ является ближайшим к х элементом конуса Kj и расстояние d(x,Kj) равно норме элемента . Кроме того,

(1) если х принадлежит конусу то х+ = х, = О,

(2) если —х принадлежит конусу то х+ = 0, = х,

(3) если ±х не принадлежат конусу то положительная и отрицательная части вычисляются по формулам:

_ А + Xj I Х\ Х2 —1 -1 1

- —^I-'I"'---'^-'1'^-'---'!-

, _ ■ _ ч (1)

_ ^ Х-j I Х\ Х2 -1

Ж- - —

где А = Yl'^j

n

<1 Обозначим через А = \xi\i тогда конус имеет вид Kj = {х : Xj ^ А}. Случаи

¿=М Фз

(1) и (2) очевидны. Рассмотрим случай, когда ±ж не принадлежат конусу. Покажем, что

• _др ■

х = х+ — х-. Действительно, j-ая координата вектора х+ — равна 2 3 — 2 3 = Xj, а любая другая i-ая координата вычисляется

A + Xi хг А - Xj - + Axt - x

2 А 2 T = 2Л = ~2A = Xl'

Покажем, что найденные и лежат на границе конуса Kj. Действительно,

n I I

1 > L — -А - л

г=1,гфЗ

Докажем, используя утверждение из пункта 1.5, что является ближайшим к х элементом конуса и = ||ж_||. Для этого найдем функционал / £ К*, ||/|| = 1,

такой что f(x+) = 0, f(x-) = ||ж-||. В нашем случае этот функционал имеет вид

/ = (/ь/2, ■■■,/«), где /» = < еСЛИ [

[^п(Жг), если ъф].

Действительно, / £ К?, так как для любого х = (х\,х2, ■ ■ ■ ,хп) £ К^, имеем

п п

¡(х)=х3- щъ{хг) = х3- ^ Ы > О,

11

и х принадлежит конусу, т. е. х^ ^ ^ \xi\- Кроме того, ||/|| = 1, так как

г='1,гфЗ

вирЦ/г], ъ = 1,,,,, п} = 1. Нетрудно видеть, что f(x+) = 0. Действительно:

f(x+) = ^ Х3 — ^ хз | + ^ + ... + Ж3+1 | |

2 2 \ Л Л

п

Е 8ёп(жг)жг

Л + Л + i=\j,фj

Е

Л + Х^ А + Х^ 1=1,1фз

А

А

А х у А "™|~ х у А А ~ х у А ~ х у

= 0.

2 2 Л 2 2

Остается показать справедливость равенства /(ж_) = ||ж-||. Вычисления аналогич-

ные вышеприведенным дают

Я®-) =

-¿4 о ,/4. х >1 ^ 1С 2

+ —г- + ••• +

Л Л

Л

+

Л

+... +

Хг

А

Е щ^{хг)хг Е N

Л — X] А — X^ г=1,гф] _ А — Х^ А — X^ г=1 ,гф]

2 2 Л 2 2

-¿4 о ,/4. х >1 Л Л о Л 1 * м

** __** . _ ____- Л _ гр . - гр

— „ . --„ „ - -¿а -} - «x/ _

2 2 Л 2 2 3 11

Л

Таким образом, условия утверждения из 1.5 выполнены и £ К^ является ближайшим к х 0 Кз элементом конуса К^ и с1,(х,К^) = ||ж_||.

Покажем н-дизъюнктность элементов и определяемых формулами (1). Справедливы равенства

||ж+ + ЬХ — || =

Л х^ А х^

-1 + г-1

2 2

А х4 А — Х-}

—^ + г—^

+ Е

1=1,1фЗ

-¿4. .......|...... Xу А X2

~~ 2 Г

+ Е ^

1=1,гфз

А х^ А — х^ -- — I--

А х4 А — Х-}

Л "I- х^ А — х^ -- — I--

\\х+ — 1х-\\ =

Л х ^ А — х^

А I х >1 А х >1

Хг

А

А х4 А — Х-} -тт^- -1

А Х-} А Х-} + + г-г

Из этих вычислений следует, что ||ж+ + 1х-\\ = ||ж+ — т. е. элементы и х.

ортогональны по Роберу. >

2.3. Утверждение. Пусть х € I™, Щ упорядочено конусом К у Тогда

|ж|| = тах{с1(х, К^, с1(—х, К^} =

с1(—х,К^, если х^ > 0, с1(х,К^, если х^ < 0.

<1 Рассмотрим два случая. Случай \xj\ > А: если Xj > 0, то по теореме 2.2 (1) х = и ||ж|| = ||ж+|| = d(—x,Kj), а если Xj < 0, то по теореме 2.2 (2) х = —и ||ж|| = ||ж_|| = d(x, Kj).

Случай \xj\ < А: по формулам (1)

\ г=1,гф] А I 71 I

-¿А 00j I ^ ^ л |X'

1+ Е Чг)=А

2 \ ^ А

г=1,1фз

следовательно,

и

|ж|| = \xj \ + А = xj + А = ||ж+|| = d(—x,Kj) при xj ^ 0

\\х\\ = \xj\ + А =—Xj + А = \\х-\\ = d(x,Kj) при Xj < 0. >

2.4. Замечание. Теорема 2.2 и следствие 2.3 справедливы также для пространства 1\.

Литература

1. Вулих Б. 3. Введение в теорию конусов в нормированных пространствах.—Калинин.: Изд-во КГУ, 1977.^84 с.

2. Вулих Б. 3. Специальные вопросы геометрии конусов в нормированных пространствах.— Калинин.: Изд-во КГУ, 1978.—84 с.

3. Худалов В. Т. Упорядоченные банаховы пространства и их приложения.—Владикавказ: Иристон, 1999.^200 с.

4. Вишняков Ю. Г., Худалов В. Т. Описание всех регулярных круглых конусов в I" // Вестник СОГУ. Естественные науки.—1999.—№ 1.—С. 5-6.

Статья поступила 15 марта 2002 г. Коробова Карина Валерьевна

г. Владикавказ, Владикавказский институт управления E-mail: g_k_v®mail.ru