Конгармонические аналоги тождеств Грея для почти контактных метрических многообразий класса Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 0321-3005 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИИ РЕГИОН._ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ. 2017. № 4-1

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. NATURAL SCIENCE. 2017. No. 4-1

УДК 514.76 DOI 10.23683/0321-3005-2017-4-1-31-36

КОНГАРМОНИЧЕСКИЕ АНАЛОГИ ТОЖДЕСТВ ГРЕЯ ДЛЯ ПОЧТИ КОНТАКТНЫХ МЕТРИЧЕСКИХ МНОГООБРАЗИЙ КЛАССА C10

© 2017 г. Т.Л. Мелехина1, А.Р. Рустанов2

1 Финансовый университет при Правительстве РФ, Москва, Россия, 2Московский технологический университет, Москва, Россия

CONHARMONIC ANALOGUS OF GRAY IDENTITIES FOR ALMOST CONTACT METRIC MANIFOLDS OF THE CLASS C10

T.L. Melekhina1, A.R. Rustanov2

1Financial University under the Government of the Russian Federation, Moscow, Russia, 2Moscow Technological University, Moscow, Russia

Мелехина Татьяна Леонидовна - кандидат физико-ма- Tatyana L. Melekhina - Candidate of Physics andMathemat-тематических наук, доцент, департамент анализа дан- ics, Associate Professor, Department of Data Analysis, Deci-ных, принятия решений и финансовых технологий, Фи- sion Making and Financial Technologies, Financial Univer-нансовый университет при Правительстве РФ, пр. Ле- sitty under the Government of the Russian Federation, Len-нинградский, 49, г. Москва, 125167, Россия, е-mail: ingradskii Ave., 49, Moscow, 125167, Russia, e-mail: [email protected] [email protected]

Рустанов Алигаджи Рабаданович - кандидат физико- Aligadzhi R. Rustanov - Candidate of Physics and Mathe-математических наук, доцент, кафедра КБ-9, Инсти- matics, Associate Professor, Department of KB-9, Institute of тут комплексной безопасности и специального приборо- Complex Security and Special Instrumentation, Moscow строения, Московский технологический университет, Technological University, Vernadskogo Луе., 78, Moscow, пр. Вернадского, 78, г. Москва, 119454, Россия, е-mail: 119454, Russia, [email protected] aligadzhi @yandex. ru

Рассматриваются конгармонические аналоги тождеств Грея для одного класса почти контактных метрических многообразий, обобщающего класс косимплектических многообразий. В классификации Чинья - Гонзалеса этот класс многообразий называется классом С\0. Тензор Риччи С10-многообразий является Ф-инвариантным. На основе контактных аналогов тождеств Грея для тензора конгармонической кривизны выделены три класса С\0-многообразий, удовлетворяющих этим тождествам и обозначенных через GKj, GK2, GK3 . Доказано, что С\0-многообразие является GK3 -многообразием. Необходимым и достаточным условием для С10-многообразия быть GK2 -многообразием является равенство нулю структурного тензора. Получены локальное строение С\0-многообразий классов GKj и GK 2 ; локальное строение конгармонически плоских Cjq -многообразий, примером

которых является произведение C" х R ; тождества на тензор конгармонической кривизны, при выполнении которых С10-многообразия относятся к классам GKX и GK2. Доказано, что С10-многообразие класса GK является

многообразием Эйнштейна с космологической константой е =---¡-^—т. С10-многообразие класса GKX размерно-

2(n - 2)

стью больше 3 имеет нулевую скалярную кривизну; Cw -многообразие размерностью больше 5 относится к классу GKX тогда и только тогда, когда оно является Риччи-плоским косимплектическим многообразием.

Ключевые слова: косимплектическая структура, келерово многообразие, тензор конгармонической кривизны, конгармонически плоские многообразия, тождества Грея, С10-многообразие.

The conharmonic analogues of Gray identities for one of the most interesting class of almost contact metric manifolds are generalized, which generalizes the class of cosymplectic manifolds. In the Chinea-Gonzales classification this class of manifolds is called a class Cw . The Ricci tensor of С\0-mamfoMs is Ф-invariant. On the basis of contact analogues of Gray identities, three classes of Сю-manifolds are distinguished for the harmonic curvature tensor that satisfy these identities and are

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2017. No. 4-1

denoted by GKX, GK2, GK3. In this paper it is proved that a C\0-manifold is a GK3 -manifold. It is proved that the necessary and sufficient condition for a C\0-manifold to be a GK2 -manifold is that the structure tensor vanishes. A local structure of C\0-manifolds of classes GKX and GK2 is obtained. A local structure of conharmonic flat C\0-manifolds is obtained. An

example of such a manifold is a product Cn x R . Identities are obtained for the tensor of conharmonic curvature under which the C\0-manifolds are of class GKX and GK2. It is proved that a C\0-manifold of a class GKX is an Einstein mani-

X

fold with a cosmological constant s = —

2(n — 2)

. A C\0-manifold of a class of dimension greater than 3 has zero scalar cur-

vature. It is proved that a C10 -manifold of dimension greater than 5 is of class GKX if and only if it is a flat cosymplectic manifold.

Keywords: cosymplectic structure, Kahler manifold, conharmonic curvature tensor, conharmonically flat manifolds, Gray identities, C\0-manifold.

В 1957 г. Иши [1] ввел в рассмотрение специальный тип конформных преобразований, сохраняющих свойство гармоничности гладких функций. Известно [1], что такие преобразования имеют тензорный инвариант - тензор конгармонической кривизны, являющийся алгебраическим тензором кривизны.

В работе А. Грея [2] показано, что ключом к изучению геометрии келеровых многообразий являются тождества, которым удовлетворяет их тензор римановой кривизны. В соответствии с этим в данной работе продолжено изучение почти контактных метрических многообразий класса Сю в классификации Чинья и Гонзалеза [3], начатое в работах [4-8], являющихся естественными обобщениями косимплектических многообразий. Точнее, мы изучаем контактные аналоги тождеств Грея, которым удовлетворяет тензор конгармони-ческой кривизны почти контактных метрических многообразий класса Сю, а также рассматриваем Сю-многообразия постоянной конгармонической кривизны.

Пусть М - гладкое многообразие размерностью 2и+1; X(М) - Сш -модуль гладких векторных полей на многообразии М. В дальнейшем все многообразия, тензорные поля и тому подобные объекты

Сад

± . . .

Определение 1 [3]. АС-структура, характеризуемая тождеством

V x (ф)у = (^)ФХ + Л(У )?Фх£, (1)

УХ ,У е X (м),

называется Сю-структурой. АС-многообразие, снабженное Сю -структурой, называется Сю-много-образием.

ТожДество (Abfc — FahFb[cWu] = О

первым фундаментальным тождеством Сю-мно-гообразий; F [ь Fd ] = 0 - вторым [6].

Пусть М2п+1 - С ю-многообразие. Тензор кон-гармонической кривизны почти контактной метрической структуры на пространстве расслоения всех реперов вычисляется по формуле [1]

Kjkl = Rjkl +

^ (s'ksß — s;sß + gßS'k — gjkSi), (2)

где r'm , s'k, gß - компоненты тензоров римановой кривизны, Риччи, метрического.

Легко показать из (2), что тензор конгармонической кривизны обладает всеми классическими свойствами симметрии тензора Римана - Кристоф-феля.

Существенные ненулевые компоненты тензора Римана - Кристоффеля R^ j на пространстве присоединенной G-структуры Сю-многообразия имеют вид [4]:

1) Roa = ff; 2) r^ = adc;

3) Rbcd = -FabFcd • (3)

Компоненты тензора Риччи [4]:

1) Soo = -2FabFba; 2) Sab = AC ~ FcF°b • (4)

Остальные компоненты нулевые. В частности, скалярная кривизна % вычисляется по формуле [4]

X = g'Sj = Soo + 2Saa = 2A% - 4FAFba. (5)

Замечание 1. Согласно [9, теорема 4.1], из (4) следует, что Сю-многообразие имеет Ф-инвари-антный тензор Риччи.

Из (2) с учетом (3), (4) получим, что на пространстве присоединенной G-структуры тензор конгармонической кривизны Сю-многообразия имеет следующие ненулевые компоненты:

называется

1) K0 , = R0 , +

' a0b a0b 2n —

1-1 iSab + S0>0Sa )

= — F Fcb +

ac

—A

2n — 1V '

bc — FacFcb — 2FcdFdcSba );

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2017. No. 4-1

2) Kd = К* + ¿1 ^ + Safc )=

- Aad +

- Abc +

bd c 7hd

fc (< - FbhFhd)+ fc Ah - FChFM)};

2n — 1

3) Kbcd ^bd-5" — Sbfcd + SäcSd — Sädfc ) -^ fc (Abhh — FdhFhb )—fc (Abhh — FchFhb)+

ha ah ha

2n — 1

+ (Ah — FF )—fc (Aah — FF )};

4) Kld - Rld —FabFcd. (6)

К ним добавляются соотношения, полученные с учетом вещественности и свойств симметрии этого тензора как алгебраического тензора кривизны. Остальные компоненты тензора конгармонической кривизны равны нулю.

Контактными аналогами тождеств А. Грея [2] R, R и R кривизны почти эрмитовых многообразий для тензора конгармонической кривизны являются тождества кривизны GKy, OK2 и GK3 для почти контактных метрических многообразий [10]: GKJ :(K(ФХ,ФУ)®Z,Ф W) -(К(ф2X,Ф2У)dZ,Ф W) ;

GK2: (K(ФХ, ФУ ф, ФГ) -(K (ф2X, Ф2Уф , Ф^ + + ( K (ф2 X, ФУ )Ф2 Z, Ф w) + (K (Ф 2X, ФУ Ф, ФW); GK3: (K(ФХ, ФУ)^Z, Ф W -- (k(ф2X, Ф2У )Ф2z, Ф W; X, у , z е X(m).

Назовем Сю-многообразие, обладающее тождествами GK J, GK 2 и GK з , соответственно GKi-, GK2- и GKs-многообразием [10].

Исследуем эти тождества.

Теорема 1 [10]. Пусть S-(#,7,Ф,g-(у)) -почти контактная метрическая структура. Тогда:

1) S -(#,7,Ф,g -(у)) - структура класса GKi тогда и только тогда, когда на пространстве присоединенной G-Cтруктуры Kabcd - Kabcd - Kabcd - 0 ;

2) S - (#, 7, Ф, g - (у)) - структура класса GK2 тогда и только тогда, когда на пространстве присоединенной <^-структуры Kabcd - Kabcd - 0;

3) S -(#,7,Ф,g -(у)) - структура класса GK3 тогда и только тогда, когда на пространстве присоединенной G-структуры Kbcd - 0.

Доказательство данной теоремы проводится аналогично доказательству соответствующей теоремы для тензора римановой кривизны, и мы опускаем его.

Замечание. Согласно теореме 1, очевидны включения ОК1 с ОК2 с ОК3.

Теорема 2. Сю-многообразие является ОК -

многообразием.

Доказательство непосредственно следует из (4), (6) и теоремы 1.

Теорема 3. Пусть £ = (#,7,Ф,g) - С10-структура. Тогда 5" - структура класса ОК 2 тогда и только тогда, когда структурный тензор тождественно равен нулю, т.е. ЕаЬ = 0 .

Доказательство. Пусть £ = (^,7, Ф, g) - С10-структура. Тогда, согласно теореме 1, 5 - структура класса ОК2 тогда и только тогда, когда

КаЬсй = КОЬсй = 0, т е. с учетом (6) раьраа = 0. Полученное равенство свернем с объектом ЕЬк , получим = 0 . Свернем полученное равенство по индексам а и Ъ, получим Рсс1ЕаЬ^аЬ = 0, т.е. |2

Fcd Fab\ a,b

=0. Отсюда следует, что Fab - 0

структурный тензор равен нулю.

Обратно, пусть второй структурный тензор Сю-структуры равен нулю, РаЬ = 0. Тогда

КаЪс, = ~РаЬрсй = 0. Таким образом, Сю-структура 5 является структурой класса ОК2.

Следствие. Конгармонически плоское С10-мно-гообразие является плоским косимплектическим многообразием, а значит, оно локально эквивалентно произведению комплексного евклидова

пространства С" , снабженного стандартной эрмитовой метрикой ^^ • , • ^^ = йз2, в каноническом атла-

" —

се задаваемой соотношением йз2 = ^ dzadza , на

a=1

вещественную прямую.

Доказательство. Согласно теореме 3, конгармонически плоское С10-многообразие является косимплектическим многообразием, т. е. = 0 . Тогда формулы (6) примут вид:

1) К 0, =- 1

2n — 1

Abc - 0;

2) Kl- - Abd + ^ fccAb* + 5dbAt)- 0 ;

3) Klcä -¿i fcA —fcäAh —SA)

4) Kld - 0.

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2017. No. 4-1

Отсюда следует, что = 0 , т. е. многообразие является плоским косимплектическим. Поскольку косимплектическое многообразие локально эквивалентно произведению келерова многообразия на вещественную прямую [11], а плоское ке-лерово многообразие эквивалентно комплексному

евклидову пространству С" , снабженному стандартной эрмитовой метрикой ((у)) = ёя2, в каноническом атласе задаваемой соотношением " —

, то получаем требуемое.

а=1

Пусть М - С1о-многообразие, являющееся многообразием класса ОК2. Тогда К^ = К^ = 0 ;

кроме того, для Сю-многообразия имеем К°а = 0,

т.е. К'ш = 0. Применяя процедуру восстановления

тождества к последним равенствам [11, 12], получим тождество

К(ф2X, Ф2У )ф^ - К(ф2X, ФУ ф -

- КФ2У ф - К(ФX, ФУ )Ф2Z = 0, (7)

X, У, Z е X (м).

Тождество (7) на пространстве присоединенной С-структуры перепишется в виде

произведению келерова многообразия на вещественную прямую.

Теорема 6. Сю-многообразие класса, являющееся GK1 -многообразием, является многообразием Эйнштейна с космологической константой

s =---¡-^—г . В частности, в случае полноты и

2(n - 2)

связности оно компактно и имеет конечную фундаментальную группу.

Пусть М - Сю-многообразие, являющееся GK1 -многообразием. Тогда, согласно теореме 1, имеет место равенство

^ (sb/C - Sb$d + Sac$ - Sad$) =

= 2^1 S(Ah - FF )-%(А^ - FF )+

+ Sbd (A?h - FchFha)- $ (Afh - FdhFha)}= 0. Свернем равенство

SbdSC - SbcSd + S&cSd - SadSC = 0 по индексам а и

с, тогда S~d (n - 2) + Sd^S-a = 0, откуда следует, что

т.е. многообразие является

Ka = bcd = 2n —1

Sbd = -

bdy X

_ cb

2(n - 2)d

К', Ф ФкФ^ ФтФ1 = К', Ф Фк Ф тФ1 +

]к\ к г т р я д г т р д

+г]Ы ФФрФФд+г]Ы Фк ФкФрФд.

С учетом (6) и вида матрицы Ф получим

ту~а _ т/-а _ т/-0 _

КЬсё = КЬсё = КЬсё = 0.

Таким образом, доказана

Теорема 4. Сю-многообразие является многообразием класса GK 2 тогда и только тогда, когда его тензор конгармонической кривизны удовлетворяет тождеству

К(ф2X, Ф2У )Ф^ - К(Ф2X, ФУ )фZ -

- К(ф^ Ф2У )фZ - Кф, ФУ )Ф^ = 0, X ,У, Z е X (м ).

Теорема 5. Сю-многообразие является многообразием класса GK 2 тогда и только тогда, когда оно локально эквивалентно произведению келерова многообразия на вещественную прямую. Если многообразие односвязно, то указанные локальные эквивалентности можно выбрать глобальными.

Доказательство. Согласно теореме 3, Сю-многообразие класса GK2 является косимплекти-ческим. Согласно [11, предложение 2.10], косим-плектическое многообразие локально эквивалентно

многообразием Эйнштейна с космологической кон-X

стантои s = —

2(n — 2)'

Если s = —-

X

, ч- < 0 , то, согласно классиче-2(n - 2)

ской теореме Майерса [11], в случае полноты оно имеет конечную фундаментальную группу.

Теорема 7. Сю-многообразие размерности больше 3, являющееся GKX -многообразием, имеет нулевую скалярную кривизну.

Доказательство. Пусть М - Сю-многообразие размерности больше 3, являющееся GK1 -многообразием. Тогда

1 Sa Ah -ff)-Sda(а% -ff)+

+ 5bd (Aahh - FchFha)-$ (Aah - FdhFha)}= 0. Свернем это равенство по индексам а и с.

(n-2)(Adh -FdhFhb)+Sbd Ah -FahFha)= 0 . (8) Полученное равенство свернем по индексам b и d (n-l)(4t-FabFba)= 0 . (9)

Из последнего равенства:

а) n = 1, т.е. dim M = 3;

б) Aab - FabFba = 0.

Kt„ =

bcd 2n — 1

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2017. No. 4-1

Из второго равенства и (5) следует требуемое утверждение.

С учетом последнего равенства (9) тождество (8) примет вид (n - lj[Abdhh - FdhFhb)= 0. Таким образом, либо n=2, т. е. dimM = 5, либо

Adh -FdhFhb = 0, т.е. многообразие в размерности больше 5 является Риччи-плоским многообразием.

Обратно, если многообразие размерности больше 5 является Риччи-плоским многообразием, то K,- ,= 0, т. е. многообразие является GK\-

abcd

многообразием.

Таким образом, доказана

Теорема 8. С\о-многообразие размерности больше 5 является GK\-многообразием тогда и только тогда, когда оно является Риччи-плоским косимплектическим многообразием.

Пусть М - С\0-многообразие, являющееся многообразием класса GK\. Тогда Ka ,= Ka ,= 0;

А bcd bcd

кроме того, для С\о-многообразия K? = 0, т. е.

K'bcd = 0 . Применяя процедуру восстановления

тождества к последним равенствам [11, 12], получим тождество

+ K (фХ, Ф2У )фZ - K (ФХ, ФУ )ф2Z = 0, (Ю)

X,У,Z е X(M).

Складывая (7) и (10), получим

k^2 x, ф2у)ф2z - k(фx, Фу)Ф2z = 0, (ii)

X, У, Z е X (M ).

Тождество (11) на пространстве присоединенной G-структуры перепишется в виде

K, ,Ф j Ф^ фтф1 ф* = KK ,Ф j Ф^ Ф1

jkl h r m p s q jkl h r p q •

С учетом (6) и вида матрицы Ф

TS~a _ Tf-a _ ту-0 _ T/-a _ ту-a _ ту-0 _ /л

Kbcd = Kbcd = Kbcd = Kbcd = Kbcd = Kbcd = 0 .

Таким образом, доказана

Теорема 9. С\о-многообразие является многообразием класса gk, тогда и только тогда, когда его тензор конгармонической кривизны удовлетворяет тождеству

k(ф2x, ф2y)ф2z - k(фx, фу)ф2z = 0,

X ,Y, Z е X (m ).

Обобщая вышеизложенное, сформулируем основную теорему.

Основная теорема. С\о-многообразия являются многообразиями класса GK3. С\0-много-образие является многообразием класса GK2 тогда и только тогда, когда оно локально эквивалентно произведению келерова многообразия на вещественную прямую; С\0-многообразия являются

многообразиями класса GKi только тогда, когда они локально эквивалентны произведению Риччи-плоского келерова многообразия на вещественную прямую.

Литература

1. Ishii Y. On conharmonic transformations. // Tensor. 1957. Vol. 7 (2). P. 73—80.

2. Gray A. Curvature identities for Hermitian and almost Hermitian manifolds // Tohoku Math. J. 1976. Vol. 28. P. 601-612.

3. Chinea D., Gonzalez C. Classification of almost contact metric structures // Annali di Matematica pura ed applicata (IV). 1990. Vol. CLVI. P. 15-36.

4. Рустанов А.Р. Тождества кривизны почти контактных метрических многообразий класса С10 // Преподаватель XXI в. 2010. № 4. C. 199-207.

5. Рустанов А.Р. Свойства изотропности тензора кривизны почти контактных метрических многообразий класса С10 // Преподаватель XXI в. 2014. № 2. C. 207-213.

6. Рустанов А.Р., Рустанов З.А. С10-многообразия класса R4 // Slovac International Scientific J. 2017. № 6 (6). S. 79-82.

7. Рустанов А.Р., Рустанов З.А. Контактные аналоги тождеств Грея для почти контактных метрических многообразий класса С10 // Инновационная наука. 2017. № 5. C. 11-13.

8. Рустанов А.Р. Свойства изотропности С10-многообразий // Инновационная наука. 2017. № 5. C. 13-17.

9. Волкова Е.С. Геометрия нормальных многообразий киллингова типа : дис. ... канд. физ.-мат. наук. М. : МПГУ, 1997. 122 с.

10. Герасименко СА., Рустанов А.Р., Щипкова Н.Н. Аналоги тождеств Грея для тензора конгармонической кривизны АС-многообразий класса С11 // Вестн. Оренбургского гос. ун-та. 2015. № 9 (184). C. 35-37.

11. Кириченко В.Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях. Изд. второе, до-полн. Одесса : Печатный дом, 2013. 458 с.

12. Кириченко В.Ф., Рустанов А.Р. Дифференциальная геометрия квазисасакиевых многообразий // Мат сб. 2002. № 8, т. 193. C. 71—100.

References

1. Ishii Y. On conharmonic transformations. Tensor. 1957, vol. 7 (2), pp. 73-80.

2. Gray A. Curvature identities for Hermitian and almost Hermitian manifolds. Tohoku Math. J. 1976, vol. 28, pp. 601-612.

3. Chinea D., Gonzalez C. Classification of almost contact metric structures. Annali di Matematica pura ed applicata (IV). 1990, vol. CLVI, pp. 15-36.

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. NATURAL SCIENCE. 2017. No. 4-1

4. Rustanov A.R. Tozhdestva krivizny pochti kon-taktnykh metricheskikh mnogoobrazii klassa S10 [The curvature identities of almost contact metric manifolds of class C10]. Prepodavatel' XXI v. 2010, No. 4, pp. 199207.

5. Rustanov A.R. Svoistva izotropnosti tenzora krivizny pochti kontaktnykh metricheskikh mnogoobrazii klassa S10 [Isotropy properties of the curvature tensor of almost contact metric manifolds of class C10]. Prepo-davatel'XXIv. 2014, No. 2, pp. 207-213.

6. Rustanov A.R., Rustanov Z.A. S10-mnogoobraziya klassa R4 [C10-manifolds of class R4]. Slovac International Scientific J. 2017, No. 6 (6), pp. 79-82.

7. Rustanov A.R., Rustanov Z.A. Kontaktnye analogi tozhdestv Greya dlya pochti kontaktnykh metricheskikh mnogoobrazii klassa S10 [Contact analogues of Gray identities for almost contact metric manifolds of class C10]. Innovatsionnaya nauka. 2017, No. 5, pp. 11-13.

8. Rustanov A.R. Svoistva izotropnosti S10-mnogoobrazii [Properties of the isotropy of C10-

Поступила в редакцию /Received_

manifolds]. Innovatsionnaya nauka. 2017, No. 5, pp. 1317.

9. Volkova E.S. Geometriya normal'nykh mnogoobrazii killingova tipa : dis. ... kand. fiz.-mat. nauk [Geometry of normal manifolds of Killing type]. Moscow: MPGU, 1997, 122 p.

10. Gerasimenko S.A., Rustanov A.R., Shchipkova N.N. Analogi tozhdestv Greya dlya tenzora kongar-monicheskoi krivizny AS-mnogoobrazii klassa S11 [Analogues of Gray identities for the tensor of the conharmonic curvature of AC-manifolds of class S11]. Vestn. Oren-burgskogo gos. un-ta. 2015, No. 9 (184), pp. 35-37.

11. Kirichenko V.F. Differentsial'no-geometricheskie struktury na mnogoobraziyakh [Differential-geometric structures on manifolds]. Ed. second, add. Odessa: Pechatnyi dom, 2013, 458 p.

12. Kirichenko V.F., Rustanov A.R. Differentsial'naya geometriya kvazisasakievykh mnogoobrazii [Differential geometry of quasi Sasakian manifolds]. Mat. sb. 2002, No. 8, vol. 193, pp. 71-100.

_25 августа 2017 г. /August 25, 2017