О нулях функции Харди и её производных, лежащих на критической прямой Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 20. Выпуск 4.

УДК 511.3 DOI 10.22405/2226-8383-2019-20-4-357-370

О нулях функции Харди и её производных, лежащих на

критической прямой

Ш. А. Хайруллоев

Хайруллоев Шамсулло Амруллоевич —кандидат физико-математических наук, докторант кафедры алгебры и теории чисел, Таджикского национального университета (г. Душанбе).

e-mail: [email protected]

Аннотация

Функция Харди Z(t) принимает вещественные значения при вещественных значениях t, и вещественные нули Z(t) являются нулями £(s), лежащими на критической прямой.

Первым результатом о пулях дзета-функции Римана С(s) на критической прямой является теорема Г.Харди. В 1914 г. он доказал, что С(1/2 + it) имеет бесконечно много вещественных нулей. Затем Харди и Литтлвуд в 1921 г. доказали, что промежуток (Т, Т + Н) при Н > Т 1/4+е содержит нуль нечётного порядка ((1/2 + it). Ян Мозер в 1976 г. доказал, что это утверждение имеет место при Н > Т1/6 ln2 Т. В 1981 г. А.А.Карацуба доказал теорему Харди-Литллвуда уже при Н > Т5/32 ln2 Т.

В 2006 г. З.Х.Рахмонов, Ш. А.Хайруллоев задачу о величине промежутка (Т, Т+Н) критической прямой, в которой содержится нуль нечётного порядка дзета-функции, свели к проблеме отыскания экспоненциальных пар для оценки специальных тригонометрических сумм.

В 2009 г. З.Х.Рахмонов, Ш.А.Хайруллоев нашли нижнюю грань величины 6i(k,l) по V — множеству всех экспоненциальных пар (к, I), отличных от (1/2,1/2) и имеющих вид

inf в1(к; I) = R +1,

(k,i)eT

где R = 0.8290213568591335924092397772831120 ... - постоянная Ранкина.

В 1981 г. А.А.Карацуба вместе с задачей о соседних нулях функции Z(t) также изучил задачу о соседних точках экстремума или точках перегиба функции Z(t) или в более общей подстановке — о соседних нулях функции Z(j)(i), j ^ 1. ^н ^то с увеличением j

длина промежутка, на котором заведомо лежит пуль Z(j)(i), уменьшается.

Основным результатом этой работы является сведение задачи о величине промежутка (Т, Т + Н) критической прямой, в которой заведомо лежит пуль нечётного порядка функции Z(j)(t) (j > 1), к проблеме отыскания экспоненциальных пар для оценки специальной тригонометрической суммы и уточнение теоремы А.А.Карацубы при j = 1.

Ключевые слова: функция Харди, экспоненциальная пара, критическая прямая, дзета-функция Римана.

Библиография: 15 названий. Для цитирования:

Ш. А. Хайруллоев. О нулях функции Харди и её производных, лежащих на критической прямой // Чебышевский сборник, 2019, т. 20, вып. 4, с. 371-384.

CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 20. No. 4.

UDC 511.3 DOI 10.22405/2226-8383-2019-20-4-357-370

On the functions of Hardy zeros and its derivatives lying on the

critical line

Sh. A. Khavrulloev

Khayrulloev Shamsullo Amrulloevich ^candidate of physical and mathematical Sciences, doctoral candidate of the Department of algebra and number theory, Tajik national University (Dushanbe).

e-mail: [email protected]

Abstract

Hardy function Z(t) takes real values for real values of t and real zeros of Z(t) are the zeros of C(s), that are on the critical line.

The first result of the zeros of the Riemann zeta function on the critical line is the G.Hardy theorem. In 1914 he proved that ((1/2 + it) has infinitely many real zeros. Then Hardy and Littlewood in 1921 proved that the interval (T, T + H) when H > T 1/4+e contains odd order zero of function ((1/2 + it). Jan Moser in 1976 proved that this assertion holds for H > T1/6 ln2 T. In 1981 A.A.Karatsuba proved Hardy-Litllvud theorem already for H > y5/32 ln2 T.

In 2006 Z.Kh.Rahmonov, Sh. A.Khayrulloev have reduced a problem of the magnitude of the interval (T, T + H) of the critical line, which contains an odd order zero of the zeta function to the problem of finding an exponential pairs for estimating the special trigonometric sums.

In 2009 Z.H.Rahmonov, Sh.A.Khayrulloev find the lower bound of 61(k, /) on V the set of all exponential pairs (k, I) of different from (1/2, 1/2) and having the form:

inf d1(k; I) = R +1,

(k,i)eV

where R = 0.8290213568591335924092397772831120 ... - Rankin constant.

In 1981 A.A.Karatsuba has studied the problem of neighboring zeros of the function Z(t) together with the problem of the neighboring extremum points or of inflection points of the function Z(t) or in a more general substitution - of the neighboring zeros of functions Z(j)(t), 3 > 1

The main result of our work is to reduce the problem of the magnitude of the interval (T,T + H) of the criticd line, which is known to be a odd order zero of the function Z(j)(t), (j > 1) to the problem of finding the exponential pairs for estimating the special trigonometric sum and to improve the A.A.Karatsuby theorem for j = 1.

Keywords: Hardy function, exponential pair, critical line, the Riemann zeta function.

Bibliography: 15 titles.

For citation:

Sh. A. Khayrulloev, 2019, "On the functions of Hardy zeros and its derivatives lying on the critical line" , Chebyshevskii sbornik, vol. 20, no. 4, pp. 371-384.

1. Введение

Функция Харди 2(¿) задаётся равенством

2(0 = е"^ (2 + <() , е-"> = х-2г (4 + |) | Г (1 + |) |-1,

принимает вещественные значения при вещественных значениях и вещественные нули 2(¿) ( )

( )

теорема Г.Харди [1]. В 1914 г. он доказал, что £(1/2 +г¿) имеет, бесконечно много вещественных нулей. Затем Харди и Литтлвуд [2] в 1921 г. доказали, что промежуток (Т,Т + Н) при Н ^ Т 1/4+е содержит нуль нечётного порядка С(1/2 + И). Ян Мозер [3] в 1976 г. доказал, что это утверждение имеет место при Н ^ Т1/6 1п2 Т. В 1981 : г. А.А.Карацуба [4] доказал теорему Харди-Литллвуда уже при Н ^ Т5/32 1п2 Т.

( Т, Т + Н)

содержится нуль нечётного порядка дзета-функции была сведена к проблеме отыскания экспоненциальных пар для оценки специальных тригонометрических сумм, то есть пусть (к, I)

(1/2, 1/2)

тогда промежуток (Т, Т + Н); при Т ^ То > 0 Н ^ Тв(к'1) ln2 Т содержит нуль нечётного порядка дзета-функции Римана.

Заметим, что минимизация 9(-, I) равносильна минимизации 9i(-, I), и теорема A.A. Ка-рацубы с Н ^ Т5/32 ln2 Т является следствием соотношения (1) при

(-, 1)=14)=ААв<°1), «1 (¿, 14)=11=1,8(3),

/1 1Л 5 —;,—;) = — = 0.15625.

V14'14/ 32

В работе [10] найдена нижняя грань величины 01(к, I) по V — множеству всех экспоненциальных пар (к, I), отличных от (1/2,1/2) и имеющих вид:

м 01 ( к;1) = К + 1,

где К = 0.8290213568591335924092397772831120 ... - постоянная Ранкина.

А.А.Карацуба [4, 5, 6, 8] вместе с задачей о соседних пулях функции 2(¿) также изучил задачу о соседних точках экстремума или точках перегиба функции 2(¿) или в более общей подстановке - о соседних пулях функции 2(:?')(£), 2 ^ 1. Он показал, что с увеличением ] длина промежутка, на котором заведомо лежит пуль 2(:?')(£), уменьшается, и доказал следующее.

Теорема 1. Пусть ] - натуральное число, Т ^ Т0(]) > 0. Тогда промежуток (Т,Т + Н) при

1 2 Н ^ сТ <у+6 (1пт) +, с = ф') > 0

содержит нуль нечётного порядка, функции 2

Основным результатом настоящей работы является сведение задачи о величине проме-( Т, Т + Н)

функции 2(,?)(£) а > 1), к проблеме отыскания экспоненциальных пар для оценки специальной тригонометрической суммы и уточнение теоремы 1 при ] = 1.

Теорема 2. Пусть (к, I) - произвольная экспоненциальная пара, j- натуральное число,

dj(к, 0 = 1|1--1- |, Sj(к, /)= l+j

Л ' ; ° ^ 2 - S-1(k, l)j зУ '

2\ 2 - ö~\k, l)y ^ ' ' 0, 5 -к + j

2

Тогда, при Н » Тв>(к;1) (1 nТ)J+1, Т > To(j) > 0 промежуток (Т,Т + Н) содержит нуль нечётного порядка, функции Z(j)(i). Заметим, что

о, (1 - 2) = — •

то есть теорема А.А.Карацубы является следствием теоремы 2 при

(к, 1) = АВ(0,1) = Q, 0 .

Метод оптимизации экспоненциальных пар позволяет найти нижнюю гран величины öj (к, I) при j = 1.

Теорема 3. Пусть V\ - множество всех экспоненциальных пар (k, I), тогда

inf 5i( к, 0 = sj —, —^)=1 —, (k,i)eri 1( , ) Ч106, 106 У 146,

) = АВА2ВА2(1,0 .

где

(Ü, ?5)=ава'ва>(1,1

106 106 2 2

Следствие 1. Пусть Т1 - множество всех экспоненциальных пар (к, I), тогда

(к,1)еТг 1 ! Ч106 106/ 432 12 432

Отметим, что этот результат является уточнением теоремы 1 при ] = 1- Доказательство теорем 2 и 3 проводится методом оценки специальных тригонометрических сумм Вандер Корпута и методом оптимизации экспоненциальных пар [11] в сочетании с методами работ [7, 10* 12, 13].

2. Известные леммы

Лемма 1. При £ > 2^ для, функции 9{Ъ), справедлива, формула

где

m = 4 1n ^ + 4^) + 1 arctg 1 - 2 / , P(U) = 1 -

[14]. При любом целом, числе j > 0 и t > 2тг справедливы следующие равенства Z%)=2 V (т ~/}nn)3 cos(0(i)-t lnn + Ц) + 0(Г4 ln^+11),

\/П 2

( е'(1 ) - 1П п) = (1 ь 2х - 1П^ 5 + О ( 1п^) ,

причем постоянная в знаке О зависит только от, ].

Лемма 3. (О замене т,ригоном,ет,рических сумм более короткой) [15]. Пусть вещественные функции у(х) и ¡(х) удовлетворяют на, отрезке [а, Ъ] следующим условиям:

1) /(4)(х) и у"(х) непрерывны;

2) существуют числа, Н, и, А, 0 < Н, 1 ^ А ^ и, 0 < Ь — а < и, т,акие, что

/"(х) х А-1, f(3)(х) < А-1и-1, /(4)(х) < А-1и-2,

у(х) < Н, у'(х) < Ни-1, </(х) < Ни-2. Тогда, определяя числа, хп из уравнения ¡'(хп) = п, будем иметь

^ у(х)е(/(х)) = ^ с(п)2(п) + К,

а<х<Ъ /'(а)<п</'(Ь)

Д = О (Н(А(Ь - а)-1 + Та + ТЬ + ln(/'(b) - f(a) + 2)))

0, если f (ß) -целое чиело,

Т = ^ min (||/'(ß)||-\ VA) , если ||/'(ß)|| = 0;

^ ^ 11, если f (а) < n < f'(b),

[1/2, если n = f'(a) или n = f(b),

Z(n) = 1+ eXP(2lTi(f(xn) - nxn)).

v2 V f"(xn)

Лемма 4. [14]. Пусть f (х) комплекснозначная непрерывно дифференцируемая функция на отрезке [ (а, Ь], сп-произвольны,е комплексные числа, тогда

Г ь

Спf(n) = - С(x)f'(x)dx + С(b)f(b),

_________Ja

-n

a<n<b

где

С(x) = Cn.

a<n<x

Определение 1. Если В > 10 < h < В, F(и) е СВ, 2В), А > 1,

АВ1-r < IF(г)(и) I< АВ1-, г = 1, 2, 3,..., где постоянные под знаком ^ зависят, только от, г, и имеет место оценка,

^ е(F(п)) ^АкВ1, 0 <к < 0, 5 0, 5 <1< 1,

B<n<B+h

то пара (к, I) называется экспоненциальной парой.

Тривиальная оценка показывает, что (0,1) является экспоненциальной парой. Е. Phillips ( к, )

А(к,I) = , 2 + — пР°^сс),

В(к, I) = ^I — 1, к + ^ (В — процесс)

также являются экспоненциальными парами.

Множество всех экспоненциальных пар получавшиеся из (0,1) при помощи А и В — процессов обозначается символом V. Пусть

»<*•<> = £+2+7 ■ (2)

и числа и, v, w определяются следующим образом:

и = bf — се, v = af — cd, w = ае — bd. (3)

Нахождения нижнего грана функции inf 9(к, I) по множеству V проводится методом оптимизации экспоненциальных пар [11], состоящих из следующих трёх лемм 5, 6, 7.

Лемма 5. [11]. Пусть 9(к, I) определяется формулой (2) и dк + el + f > 0. Пусть и, v,

w

г < inf (к + 1).

Пусть

Y = max(wr + v — и, w + v — и), Z = min(wr + v — и, w + v — и).

Тогда если Z ^ 0, mo inf в = inf 9 А, если же Y ^ 0, mo inf 9 = inf 9ВА.

Y > 0 Z < 0

ответ лемма 6.

Лемма 6. [11]. Пусть 9( к, I) иг определяется ка, к лемма, 5. Пусть С являются некоторые произведение состоявшихся из конечного количество А и В процессов, такое что

inf 9ВА = inf 9 В AC.

Пусть далее

8ир(к + 1: (к, I) еСАР} = п. Если min(rw + v — и, r1w + v — и) ^ 0 тогда inf 91 = inf 91А.

, и, , w

лентмы:

a. inf 9 = inf 9Aq Vq ^ 0; inf = (0, 1)

с. w + v ^ и, и ^ 0.

3. Оценка специальная тригонометрическая сумма

Лемма 8. Пусть (к, I)- произвольная экспоненциальная пара и ¿о > 0, л/р! <М < р1, М1 < 2М, Р1 = Тогда для, тригонометрической суммы

С (и, М ) = £ е( ),

М<т<М\ '

справедлива следующая оценка,

\С(и, М)| < Р2-'М-2

2 — Л/Г-1 +к+21

Р1

г = 2ж(Р1 + в)2, 0 < в< 1. (4)

Применяя формулу Тейлора и пользуясь (4), имеем

11п(Р1 -ш)=ПпР1 - 2кР1т - М2Р1вр+ °2)т - «т2-2тт(2Рх0 + в2)т2 . ( т3 . т4

т3 т4

^ЗрЗ + 4Р14 + "7 .

2 Р12

С( и, М) т

\С(и,М)\ < \У1\ + \У>\,

где

причем

VI = Е е(/(т)), У2 = ^ е(д(т)),

0,5 М<т<0,5 М1 0,5(М-1)<т<0,5( Мх-1)

те

/( т) = «1(2т) + «2(2т)2 + ^

&=3 1

(2т + 1)й

д(т) = «1(2т + 1) + «2(2т + 1)2 + ( , + ) ,

к=з кР1

«1 =(20 Р1 + 02)Р-«2 = (20 Р1 + 02)Р-2, ¿1 =

Суммы У\ и У2 оценивается одинаковым образом. Оценим например У\. Для этого преобразуем У\, пользуясь леммой о замене тригонометрической суммы более короткой (лемма 3). Положим в этой лемме

<р(х) = 1, Н = 1, и = М, а = 0, 5М, 6 = 0, 5МЬ

Из уравнения /'(хп) = п находим хп:

хп = 8 (уп2 + 8Р1 (2« -п) - п) .

Обозначим щ, П2, Ф(п) соответствующие величины

П1 = /'(0, 5М), п2 — /'(0, 5М1), Ф(п) = VI/"(хп)|. Легко видеть, что 1 ^ М2Р-1 ^ щ < п2 ^ М2Р1-1. Применяя лемму 3, находим

«

Ф 1(п)е( ¡(хп) —пхп)

П1<П<П2

+ л/РМ-.

п Ф( п)

найдем

|У1| < ДМм-1

Последнюю сумму оценим, применяя метод экспоненциальных пар

^ е( /(хга) — пхп)

+ у/Р1М -1.

Р(п) — /(хп) ■ОХп, Р (хп) — / (хга) • хп хга пхга — хп

хп = ^ л/п2

(уп2 + 8 Р1(2«1 — п) — п) , |х„| < л/Рп

м2

~Р1

— М,

А — М, В — М2. |У1| < ^Р1М-1 • АкВ1 — Р]2 -2

Таким образом получим оценку

|С (и,М )|<Р12 М - 2

-гл л-1 +к+21

Лемма доказана.

4. Доказательство теоремы 2

Пусть Т <1 <Т + Н, Н < Т 6 , ^'-четное число, тогда приближенное функциональное уравнение для 2(лемма 2) принимает вид

2(Л(*) —(—1)2 • 2 £ ~_1ппР С08(^) — Ппп)+О(1-1Ы+11).

величины величиной Р — так°й замены правая часть изменится на величину

порядка не выше Т-4 Ш Т. Действительно, пользуясь леммой 2, найдем

9'(£) — 1пп)^'| <

('п ^ — 'п VI) ' + Т (2'п (1+Н))'+¥ « (?)

<

поэтому

£

<п<

(в'(г) — 1пп)

п

<Т - 4

И?—+>) ■(?)

1

Пользуясь асимптотическим поведением Д(£), Д'(£), в'(¿) можно показать, что(см.

[14])

= (-1)22 Е Р сов ШпР - - - - - Шп) + 0(Т-4 1П+1Т).

п<Р^П п V 28 /

Не ограничивая общности, можно предполагать, что 2 + 8 = 2—К, К-целое число. Поэтому приходим к формуле

Ра) = (-1)22 е --1п р «»(* 1п п) + о(--11п+1 Т), р =

п<Р

2 + | = 2—К +

общности, что 2 + ? = 2—К + 2, приходим к формуле

г*(г) = (-1)2 Е Рсов (ш +о(т-41П+1-). п< Р п п п

рассматривать функцию

1 Р Р 1

Ф(*) = Ф^) = Е -р 1П - со^ 41п - ] + 0(Т-11П+1 Т)

и доказывать существование у нее нечётного нуля на промежутке (Т, Т + Н). Повторяем рассуждения работы [9]. Определим числа Ьи из уравнения ^ 1пР = —и и будем рассматривать V такие , что выполнялись неравенства

Для этого возьмем

0

Т 1пР

—

Т < г^<Т + Н. 1п Р

+ 1, г = [1п Т], Н1 =

Н 1п Р

—

—

и определим числа V равенством

V = щ + ^ + ... + ь'г, 0 < щ,..., иг < Н1 - 1,

в котором щ — постоянное число, а числа VI, 1*2,..., ^г могут принимать значение любых целых

[0 , Н1 ]

Рассмотрим две суммы 51 и 52 •

Я1-1 Я1-1 Я1-1 Я1-1

51 = Е ... Е ), 52 = Е ... Е (-1)'),

'1=0 иг=0 '1=0 ьу=0

и будем доказывать неравенство \5'2\ > \51 \. В силу определение ^ имеем

51 = у1... Ну' V —= 1п Р сов ( 1п + 0(Н[ Т- 4 Т), ^ ^ ¿—'хрп п V 1пР п 41 '

'1=0 иг =0 п<Р у к 7

Н1 -1 Я1-1 1 р

^2 — £ ... £ Е 1п Р 1пп) + О(НТ-4 1п^Т).

^1=0 =0 п<Р

Оценим снизу |52|. Для этого выделим в сумме, которой задается 52, слагаемое с п — 1, оно будет равно числу Н[ (1пРОставшуюся часть суммы 52 оценим сверху величиной К, подобно тому как это было сделано в работе [9].

к < £

2< п<Р

Н1-1 , , ч г

¿о'

<

Е

1

^=о 1пп 4 -г

(1пР)' <

21п Р

(1пР) < Т4 (41пР)г(1пР)

2<п<Р

то есть для |52| получаем следующую оценку

52 — Н[ 1^Р [1 + О(Т4 (4Н-11пР)г)+О(Т-11пТ) .

Оценим сверху |5х |. Интервал суммирования по п в сумме 1 разобьем па два интервала вида

1 < п < (1 — Д)Р и (1 — Д)Р <п < Р, где Д — 8Н-11п Р.

Соответственно этому разбиению, 51 представится суммою двух слагаемых:

51 — 5з + 54.

Сумма 5з оценивается так:

|5з| < 4-гН[Т4 1п Т < Н\Т-4 Ы+1 Т.

54

|54| < Н

Е

Р1(1-Д)<п<Р1

_ 1 лР (11п п п 2 щ —е п

1п п

+ н1 т - 4ш'+1 Т,

где

Р1 — [Р], Д —8Н-11п Р.

Сумму по п обозначим через 55 и пологая п — Р1 — т найдем

55 — £

1n'p4—¿p ( Пп(Р1 — т) \/Р1 — т

(Пп(Р1 — т)\

V ).

0<т<АР1

Промежуток суммирование по т разобьем на ^ 1пТ промежутков вида

М < т <М1 < 2М < ДР1;

найдем

|55| «

£ (Р1 — т) 1 Ш

Р

М<т<М1

Р1 — т

(Пп(Р1 —т) \

V 2Х )

1п Т.

Применяя частное суммирование, получим

|55| <М3Р-3-2

Е «(^М)

М<т<М1

1п Т.

Сумму по т обозначим через С (и, М). Если М < ^Р то сумму С (и, М) оценим тривиально, числом слагаемых:

\55\ « М:>+1Р1 ■ 1пТ « Р^ ■ Р2 1пТ « Р-6 1пТ « Т-12 1п Т.

Если ^Р < М < ДР1, то для оценки суммы С (и, М) воспользуемся методом экспоненциальных пар. Находим

\55\ « М^к+21 -1Р-э-11пТ « Рк+1 -2Н2-з-к-21 (1пТу+к+21+1

«Т ^ - 4 н 2--к-21 (1пТ )^'+3.

Следовательно, для 5*1 получим окончательную оценку:

51 « Н 1п Р (т-12 + Т^-4Н1 --к-211п2 т) .

Сравнивая эту оценку для 5*1 с ранее найденной асимптотической формулой для 52, видим, что для выполнения неравенства \52\ > \51\ достаточно, чтобы выполнялись следующее неравенства:

Т- 12 « 1; Т - 4Н 2-3-к-21 1п2 Т « 1, Т 4 (4Н-11пР) « 1.

Первое неравенство выполняется при Т ^ 1. Второе и третье неравенства выполняются соответственно, если

* \ 2 - S:

i + j

Öj (k 0 = пс 7. , „• , Я1 ^ 4Т 1пР »1пр.

1

, W > 47'

0, 5 - k + j

Теорема доказана.

5. Доказательство теоремы 3

Для доказательства теоремы 3 применяем алгоритм определения оптимальных экспоненциальных пар [8], который состоит из следующих шагов:

Т~Г Л ^k + bl + С JJ irr,

1. Проверяем для о = —----, уеловие ak + еI + т > 0.

dk + el + j "

2. Вычисляем £(0).

3. Применяя лемму 7 к 0, проверяем, выполняется ли условие inf в = 0(0,1). Если это выполняется, процесс закончен. В противном случае, переходим к следующему шагу.

4. Используя лемму 7 к в В, проверяем, выполняется ли условие inf в = в , 2). При выполнении процесс закончен. Если иначе, продолжаем.

5. Используем лемму 5 для проверки равенства inf в = inf в А, либ о inf в = inf в В А. Если лемма 5 неприменима, применяем лемму 6. Если и лемма 6 неприменима, то завершаем алгоритм, ибо он в этом случае не работает.

inf = inf А ( ) ( А)

inf = inf В А ( ) ( В А)

В противном случае возвращаемся к шагу 5.

Применяем этот алгоритм для

1 + 3

Sj (М) =

0, 5 — к + ]'■ — 1

После некоторого количества итераций получим, что

2 2 139к + 251 + 99

5\АВА2ВА2 =

112k + 20 1 + 80

Применим лемму 5, так как У > 0и2< 0 то в этом случае используем лемму 6. Согласно утверждению леммы, 8ир(й + I : (к, I) € САТ} — Г1. Проверяем условие

шт(гV + у — и, г^ + у — и) ^ 0.

Оказывается, что

шт(гш + V — и, г^ + у — и) — — 20г 1 + 12 < 0,

то есть условие леммы 6 не выполняется. Значит, согласно алгоритму минимизации, процесс завершен. Тогда

М ¿1 ( к; I) — 51 (—, —— 1— — 1, 239726 ..., (к,1)еТ1 1 V106 106/ 146

где

, HUaba'BW 1,1

V106 106/ \2 2,

Теорема доказана.

6. Заключение

( Т, Т+ Н)

в которой содержится нуль нечётного порядка функции Харди и её производной, к проблеме отыскания экспоненциальных пар для оценки специальных тригонометрических сумм.

Найдена нижняя грань длины промежутка критической прямой, в котором содержится нуль нечётного порядка производной первого порядка функции Харди.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

( )

pp. 1012 - 1014.

2. Hardy G.H., Littlewood J.E. The zeros of Riemann's zeta-function on the critical line // Math.Z. 1921. v. 10. pp. 283 - 317.

3. Мозер Я. Об одной сумме в теории дзета-функции Римана // Acta arith. 1976. 31. pp. 31 - 43.

4. Карацуба А.А. О расстоянии между соседними нулями дзета-функции Римана, лежащими на критической прямой // Труды MIIAII. 1981. Т. 157. С. 49 - 63.

( )

Изв. АН СССР. Сер. матем., 48:3 1984. С. 569-584.

6. Карацуба А.А. Распределение нулей функции ((1/2 + it) // Изв. АН СССР. Сер. матем., 48:6 1984. С. 1214-1224.

7. Карацуба А.А. Плотностная теорема и поведение аргумента дзета-функции Римана // Матем. заметки, 60:3 1996. С.448-449.

8. Карацуба A. A. Zeros of the Riemann zeta function // Докл. АН СССР, 276:3 1984. С. 535-539.

9. Рахмонов 3.X., Хайруллоев Ш.А. Расстояние между соседними нулями дзета-функции Римана, лежащими на критической прямой // Доклады АН Республики Таджикистан. 2006. Т. 49. № 5. С. 393 - 400.

10. Рахмонов З.Х., Хайруллоев Ш.А. Соседние нули дзета-функции Римана, лежащие на критической прямой // Доклады АН Республики Таджикистан. 2009. Т. 52. № 5. С. 331 - 337.

11. Graham S.W., Kolesnik G. Vander Corput's Method of Exponential sums. Cambridge university press. 1991. Cambridge. New York. Port Chester. Melbourne. Sydney.

12. Рахмонов З.Х. Оценка плотности нулей дзета-функции Римана // Успехи математических наук. 1994. Т. 49. № 2. С. 161 - 162.

13. Рахмонов З.Х. Нули дзета-функции Римана в коротких промежутках критической прямой // Чебышёвский сборник. 2006. Т. 7. В. 1. С. 263 - 279.

14. Воронин С.М., Карацуба А.А. Дзета-функция Римана. М.: Физматлит. 1994. 376 с.

15. Карацуба А.А. Основы аналитической теории чисел. Наука, \!.. 1975, 183 с.

REFERENCES

( )

vol. 158, pp. 1012 - 1014.

2. Hardy, G.H. к, Littlewood, J.E. 1921, "The zeros of Riemann's zeta-function on the critical line", Math.Z., vol. 10, pp. 283 - 317.

3. Moser, J. 1976, "On a certain sum in the theory of the Riemann zeta-function", Acta Arith., pp. 31 - 43. (Russian).

4. Karatsuba, A. A. 1983, "On the distance between consecutive zeros of the Riemann zeta

function that lie on the critical line", Proc. Steklov Inst. Math., vol. 157, pp. 51 — 66.

( )

Akad. Nauk SSSR , Ser. Mat. 48, no. 3, pp. 523 - 537.

6. Karatsuba, A. A. 1984, "Distribution of zeros of the function ((\ +ii)", Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 48, no. 6, pp. 1214-1224.

7. Karatsuba, A. A. 1996, "A density theorem and the behavior of the argument of the Riemann zeta function", Mat. Zametki, 60, no. 3, pp. 448-449.

8. Karatsuba, A. A. 1984, "Zeros of the Riemann zeta function", (Russian) Dokl. Akad. Nauk SSSR, 276, no. 3, pp. 535-539.

9. Rakhmonov, Z. Kh. k Khavrulloev, Sh. A. 2006, "Distance between the next zeros of Riemann's zeta-function in the critical line", Doklady Akademii nauk Respubliki Tajikistan, vol. 49, no. 5, pp. 393 - 400.

10. Rakhmonov, Z. Kh. k Khavrulloev, Sh. A. 2009, "The neibour zero of the Riemann's zeta-function laying on a critical line", Doklady Akademii nauk Respubliki Tajikistan, vol. 52, no. 5, pp. 331 - 337.

11. Graham, S. W. k Kolesnik, G. 1991, "Van Der Corput's Method of Exponential Sums", Cambridge University Press. Cambridge, New York, Port Chester, Melbourne, Sydney, 119 p.

12. Rakhmonov, Z. Kh. 1994, "Estimate of the density of the zeros of the Riemann zeta function", Russian Mathematical Surveys, vol. 49, no. 2, pp. 161 - 162.

doi: 10.1070/RM1994v049n02ABEH002225.

13. Rakhmonov, Z. Kh. 2006, "The zeros of the Riemann zeta function on short intervals of the critical line", Chebyshevskiy Sbornik, vol. 7, no. 1, pp. 263 - 279.

14. Voronin, S.M. k Karatsuba, A.A. 1994, "The Riemann zeta function", 376 p.

15. Karatsuba, A. A. "Osnovv analiticheskoi teorii chisel". (Russian) Izdat. "Nauka", Moscow, 1975. 183 pp.

nojiyneHO 15.11.2019 r. IlpHHaTO B nenaib 20.12.2019 r.