Аппроксимационные полиномы Дирихле и некоторые свойства L-функций Дирихле Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 18 Выпуск 4

УДК 511.3 Б01 10.22405/2226-8383-2017-18-4-296-304

АППРОКСИМАЦИОННЫЕ ПОЛИНОМЫ ДИРИХЛЕ

______и __и ____1

И НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА Ь-ФУНКЦИИ ДИРИХЛЕ1

О. А. Матвеева, В. Н. Кузнецов (г. Саратов)

Аннотация

В работе изучются аналитические свойства Ь-функций Дирихле в критической полосе, характерные для почти периодических функций. В основе исследований лежит аппрок-симациоппый подход, заключающийся в построении полиномов Дирихле, которые являются почти периодическими функциями, «быстро сходящихся» в критической полосе к Ь-функциям Дирихле.

На этом пути для любого прямоугольника, лежащего в критической полосе, доказано существование е-почти перида для Ь-функции Дирихле, получена оценка константы равномерной непрерывности. Обсуждаются вопросы, связанные с применением аппрокси-мационного подхода при доказательстве свойства «универсальности» Ь-функций Дирихле, а так же связанные с получением соответствующих результатов для Ь-функций числовых полей.

Ключевые слова: аппрокснмацпонные полиномы Дирихле, Ь-функции Дирихле, почти периодические функции.

Библиография: 15 названий.

ON DIRICHLET APPROXIMATION POLYNOMIALS AND SOME PROPERTIES OF DIRICHLET L-FUNCTIONS

O. A. Matveeva, V. N. Kuznetsov (Saratov) Abstract

In this paper we study the analytic properties of Dirichlet L -functions in the critical strip, characteristic for almost periodic functions. The research is based on Approximation approach, consisting in the construction of Dirichlet polynomials, which are almost periodic functions, "rapidly convergent "in the critical strip to Dirichlet L -functions.

On this path, for any rectangle lying in the critical strip, the existence of e -almost period for the Dirichlet L-function, we obtain the estimate constants of uniform continuity. Issues related to studying other properties of Dirichlet L -functions are discussed.

Keywords: Dirichlet approximation polynomials, Dirichlet L-functions, almost periodic functions.

Bibliography: 15 titles.

1 Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ (проект №16-01-00399).

1. Введение

Рассмотрим ¿-функцию Дирихле

¿<'.%> = ПО-Щ= Е%Пт,; • = &+«. (ч

где % — неглавный характер Дирихле.

В работах [1], [2], [3] указан численный алгоритм построения последовательности полиномов Дирихле которые в любом прямоугольнике Ит : 0 < &о < & < 1 Щ < Т, приближают ¿-функцию (1) с показательной скоростью. Показано, что для любого е > 0, Т > 0, при п > по, где

По

2Т + 11пе| - 1пТ

(2)

1п р

и где величина р > 1, в прямоугольнике Ит имеет место оценка

НД»-Яп(8)11с(Вт) <

Отметим, что величина р в формуле (2) определяется периодом характера % и легко оценивается снизу в зависимости от периода ! Например, для ! = 3, 4, 5, 6, 8,10

1 + \/5 р>^~.

Таким образом, при заданных е и ! при достаточно большом Т степень полинома Дирихле приближающего ¿-функцию Дирихле с точностью до е, можно считать соизмеримой с величиной Т. При этом будем использовать обозначение п

Там же [1], [2], [3] изучались свойства полиномов Qn(s), которые определяют соответсву-ющие свойства ¿-функций (1). Такой подход изучения свойств ¿-функций Дирихле получил название аппроксимационного подхода.

В нашем случае мы рассмотрим свойства полиномов Qn(s), характерные для почти периодических функций, каковыми являются полиномы Дирихле, и выясним, в какой степени эти свойства отражаются в поведении ¿-функций Дирихле. По поводу свойств почти периодических функций см. [4],[5].

2. Некоторые свойства Ь-функций Дирихле, имеющие аналог в теории почти периодических функций

Рассмотрим отдельные понятия и введём ряд обозначений, связанных с почти периодическими функциями. Обозначим через т(е) е-почти период почти периодической функции /(ж), т.е. для всех ж

|/(ж + т(е)) - Дх)| <е. Пусть Qn,a (¿) — почти периодическая функция вида

п

Qn,a(*) = ^ 1п ы, 0 < & < & < 1. (3)

к=1

Пусть ^(е) обозначает число, характеризующее равномерную непрерывность функции ( х)

|ж1 - Ж2| < ф) —> |¡(хг) - /(х2)| < е.

При заданных обозначениях имеет место

Лемма 1. Для заданного е > 0 для полинома вида (3) существует е-почти период т(е), для которого имеет место оценка

.... 2 ТТП £П .

| т(е)| <--+ -—+ С, 4

lnn 2 Inn

где константа С зависит только от, величины е и при достаточно больших n значительно меньше чем ¡п^.

многочленов вида (3), то есть для системы {е-г1nkt},k = 1,n.

Каждая функция е-г 1n kt является периодической функцией с периодом т^ = ¡Пр Пусть Гк (2) — число, характеризующее равномерную непрерывность этой функции на интервале |i| < Т, где Т — высота прямоугольника Dt, на котором многочлен Qn(s) приближает L-функцию с точностью до е. Величина Гк (2) определяется из соотношения

|е*lnЫ — 1| <

то есть, Гк (2) = 2Ш■ . .

Рассмотрим две функции, е-г1n и е-г 1п(^+1)4, Как показано в [4], Дополнение, §3, лемма 1, для двух данных периодических функций на отрезке [0, где I = max(т^, т^+i), найдётся пара 2-почти периодов fi = и 72 = rn2) где Г = min(Гк (2) , Гк+i (2)) а п\ъ n2 — целые числа, такие, что |tl — т21 <1- Более того, существует целое s, такое, что имеет место равенство:

Т1 - Т2 = П3Г] = тм - ?2,8. (5)

Далее, в [4] показано, что на отрезке [0, Ь], где Ь = I + 2Т, и где шах5 |г1,5| = Т, найтется

т = Т1 - Т1,8 = 72 - т2,8.

В нашем случае т1 и т2 с точностью до 2 являются величинами, кратными периодам тп и Тга+1-

Определим минимальное значение Ь, при котором будет выполняться неравенство |т| < Ь. Пусть ко — такое натуральное число, что 2 > тпр- Тогда при к > к0

| П — 72 | =

Отсюда в силу (5) имеем:

2тт 2тт

ln k ln(k + 1)

2^ ln

ln k ln(k + 1)

<

2 ln

— 72,s| =r (!)

.2/

и, следовательно, |ns| = 1. Таким образом, имеем:

iii \ i e 2n e

M = | Ti — т 2| < l + ^TT— = T-- +

2 ln n ln n 2 ln n

Следовательно, для многочлена

у^1n^, n >no, ^ ka ' > 0'

к=ко

е-почти период т будет удовлетворять неравенству

п „ п

И < тгт +

ln к 2 ln к

к=к0 k=ko

п

Учитывая, что ^ tu ~ Tan (напРимеР) [6])) из последнего неравенства получаем, что k=i n nп

е-почти период т для многочлена Qn,a(t) вида (3) удовлетворяет неравенству

. . 2ттп еп ^

kl < ]— + ^—+ с,

ln п 2 ln п

где константа С зависит только от е, что и завершает доказательство леммы 1. □

В силу результата относительно аппроксимационных полиномов Qn(s), приведённого во введении, и в силу леммы 1 получаем следующее утверждение.

Теорема 1. Для любого е > 0 и любого Т > Т0 найдётся такое положительное число т < tp, что для всех s, лежащих в прямоугольнике Dt : 0 < а1 < а < 1, Щ <Т, и таких, что s + гг£ Dt, для, L-функции Дирихле выполняется неравенство

|L( s + iт) — L(s,X)l <£. (6)

L

периодических функций, оценка (6) имеет место в ограниченной области.

Далее рассмотрим прямоугольник Dt : 1 < а < 1, |i| < Т. Пусть полином Дирихле Qn(s) приближает в прямоугольнике Dt L-функцию Дирихле L(s, х) с точностью для величины е.

В этом случае имеет место следующее утверждение.

( )

нома Qn(s) в прямоугольнике Dt имеет место оценка, вида

С

Ф) <

Inn-Т2

где константа С не зависит, от, п и е.

Доказательство. Рассмотрим известное неравенство (см., например, [7]):

Шв) - Qn(5о)| - Ю'п(«о)(« - «о)| < Шв) - Qn(5о) - Q'n(s0)(« - «о)| = <Ф - «о|).

= | - о|

Ш«) - Qn(Sо)| < Шво)|5 + 0(6) < £

имеет место, если

5< ЮМ. (7)

Покажем, что имеет место эквивалентность

)11с (ВТ) - 1пптп(8)11с{Пт). (8)

С этой целью сравним величины

Н^О^Нсрт) и Шз^^аот).

Обозначим через 5п(з) частичную сумму ряда Дирихле, определяющего Ь-функцию Дирихле. Пусть 5(х) — сумматорная функция коэффициентов Ь-функции, а 5*(х) — сумматорная

Ь

рования Абеля получаем:

|5*(х)| =

Г

5(х) 1пх - у

Б (и)

du

и

< 1пх|5(х)| + 1пх ■ шах |5(п)| < С 1пх ■ шах |5(п)|

п<х

п<х

где константа С не зависит от х. Таким образом, имеем:

С х

Пусть

|5*(х)| < С 1п х,

5(и) =

\ Б (и), и <п,

(п), и > п.

Тогда для функции 5п(з) имеет место интегральное представление:

г с

Бп(«) = 5 у

ад, г б (и) ^и = 81

и

з+1

1 и

+1

du + 8

5(п)

и

+1

du.

Аналогично получаем:

Гс

Б'п (*) = ^ у

5*(и) , Г Б* (и)

^и = 81 — 1 и

и

+1

+1

du + 8

5*(п)

и

з+1

и.

Отсюда для 8 € Ит и для достаточно больших п будут выполняться неравенства

Щз,х) -Бп(8)1 <

Б (и)

и

3+1

du

+

Б (п)

и

з+1

и

С Т

< С^ ^

п 2

(9)

(10)

(11)

(12)

1Ь'(8,х) -Б'п(5)| <е.

В последнем неравенстве мы воспользовались условием (9). Рассмотрим

п<ХХ( ) , '() Х3^ х>п.

Аналогично 5* (х) и 5* (х).

Тогда при Щ < Т имеет место неравенство:

|5*(п)| < С11пп ■ шах|54(к)|,

к<п

С1 п

Действительно,

|5*(п)| < 1пп|ЗД| +

Бс(и)

du

и

< 1пп| 5с(п)| + 1пп ■ шах |Бс(к)|.

к п

(13)

(14)

Как показано в работе [7] в случае неглавного характера Дирихле при Щ < Т имеет место оценка |5с(х)| < С, где константа С те зависит от х. Следовательно, шахк<п |5с(к)| есть константа, не равная нулю и не зависящая от х. Отсюда получается неравенство (14).

оо

оо

оо

и

п

Обратно, в силу (14)

< lS*(n)l + -^max < f2- max lS*(fc)l,

inn inn k<n inn inn fc<ra

(15)

где константа С2 не зависит от n.

При достаточно большом n получаем:

ISn(s )| =

Аналогично,

а

St(u) иа+1

du

<

а I" S^d-u

uF+1

+

а

St (n)

du

SWl <

rs*(u).

а du

,a+1

u

+ e.

<

а

ад

u^1

d u

+ e.

!1 и

п

ность:

^га )||С (От) - 1пп1 ¡М^Нс^т).

п

1 llL'(s,x)\\c(DT) - lnnllL(s,x)llc(DT) 1 <£. Известно (см. [8]), что при |i| < Т

(16) (17)

Ч 2+г Ч\=о (т 2)

Далее, при s G Dt имеем:

1 Г Sn(s) = - , а J i u

Отсюда получаем:

1 r*<u>du + - Г

<7+1

,а+1

)| < тах к)1( 1 - -1) < СТ2,

к<п \ п" у

С п

Следовательно, для € Ит имеет место оценка

¡¿(в ,%)1<СТ 2.

Тогда и для полинома Qn(з) при в € Ит и при достаточно больших п выполняется неравенство

^п(в)|< СТ1, (18)

С п

В силу (16), (17) получаем условие (8), из которого с учётом (18) следует оценка

1

п "

llQn(s)llc(DT) <Сinn Т1

С п

Отсюда в силу (7) имеет место оценка

Се

inn ■ Т2

где константа С не зависит от n и е, что и завершает доказательство леммы 2. □ Как следствие леммы 2 получаем следующее утверждение:

оо

оо

га

Теорема 2. Для Ь-функции Дирихле в прямоугольнике Ит для константы равномерной ( )

С

Ф) <-г,

1пТ -Т 2

С

3. Заключение

Ь

ческой полосе, решение которых может быть получено на основании аппроксимационного подхода.

В 1975 году С. М. Воронин впервые доказал, что вертикальные сдвиги дзета-функции Ри-мана с любой точностью приближают аналитические функции, не равные нулю внутри круга радиуса г, 0 < г < и непрерывные на границе этого круга. Это свойство дзета-функции Римана С. М. Воронин назвал свойством универсальности. Позднее С. М. Воронин доказал свойство универсальности для достаточно широкого класса эйлеровых произведений, в частЬ

глубокие результаты, полученные С. М. Ворониным, относительно определённых функциональных рядов в пространстве Харди (см. по этому поводу работы [9],[10], [11])-

Ь

рихле, основанный на переносе отдельных свойств почти периодических функций, каковыми

Ь

ния функций непрерывными сдвигами, следует рассмотреть и задачу приближения дискретными сдвигами, при решении которой в последние годы были получены новые результаты (см. [12])-

Далее, в работах [13], [14], [15] был разработан численный алгоритм построения аппрокси-

Ь

Ь

ловых полей, характерные для почти периодических функций.

Отметим, что решение поставленных выше задач планируется привести в других работах автора.

список цитированной литературы

1. Матвеева. О. А. Аппроксимационные полиномы и поведение L-функций Дирихле в критической полосе // Известия Сарат. ун-та. Математика, Механика. Информатика — Саратов, изд-во СГУ, 2013, Вып. 4, ч. 2, С. 80 - 84

2. Матвеева. О. А. Аналитические свойства определенных классов рядов Дирихле и некоторые задачи теории L-функций Дирихле: Диссертация на соискание ученой степени к. ф.-м. п. — Ульяновск, 2014, 110 с.

3. Кузнецов В. И., Матвеева О. А. О граничном поведении одного класса рядов Дирихле с мультипликативными коэффициентами // Чебышевский сборник — Тула: изд-во ТПГУ, 2016, т. 17, Вып. 3, С. 115 - 124

4. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости — М.: Изд-во МГУ, 1998, 480 с.

5. Левин Б. Я. Расиредление корней целых функций — М.: Изд-во технико-теоретической литературы, 1956, 632 с.

6. Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел — М.: Наука, 1983, 239 с.

7. Чудаков Н. Г. Введение в теорию L-функций Дирихле — М.: Изд-во технико-теоретической литературы, 1947, 202 с.

8. Матвеев В. А., Матвеева О. А. О поведении в критической полосе рядов Дирихле с конеч-нозначными мультипликатиными коэффициентами и с ограниченной сумматорной функцией // Чебышевский сборник — Тула: изд-во ТПГУ, 2012, т. 13, Вып. 2, С. 106 - 116

9. Воронин С. М. Об универсальности дзета-функции Римана // Изв. АНСССР, Серия Математика, 1975, т. 39, №3, с. 457 - 486

10. Воронин С. М. Аналитические свойства производящих функций Дирихле арифметических объектов: Диссертация на соискание ученой степени д. ф.-м. п., MIIAII СССР — М.: 1977, 90 с.

11. Воронин С. \!.. Карацуба А. А. Дзета-функция Римана — М.: Физматлит, 1994, 376 с.

12. Mishou H. The joint distribution of the Riemann zeta-function and Hurwitz zeta-function // Lith. Math J., 2007, vol. 47, №1, P. 32 - 47.

13. Кузнецов В. И., Матвеев В. А. К задаче численного определения нулей L-функций Дирихле числовых полей // Чебышевский сборник — Тула: изд-во ТПГУ, 2015, т. 16, Вып. 2, С. 144 - 155

14. Матвеев В. А. Об одном численном алгоритме определения нулей L-функций Дирихле числовых полей // Материалы XXIII Международной конференции "Алгебра, теория чисел: современные проблемы и приложения—Тула: изд-во ТПГУ, 2015, С. 233 - 234

15. Матвеев В. А., Матвеева О. А. Об одном подходе получения плотностных теорем для нулей L-функций Дирихле числовых полей. // Материалы XXIII Международной конференции "Алгебра, теория чисел: современные проблемы и приложения—Тула: изд-во ТПГУ, 2015, С. 234 - 235

references

1. Matveeva, О. А. 2013, "Approksimacionnye polinomy i povedenie L-funkcij Dirihle v kriticheskoj polose", Saratov: izd-vo SGU, Izvestija Sarat. un-ta. Matematika, Mehanika. Inform,atika., iss. 4, vol. 2, pp. 80 - 84.

2. Matveeva, O. A. 2014, "Analiticheskie svojstva opredelennvh klassov rjadov Dirihle i nekotorve zadachi teorii L-funkcij Dirihle", Ulyanovsk: Thesis for the academic degree of the Ph.D., pp. 110.

3. Kuznetsov, V. N. Matveeva, O. A. 2016, "O granichnom povedenii odnogo klassa rjadov Dirihle s mul'tiplikativnymi koj efficient ami", Tula: izd-vo TPGU, Chebyshevskij sbornik., iss. 4, vol. 17, pp. 115 - 124.

4. Demidovich B. P. 1998, Lekcii po matematicheskoj teorii ustojchivosti , Moscow, MSU publ, pp. 480.

5. Levin B. Ja. 1956, Raspredlenie kornej celvh funkcij , Izd-vo tehniko-teoreticheskoj literatury., pp. 632.

6. Karatsuba, A. A. 1983, Osnovv analiticheskoj teorii chisel, Moscow, Nauka, pp. 239.

7. Chudakov N. G. 1947, Vvedenie v teoriju L-funkcij Dirihle , Izd-vo tehniko-teoreticheskoj literatury., pp. 202.

8. Matveev V. A. Matveeva, O. A. 2013, "O povedenii v kriticheskoj polose rjadov Dirihle s konechnoznachnvmi mul'tiplikatinymi kojefficientami i s ogranichennoj summatornoj funkciej", Tula: izd-vo TPGU, Chebyshevskij sbornik., iss. 2, vol. 13, pp. 106 - 116.

9. Voronin S. M. 1975, "Ob universal'nosti dzeta-funkcii Rimana", Izv. ANSSSR, Serija Mate-matika, №3, vol. 39, pp. 457 - 486.

10. Voronin S. M. 1977, "Analiticheskie svojstva proizvodjashhih funkcij Dirihle arifmeticheskih ob'ektov:", MIAN SSSR : Thesis for the academic degree of Doctor of Science., pp.90.

11. Voronin S. M. Karatsuba, A. A. 1983, Dzeta-funkcija Rimana , Moscow, Fizmatlit, pp. 376.

12. Mishou H. 2007, "The joint distribution of the Riemann zeta-function and Hurwitz zeta-function" Lith. Math J., vol. 47, №, pp. 32 - 47.

13. Kuznetsov, V. N. Matveev, V. A. 2015, "K zadache chislennogo opredelenija nulej L-funkcij Dirihle chislovvh polej", Tula: izd-vo TPGU, Chebyshevskij sbornik., iss. 2, vol. 16, pp. 144 -155.

14. Matveev, V. A. 2015, "Ob odnom chislennom algoritme opredelenija nulej L-funkcij Dirihle chislovvh polej", Tula: izd-vo TPGU, Materialy XXIII Mezhdunarodnoj konferencii "Algebra, teorija chisel: sovremennye problemy i prilozhenija", pp. 234 - 235.

15. Matveev V. A. Matveeva, O. A. 2015, "Ob odnom podhode poluchenija plotnostnvh teorem dlja nulej L-funkcij Dirihle chislovvh polej.", Tula: izd-vo TPGU, Materialy XXIII Mezhdunarodnoj konferencii "Algebra, teorija chisel: sovremennye problemy i prilozhenija", pp. 235 - 236.