Голоморфно 2-геодезические преобразования второго линейного типа почти эрмитовых структур Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.76

ГОЛОМОРФНО 2-ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВТОРОГО ЛИНЕЙНОГО ТИПА ПОЧТИ ЭРМИТОВЫХ СТРУКТУР

© Э. А. Сулейманова

Московский педагогический государственный университет 119992, г. Москва, ГСП-2, ул. Малая Пироговская, 1.

Тел: +7 (495) 245 03 10.

E-mail: [email protected]

В работе найдены условия инвариантности структурного и виртуального тензоров, а также следа виртуального тензора относительно рассматриваемых преобразований. Доказано, что ковариантная производная оператора структуры инвариантна относительно голоморфно 2-геодезических преобразований второго линейного типа тогда и только тогда, когда это преобразование тривиально.

Ключевые слова: голоморфно 2-геодезическое преобразование второго линейного типа, почти эрмитова структура, структурный тензор, виртуальный тензор, инварианты.

Предварительные понятия.

Пусть М2п (п > 2) - гладкое многообразие, Х(М)- алгебра Ли гладких векторных полей на

многообразии М . Все многообразия, тензорные поля и т.п. объекты предполагаются гладкими класса

С ¥.

Пусть (М, g) - псевдориманово многообразие,

V - риманова связность метрики g.

Определение 1 [1]. Кривая у / ® М

называется геодезической, если семейство векторов

7= {7» = ^ 1=7« Vе 1} параллельно вдоль 7.

Определение 2 [2]. Кривая 7 : (а, Ь) ® М с

параметрическими уравнениями х = х (1) называется р-геодезической, если вдоль неё существует ^-мерное поле плоскостей Ер(г) такое что:

1) Ерг параллельно вдоль относительно V;

2) ^ е Е (0;

р ()

3) р - минимально.

Из определений 1 и 2 следует, что при р = 1

кривая 7 является геодезической, а при р = 2 -

почти геодезической [4].

Определение 3 [2]. Диффеоморфизм

р(р): М ® М псевдориманова многообразия (М, g) на псевдориманово многообразие (М, g) называется р-геодезическим отображением, если для каждой геодезической кривой 71:(а, Ь) ® М ее образ

р о 7 : (а, Ь) ® М является ^-геодезической кривой (у < р). В этом случае на М возникает новая псев-дориманова метрика ~ = (р(р)) g, которая называется р-геодезическим преобразованием исходной метрики. Если М = М, ^-геодезическое отображение называется р-геодезическим преобразованием многообразия М.

Определение 4 [3]. ^-геодезическое отображение р(р): м ® М имеет соответственно линейный тип рі(р), р2(р), ■■■, рр(р), если для каждой геодезической уі вдоль ее образа = р(р) 0 у существует параллельное поле плоскостей Е(у1) с опорными векторами вида:

р-1 -, к (g));

1) E(g)= L(g, К (g),...

j_ j_ 1 j_ р-2 j_

2) ВД = LgК(g),..., К (g1),Z1);

P - 1) E(g)= Lg K(g1),C1,

P) E(g1)= L(gvC1,..,Cp-1);

1 р-1

где К,..., К - аффиноры, z

,Zp-2)

векторные по-

?1,...,£р-1

ля на М, Ь - линейная оболочка. Если М = М, р-геодезическое отображение линейного типа называется р-геодезическим преобразованием линейного типа многообразия М.

Согласно [3], 2-геодезические отображения могут быть двух линейных типов: р:(2), р2(2) (первый линейный и второй линейный тип).

Далее мы будем рассматривать 2-геодезические отображения второго линейного типа. При данном отображении р2(2): М ® М каждая геодезическая пространства М переходит в 2-геодезическую пространства М, вдоль которой параллельное поле 2-мерных плоскостей Е2 натянуто на

касательный вектор 71 и не зависящий от него вектор £. Примером таких отображений являются конциркулярные отображения римановых пространств [5].

Голоморфно 2-геодезические преобразования второго линейного типа почти эрмитовых структур

Рассмотрим 2-геодезические преобразования

второго линейного типа многообразия (М, g). Пусть

V - риманова связность метрики g, V - риманова связность метрики g. Пусть Т— тензор аффинной

деформации от связности V к связности V. Тогда из [2] известно, что основные уравнения 2-геодезических преобразований второго линейного типа в безындексной форме имеют следующий вид:

1)Т (X , У) = в( X, У )С + Х X )У + оХУ )Х;

2) V С = а( X )С + ЪХ, (1) где х, а - ковекторы, в - симметричный дважды ковариантный тензор, £ — векторное поле на М, Ъ -

функция на М.

Определение 5 [1]. Почти эрмитовой

(короче, АН-) структурой на М называется пара (J, g = ), где О - почти комплексная структура на

М [1], g - (псевдо)риманова метрика на М, при этом (Ж, ОУ) = (X ,У}; X ,У єХ(М). Эндоморфизм О называется структурным эндоморфизмом. Многообразие с фиксированной на нем АН-структурой называется почти эрмитовым многообразием.

Пусть М2п (п > 2) - гладкое многообразие с почти эрмитовой структурой (О, g = ). В даль-

нейшем, если не будет оговорено противное, всегда будем подразумевать, что g - риманова метрика. Введем понятие р-геодезического преобразования метрики, сохраняющего АН-структуру.

Определение 6. ^-геодезическое преобразование g ® ~ метрики g ^4Я-структуры (О, g)

назовем голоморфно р-геодезическим преобразованием, если (О, ~) - ^4Я-структура.

Определение 7. Голоморфно _р-геодезическое преобразование назовем тривиальным, если V = V. Вычислим V X (О )У с учетом (11):

V(О )У = V(О )У + т Л) - О о T(X,У) =

= V(О)У + в(X, ОУ)С + Х(X)ОУ + х(ОУ)Х -

- в(^,У)ОС - х(X)ОУ - х(У)JX = VX (О)У +

+ в( X, ОУ )С - в( X, У ОС + х( ОУ) Х - х(У ) JX.

Таким образом,

VX (О)У = VX (О)У + в(X, Л)С - (2)

- в(X, У)ОС+ х(ОУ)Х - Х(У)JX. '

В монографии [1] были определены структурный и виртуальный тензоры почти эрмитовой структуры формулами:

С(X ,У) = (О)У + V X (О)ОУ},

2 (3)

В( X ,У) = 2^ (О )У — V X (О) ОУ}.

Пусть С, В - структурный и виртуальный тензоры исходной АН-структуры (О, g), С, В -структурный и виртуальный тензоры АН-структуры (О, ~). Найдем связь между этими тензорами.

Имеем:

С(Х ,7) = ¿{V ^ (3)7 + Vx (I) Л},

В(Х,7) = 1Х(I)7 - Vх (I)17}.

С использованием (2) получим:

С(Х, 7) = С(Х ,7) + ^[в( IX, 17) - 6>(Х, 7 )]£ -

1 2 <4>

- - [в( IX, 7) + 0(Х, 17)]

В( Х ,7) = В( Х, 7) + «(7) Х + а>(Л) Л +

+ 1[в(Ж, Л) + 6»( Х ,7 )]£ - 1[в(./Х, 7) - 6»(Х, Л )]!£. (5)

Некоторые свойства голоморфно 2-геодезических преобразований второго

линейного типа почти эрмитовых структур

Теорема 1. Структурный тензор инвариантен относительно голоморфно 2-геодезических преоб-разований второго линейного типа АН-структуры тогда и только тогда, когда выполняется тож-дество: в(Ж, Л) = в(Х, 7), Х, 7 е Х(М). (6)

При этом виртуальный тензор преобразованной структуры вычисляется по формуле:

В(Х ,7) = В( Х, 7) + а(7) Х + «(!7) !Х + в(Х ,7) £ + в(Х, /У)/Z.

► Доказательство сразу же следует из формул (4) и (5). ◄

Теперь рассмотрим голоморфно 2-гео-

дезические преобразования второго линейного типа эрмитовых АН-структур.

Определение 8 [1]. Почти эрмитова структура (I, g) называется эрмитовой структурой, если почти комплексная структура I интегрируема, т.е. если N = 0, где

N (Х, 7) = 1{-[Х, 7 ] + [!Х, Л ] - ^Х, 7 ] - ![Х, Л ]}_ тензор

Нейенхейса.

Следствие 1. Пусть р — голоморфно 2-геоде-

зическое преобразование второго линейного типа эрмитовой структуры. Тогда выполняются следующие соотношения:

1) 0( Ж, Л) = 0( Х ,7 >

2) В(Х ,7) = В(Х ,7) + а(7 )Х + УХ + в(Х ,7 )£ + в(Х, Л )!£.

► Из Определения 8 следует, что условие эр-митовости ЛН-структур не зависит от преобразований метрики. Известно [1], что для эрмитовых структур характерно равенство нулю структурного тензора, значит структурный тензор преобразованной структуры также равен нулю, т.е. С = С. В силу Теоремы 1, это означает, что в(Ж,.Л) = в(Х,7), Х,7 е Х(М) и виртуальный тензор

В вычисляется по формуле:

В(Х,7) = В(Х,7) + «7)Х + «Л^Х + в(Х,7)£ + в(Х,Л)/Z ■ ◄

Теорема 2. Пусть р — нетривиальное голоморфно 2-геодезическое преобразование второго линейного типа АН-структуры. Оно сохраняет виртуальный тензор тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

1) « = °, (7)

2)в(Л,Л) = -в(Х,7), Х,7е Х(М). ^ ’

► Рассмотрим нетривиальное голоморфно 2-геодезическое преобразование второго линейного типа АН-структуры, тогда тензор аффинной деформации Т ф °. Из формулы (5) получим:

(8)

В( Х ,7) = В( Х ,7) ) X + w(/y )/X + ,/y) +

+ в(Х ,7 ))£ - 1(в(Ж ,7) - в(Х, Л )>£ = 0.

Рассмотрим, в каком случае последнее равенство будет выполняться.

1 случай. Пусть £ = °, тогда ^ = 0. И соотношение (8) будет выглядеть следующим образом: В(Х,7) = В(Х,7) ««(7)Х + «(Л)Л = °. Так как векторы Х и Л линейно независимы, то «(7) = ° "7 е Х(М), а значит « = °. Следовательно, Т = 0 (см. (11)), что противоречит нетриви-альности данного преобразования.

2 случай. Пусть £ ф °, тогда и /Z ф °. Так как мы имеем дело с многообразием размерности не менее четырех, то четверка векторов (Х, Л ,£, /Z) может быть выбрана линейно независимой. Тогда из (8) получим, что:

~ \а = 0,

В(Х,7) = В(Х,7) ^

[в(/X, Л) = -в(Х ,7).

Обратно, пусть выполняются соотношения (7). Из (72) следует: в(Л,7) = в(Х,Л). Тогда в силу

(8) В(Х ,7) = В(Х ,7). ◄

Следствие 2. Структурный и виртуальный тензоры инвариантны относительно голоморфно 2-геодезических преобразований второго линейного типа АН-структуры тогда и только тогда, когда тензор аффинной деформации равен нулю, т.е. когда преобразование тривиально.

► В силу Теоремы 1 инвариантность тензора С относительно данных преобразований равносильна условию (6), а в силу Теоремы 2 инвариантность тензора В равносильна условиям (7). Таким образом,

в( Х, 7) = в( Л, Л) = -в( Х ,7), следовательно, тензор в равен нулю, форма «= 0. С учетом формулы (11), получим, что Т = 0.

Обратно, пусть

Т (Х, 7) = в( Х, 7 )£ + «Х )7 + «(7) Х =°, тогда « = ° и в(Х, 7) = °. Подставляя эти значения в (4) и (5), находим С = С, В = В . ◄

Следствие 3. Ковариантная производная оператора структуры инвариантна относительно

голоморфно 2-геодезических преобразований АН-структуры тогда и только тогда, когда это преобразование тривиально.

► Как было получено в [1], тензоры В и С определяются по формулам (3). Тогда Б^У) + С^У) = Vш (О)У . ЗаменимXна (-3 X):

Б(-JX,У) + C(-JX,Y) = VX(О)У. В виду того, что

тензор В (комплексно) линеен, а тензор С антили-неен по первому аргументу [1], получим:

V(О )У = О о (C(X,У) - Б(ХУ)), т. е. ковариантная производная оператора структуры О линейно выражается через структурный и виртуальный тензоры. В соответствии со Следствием 2, тензоры В и С, а следовательно и VJ, инвариантны относительно рассматриваемых преобразований тогда и только тогда, когда преобразование тривиально. ◄

Далее нам потребуется понятие следа тензора. Определение 9 [1]. Следом тензора В называется вектор 1т В, в каждом точке р єМ вычисляемый по формуле:

(1г В)р = —Ц- £Бр ., .),

п — 1 7=1

где {е1,..., еп} - ортонормированный базис касательного пространства Тр(М), рассматриваемого как С-модуль. Легко видеть, что это определение корректно в смысле независимости от выбора базиса. Исходя из свойств линейности виртуального тензора [1].

Введем

Определение 10. Следом тензора ґ типа (2, 0) назовем скаляр

іг ґ = ¿іґ9 = ¿іґ(еі, е3).

Еще раз обратим внимание на формулу (8):

Б(X, У) = Б^, У) » Х(У )X + Х/У /X +1 (в(Ж, ЗУ) + в(X, У ))С —

—1 (вО, у )—в^, зу )О = 0.

Тогда в ортонормированном базисе (е1,..., еп, 3е1,..., 3еп ) имеем:

¡Г Б = ҐгБ » £ (Х(Єа )Єа + Х(3еа )3еа + а =1

+ І (в(3Єа , 3Єа ) + в(Єа , .а ))С — ^ (3 , .а ) — в. , 3еа )/) = 0.

(9)

Заметим, что

1)

Ё^а )еа + О(/Рa УРа = Ё «(рг)рг = Ё ^ = ^

а=1 г=1 г =1

где -векторное поле, дуальное форме «,

Р = /Р , а = 1,..., п.

са+п а

2) С учетом Определения 10:

п 2п

Ё (в(Ра, Ра ) +в(/Pa, /Pa )) = Ё в(Р,, р ) = g,',в(РI, Р, ) = Ггв;

в силу симметрично-

3) п

Ё (в(3Єа, еа ) — в(Єа, 3Єа )) = 0

а=1

сти формы в.

Теперь подставляем в (9)

1гВ = 1гВ « О + 1((гв)£ = 0.

Таким образом, доказана:

Теорема 3. След виртуального тензора инвариантен относительно голоморфно 2-геодезических преобразований второго линейного типа АН-структуры тогда и только тогда, когда выполняется соотношение:

О =-2(в (10)*

Следствие 3. Инвариантность тензора В относительно рассматриваемых преобразований влечет за собой справедливость соотношения (10).

Замечание 1. Обратное, вообще говоря, неверно.

Пример 1. Пусть р - голоморфно 2-гео-дезическое преобразование второго линейного типа келеровой структуры. Напомним [6], что келеровой структурой называется эрмитова структура с замкнутой фундаментальной формой. Согласно [1], для таких структур характерно равенство нулю структурного и виртуального тензоров. Тогда В = 0 и С = С = 0. Преобразованный виртуальный тензор выглядит следующим образом (это непосредственно следует из соотношений (4) и (5)): В(Х ,7) = со(7 )Х + со(Л )Ж + в(Х ,7 )£ + в(Х, Л )!£. Если преобразованная структура будет келеровой, то В = 0, и выполняются соотношения С = С, В = В . По Следствию 2, отсюда следует, что преобразование тривиально. Значит, если преобразование нетривиально, то образ келеровой структуры не будет келеровой структурой. Доказана:

Теорема 4. Образом келеровой структуры при нетривиальном голоморфно 2-геодезическом преобразовании второго линейного типа является собственная эрмитова структура (т. е. структура, отличная от келеровой). При этом преобразованная структура будет собственной семикелеровой (т.е. структурой, для которой & В = 0) тогда и только тогда, когда

О =- -2(ггв)С. ◄

Эта теорема может служить обоснованием Замечания 1.

► В самом деле, если при голоморфно 2-геодезическом преобразовании второго линейного типа келерова структура переходит в собственную семикелерову, то соотношение (10) выполняется, хотя В Ф В (так как В = 0, в силу келеровости структуры (I, g), а В Ф 0, в виду того, что структура (I, ~) собственная семикелерова). ◄

Определение 11. [7] Почти эрмитова

структура (I, g) на многообразии М называется G1-

структурой, если на М выполняется тождество:

VX (J)Y - VJX (J)JY + VY (J)X - VJY (J)JX = 0, X, Y є X(M).

Известно [1], что для таких структур характерна кососимметричность тензора С. Тогда, используя (4), получим:

С(X,y) .-C(y,X) о i(«J.V,JY)-qXJ))z-\q(JXr) +

+ q X, jy ))jz = - 1(q( jy , jx ) - e(Y, X ))z+1(в( jy , x ) + e(r, jx ))jz,

те(б>(/х, jy ) -q x ,r ))Z- q( jx , r)+ q x , jy ))JZ = 0.

Откуда$(^, JY) = q( X, Y), а значит, согласно формуле (6), C(X ,Y) = C (X ,Y).

Очевидно, верно и обратное. Доказана Теорема 5. Голоморфно 2-геодезическое преобразование второго линейного типа переводит Gi-структуру в 01-структуру тогда и только тогда, когда это преобразование сохраняет структурный тензор. ◄

Определение 12. [8] Почти эрмитова

структура на многообразии М называется приближенно келеровой (короче, NK-) структурой, если на М выполняется тождество:

VX (J)Y + VY (J)X = 0; X, Y є X(M).

Следствие 5. Образ NK-структуры при нетривиальном 2-геодезическом преобразовании второго линейного типа не может быть NK-структурой.

► В самом деле, если бы преобразованная структура была приближенно келеровой, то согласно [1], В = 0. Кроме того, для NK-структур характерна кососимметричность структурного тензора. По Теореме 5, отсюда следует, что C(X,Y) = C(X,Y). Тогда В = В и С = С; по Следствию 2, преобразование тривиально, что противоречит условию. Значит, наше предположение неверно, и образ NK-структуры при рассматриваемых преобразованиях не является NK-структурой. ◄

ЛИТЕРАТУРА

1. Кириченко В. Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях. М: МПГУ, 2003. - 495 с.

2. Лейко С. Г. // Изв. ВУЗов. Математика. 1982. №5. С. 80-83.

3. Лейко С. Г. Дифференциальная геометрия обобщенногеодезических отображений многообразий и их касательных расслоений: Дисс. ...докт. ф.-м. наук. Одесса, 1994.

4. Синюков Н. С. Геодезические отображения римановых пространств. М.: Наука, 1979.

5. Yano K. // Proc.Imp.Acad. Tokio. 1940. I-IV. Р. 195-200, 354360, 442-448, 505-511.

6. Лихнерович A. Теория связностей в целом и группы голономии.М.: Гос. изд. иностр. Лит. 1960.

7. Gray A., Hervella L. M. // Ann. Math. Pure ed appl. 1980. 123. Р. 35-58.

8. Gray A. // J. Different.Geom. 4, №3. Р. 283-309.

Поступила в редакцию 24.11.2007 г.