CC BY
11
Владикавказский математический журнал 2018, Том 20, Выпуск 1, С. 61-68
УДК 517.98
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЛВ\¥-ФАКТОРОВ
М. М. Ибрагимов, К. К. Кудайбергенов, Ж. X. Сейпуллаев
Посвящает,ся памяти профессора Ипомэюопа Гуламдэюаповича Гапиева
Одной из интересных задач теории операторных алгебр является геометрическая характеризация пространств состояний йордановых операторных алгебр. В середине 80-х гг. прошлого века появилась работа Я. Фридмана и Б. Руссо, в которой были введены гранево симметричные пространства, основной целью введения которых является геометрическая характеризация предсопряженных пространств ЛЗ*-троек, допускающих алгебраическую структуру. Многие из свойств, требуемых в этих характеризациях, являются естественными предположениями для пространств состояний физических систем. Такие пространства рассматриваются как геометрическая модель для состояний квантовой механики. Я. Фридман и Б. Руссо показали, что предсопряженное пространство для комплексных алгебры фон Неймана и более общих 1В*-троек является нейтральным сильно гранево симметричным пространством. В связи с этим Я. Фридман и Б. Руссо в основном изучали нейтральные гранево симметричные пространства, и в этих пространствах получили результаты, которые были раньше известны для предсопряженных пространств. В 2004 г. М. Нейл и Б. Руссо дали геометрические характеризации предсопряженных пространств комплексных 1В"\¥*-троек в классе гранево симметричных пространств. В тоже время описание вещественных 1В"\¥*-троек остается открытым вопросом.
Настоящая работа посвящена исследованию предсопряженных пространств вещественных 1В"\¥-факторов. Доказано, что предсопряженное пространство вещественного 1В"\¥-фактора является сильно гранево симметричным пространством в том и только в том случае, когда он либо абелев, либо является спин-фактором.
Б01: 10.23671/У]МС. 2018.1.11398.
Ключевые слова: банахово пространство, гранево симметричное пространство, 1В"\¥-алгебра, ДВ'^фактор, грянь.
Введение
Исследования гранево симметричных пространств связаны с геометрической харак-теризацией предсопряженных пространств ЛВ\¥*-троек, допускающих алгебраическую структуру, и восходят к работам Я. Фридмана и Б. Руссо [1, 2]. Аксиомы, требуемые в этих характеризациях, являются естественными предположениями для пространств состояний физических систем. Такие пространства рассматриваются как геометрические модели для состояний квантовой механики. Естественно, что предсопряженные пространства для комплексных алгебр фон Неймана и более общих ЛВ\¥*-троек являются нейтральными сильно гранево симметричными пространствами [3].
© 2018 Ибрагимов М. М., Кудайбергенов К. К., Сейпуллаев Ж. X.
В работе [4] были даны геометрическая характеризация комплексных гильбертовых пространств и комплексных спин-факторов, а также дано описание ЛВ\¥*-троек рангов 1 и 2, факторов Картана типа 1 и 4. Позже Я. Фридман и Б. Руссо в работе [5] получили описание атомических гранево симметричных пространств, и было показано, что нейтральное, сильно гранево симметричное пространство изометрически изоморфно предсопряженному пространству одного из факторов Картана типа 1-6. М. Нейл и Б. Руссо в [6] нашли геометрические условия, при которых гранево симметричное пространство является изометричным предсопряженному пространству ЛВ\¥*-тройки. В работе [7] доказано, что предсопряженное вещественной части алгебры фон Неймана является сильно гранево симметричным пространством в том и только в том случае, когда оно есть прямая сумма абелевой алгебры и алгебры типа /2.
Настоящая работа посвящена исследованию предсопряженных пространств вещественных ЛВ\¥-факторов. Доказано, что предсопряженное пространство вещественного ЛВ\¥-фактора является сильно гранево симметричным пространством в том и только в том случае, когда он абелев или спин-фактор.
1. Предварительные сведения
В этом параграфе мы даем необходимые сведения о гранево симметричных пространствах и вещественных JBW-факторах (подробно см. [2, 8]).
Пусть Z — нормированное пространство. Элементы ж, у G Z называются ортогональными, обозначение жОу, если
Уж + у|| = Уж - у|| = ||ж|| + ||у||.
Для подмножества S пространства Z положим
= {ж G Z : жОу (V у G S)}
и назовем S ♦ ортогональным дополнением к S. Выпуклое подмножество F единичного шара Zi = {ж G Z : ||ж|| ^ 1} называется гранью, если включение Ау + (1 — A)z G F, где у, z G Z1, A G (0,1), влечет у, z G F. Грань F из Z1 называется выставленной по норме, если
F = Fu = {ж G Zi : и(ж) = 1}
для некоторого u G Z* с ||u|| = 1. Элемент u G Z* называется проективной единицей, если ||u|| = 1 и и(у) = 0 при всех у G F^ (см. [1]).
Выставленная по норме грань Fu из Z1 называется симметричной гранью, если существует линейная изометрия Su из Z на Z такая, что S^ = I, и множество неподвижных точек которой в точности совпадает с топологической прямой суммой замыкания span Fu линейной оболочки грани Fu и ее ортогонального дополнения F„. Z
пространством), если каждая выставленная по норме грань из Zi симметрична (см. [1]).
u Z* Fu
Su*u = u Su Fu.
Z
(SFS-пространством), если для каждой выставленной по норме грани Fu из Zi и каждого v G Z* с ||v|| = 1 и Fu С F„ мы имеем SUv = v, где Su — симметрия, соответствующая Fu (см. [1]).
Пример 1. Известно [3], что гильбертово пространство H является SFS-простран-ством. Всякий элемент u G H с норм ой ||u|| = 1 является геометрическим трипотентом и Fu = {u}. Кроме того, симметрия Su, соответствующая грани Fu, определяется следующим образом:
Su(Xu + х) = Au — х, Au + х G span {u} ф ti1 = Я.
Банахово пространство A над полем действительных чисел R называется йордановой банаховой алгеброй (Ш-алгеброй), если в A введена операция умножения x о y (x, y G A), удовлетворяющая условиям (см. [8]):
1) x о y = y о x для любых x, y G A;
2) (x + y) о z = x о z + y о z для любых x, y G A;
3) A(x о y) = (Ax) о y для любых A G Ми x, y G A;
4) x2 о (y о x) = (x2 о y) о x для любых x, y G A;
5) ||x2|| = ||x||2 для любых x G A;
6) ||x2|| ^ ||x2 + y2|| для люб ых x, y G A.
A
странством, т. е. существует такое нормированное пространство A*, что (A*)* = A. Элементы x, y G A называются совместными (x о y), если x о (x о y) = x2 о y. Множество Z (A) = {x G A : x о y, V y G A} называется цен тром A. Если Z (A) = {A1, A G R}, то A называется JBW-фактором. Проекторы e и / из JBW-алгебры A называются связанными через симметрию, если существует такая симметрия s, что ses = /. A
1) тип I, если в ней существует точный абелев проектор;
2) тип II, если она содержит точный модулярный проектор и не содержит ненулевых абелевых проекторов;
III, H
(x, y), x, y G H. Рассмотрим декартово произведение A = R x H = {(a, x) : a G R, x G H} A
(a,x) о (в,y) = (ав + (x,y),ay + ^x),
где a, в G R, x, y G H. Норму в A определим по формуле
||(a,x)|| = |a| + ||x||2, a G R, x G H.
С этим произведением и нормой алгебра A является JBW-фактором с единицей 1 = (1, 0), который называется спин-фактором (см. [8]).
Заметим, что (R x H, || ■ ||)* = (R x H, || ■ ||те), где ||(в, y)||œ = тах{|в|, ||y||2}. Двойственность между A и его сопряженным A* задается формулой
((a, x), (в, y)) = ae + (x, y).
Отметим, что в работе [9] изучены геометрические свойства конуса положительных элементов в абстрактном спин-факторе. Установлена равносильность алгебраической ортогональности и ортогональности по Роберу.
2. Основной результат
Основным результатом работы является следующая
Теорема 1. Пусть А* — предсопряженное пространство к ,Ш\\г-фактору А. Тогда, следующие условия эквивалентны:
1) А* является БРБ-простралством;
2) А = Ж или А — спин-фактор.
< Доказательство теоремы вытекает из нижеследующих лемм 1-3. >
Лемма 1. Пусть А — спин-фактор. Тогда каждый геометрический тршютент и £ А имеет один из следующих видов:
а) и = (±1, 0);
б) и = (0, а), где ||а||2 = 1;
в) и = а) , где ||а||2 = т?.
< Пусть А — спин-фактор и и £ А, где и = (а, а), ||и|| = 1. Так как ||и|| = 1, то достаточно рассмотреть следующие возможные три случая:
Случай 1. Если |а| = 1, то и = (±1, 0). Пусть и = (1, 0) и (и, (в, у)) = 1, гДе (в, У) £ А*1. Тогда
1 = ((1, 0), (в, у)) = в.
Отсюда вытекает, что выставленная по норме грань единичного шара А*1, соответ-и,
^и = {(1,у): У £ Н, ||у||2 < 1}.
Таким образом, span Fu = А и F^ = {0}. Поэтому (u, F^) = 0, и u является проективной единицей. Так как span Fu = А, то отображение Su = I является изометрией на А* соответствующей выставленной по норме грани Fu. Следовательно, S*(u) = u. Значит, проективная единица u является геометрическим трппотентом. При u = (—1, 0) рассуждения аналогичны.
Случай 2. Если ||а||2 = 1, то u = (0, а). Пусть (u, (в, у)) = 1, где (в, у) G А*1. Тогда
1 = ((0, а), (в, у)) = (а, у).
Поэтому у = а и выставленная по норме грань Fu единичного шара А*1, соответствую-u,
Fu = {(в, а) : |в| < 1}.
Отсюда span Fu = span {(±1, а)}. Пусть (7, z) G . Тогда по определении ортогональности получим
тах{|в + y|, ||а + z||2} = тах{|в — Y|, ||а — z||2} = 1 + max{|Y|, ||z||2}.
Непосредственные вычисления показывают, что y = 0 и z = 0. Это означает, что
Fu = {0}. Поэтому (u, F„) = 0, и u является проективной единицей. Определим в А Su*
s* (в,у) = (в^: у),
где S** — симметрия в гильбертовом прострапстве H, соответствующая а (см. пример 1).
S S * А*,
соответствующая выставленной по норме грани Fu такой, что SU = /, при этом, множество всех неподвижных точек для Su совпадает с span Fu © Так как
SU(u) = а) = (а, S*а) = (а, а) = u,
то проективная единица u является геометрическим трипотентом.
Случай 3. Пусть |а| = 1, ||а||2 = 1 и (u, (в, у)) = 1, гДе (в, у) G A*i. Тогда
1 = ав + (а,у) < |а||вI + |(а,y)| < |а||вI + IHh||у||2 < |а| + IHh = 1. Отсюда 11у12 = |в| = 1. Пусть в = 1- Тогда выставленная по норме грань Fu имеет вид
Fu = {(1,У): ||У||2 = 1}-
Если (y, z) G то по определению ортогональности имеем
max{|1 + y|, ||у + z12} = max{|1 - y|, ||у - z||2} = 1 + max{|Y|, ||z||2}-
Нетрудно видеть, что z = —Yy. Это означает, что
F: = {(y, z) : z = —Yy}-
Покажем, что (u,F°) = 0 тогда и только тогда, когда a = IMI2 =
Действительно, из равенства aY — Y(а, у) = 0 вытекает, что а = (а, у). Поэтому из a + (а, у) = 1 имеем а = \.
С другой стороны, |а| + ||а||2 = 1, и поэтому ||а||2 = Значит, элемент u = ,
1Mb = \ является проективной единицей. Из равенств
(2а -у,2а-у)= 4(||а||2)2 - 4<а, у) + (||у||2)2 = 4- ^- 4^ + 1= 0
вытекает, что у = 2а. Поэтому
1
Fu = {(1,2а) : ||а||2 = 2
Следовательно, spanFu = span{(l,2a)} и F^ = {(7, —27a) : ||a||2 = •
Теперь, определив на A отображение S*, как и в случае 2, получим, что S* (u) = u. Это означает, что проективная единица u является геометрическим трипотентом.
Аналогично рассуждая при ß = — 1 имеем, что и = (—, ||а||2 = \, является геометрическим трипотентом. >
A A*
< Из доказательства леммы 1 вытекает, что для всякого Fu из A*i существует изо-метрия Su такая, что S^ = I, и множество всех неподвижных точек которой совпадает с span Fu © Fy . Поэтому А* является WFS-пространством. Кроме того, так как всякая проективная единица u G A является геометрическим трипотентом, то в силу теоремы 1 из [10] следует, что WFS-пространство A* является SFS-пространством. >
Лемма 3. Если A — JBW-фактор типа In (n ^ 3) или II или III,
A*
WFS-пространством.
< Если A — JBW-фактор типа In (n ^ 3), то по определению существуют ненулевые связанные через симметрии взаимно ортогональные проектоы ei,e2,e3 G A.
Если A — JBW-фактор типа II или III, то в силу [8, гл. I, предложение 2.10] также существуют ненулевые связанные через симметрии взаимно ортогональные проектор ei,e2,e3 е A.
4
Положим u = e1 + e2 — e3 и e4 = 1 — e1 — e2 — e3. Пусть A = ф e^Aej — разложение
i,j=1
A.
Достаточно рассмотреть два возможных случая:
Случай 1. Пусть e4 = 0. Тогда S* — сопряженное к симметрии Su действует на
3
ф eiAej по правилу i,j=1
1 x11 x12 x13
SU : I X21 x22 x23
1 V X31 x32 x33
x11 -x12 -x13
-x21 x22 -x23
-x31 -x32 x33
4
Случай 2. Пусть — 0. Тогда S* действует на ф eiAej по правилу
i,j=1
о*
о, ,
/ x11 x12 x13 x14 \ / x11 -x12 -x13 -x14 \
x21 x22 x23 x24 l_ -x21 x22 -x23 -x24
x31 x32 x33 x34 -x31 -x32 x33 -x34
V x41 x42 x43 x44 ) V -x41 -x42 -x43 x44 /
Возьмем элемент
( 1 1 1 0 \ 1110 1110 \ о о о о /
при в4 =0, последние строка и столбец отсуствуют. Тогда
x
£ © eiAe, i,j = 1
j
S* (x) —
( 1 -1 -1 0 \
-1 1 -10
-1 -1 1 0
V 0 0 0 0 /
Непосредственные вычисления показывают, что ||ж|| = 3 и = 2. Это означает,
что 5* не является изометрией па А. Следовательно, Би также не является пзометрп-ей. Значит, выставленная по норме грань ¥и не является симметричной. Поэтому А* не является \¥Е8-пространством. >
Литература
1. Friedman Y., Russo В. A geometric spectral theorem // Quart. J. Math. Oxford.—1986.—Vol. 37(2).— P. 263-277. DOI: 10.1093/QMATH/37.3.263.
2. Friedman Y., Russo B. Affine structure of facially symmetric spaces // Math. Proc. Camb. Philos. Soc.-1989.-Vol. 106(1).-P. 107-124. DOI: 10.1017/S030500410006802X.
3. Friedman Y., Russo B. Some affine geometric aspects of operator algebras // Pacif. J. Math.—1989.— Vol. 137 (1).—P. 123-144. DOI: 10.2140/pjm.l989.137.123.
4. Friedman Y., Russo B. Geometry of the dual ball of the spin factor // Proc. Lon. Math. Soc. Ill Ser.— 1992.—Vol. 65 (1).—P. 142-174. DOI: 10.1112/plms/s3-65.1.142.
5. Friedman Y., Russo В. Classification of atomic facially symmetric spaces // Canad. J. Math.—1993.— Vol. 45 (1).—P. 33-87. DOI: 10.4153/CJM-1993-004-0.
6. Neai M., Russo B. State space of JB*-triples // Math. Ann.-2004.-Vol. 328(4).—P. 585-624. DOI: 10.1112/plms/s3-65.1.142.
7. Ибрагимов M. M., Кудайбергенов К. К., Сейпуллаев Ж. X. Гранево симметричные пространства и нредсоиряженные эрмитовой части алгебр фон Неймана // Изв. вузов. Математика.—2018.— № 5.-С. 33-40.
8. Актов Ш. А. Классификация и представление упорядоченных йордановых алгебр.—Ташкент: Фан, 1986.—124 с.
9. Коробова К. В., Худалов В. Т. О порядковой структуре абстрактного спиин-фактора // Владикавк. мат. журн.—2004.—Т. 6, вып. 1.—С. 46-57.
10. Ядгоров Н. Ж. Слабо и сильно гранево симметричные пространства // Докл. АН РУз.—1996.— Т. 5.-С. 6-8.
Статья поступила 5 декабря 2017 г. Ибрагимов Мухтар Мамутович
Каракалпакский государственный университет им. Бердаха, доцент кафедры функционального анализа УЗБЕКИСТАН, 230113, Нукус, ул. Академика Ч. Абдирова, 1 E-mail: [email protected]
Кудайвергенов Каримверген Кадирбергенович Каракалпакский государственный университет им. Бердаха, заведующий кафедрой функционального анализа УЗБЕКИСТАН, 230113, Нукус, ул. Академика Ч. Абдирова, 1 E-mail: [email protected]
Сейпуллаев Жумавек Хамидуллаевич
Институт математики им. В. И. Романовского АН НУз, докторант УЗБЕКИСТАН, 100170, Ташкент, ул. Мирзо Улугбека, 81 E-mail: [email protected]
GEOMETRIC CHARACTERIZATION OF REAL JBW-FACTORS Ibragimov M. M., Kudajbergenov K. K., Sejpullaev Zh. H.
One of the interesting problems in the theory of operator algebras is the geometric characterization of the state spaces of Jordan operator algebras. In the mid-1980s, Y. Friedman and B. Russo introduced the co-called facially symmetric spaces. The main purpose of introducing them is the geometric characterization of predual spaces of JB*-triples that admit an algebraic structure. Many of the properties required in these characterizations are natural assumptions for the state spaces of physical systems. Such spaces are considered as a geometric model for states of quantum mechanics. Y. Fridman and B. Russo showed that the predual space of a complex von Neumann algebra and more general JBW*-triple is a neutral strongly facially symmetric space. In this connection, Y. Friedman and B. Russo mainly studied neutral facially symmetric spaces, and in these spaces they obtained results that were previously known for the aforementioned predual spaces. In 2004, M. Neal and B. Russo gave geometric characterizations of the predual spaces of complex JBW*-triples in the class of facially symmetric spaces. At the same time, the description of real JBW*-triples remains an open question. The present paper is devoted to the study of predual spaces of real JBW-factors. It is proved that the predual space of a real JBW-factor is a strongly facially symmetric space if and only if it either is abelian or is a spin-factor.
Key words: Banach space, facially symmetric space, JBW-algebra, JBW-factor, face.
References
1. Friedman Y., Russo B. A geometric spectral theorem, Quart. J. Math. Oxford, 1986, vol. 37, no. 2, pp. 263-277. DOI: 10.1093/QMATH/37.3.263.
2. Friedman Y., Russo B. Affine structure of facially symmetric spaces, Math. Proc. Comb. Philos. Soc., 1989, vol. 106, no. 1, pp. 107-124. DOI: 10.1017/S030500410006802X.
3. Friedman Y., Russo B. Some affine geometric aspects of operator algebras, Pacif. J. Math., 1989, vol. 137, no. 1, pp. 123-144. DOI: 10.2140/pjm.l989.137.123.
4. Friedman Y., Russo B. Geometry of the dual ball of the spin factor, Proc. Lon. Math. Soc., 1992, vol. 65, no. 3, pp. 142-174. DOI: 10.1112/plms/s3-65.1.142.
5. Friedman Y., Russo B. Classification of atomic facially symmetric spaces, Canad. J. Math., 1993, vol. 45, no. 1, pp. 33-87. DOI: 10.4153/CJM-1993-004-0.
6. Neai M., Russo B. State space of JB*-triples, Math. Ann., 2004, vol. 328, no. 4, pp. 585-624. DOI: 10.1112/plms/s3-65.1.142.
7. Ibragimov M. M., Kudayberegenov K. K., Seypullaev J. X. Facially symmetric spaces and preduals of a hermitian part of von Neumann algebras, Izvestija vuzov. Matematika [Russian Math.], 2018, no. 5, pp. 33-40 (in Russian).
8. Ayupov Sh. A. Classification and Representation of Ordered Jordan Algebras, Tashkent, Fan, 1986, 121 p. (in Russian).
9. Korobova K. B., Xudalov V. T. On ordered structure of abstract spin-factor, Vladikavkazskij matematicheskij zhurnal [Vladikavkaz Math. J.], 2004, vol. 6, no. 1, pp. 46-57 (in Russian).
10. Yadgorov N. J. Weakly and strongly facially symmetric spaces, Dokl. AN RUz, 1996, no. 5, pp. 6-8 (in Russian).
Received December 5, 2017
Ibragimov Mukhtar Mamutovich
Karakalpak state university named after Berdakh, Docent of the Department Functional analysis 1 Academician Ch. Abdirov str., Nukus, 230113, Uzbekistan E-mail: [email protected]
kudaybergenov karimberegn kaDIRBERGENOVICH Karakalpak state university named after Berdakh, Head of the Department Functional analysis 1 Academician Ch. Abdirov str., Nukus, 230113, Uzbekistan E-mail: [email protected] ORCID: 0000-0003-0311-9683
Seipullaev Jumabek Xamidullaevich V. I. Romanovski Institute of Mathematics, Doctorant 81 Mirzo Ulughbek str., Tashkent, 100170, Uzbekistan E-mail: [email protected]
