О почти геодезических отображениях класса $_2$ некоторых классов NK-многообразий Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ №26 2011

ПГПУ

ИМ. В. Г. БЕЛИНСКОГО

IZVESTIA

PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA IMENI V.G. BELINSKOGO PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES №26 2011

УДК: 514.76

О ПОЧТИ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ОТОБРАЖЕНИЯХ КЛАССА п2 НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ NK-МНОГООБРАЗИЙ

© А. В. ЕМЕЛЬЯНОВ

МОУ Средняя общеобразовательная школа № 2 с углубленным изучением отдельных предметов,

г. Ивантеевка Московской области e-mail: [email protected]

Емельянов А. В. — О почти геодезических отображениях класса П2 некоторых классов NK-многообразий // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2011. № 26. С. 93—97. — В данной работе мы рассматриваем один из классов почти геодезических отображенияй, а именно почти геодезические отображения класса п. Получены условия, когда почти эрмитовы многообразия допускают почти геодезические отображения класса П2. Доказано, что почти эрмитово многообразие допускает П2-отображение относительно римановой связности тогда и только тогда, когда оно является NK-многообразием. Ключевые слова: -^-отображение, почти эрмитово многообразие, NK-многообразие.

Emelianov A.V. — On п2 almost geodesic mappings of some kinds NK-manifolds // Izv. Penz. gos. pedagog. univ. im.i V. G. Belinskogo. 2011. № 26. P. 93—97. — In this paper we consider one of classes of almost geodetic displays, namely almost geodetic displays of class п2 . We receive conditions when almost hermitian varieties suppose almost geodetic displays of class П2 . We prove that the almost hermitian variety supposes n2-display rather riemann connectivity in only case when when it is NK-variety.

Keywords: n2-display, almost hermitian variety, NK-variety.

В работах [3]-[5] были введены почти геодезические отображения пространств аффинной связности An с аффинной связностью без кручения на An и выделены три типа этих отображений: ni, П2, пз. Теория почти геодезических отображений является широким и в то же время геометрически естественным обобщением теории геодезических отображений.

Данная работа посвящена изучению почти геодезических отображений типа П2 почти эрмитовых многообразий, особое внимание уделено подклассу П2(е), определенному ниже. Доказано, что почти эрмитово многообразие допускает -^-отображение относительно римановой связности тогда и только тогда, когда оно является NK-многообразием. Доказано, что при нетривиальных П2(е)-отображениях собственная NK-структура переходит в собственную NK-структуру, причем определяющая форма ф является решением дифференциального уравнения

V jx(Ф)^У) - Vx(ф)(У) = 2^(JX)ф^У) - ф(Х)ф(У)).

Пространством An аффинной связности называется гладкое многообразие, в главном расслоении реперов которого фиксирована связность [1].

Кривая Ь пространства аффинной связности Лп называется почти геодезической линией этого пространства, если существует двумерное параллельное распределение вдоль Ь, содержащее в каждой точке ее касательный вектор.

Рассмотрим два пространства аффинной связности без кручения: Лп и Лп.

Диффеоморфизм Лп на Лп называется почти геодезическим отображением, если в результате этого отображения каждая геодезическая линия пространства Лп переходит в почти геодезическую пространства Лп [4].

В [3] почти геодезическое отображение типа называется удовлетворяющим условию взаимности и обозначается П2(е), если обратное ему отображение является также некоторым почти геодезическим оторбражением типа П2.

Основные уравнения, характеризующие отображения П2(е) выглядят следующим образом [3]:

Т* (х) = ф(х)5* + Фз (х)5* + аг(х)¥^(х) + а2 (х)Р*(х),

= ^З) + ч$).

Здесь Т* - тензор деформации связности, ф, аз, ^ и VI - ковариантные векторы, Р* - тензор типа

Справедлива следующая теорема [3]:

Теорема 1. Для того чтобы пространство аффинной связности Ап допускало почти геодезическое отображение второго типа, т.е. п2-отображение, необходимо и достаточно, чтобы в нем существовала аффинорная структура Р}1, удовлетворяющая условиям

= её* (е = ±1),

Г}1,] = Щё* + ^ + еМ^а, (1)

где векторы ^ и щ связаны соотношениями

Щ + ^аГа = 0.

Пусть (М2п, д), д =< ■, ■ > - связное 2п-мерное псевдориманово многообразие, х(М) - модуль гладких векторных полей на М, V - риманова связность метрики д, (д, J) - почти эрмитова (короче, АН—) структура классического типа, J2 = —ід,, < JX,JY >=< Х,У >, Х,У Є х(М), N - тензор Нейенхейса почти эрмитовой структуры (д, J), определенный формулой:

N (X^^ + Vx (J)JY V JY ^)Х + V у (J)JX).

Напомним определения основных классов почти эрмитовых структур [1].

Почти эрмитова структура на многообразии М называется приближенно келеровой (МК—) структурой, если на М выполняется тождество

Vx Ы ^ + V у ^ )Х = 0.

Для приближенно келеровых многообразий справедливы тождества

V Jx ^ = Vx (J)JY = —J V х ^.

Почти эрмитова структура на многообразии М называется келеровой структурой, если на М выполняется тождество

Vx ^ )У = 0.

Заметим, что приближенно келерова структура, отличная от келеровой, называется собственной приближенной келеровой структурой.

Почти эрмитова структура на многообразии М называется квазикелеровой структурой, если на М выполняется тождество

V Jx ^ )У = Vx ^ ^.

Почти эрмитова структура на многообразии М называется эрмитовой структурой, если на М выполняется тождество

V Jx Ы )у = —Vx Ы ^.

Почти эрмитова структура на многообразии М называется О і-структурой, если на М выполняется тождество

Vx ИУ + V у и)Х — V Jx П^У) — V JY ^X) = 0.

Рассмотрим соотношение (1) на М2п в безиндексной форме

Vx ^У = )Х + р(У ^Х — N (У., JX),

где

V + р о J = 0.

Используя соотношение р = V о J и свойства тензора Нейенхейса, получаем:

Vx ^ )У = р(У )JX — р^У )Х + N ^Х,У).

Тогда

VJX^)У = —р(У)Х — р^У^Х — N(X, У), Vx^)(ЛУ) = р(ЛУУХ + р(У)Х — N(X, У).

Пусть М - квазикелерово многообразие. Тогда получаем:

VJx^)У = Vx^)(ЛУ) ^ р(У)Х = р(!УРХ ^ р = 0 ^ Vx^)У = —JN(X, У),

т.е. М - приближенно келерово многообразие.

Обратно, если М - приближенно келерово многообразие, тогда

N(X, У ) = JVx ^)У.

Следовательно,

Vx ^ )У = 0 ■ X + 0 ■ ЛХ — N (У, ЛХ),

т.е. М - допускает почти геодезические отображения второго типа.

Таким образом, справедлива

Теорема 2. Квазикелерово многообразие допускает почти геодезические отображения второго типа тогда и только тогда, когда оно является приближенно келеровым многообразием.

Следствие 1. Приближенно келерово многообразие допускает почти геодезические отображения второго типа.

Следствие 2. Почти келерово многообразие допускает почти геодезические отображения второго типа тогда и только тогда, когда оно является келеровым многообразием (т.к. пересечение класса почти келеро-вых многообразий с классом приближенно келеровых многообразий является келеровым многообразием). Введем в рассмотрение двуместные эндоморфизмы В и С модуля х(М) формулами

В(Х,У) = 2(У/хУ)У -Ух(Г)ЛТ),

С (Х,у ) = \(У.1Х у )У + Ух у У)

и назовем их виртуальным и структурным тензорами ЛН-структуры соответственно.

Вычислим структурный и виртуальный тензоры почти эрмитова многообразия, допускающего П2-отображение.

В(Х,У) = 2(У/х(уу - Ух(Г)ЛУ) =

= 1V(У).1Х - р(У)Х + N(X, У) - Vуу)Х - р(ЛУ)ЛХ - N(X, У) =

= 1V(У)ЛХ - V(УУ)Х - v(JУ)Х + v(У)1Х = v(У).1Х - v(JУ)Х

Таким образом,

В(Х, У) = V (У )УХ - v(JУ )Х,

С (Х, У) = 2(У/х (У )У + Ух (У )УУ) =

= 1V(У)УХ - р(У)Х + N(Х, У) + VУУ)Х + р^У)УХ + N(Х, У) =

= 1V(У)УХ - VУУ)Х + VУУ)Х - V(У)УХ + N(Х, У) = N(Х, У).

Таким образом, справедливо Предложение 1. С(Х,У)=М(Х,У).

Следствие 3. С(Х,У)+С(У,Х)=0.

Значит,

У/х У)У + Ух УУУ) + У/у У)Х + У У (,]).]Х = 0.

Заменяя Х на УХ, получаем:

УхУ)У - У/хУ)УУ) - У/У У)УХ + Уу (У)Х = 0.

Таким образом, доказана следующая теорема:

Теорема 3. Почти эрмитово многообразие допускающее П2-отображение относительно римановой связности является 01-многообразием.

Далее рассмотрим следующее соотношение [8]:

д(В(Х,У ),2)+ д(У,В(Х^ )) = 0.

Получаем:

v(У)д(УХ, Z) - V(УУ)д(Х, Z) + V^)д(УХ, У) - V(JZ)g(X, У) = 0,

то есть

v(У )JZ + V (,7У )Z + V ^ )JУ + V (JZ )У = 0.

Положим У = Z, тогда

V (У )JУ + V (,7У )У = 0.

В силу линейной независимости векторов У и JУ, получаем, что V = 0 и р = 0. Следовательно,

Ух^)У = JN(Х, У),

в частности

Ух ^ )У + У у ^ )Х = 0,

то есть многообразие, допускающее -^-отображение относительно римановой связности, является NK-многообразием.

Обратно, если многообразие является NK-многообразием, то

N(Х, У) = JУх ^)У

Значит,

Ух ^)У = 0 • Х + 0 • ЛХ + JN(Х, У),

т.е. М - допускает почти геодезические отображения второго типа.

Таким образом, доказана следующая теорема:

Теорема 4. Почти эрмитово многообразие допускает П2-отображение относительно римановой связности тогда и только тогда, когда оно является NK-многообразием.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Кириченко В.Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях. М.: МПГУ, 2003. 495 с.

2. Кириченко В.Ф. Обобщенные классы Грея-Хервеллы и голоморфно-проективные преобразования обобщенных почти эрмитовых структур// Изв. РАН. Сер. матем. 2005. Т. 69. № 5. С. 107-132.

3. Синюков Н.С. Геодезические отображения римановых пространств. М.: Наука, 1979. 255 с.

4. Синюков Н.С. Почти геодезические отображения пространств аффинной связности и е-стуктуры// Математические заметки. 1970. Т. 7. № 4. С. 449-459.

5. Синюков Н. С. Почти геодезические отображения пространств аффинной связности и римановых пространств// Итоги науки и техн. Сер. Проблемы геометрии. М.: ВИНИТИ, 1982. Т. 17. С. 3-26.

6. Вавржикова Х., Микеш Й., Покорна О., Старко Г. Об основных уравнениях почти геодезических отображений п2(е)// Известия вузов. Математика. 2007. № 1. С. 10-15.

7. Шадный В. С. Почти геодезические отображения римановых пространств на пространства постоянной кривизны// Математические заметки. 1979. Т. 25. С. 151-153.

8. Абоуд Х. М. Голоморфно-геодезические преобразования почти эрмитовых многообразий/ Дис. канд. физ.-матем. наук. М., 2002. 75с.