CC BY
32
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 14 Выпуск 1 (2013)
УДК 511.3
О НУЛЯХ ПОЛИНОМОВ ДИРИХЛЕ, АППРОКСИМИРУЮЩИХ В КРИТИЧЕСКОЙ ПОЛОСЕ L-ФУНКЦИИ ДИРИХЛЕ
О. А. Матвеева (г. Саратов)
Аннотация
Получены плотностные теоремы о нулях полиномов Дирихле, аппроксимирующих L-функции Дирихле в критической области.
Ключевые слова: полиномы Дирихле, L-функции Дирихле, нули полиномов Дирихле.
ZEROS OF DIRICHLET POLYNOMIALS APPROXIMATING DIRICHLET L-FUNCTIONS IN THE CRITICAL STRIP
O. A. Matveeva
Abstract
Density theorems about zeros of dirichlet polynomials approximating Diri-chlet L-fuctions in the critical strip are obtained.
1 Введение
В работе [1] была приведена вычислительная схема построения полиномов Дирихле Qn(s), s = а + it, которые в прямоугольнике 0 < а < 1, 0 < t < T аппроксимируют целые функции, заданные рядами Дирихле с периодическими коэффициентами, с показательной скоростью. В частности, эта схема позволяет эффективно вычислять нули L-функций Дирихле, лежащие в критической полосе. В данной работе показано, что, с одной стороны, известные факты о нулях L-функций Дирихле дают возможность получить результаты о нулях аппроксимирующих полиномов Дирихле; с другой стороны, поведение в критической полосе аппроксимирующих полиномов Дирихле определяет поведение L-функций Дирихле.
2 Конструкция полиномов Дирихле, аппроксимирующих в критической полосе Ь-функции Дирихле
Рассмотрим Ь-функцию Дирихле
ь(з,Х) = ^ Щт, 3 = а + й, (1) П8
и соответствующий степенной ряд
го
д(г ) = Х1 х(п)щп. (2)
1
В силу периодичности коэффициентов этот ряд определяет рациональную функцию, полюсы которой располагаются на единичной окружности. Эта функция регулярна в точке г =1. Будем считать, что она регулярна и в точке г = —1. Рассмотрим разложение этой функции по полиномам Чебышёва
СЮ
д(х) = ^2 ск Тк (х), к=0
где
2 Г1 1
ск
п ]-1у/1 — г2
д(г)Тк(1)йг.
Пусть
пп
Рп(х) = ^2 ск Тк (х) = ^2 ькп)хк к=0 к=0
и
п ь(п)
Яп(з) = ^2 , (3)
к=1
где - те же коэффициенты, что и у многочлена Рп(х).
Известно [2], что в любой полосе 0 < а0 < а, \Щ\ <Т имеют место оценки
\\ь(в,х)— Яп(з)|| < С—, рп
где константа С не зависит от п и а0 и где р - величина большая, чем единица, равная полусумме осей эллипса, фокусы которого лежат в точках ±1, и внутри которого регулярна функция д(г), определённая равенством (2).
Важным моментом в вычислительной схеме, приведённой в [1], является задача определения степени аппроксимирующего полинома Яп(в), нули которого в заданном прямоугольнике 0 < а < 1, 0 < Щ < Т совпадают с нулями Ь-функции Дирихле. В работе [1] эта задача решалась следующим образом: степень аппроксимирующего полинома определялась совпадением в данном прямоугольнике нулей Яп(в) и Я2п(в). Здесь мы укажем иной способ определения степени аппроксимирующего полинома, в основе которого лежат известные факты относительно распределения нулей Ь-функций Дирихле и нулей почти-периодических функций класса А.
Обозначим через N(Т,х) число нулей Ь-функции Дирихле Ь(в,х) в прямоугольнике 1 < а0 < а < 1, 0 <Щ < Т.
Известно [3], что для характера х по модулю к имеет место соотношение
N(T,х)=hnПTт + А(к)Т + 0(1лТ), (5)
где константа А(к) зависит от к и А(к) < .
Обозначим через N(а0,Т,х), где 2 < а0 < 1, число нулей Ь-функции, лежащих в прямоугольнике а0 < а < 1,; 0 < Щ < Т. Для величины N(а0,Т,х) известно [4] соотношение вида
N (а0,Т,х) = 0(Т). (6)
Там же ([4]) приведены более точные оценки, чем оценка (6).
Отметим, что соотношение (6) показывает, что для любого е > 0 вне полосы 1 — е < а < 1 + е находится бесконечно малая часть нулей Ь-функции Дирихле.
Рассмотрим функцию
/(Щ) = Яп(1 + И).
Эта функция является почти-периодической функцией класса А = . Для ну-
лей почти-периодических функций класса А имеют место [5] результаты, которые в терминах полинома Дирихле Яп(в) формулируются следующим образом:
- все нули полинома Яп(в) лежат в полосе —к < а < к;
- пусть N(Т) — число нулей полинома Яп(э), лежащих в прямоугольнике — к<а<к, 0 < Щ < Т. Тогда имеет место соотношение
1 л п
N (Т ) = ~лТ + ш(Т), (7)
где ш(Щ) — некоторая ограниченная функция.
Пусть Яп(в) — аппроксимирующий полином, нули которого лежат в прямоугольнике 0 < а < 1, 0 < Щ < Т и совпадают с нулями Ь-функции Дирихле. Так как Ь-функция не имеет нулей при а > 1, то можно считать, что главная часть нулей Яп(в), у которых мнимая часть не превосходит Т, лежит в нашем прямоугольнике. Сравнивая главные части формул (5) и (7), получаем п > [Т]. С учётом остальных слагаемых, входящих в эти формулы, можно считать, что
Последнее условие подтверждается экспериментально.
3 Некоторые результаты относительно нулей полиномов Дирихле Qn(s), лежащих в прямоугольнике 0 <а0 < а < 1, 0 < Щ < Т, п = [2Т].
Пусть Qn(s) - аппроксимирующий полином Ь-функции Дирихле, число нулей которого в прямоугольнике 0 < а < 1, 0 < Щ < Т, п = [2Т] обозначим ^(Т). Тогда в силу оценки (5) получаем следующее утверждение:
Теорема 1. Имеет место соотношение
где константа в символе «0» не зависит от п.
Обозначим через ^(а0,Т), 1 < а < 1, п = [2Т], число нулей такого полинома, лежащих в прямоугольнике а0 < а < 1, 0 < Щ < Т. Тогда в силу оценки (6) получим следующее утверждение:
Теорема 2. Имеет место соотмошение
где константа в символе «0» не зависит от п.
Отметим, что приведённая здесь численная схема позволит не только получить результаты относительно нулей аппроксимирующих полиномов, но и позволит определиться с численными экспериментами, связанными с поведением Ь-функций Дирихле в критической полосе. Например, легко видеть, что известная гипотеза Линделёфа о росте модуля Ь-функций Дирихле на прямой а = 2 эквивалентна условию:
п > [2Т].
(8)
^(Т)
лп
п + Сп + 0(1л п),
^(а0,Т ) = 0(п),
где є — произвольное положительное число, а константа С не зависит от п. В связи с этим встаёт задача вычисления величин
(2+й)
Известная теорема Бора [6] о том, что
тах
0<і<Т
т = П. 2
:іо)
вир
ІЄЯ
£
п<х
ф(п)п
— ІІ
> С^ \ф(п) р<х
позволяет только оценить величину (10) снизу.
Для оценки величины (10) сверху необходимо применить численную схему, которая связана с вычислением полиномов Яп(в).
В заключении отметим, что аналогичные факты будут иметь место и в случае рядов Дирихле с периодическими коэффициентами.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Коротков А. Е., Матвеева О. А. Об одном численном алгоритме определения нулей целых функций, определяемых рядами Дирихле с периодическими коэффициентами // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серии: Математика. Физика. — Белгород: Изд-во НИУ "Белгу2011, вып.24. 17(112), с. 47-53.
[2] Кузнецов В. Н.,Водолазов А. М. // Аппроксимационный критерий периодичности конечнозначных функций натурального аргумента. // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам: Межвуз. сб. научн. тр. — Саратов: Изд-во Сарат. гос. ун-та, 2003, т.2, с.27-32.
[3] Прахар К. Распределение простых чисел. — М.: Изд-во "Мир 1967.
[4] Туран П. О новых результатах в аналитической теории чисел. // В кн. Проблемы аналитической теории чисел. — М.:Изд-во "Мир 1975, с. 118 -142.
[5] Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. — М.: Изд-во техникотеоретической литерат.,1956
[6] Эдвардс Р. Ряды Фурье в современном изложении. — М.: Мир, 1988, т.2.
Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского.
Получено 10.03.2013
