Нули функции Дэвенпорта-Хейлбронна в коротких промежутках критической прямой Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 20. Выпуск 4.

УДК 511.32 Б01 10.22405/2226-8383-2019-20-4-306-329

Нули функции Дэвенпорта^Хейлбронна в коротких промежутках критической прямой

3. X. Рахмонов, Ш. А. Хайруллоев, А. С. Аминов

Рахмонов Зарулло Хусенович — доктор физико-математических наук, профессор, академик АН Республики Таджикистан, директор Института математики им. А. Джураева (г. Душанбе) .

e-mail: [email protected]

Хайруллоев Шамсулло Амруллоевич — кандидат физико-математических наук, докторант кафедры алгебры и теории чисел, Таджикского национального университета (г. Душанбе).

e-mail: [email protected]

Аминов Асламбек Собирович — научный сотрудник Института математики им. А. Джураева (г. Душанбе). e-mail: [email protected]

Аннотация

Дэвенпорт и Хейльбронн ввели функцию f (s) и показали, что f (s) удовлетворяет функциональному уравнению римановского типа, однако для f (s) гипотеза Римана не выполняется, и более того, число нулей f (s) в области Res > 1,0 < Im s < Т превосходит сТ, с > 0 — абсолютная постоянная. С.М. Воронин доказал, что тем не менее, критическая прямая Res = 2 является исключительным множеством для нулей f (s), то есть для No(T) — числа нулей f(s) на отрезке Res = 1/2, 0 < Ims ^ Т имеет место оценка N0(T) > сТexp ^0, 05VlnlnlnlnТ^, где с > 0 — абсолютная постоянная, Т > То > 0. А.А.Карацуба исследуя количество нулей функции f (s) в коротких промежутках критической прямой доказал: если £ и £i — произвольно малые фиксированные положительные числа, не превосходящие 0.001 Т > To(e,£i) > 0 и Н = Т®2 +£ij то выполняется соотношение

No(T + Н) - No(T) > Н(lnТ)1 -е.

В работе доказано, что для количества нулей функции Дэвенпорта-Хейльбронна f (s) в коротких промежутках вида [Т, Т + Н] критической прямой последнее соотношение справедливо при Н ^ Т +£1. Этот результат в частности является приложением новых равномерных по параметрам оценок специальных тригонометрических сумм Wj (Т), j = 0,1, 2 в терминах экспоненциальных пар, в котором задача о нетривиальности оценки этих сумм относительно параметра Н сведена к проблеме отыскания экспоненциальных пар.

Ключевые слова: функция Дэвенпорта-Хейльбронна, экспоненциальная пара, гипотеза Римана, успокаивающие множители Сельберга.

Библиография: 16 названий. Для цитирования:

3. X. Рахмонов, Ш. А. Хайруллоев, А. С. Аминов Нули функции Дэвенпорта-Хейлбронна в коротких промежутках критической прямой // Чебышевский сборник, 2019, т. 20, вып. 4, с. 306-329.

CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 20. No. 4.

UDC 511.32 DOI 10.22405/2226-8383-2019-20-4-306-329

Zeros of the Davenport-Heilbronn function in short intervals of the

critical line

Z. Kh. Rakhmonov, Sh. A. Khavrulloev, A. S. Aminov

Rakhmonov Zarullo Khusenovich — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Academician of the Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan, Director of the A. Dzhuraev Institute of Mathematics (Dushanbe). e-mail: [email protected]

Khayrulloev Shamsullo Amrulloevich — candidate of physical and mathematical Sciences, doctoral candidate of the Department of algebra and number theory, Tajik national University (Dushanbe).

e-mail: sham,[email protected]

Aslambek Sobirovich — Researcher A. Dzhuraev Institute of Mathematics (Dushanbe). e-mail: am,[email protected]

Abstract

Davenport and Heilbronn introduced the function f (s) and showed that f (s) satisfies the Riemannian type functional equation, however, the Riemann hypothesis fails for f (s), and moreover, the number of zeros of f(s) in the region Res > 10 < Ims leT exceeds cT, where c > 0 is an absolute constant. S.M. Voronin proved that, nevertheless, the critical line Res = 2 is an exceptional set for the zeros of f(s), i.e. for N0(T), where N0(T) is the number of zeros of f(s) on the interval Res = 0 < Ims < T, we have the estimate

N0(T) > cTexp (0.05VlnlnlnlnT^, where c > 0 is an absolute constant, T > T0 > 0. While studying the number of zeros of the function f (s) in short intervals of the critical line, A.A. Karatsuba, proved: if £ Mid ^ are arbitrMily smdl fixed positive numbers not exceeding 0.001; T > T0(e,£1) > 0 Mid H = T82 +£ij then we have

N0(T + H) - N0(T) > H(lnT)2-e.

This paper demonstrates that for the number of zeros of the Davenport-Heilbronn function f (s) ^n short intervals of the form [T,T + H] of the critical line the last relationship holds for H > T4ia +£1. In particular, this result is an application of a new, in terms of exponential pairs, estimates of special exponential sums Wj (T), j =0,1,2 which are uniform across parameters, where the problem of the non-triviality of estimates for these sums with respect to the parameter H is reduced to the problem of finding the exponential pairs..

Keywords: Davenport-Heilbronn function, exponential pair, Riemann hypothesis, Selberg soothing factors.

Bibliography: 16 titles. For citation:

Z. Kh. Rakhmonov, Sh. A. Khayrulloev, A. S. Aminov, 2019, "Zeros of the Davenport-Heilbronn function in short intervals of the critical line" , Chebyshevskii sbornik, vol. 20, no. 4, pp. 306-329.

1. Введение

Пусть х(п) комплексный характер по модулю 5 такой, что х(2) = г,

- 2^5 - 2

ж =-=-, 0 < ж < 1.

л/б - 1

Функцией Дэвенпорта-Хейльбронна называется функция, которая определяется равенством

где Ь(,в, х) — функция Дирихле. Функцию /(в) ввели и исследовали Дэвенпорт и Хейльбронн [1] , (см. также [2] с. 283 - 287). Они показали, что /(в) удовлетворяет функциональному уравнению римановского типа

(б)-2 Г () /(.) = (5)-1-1 г (<1-4+1) /(1 - .), (!)

однако для f(s) гипотеза Римана, (все комплексные нули f(s) лежат та прямой Res = 0.5), не выполняется и, более того, число нулей f (s) в области Res > 10 < Ims < Т превосходит сТ, с > 0 — абсолютная постоянная.

В 1984 г. С. М. Воронин [3] доказал, что при 1/2 < а\ < <2 < 1 справедливо неравенство N(<72,Т) — N(<7i,Т) > с2Т, где с2 = c2(<7i,a2) > 0. В 1980 г. С. М. Воронин [4] доказал, что, тем не менее, критическая прямая то есть Res = 2 является исключительным множеством для нулей f (s), то есть для Щ(Т) — числа нулей f(s) на отрезке Res = 1/2, 0 < Ims ^ Т имеет место оценка

Щ(Т) > сТexp ^Vlnlnlnln^ ,

где с > 0 — абсолютная постоянная, Т ^ То > 0.

( )

тической прямой впервые исследовал А. А. Карацуба. Он в 1989 году доказал [5, 6], что если е и е\ - произвольно малые фиксированные положительные числа, не превосходящие 0.001, и

27 .

Т > То(е, £\) > 0 и Н = Т82 + то выполняется соотношение

N0(Т + Н) -N0(Т) ^Н(1пТ)1 — . (2)

В 1993 г. А. А. Карацуба [7, 8] получил более точную оценку: множитель (1пТ) 1-£ в неравенстве (2) он заменил на (1пТ)2 ехр(-Сэл/ 1п1пТ), следствием чего явилось неравенство

Щ(Т) > Т(1пТ)1 ехр(-сэ^1п1пТ).

В 2017 г. С. А. Гриценко [9] усилил последнюю оценку и получил неравенство

Щ(Т) > Т(1пТ)1+16£ > 0.

Затем он [10] получил новые верхние и нижние оценки дробных моментов успокоенных рядов Дирихле, из которых следует

^(Т) > Т(1пТ)1+12£ > 0.

Основным результатом настоящей работы является доказательство неравенства (2) для промежутков, имеющих более короткую длину.

Теорема 1. Пусть е и е1 - произвольно малые фиксированные положительные числа, не превосходящие 0, 001 с4; сд - абсолютные положительные постоянные, превосходящие 1,

С7 =

1 + s + 2 + 4 + 8-4¡ 6 1

¡2 4 . ^ . . ¡2

3ес5 ■ 5i +3 2i+2+i+з^ c¡+4+2+£+

131 , \

Тогда при Н = Т 416 + Т >Т0 (е, е1) > 0 выполняется соотношение

1 £ £2

N0(T + Н) -N0(T) ^ с7Н(lnТ) 1-з-2-i lnlnТ.

Не ограничивая общности, можно считать, что То = То(е, £i) - такое, что выполняется соотношение

3£ £2 1 + £ . £2 п -тм¥ - ^ _ (1пТо)3£ - 2-£ ln ln То ■ e¡ 4 8-4£

С7(1пТ0) 4 2-£ 1п1пТ0 = -—-£2 -^ 1.

3 еС5 ■ 5 4 +3 2 £+2+£+^ с\+с] +2+£+

Поэтому из теоремы 1 следует

Следствие 1. Пусть е и ei - произвольно малые фиксированные положительные числа, не превосходящие 0, 001. Тогда, при Н = Т411 +£1; Т > Т0(е, е1) > 0 выполняется соотношение

N0 (Т + Н) — N0 (Т) ^ Н(ln Т) 1 -

Теорема 1 доказывается методом работы [5] в соединение с идеями и методами работ [11, 12, 13, 14, 15, 16]. Основным утверждением, позволившим доказать неравенства (2) для промежутков, имеющих более короткую длину является лемма 4 о новых равномерных по параметрам оценок специальных тригонометрических сумм (Т), ] = 0,1, 2 в терминах экспоненциальных пар, в котором задача о нетривиальности оценки этих сумм относительно параметра Н сведена к проблеме отыскания экспоненциальных пар.

Обозначения. Всюду ниже будем считать, что е и е\ - произвольно малые фиксированные положительные числа, не превосходящие 0, 001 Т < Ь < Т + Н, Т ^ То(е, £1) > 0; Н = Тне +£1; р = л/5Т(2^)-1; ^ = 1пР; X = Т0'01е1; с1, с2, ... — абсолютные положительные постоянные;

, , 1 % 86 , , 1 + % 86 _ , , г (п) = —2—х(п) + —2—х(п).

2. Вспомогательные утверждения

Пусть вещественные числа а(и) при Кев > 1 находятся из соотношения

п Л--У = И (i-V (2fc —1)!! ^ = TTV^

VS П l pSJ П I 2kk!(2k — 1) Pks pks

v=1 p=±1(mod 5) p=±1(mod 5) \ k=1 y / p k=0 1

1, = 0

I (2k — 1)!!

a(pk) = ^ —ТУ, если k ^ 1й P = ±1(fnod5).

0, если k ^ 1 и p ф ±1(mod5),

где (2к - 1)!! = 1 ■ 3 ■ ... ■ (2к - 1) Из определения чисел а(и) следует мультипликативность функции а(и) и |а(г/)| < 1 при любом и > 1. Отсюда и го соотношения х(Рк) = (±1)^ р = ±1(тос15) следует, что Р(^)х(и) = РМхМ = ) и |Л,(г/)| ^ 1. Пусть далее

Ф) = £

р(у)х(у)

v<X

Е

v<X

h(v)

Рм = < "'"К1 - Етг) ■ 1 -" < х

0, V> X,

Определение 1. Функции Р(¿) м 9(Ь) задаются равенствами

2

f w=(i;

(|)-2 / Ж )Г=^ (!+«ЖИ

(3)

v

V

2

Ж

Лемма 1. Пусть Т такое, что Т - — = 4жк, к — целое число. Тогда, при Т — Ь — Т + Н

справедлива следующая формула:

2 \ ' — cos v in

VI А

F (t) = 2 £ cost in J + 0(Т-°'01),

\<р

где X — положительные рациональные числа, знаменатель которых не превосходит, X,

Н( )Н(^2)г(п)

А(А) = £ h(U1 )h(U2)1(n). (4)

v2

_д 2

v2 _

Доказательство см. [6], стр. 226.

Определение 2. Суммами А. Сельберга вида Ш (9) и вида Б (У) называются соответственно суммы

W (в) =

у- ((У1Щ, У2Ъ)\ Р(УЩУ2)Р(Жщ) S(Y) = у- А2(А) ^ <Д ^3 ^2^4 , ^ А2 ,

где Р(и) и А(Х) — функции, определённые соответственно формулами (3) и (4), а X - положительное рациональное число, знаменатель которого не превосходит, X.

Лемма 2. Пусть Т0'1 ^ У — Т, 1 — в — 2, тогда справедлива следующая, асимптотиче-скал формула:

Б (У) = бсТ-Й) У 1-2'Ш (0) + (гтгё + ^ Ш (1 - 20) + ° (у-2' X2 1п2 X) ,

= 71-26 +131-26 + де2(91-26 + 111-26) = . ± ^ а^

С1 = 5 . 21-26» , С2 = 1 + 426» + 226» + 326» +

Г ~ ( 1 1 \

+ 10 УО'5 иби + 1)26+1 + (5и + 4)26+1 + (5и + 2)26+1 + (5и + 3)26+1У

Доказательство см. [6], стр. 227.

Лемма 3. При 0 < в < 1 для W(в) справедлива оценка

W (в)= т ((ß (vM v*)ß (г/зЖv*) =o{ ——

wwt <Л ™ ) ЪЩ \—ЫХ)

Доказательство cm. [6], стр. 229.

Определение 3. Если В > 10 < h < В, F(и) е С^(В, 2В), А > 1

AB1-r < |F (г)(и) К АВ1-Г, г = 1, 2, 3,..., где постоянные под знаком ^ зависят, только от, г, и имеет место оценка,

^ е(F(п)) < АкВ1, 0 <к < 0, 5 0, 5 <1< 1,

B<n<B+h

то пара (к, I) называется экспоненциальной парой.

3. Оценка тригонометрических сумм Wj(Т)

При j = 0,1, 2 определим три вида сумм Wj(Т). Для этого кроме уже введённых параметров в конце первого параграфе введём дополнительные параметры, от которых могут зависеть эти суммы: к = [In L]; rj = cikL- 2. Пользуясь определением чисел А(Л) в (4) и обозначениями функций

ВЫ = (^у, т= (^у,

суммы Wj = Wj (Т) определим равенствами

W = ,£<, А(—^ (Л1 )"exP (- (^У) •

W1 = хЛ „ ^ (Л1(£ )В (£) exp (- (f.n Л1 У) , W = ^ ^ (Л1 Г exP (- (^ Л1 У).

27

A.A. Карацуба [5] при Н ^ Т82 +£1 для этих сумм получил оценки вида

Wj(Т) < Т-£1, j = 0, 2; Wi(T) < (е-2к(ЫТ)-2к + e-kr)k(lnT)-^ Т-£1.

В лемме 4 в сочетании методов работ [11, 12, 13, 14, 15, 16] и метода экспоненциальных пар для тригонометрических сумм Wj (Т) подобные оценки получены для параметра Н с меньшим порядком роста.

1 2

не превосходящие 0, 001 к — натуральное нисло, 0 <'ц < 1 (к, Л) — произвольная экспоненциальная пара,

п, к + Л 52 + к-Л . ln L

и(к, Л) = ---, а;(к, Л) = -—-——, а(к) =

2 к + 2' v ' ' 50 к + 50 ' v ' ( к + 1) 1пТ'

Тогда при Н = Тб(к,Л)+ж(к,Л)СПраве()ливы оценки

Wj(Т) « Т-£1, 3 = 0, з= 2; Wl(Т) « ^^-к + г]к1^ Т-°,5(Л-()е2 • т.

Показатель 0( к; Л) = 2((+1) также появляется в проблеме Гаусса о числе целых точек в круге х2 + у2 ^йв форме

К(й) = # {(ж, у) : ж2 + у2 <К, ж, у е г} = жК + 0 (йб(к;Л)+£) ,

и в оценке остаточного члена в проблеме делителей Дирихле о числе целых точек в гиперболе ху < М ж > 0, У > 0. Наилучшая оценка сверху для 9(к; Л) принадлежит М. Хаксли [17]. Он доказал, что

п к + Л 131 1 23

в° = шт в(к, Л) = ш1п - < -— =---— и 0.31490,

° к,\€Р к ' ! 2к + 2 416 3 3 • 416

где V — множество всех экспоненциальных пар. Отсюда из леммы 4 получаем следующее.

Следствие 2. Пусть е1 и е2 - произвольные малые фиксированные положительные числа, не превосходящие 0,001 к — натуральное число, 0 < г] < 1. Тогда при Н = Т416 +£1 справедливы оценки:

Wj(Т) « Т-1, з =0, 3= 2; Wl(Т) « ((к + Т-1.

Доказательство леммы 4 для удобства разобьём на этапы.

1. Оценка части суммы Wj(Т), j = 0,1, 2 с условием Л2 > Л1(1 + УН-1). Если в суммах Wj(Т), ] = 0,1, 2 выполняется условие Л2 > Л1 (1 + УН-1), то воспользовавшись известным неравенством 1п(1 + ж) > 0, 5ж, 0 < ж < 0, 5, имеем

- (- (Н^1п Л2)2) < - (- (|1п (1 + I))") < «Р (-£) .

Обозначая соответствующие части сумм Wj(Т), 3 = 0,1, 2, для которых выполняется условие Л2 — Л1 > 1Н-1, через W7/(Т), 3 = 0,1, 2, и воспользовавшись при 3 = 1 соотношением

в (Р \ = (ЛГ — 1 = |2в1п (2 1п р )|к < 2к = / _2_\к

\л) Г1п (Р))к (1пР — 1пЛ)к < (1пР- 1пР1-2)к V^1/ ,

(1п (Р))к (1пР — 1пЛ)к (1пР — 1пР1-£2)

(5)

имеем

(—12) (е

4 7 \Л<Р

\ :

И Л)Л

lW7/(Т)1 < — ; ^ = 0,2;

Ю <Т)1< (£)2к- (—12)( Е

\ / \ / \Л<Р1-

2

Далее из определения суммы А(Л) и соотношений | г(т)| < 1 и |Л,(^)| < 1 имеем

у- 1Ж Л)| <у- ^ V Н"2)11 г(п)1 = V 1 V — «Ръх1пХ

^ /Л < ^ /Л ^ ^2 ^ ^ /п .

Л<Р УЛ Л<РУЛ =Л 2 1 2 „<

"2 п< ^1, и2<Х

Следовательно,

Щ(Т) « ехр (-Р*2 1п2 X. ]=0.2;

Щ(Т) « (тЬТехр (-16)Р 2^

Осталось рассмотреть слагаемые с условием А1 < А2 ^ А1(1+^Я-1). Промежутки 0 < Л1 < Р в Щ0(Т), 0 < А1 < Р1-£2 в Щ^Т), и Р1_£2 < А1 < Р в Щ2(Т), разобьём целыми числами Л = Л(]) на « ^ промежутков вида Л < А1 ^ Л1 < 2Л. Следовательно для чисел Л выполняется соотношение

2Л = 2A(j) <Е3Р, где Е3 = ( р ^' еСЛИ { 1 . 0 (6)

[1, если ] = 0 ми ] = 2.

Обозначая через (Л) ] = 0.1.2 максимальную из получившихся таким образом сумм, приходим к неравенствам

' з(Т ) « ^ I Щ( 1 _

Wj(Т) « LW(Л)| + exp -Lt) РХ2 ln2 X, j = 0, 2;

/ 2 \2fc / L 2 \ ^

Wi(T) « L|Wi(A)| + (^J ex^-—J Р 1-£2X2 ln2 X.

2. Оценка Wj (Л) с условием Л ^ HX-2Lи A ^ НХ-2L-1, то в силу того, что рациональные числа Ai и А2 имеют вид

Ai <А2, Ai = ^, А2 = ^, г < X, г = 1,2,3,4.

находим

А2 =1+ А2 - Ai > 1+ А2 - Ai > 1 + ^ П2У3У2 - niViV4 > 1 + 1 > 1 + L Ai = Ai ^ 2Л 2Л ^ v2vA 2и2щЛ " 2H,

поэтому

exp (- ( H+1ln А2 )2) < exp (- ( fin (1+ L ))] < exP (-£ ) .

Оценивая суммы Wj (Л), j = 0,1, 2 при Л ^ НХ-2L-i, аналогично суммам Wj, j = 0,1, 2, находим, что

Wj (Л) « exp (- РХ2 ln2 X, j = 0, 2;

/ 2 \2к / L2 \ (8) й'1<Л> «(Ы Ч-!-).Р2 ln2X

3. Выражение W? (Л) с условием Л > HX-2L-i через С (и, h) и F (h, г/). Не ограничивая общности можно считать, что Л > HX-2L-i, Во (у) = В2 (у) = 1 и Bi (у) = В (у)-Тогда

2n

Wj (Л) = V V «W M 'ВY Г) В,(f ) exp f -( НИ in АЛЛ ,

где 6 = 0 и НХ-21-1 < Л < Л1 < 2Л < Р1-2 при ] = 1, а 6 = 1 и НХ-21-1 < < Л < Л1 < 2Л < Р при ] = 0, 2.

Воспользовавшись определением Ж Л), и обозначением 1 4 = —, (а, Ь) = 1, представим

^2^3 Ь

сумму W (Л) в виде

^(Л)= £ к(к(^ ^(Л, и); , = 0,1.2; „ = (^ ^3, .4); (9)

1 2 3 4

-1, -2, -з,-4<Х у

/ \

Щ (Л,^ = £ £ r(nl)r(n2)Фj(nl,n2, Ж па) ■

<га1<^<П2<^(1+1Н-1) 4 2 '

еЦ — ( 1п ^ )2)

/П1П2

п1 п2 5 —

5

"Г-2" — 61 — 61

П1 = 5Ът + 61, 0 < 61 < 5Ь, -< ш < ^^-,

5о 5 о

1 —1 1 —1 1 П2 = 5ат1 + а1, 0 < а1 < 5а, т + — — — <т1 <т + — — — + т + ^ —,

5 5 — 5 5 — 5 Н

вводя обозначение

( + Ь1 \ I Г + 5ь) Н,

М ^ — Ь1 М — Ь1 Ь1 а1 ( ) ( + 6Л I

М = —5ь~, М1 = а =56 — 5а, -(т) = (т + 5ь) I,

1 а1 (5 т + 1) = ( 1)

(5 а т1 + а1) = ( а1)

Wj(Л, и) = £ г(Ь 1) £ (Л, и, т, т1), (10)

°< Ь1<5Ь °<«1<5а

(т + — \гТ

-50т .

. - . ^ - . . ч , 1 5<1' т1

т + а < т1 < т + а + ш(т), поэтому заменяя ш^ на т + к, то есть полагая т1 = т + к, где к принимает значения из полуинтервала а <к < а + ш(т), представим сумму W4 в виде

(т + — \гТ -- 5 а ) ,

. - . . ч , + ) + 5а) Заметим, что к ^ 0 , и это следует из соотношения

1 1 1 < ^ а1 ^ 1 5 а ^ 5 Ь 5а ^ 5Ь

Меняя порядки суммирования по h и т, имея в виду, что условия h ^ а + ш(т) и

т ^ (h — а) ^ — || равносильны, и вводя обозначения N2 = max ( N, — (h — а)--1 ], найдем

\ .L 50J

(т, + — \гТ

—— 5bai J , т + + 5a /

т

W (Л, г/, т, mi) = ^ J ' С (и, Л) /j (и, h)du + С (Ni,h)fj (Nbh)^

Kh^a+uiN!) V JN2

(т + — \гТ

—— 56 ai I _ . т + + 5a)

Подставляя правую часть полученной формулы в (10), а затем в (9), и переходя к оценкам, найдём

Щ (Л) < £ ЕЕ Е р о. ч „2тгх№|С <".Л>|. (11)

fN 1

^ (h, V)= If, (u,h)|du + | £ (Ni ,h)|.

J N2,

Далее оценим Р3(к. V), = 0.1. 2, а затем |С(-и. к)|. Заметим, что Р0(к. и) и Р2(к.и) тождественно равны так как /2(и. к) = /о(и. к), поэтому достаточно оценить Р0(к. V) и Р1(к. г/). 4. Оценка Р0(к. Имея в виду, что /о(и. к) = Ф0(56и + 61. 5а(и + к) + а1. ^), находим

fo(u,h) =

f (_(Н+5 ln "+ Ii \ exp f _ (Н+5 ln "+ Ц

V 2 «+h+!ij J exp^ V 2 ln«+h+fiJ j

exp( -( ln:......_

5a

' x

5л/аЬ

ex^ 2 ln „+h+а

sys ^(u+ä) (u+h+aa)

/

2(H+^(1 +(h - & + aa) - 2u -h - & - aa

2(u + ЙУ (« + л + fi)3

Знак f0(u,h) совпадает со знаком числителя последней дроби, для определения которой, пользуясь последовательно границами изменения переменных N2 < т ^ Ni и а < h ^ а + w(Ni), то есть соотношениями

N2 = max (n. L (h - а) - |) = max (^, | (h - | + £) - |) , а = к - £. »(Ni)= (Ni + I) L = Al"2 L

5b 5a \ 1 5b) H 5bH'

имеем

V + ^ и + 5Ь

2(Н + *)1п(1 + к — & + ^ (к — \ + а1) — 2v — к — \ — а1 < 1 71 у V 56 5 а/ 56 5а

Л1—2 I

< 2(Н +

—1 5ЬН I Л11/2 I _ 2ЛУ2 л—2 Щ • 5 Ь Н 5 щЬ

2Лу2 5 щЬ

5—1&

) .п (: +1) I — 0 <( '2-Н — О

6_ н

2|2 _ ^ < 0.

5 уф

Следовательно, /°(и, к) < 0 поэтому с учётом условия /°(и, к) > 0 найдём

Р°(к, !/) = —/ /°(и, к)(Ы + /°(М ,к) < /°(М2, к).

7^2

Для оценки сверху /°(и, к), возвращаясь к переменным щи П2, затем к Л1 и Л2, далее пользуясь соотношением Л < Л1 < Л2, имеем

Р°(к, г/) = /°(и, N2) =

¡У1У3 У V 2^4

ехр (-(Н+ 1п Л2)2)

л/ Л1Л2

< Ла •

Л у ^4

(12)

5. Оценка (к, и). Для оценки Р\(к, г/) нам нужны оценки Д(и, к) и /1(и, к)—её производная по и. Воспользовавшись обозначениями

Р = Р(и) =

Р 2

ф = ф(и) =

Р^4

(5 Ьи + 61)г/^ (5а(и + к)+а1) г/3'

и соотношением Д(и, к) = $1(5 Ьи + 61, 5а(и + к) + а1, ^), получим

Л(V, к) = /°(и, к) в(р(и))В(ф(и)) ,

Ц(и,к) = /°(и,к) В(р(и))В(ф(и)) + /°(и,к)В(р(и))В(ф(и))

В(р(и))В(ф(и))) = кВ(р)В(ф) ( 1 (в(р))-^ + 1 + <(В(ф))-*

(и+% )1пр (и+к+5а) 1пф

Пользуясь оценкой (5), найдем

(в(р(и))в (ф(и)))и

<

2

и 1п (Р) 2

(Iв (Л)

+ 2 к 1

и е^

2к-1 \

в(РдГ) <

(( 2 \2к ( 2 \2к-1\ ( 2 \2к ( 2 \ {к^?) +71 К^) ) = { ^ +1)

Подставляя найденные формулы для /1(и, к) и /1(и, к) в соотношение (11), переходя к оценкам

°( и, к) < 0

и

и

/0(и. к) > 0, а в конце соотношением (12), последовательно находим

Р1(к.и) < Г1 /0(и.к) (в(^(и))в(гр(и))]1

JN2 4 /и

№

йи + |/0(и.к)| в(^(и))В(ф(и)) ^N2

йи+

+ |/0(^1.к)| В(^(М1))В(ф(N1))

< (Г ((+Г ^ - Г л<и. ^+^. «)<

< (^ Г (I+* ^+1) >0 <*.к>«(¿Г (|+**) Л ^

Объединяя эту оценку с оценкой (12), имеем

Р(к.ъ. ъ. щ) « Т]/ —.

= | (.если ;'=1;

1. = 0 = 2

Подставляя эту оценку в формулу (11), получим

(Л) « ^ Т — У У у тах |С(и.к)|. (13)

0^Ь 1<5Ь 0^«1<5а а<к^а+ш(М1)

6. Оценка |С(и. к)|. Для оценки суммы

С (и.к)= V е[Т 1п т + к + ^

И

2<т^и \

,2тГ т + Ц-

М2<т^и \ т + 56 /

ЛГ (Лг/2 Ь1 И <1 ^ М ^ Л11/2 61

N2=тахи^-56.^(к-д)-56;. и^^-56.

воспользуемся методом экспоненциальных пар. Положим,

-Л г у + к + £ А = Т 1к -д| Т 1к -«I ^2 /(у) = 27Т 1П у + 5, . А = N2 « ЛЧ .

п лт^ЛТ лт Л 1^2 Ь1 / Лг/2 г>1 Я . г>1 \ Л г/2

в = и N2 ^= - ^ -тах(^ - ^.^(к-д) - й) « 6^•

= 1. 2. . . . ( и)

ную первого порядка в виде

/'(у) = -• ЛЫШ. .Ш = ^к+ж. /2(у) = ^. д = |-1.

и имея в виду, что

= (-1ГГI8--. л =

(V +к+1;г ' 2 (у+йу+11

воспользуемся формулой Лейбница для 8 — 1 — ой производной произведения двух функций:

8-1

а)

2^ ч-т^у^^ 2ж

^(У) = — к(у) .Ш)(*-1) = — Ес3-Л3-1-л(у) №(у)

j=°

(—1)вв!Т(к — а) ^ 1

2ж й (»+к+аа) а-(у+51У+1

Поэтому

АВ1-3 « /^(у) «АВ1-5, в = 1, 2,.... ( к, Л)

„ (Т(к — а) 62г/2\К / Л г/2\Л Т(62(-Л 1/12(-Л„

1С (и,к|« ((Л2.2 ^ Ы = л (-л, |(-л (к—а)(

7. Оценка Wj(Т), = 0,1, 2 Подставляя оценку для |С(и, к| в (13), имеем

т~) грц __,,2к-Ль2к-Л _____

Wj(Л) « Е Е Е Е (к — а)( «

—1,—2,—з,—4<Х 2 4 °<&1<5Ь °<а1<5а а<Н<а+ш(М1)

АТК ^ и2к-ЛаЬ 1+2(-Л

^ ЛА ^о г/4

—1,—2,—3,—4<Х 2 4

Отсюда имея в виду, что

,Л7.ч Л, . ЬЛ I Л\У21 г/1 г/4 г/2г/3 ш(М1) = + —^ — = ^ , а = ,........л, Ь =

5 Н 5 Н ( 4, 2 3) ( 4, 2 3)

получим

W (Л)^ ^гТ^ЛЛК ^ (^)К-Л ^ п Т(ЛЛ-(Х4+2(-2Л

^(Л) « Н«+1 ^ (г/1 г/4, г/2г/3)1+«-л « Н+1 .

—1,—2,—3,—4<Х

Отсюда пользуясь условиями Л — к ^ 0 и 2Л = 2Л(^) < Е^Р, где Ej определяется формулой (6), а также Х = Т°,°1е 1, найдём

/ т0(«,л)+Ж(к,л)£1+ст(кЛ (+1

Wj(Л) « • Т-11-Ч -Н- 1 ,

где

п, к + Л 52 + к — Л 1п I

к, Л) = 2кГ~2, Ж(к,Л)= 50к + 50 , "(к)=(к + 1) 1пТ.

Следовательно, при получим оценку

Wj (Л) « • Т-е 11-1.

Пользуясь определениями параметров ^ и Ej, эту оценку напишем в виде Wj(Л) « Т-£11-1, з =0, з= 2; Wl(Л) « ^^к + Vк^ Т-°,5(Л-(Ф2 • Т-£11-1. Подставляя эту оценку и оценку (8) в (7), получим утверждение леммы.

4. Доказательство теоремы 1.

Кроме уже введённых параметров в конце первого параграфе введём дополнительные паж

раметры: а — произвольное фиксированное числ о с условием 0 < а < 1;Т — — = 4ттг, г — целое

число; ц = CiL-2; k = [einL]; с и а > 1 — постоянные, значения которых определим позднее; всюду ниже краткости функцию F(t + Ui + ... + ) обозначим через F(t, u, к).

1. Сведение к оценкам интегралов 12(Т,Т + Н), 11(Т,Т + Н) и J(Т,Н). Из оире-F( ) ( )

F( ) F( )

ного порядка являются нулями нечётного порядка f (s), лежащими на критической прямой. Обозначим буквой E подмножество инте рвала (Т, Т + Н), состоящее из чисел t таких, что

rv

rv

|F(t,u,k)ldu1...duk >

v

v

F(t, u, k)du1... duk

/0

/0

(14)

.10 .10

Возводя обе части неравенства в степень а и пользуясь определением Е, получаем

ГЦ ГЦ

У dt ^J ..J |F (t ,u, k)| du1 ...du^j > \ dt

>

[((["ЦП \аГПГП а \

у ^((у ^ ^ ,и,к)1(и1 ...(1ик\ — J ...у Р (£ ,и,к)(и1 ...(ик Л

При замене области интегрирования Е на интервал (Т, Т + Н) значение интеграла в правой части последнего неравенства не меняется, так как при t € (Т, Т + Н) \ Е неравенство (14) превращается в равенство. Поэтому воспользовавшись обозначениями

г / rv rv \а

I(E)= \ ... |F (t ,u, k)| du1 ...duk\ dt,

(■T+H 1

1 . . . d uk

T+ H v v

h (Т, Т + Н)=/ / ... F (t, u, k) du

T 0 0

dt;

T+ H v v а

Ь(Т,Т + Н) = у \J ...J |F(*,u,k)|du1 ...duA dt

представим последнее неравенство в виде

I(E) > Ь(Т,Т + Н) — h(Т, Т + Н). Пользуясь неравенством Гёльдера вида

(15)

g(t)dty < (ß(E))i-1 ^ £ (t)dt,

получаем

2

(1(Е))2 < (ц(Е)) -...^ (* ,и,к)|(и1...(икJ М.

Функция Р (£, и, к) непрерывна на отрезке [0, г/] по каждому из аргументов и1,..

и1 ,

которых выполняется равенство

ГЦ ГЦ

/ ... |Р(^и,к)|(и1 ...(ик = цк |Р^ + и1 + ... + ик )|. 0 0 1 к

uk

*

. . , u,k, для

а

Отсюда с учётом следующего соотношения

0 < и1 + ••• + и*к ^т]к= С1[С ^] < 1. 1 к

имеем

( 2 ГТ+Н +и{+...+и*к \ 2 2 , а

(/(Е))а-1г?2* |Р(¿)|2<й < (/(Е))^ (Т.Н) 2 .

\ ^+и1+...+ик ) У У

гТ+Н+1

3 (Т.Н ) = / |Р (¿)|2^.

Т

Отсюда и из (15), найдём

ц. ^ /2(Т.Т + Н) - ЫТ,Т + Н).

(Л2"-] (Т.Н))2 1 '

Таким образом, для оценки снизу функции /(Е) достаточно оценить интеграл /2(Т. Т + Н) снизу, а интегралы Д(Т. Т + Н) и 3 (Т. Н) сверху.

2. Оценка снизу интеграла /2(Т. Т + Н). Применяя к - раз неравенство Гёльдера вида

^ ¡(и)йи^ < г?а-1 ^ (и)йи.

затем возводя обе части получившегося неравенства в степени а, найдём

(Г ... Г |Р (*. и. к) | (1п1 ...йиЛ ^^к(а-1) Г ... I Ч|Р (*. и. к)1а йщ ...йик 0 0 0 0

2( Т. Т + Н)

ГП ГЯ ¡■Т+Н+и1+...+ик

(■V ¡'V С1 +Н +«1+...+«к

Ь(Т.Т + Н) ^ пк(а-1) ... |Р(;£)|"(£((и1 ...йик ^

Jо Jо -1т+и1+...+ик

{■V {-V гТ+Н гТ+Н

> Г]к(а-1) • ••/ / |Р(^|а^йи1 ...(ил = Г]ка |Р(^)|

]о Уо Jт+kv Jт+kv

Р( )

сН-Щ

^ I ...„,. ,

22

/2(Т. Т + Н) ^ Г]ка£ / + 1(1 + Т + к^ ^^ 1 + ¿(4 + Т + к„))

а

( .

Для оценки снизу интеграла в правой части (17) воспользуемся теоремой Гэбриэла о выпуклости среднего значения по двум переменным ([6], стр. 366). В этой лемме, полагая а = 2, А = Р = 2, /л = т1^, а = 2 - ^, Т1 = Н - кг], р = |. д = ^^1, и имея в виду, что

( .

2-а

(■Н

/(2 - 3а. 1)=^ -V|/(2 - За + ^+т- За + #+т

] (1. а) = (Г ^ (1+^+Т+кг?)) (1 + г('+Т+кг?)) Г ".

] (2. 2-а) = ^Х^ + ^ + Т + к^))^2 (2 + г(1 + Т + к^))|2-а(^ 2 ° .

с учетом соотношения р\ + q / = 1, найдем

J (2 — ^0 < * '(2 • ^ "-^С2- ^

где Сд — абсолютная постоянная. Из соотношения (17), определения J , а) и последнего

неравенства, получим

h(T, T + Н) ^ ¡4Jа ( 2, ^ cf^J2^ 2 — 1) J-(2-а) ( 2, .

(18)

Таким образом, для оценки снизу интеграла 12(Т.Т + Н) достаточно оценить интеграл ,] (2 - -р. 1) снизу, а интеграл ,] ^2. ^ сверху.

Для оценки снизу интеграла ,] (2 - . 1), пользуясь определениями функций /(з) и при 8 = 2 - + ¿(^ + Т + к г]), имея в виду, что 2 - > 1 , найдём

Iм = Е ^ Е Е ^ Е ^. п(т)= Е г<»ж,2).

— ns us щ ms

n=1 и1<Х 1 u2<X 2 т=1

m=nvi V2 v\,V2 <Х

Воспользовавшись соотношениями | r(m)| ^ 1 и |h(v)| ^ 1, имеем

IЫт)| < ^ |г(т)||а(^)||а(< ^ 1 < rs(n).

т=п ui V2 V\,V"<X

т=п ui U2 ui,V2<X

Следовательно,

/(2 — ^ + i(t + T + kv))v2( 2 — ^ + i(t + T + kv)

4

h £

m=1

тз(т)

^^ 2_3a

=1 т2 4

< 1.

Отсюда, из определения J (2 — ^, 1) и в гаду, что кг/ < 1, имеем

J (2 — Т-) = .С- '

Е

иМт-^+т)

2_3a

=1 т2 4

т=1

di ^

£ nM /^V«,+т+k,)dt

_ 2— за

=1 т2 4 Jo

m=1

^ Н — к/ —

E

m=2

г1(т) (т гкч — т гЯ)

т2 4 +г 1 ln т

+ 0(1).

(19)

Для оценки сверху интеграла J ^2, а) > поступая аналогично как при оценке J (2 — ^, 1) при Res > 1, имеем

| f(2 + i(t + T + kr])tp2(2 + i(t + T + kr¡)| = Следовательно,

Е

m=1

г1(т)

т2+г(г+Т+kV)

<х

< Е

m=1

Т3(П)= С3(2)^.

т2

z! 216

j ¿d < а

\2-а А 2-а

, , - di = -Н 2-а

0 V216/ 216

Подставляя эту оценку и оценку (19) в (18), получим

h(T,T + Н) > (2 V (1 + °(Н-1 »Нгka >{2f)2 Ч-2нГka = 52-^2 НГka- (20)

ж

3. Оценка сверху интеграла ■] (Т, Н). Имея в виду, что Т <t<Т + НиТ — — = 4жг, г — целое число, то согласно приближенному функциональному уравнению для функции Р(¿) (лемма 1), имеем

¡■Т+Н+1 гТ+Н+1

J(Т,Н) = \F(í)|2 dt = /

Т Т

2 V ^cosíln p +0(Т-0'01)

\<р *А А

2

dt.

Дважды воспользовавшись неравенством |а + 6|2 ^ 21а|2 + 2|6|2 и имея в виду что А(А) вещественнозначная функция, найдём

2

^-0,02

J (Т,Н) « Í 0

Н+1

0

у^ ЖА) дг(Т+Í)

^ -А

dt + НТ-

ак. р

Для оценки последнего интеграла применяя известный приём, получим

J <Т*Н) «НА_ Ер ^ ( f exp (— ( ^ * )2) +НТ-0>02

Представляя последнюю двойную сумму в виде суммы двух слагаемых, одно из которых получается при А1 = А2, приходим к оценке

J(Т,Н) «Н (|£о(Т)| + |Жо(Т)|) + НТ-0'02, Ео(Т) = V ^^, (21)

а<р А

-0<Т> = ,Ер*ААГ (А2)"exp (— (^ А2)")■

Оценим £0(Т). Полагая в = 2 — ^ и ввиду X-1 < А < Р, имеем

V, v--2(А) ( in А\ ^ А2(А) (inXЧ v--2(А)

£0(Т) = Е аАУ exP (—-l) < Е -¿^("L") ^ Е .

а^р 4 7 а^р 4 7 а^р

Применяя к последней сумме лемму 2 при Y = Ри 0 = 2 — т^-, получим

Е0(Т) ^ 2e(1+5^2)L^(0) + (C1L + С2) W ((L)-1) + О (Р-1X2 in2 X) .

Далее пользуясь леммой 3, оценивая суммы W(0) и W ((L)-1), а также учитывая, что Р = и X = Т°'01епоследовательно имеем

W(0) «^■ W «*П « = -^exp (^) « 1

уТпХ' v \/lñX vlñX \\n лДТТ/Щ)) уДпХ'

Ео(Т) « W(0)L + W ((L)-1) L + Х2р2Х « -L= + Х2р2Х « . (22)

P V\nl P v\n Х

131

Оценим Wo^). Согласно следствие 2 леммы 4 при Н = Тзш +£ 1) имеем

>=£ ^ (А2 )'Т exp (- (^ £ )2) =0 (Т-1 )•

Подставляя эту оценку и оценку для £о(Т) в (21), затем и воспользовавшись соотношением

2-Р 2

1пХ = 0. 01 €11пТ = 0. 01 €11п- = 0. 01 £1(2^ + 1п2- - 1п 5) > 0. 02е.

5

имеем

3 (Т. Н) « Н

+т -^

+ Т-ч + НТ-0>02 « Нл/^

у/ё!

«

4 4 > 1

3(Т. Н) < -% Н •

(23)

1 ( Т. Т + Н)

(Д(Т.Т + Н))а < На

1

Т+ Н

Т

('V ГV

Р (Ъ + и1 + ... + ик )йи1 • • • йик

Ю ло

( .

Пусть 0 < £2 < 0. 01, точное значение которого определим позднее. Применяя к подинтеграль-ной функции Р(¿) лемму 4, находим

Р(*) = Р^) + Р2(¿) + О (Т-0,01) . Т - - = 4жг. г — целое число

4

Р1^) = 2

Следовательно будем иметь

А(А)

—А

Р

еовШр. Р2^)=2 у

Р 1-£2 <А^Р

А(А) , Р —cost 1п —. л/А А'

(Д(Т. Т + Н))а « Н22-1 (/11 (Т. Т + Н) + /12(Т. Т + Н) + Нг]2кТ-0'02)

гТ+Н ¡-V ¡-V

(24)

/•Т +Н /"V /"V

/п(Т.Т + Н)=/ / ... Р^ + щ + ... +ий)йи1 ...йи*.

.¡т Уо Уо

гТ+Н т /"V

/12 (Т. Т + Н )=/ / ... Р2^ + и1 + ... + и*. )йи1 ...йи*.

.¡т Уо ./о

м.

2

М.

Ю ло

Сначала оценим /ц(Т. Т + Н). Проинтегрировав Р1(^ + и1 + ... + ик) по и1.и2..... ик, найдем

2

—+Н)« Г^ А-АК Р)

Для оценки последнего интеграла применяя известный приём, получим

'11 (Т.Т + Н) «Я £ ^ ( А2 ^(«ехр (- (| Ь. А2 )')

А1,А2<Р 1-£2

Представляя последнюю двойную сумму в виде суммы двух слагаемых, одно из которых по-А1 = А2

2

.

1ц(Т.Т + Н) «Н (|Е1(Т)| + |^1(Т)|). Е1(Т)= £ А2Г)В(А)

^1(Т) = £

А1<А2<Р 1-£2

( А2 )'Тв ( Р )в ( £) е*( - ()2)

2

2

Воспользовавшись соотношением 1п £ ^ £2& сведем оценку Х1(Т) к щенке ^0(Т), которого уже рассматривали при оценке ■](X, Н) и получили оценку вида (22):

А2(А) (2 sin (2 in А))2k ( 2 Ч

2 k

<

А^Р 1-2

2 А

^ <

7 А<Р1-£2

2k А2(А) f 2 \2k„ L

42kv А2(А) = ( S2L ^ А I

2 7 А<Р 4

S2L

^0 «

V-nX

2 k

131

Оценим Wl(T). Согласно следствия 2 леммы 4 при k = [einL] и Н = Т136 +£ 1) имеем

2 k

W1 (Т) « (| -f + „kL ) Т.

(k+„kL)

Подставляя найденные оценки для £1(Т) и (Т) в (25), затем воспользовавшись последовательно соотношением е2 = -1/2 (е3 > 0, более точно оно будет определено позднее), неравенствами

Т =

2жР 2

>Р2, lnX = 0, 01 e1 in

2жР 2

= 0, 01 £1 (2L + in 2ж — in 5) > 0, 02е 1L,

и значениями параметров k = [einL] и „ = C1L 2; имеем

/П(Т,Т + Н) «Н

L

+--Т-е1 + k„LT

- 1

.у/ЫХ ' £2^ ' ""' " J \e2LJ

2

2 k

<

Н

2 k

VL ф-1 + d)vL in L

02 е 1

+

Р2 1

)(

£зС1

2 k

<

10.L ^ 2

у/ё1

(-)

з 1

2 k

Н

2 k

(26)

Теперь оценим интеграл /12 (Т, Т + Н). Функция (^ + и + ... + ик) непрерывна на от-[0, ] и1, . . . , ик

значенпи интеграла, найдутся точки и\,..., ик, для которых выполняется равенство

v v

00 Следовательно

rv rv

/ ... |F2(i + u + ... +uk)| du1 ...duk = „к |F2(i + u1 + ... +uk )|.

00

112(Т,Т + Н) = „

2 k

rT+H+«*+...+«*

2 k

r-H+1

T+«*+...+«*

А( А)

|F2(i)|2dt <

rT+H+1

|F2(i)|2 dt =

T

E

i(T+q А(А) /РЧ

Ы + £ т)

Р 1-£2 <А^Р

уД V А

-г (T+i)

Р 1-£2 <А^Р

d .

Воспользовавшись неравенством |а + Ц2 ^ 21а|2 + 2|6|2 и имея в виду что А(А) — веществен-нозначная функция, найдём

¡■H+1

/12(Т,Т + Н) «„2k / 0

Е

А(А) (РV™

Р 1-£2 <А^Р

\/А V А

(0

d .

5

5

2

2

0

2

Для оценки последнего интеграла применяя известный приём, получим

^■Т + Н) «Нг]2к 1 Е ^ЛААr2> (£)' ехр (- А2)2) •

Р £2 <АЬА2<Р V 1 2 \ / у \ /у

Представляя последнюю двойную сумму в виде суммы двух слагаемых, одно из которых по-А1 = А2

/12(Т.Т + Н) «Щ2к (|Е2(Т)| + |^2(Т)|). Е2(Т)= ^ ^. (27)

Р 1-£2 <А<Р

-2СТ0 =, е ^(Гехр(-(^А2)2) •

Р 1-£2 <а1<а2<р у 1 2 \ 2/ \ \ 2//

Оценим Е2 (Т). Полагая в = 1 — -Д^, имеем

Р 1-£2 <\1<\2<Р

1__1_

2 2L

А2(Х) ( 1nA\ (v-A2 W sr A2(X)

(--) - (s

№ E A2^xp —1ПМ «е — E

А20 к \ & 1 А2в V А2в

Р1—£2 <А<Р \А<Р А<Р1-£2

Применяя к последней сумме лемму 2, а затем, имея в виду, что 1 - е-£2 « £2 и пользуясь леммой 3 для оценки суммы Ш(0), последовательно получим

Е2(Т) < 2е2(1 + ^2)(1 - е-£2Ш(0) + О (Р-1+-2Х21п2 X) «

5

« е2Ш(0)& + Р-1+£2Х21п2 X « е2+ Р-1+£2Х2 1п2 X « £2&

'у/ЫХ у/ЫХ'

131

Оценим W^2 (Т)• Согласно следствию 2 леммы 4 при Н = Тзи+£ 1) имеем

Щ(Т) = 1 Е ^ (— = ° <Т-1) .

Р1-£2 <А1<А2<Р v 1 2 \ / Y \ /у

Подставляя найденные оценки для ^(Т) и W2 (Т) в (27), а затем воспользовавшись соотношением £2 = £'3Ь_1/2, ПОЛУЧИМ

Ыт,т + Н) « Н,2к (+ Т"'1) « Hi2k (^ ^¿Ь + Т"") < .

Далее подставляя эту оценку и оценку (26) в формулу (24), найдём

(h(T.r + н))i « нhi* (^ (JLf + Щ + Т-и») .

^ у/Ц \e3cij у/Ц J

При ci = 2ее-1 и к = [ cln Ь], воспользовавшись последовательно соотношением с ^ 4+2+|П

(\ 2к —1 2 ) = е-2[с1п &]-2 < е-2с1п & = &-2с < & - 2 + тЭг = £3

£3С1; ^ ^

Следовательно,

Д(Т,Т + Н) ^(^^J 2 Нг]ка, (28)

где постоянная С5 является абсолютной.

5. Оценка снизу Х0(Т + Н) -Х0(Т). Подставляя в (16) из формул (20)), (28) и (23) соответственно оценку снизу для интеграла /2 (Т, Т + Н) и оценки сверху интегралов Д (Т, Т + Н) и .](Т,Н), найдём

5"<2-а>с-2Нг]ка - (^Ш''Н„ка , (2 а) 2 4 .„„ ..

|

2(2-а) _ 4 _—

. . а '2а>2 а 5а С0а 2 а _

(30е3 С5) а < 0, 5 ■ 5_'2_а>с_2е4 то есть £3 =-—^-у^ь

30 С 5

получим

2- а 2 а а

(М Е)) — ^ С6Н2—~У_а, Сб =

2-а 2 —а _а 5_'2_а> С_2£4

, Сб =-/

2 4

Так как кч] = с1[с1п У]У 2; то для количества нулей функции Р(¿) на промежутке (Т,Т + Н) справедлива

2 а 2 ,2 — а и С/>_л—2а с2 — а 2 а

п(Е) г2—а НУ_4—га г2

ШТ + Н) - ШТ) ^ ^^ ^ ^——-г ^ НУ2_г—а 1пУ.

кг1 С\[ с 1п У]У_ 2 сю

а =

1 2 + 1п 1 £ 21п3000е 2С5 е_0,5 + е1п(81 ■ 10_10) + 1п(108 с4д)

С ^ 4 + 21п У = 4 + 2е2 1п У .

Не ограничивая общности будем считать, что при Т ^ Т0 > 0 выполняется неравенство е2 1п 3000е2С5£_0,5 + е 1п(81 ■ 10_10) + 1п(108сд) ^ 1

е2 ~ 6

< - 1п У.

Поэтому выбирая с = 1 + т2 = |) имеем

N0 (Т + Н) -N0 (Т) ^ 3 с62—£ с_1НУ 2 _ 4—2¥ 1п У.

Воспользовавшись неравенствами

2 £ 7 2 £ 20

У 2 _ 4—2£ >_ (1п Т) 2 _ 4—2£ , 1п У >— 1п 1п Т,

имеем

2 £ £2

N0 (Т + Н) -N0 (Т) ^ с7Н (1пТ) 2 _ 4 _ 2— 1п 1п Т, С7 = 2с62—£ с_

В заключение для наглядности коэффициент С7 представим в виде

1 + £ + 2 + 4 + 8—4£ 1

С7 = --1

3ес5 ■ 5£ +3 2£+2+2+4££ с}+^ с! +2++^

2

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Davenport H., Heilbronn H. On the zeros of certain Dirichlet series //J. Lond. Math. Soc. 1936. V. 11. P. 181 - 185 and 307 - 312.

2. Титчмарш E. К. Теория дзета-функции Римана — M.: Изд. Иност. лит. (И*Л), 1953. 409 с.

3. Воронин С. М. О распределении нулей некоторых рядов Дирихле // Труды МИЛИ. 1984. Т. 163. С. 74 - 77.

4. Воронин С. М. О нулях некоторых рядов Дирихле, лежащих на критической прямой // Известия АН СССР. Серия математическая. 1980. Т. 44, № 1. С. 63 - 91.

5. Карацуба А. А. О нулях функции Дэвенпорта-Хейльбронна, лежащих на критической прямой // Известия АН СССР. Серия математическая. 1990. Т 54. № 2. С. 303 - 315.

6. Воронин С. \!.. Карацуба А. А. Дзета-функция Римана - М.: Физматлит. 1994. -376с. -ISBN 5-02-014120-8.

7. Карацуба А. А. О нулях арифметических рядов Дирихле, не имеющих эйлерова произведения // Известия РАН. Серия математическая. 1993. Т 57, № 5. С. 3 - 14.

8. Карацуба А. А. Новый подход к проблеме нулей некоторых рядов Дирихле // Труды МИАН. 1994. Т. 207, С. 180 - 196.

9. Гриценко С. А. О нулях функции Дэвенпорта-Хейльбронна // Труды МИАН. 2017. Т. 296. С. 72 - 94.

10. Гриценко С. А. О дробных моментах успокоенных L-функций Дирихле // Чебышевский сборник. 2017. Т. 18, № 4, С. 168 - 187.

11. Рахмонов 3. X. Оценка плотности нулей дзета функции Римана // УМН. 1994. Т. 49, вып. 1. С. 161 - 162.

12. Рахмонов 3. X. Плотность нулей дзета-функции Римана в коротких прямоугольниках критической полосы // Вестник Хорогского университета. 2002. Серия 1. № 5. С. 1 - 25.

13. Рахмонов 3. X. Нули дзета-функции Римана в коротких промежутках критической прямой // Чебышевский сборник. 2006. Т. 7. В. 1. С. 263 - 279.

14. Рахмонов 3. X., Хайруллоев Ш. А. Расстояние между соседними нулями дзета-функции Римана, лежащими на критической прямой // Доклады АН Республики Таджикистан. 2006. Т. 49. № 5. С. 393 - 400.

15. Рахмонов 3. X., Хайруллоев Ш. А. Соседние нули дзета-функции Римана, лежащие на критической прямой // Доклады АН Республики Таджикистан. 2009. Т. 52. № 5. С. 331 -337.

16. Рахмонов 3. X., Аминов А. С. О нулях нечётного порядка функции Дэвенпорта-Хейлбронна в коротких промежутках критической прямой // Доклады АН Республики Таджикистан. 2019. Т. 62. № 3-4. С. 133 - 138.

17. Huxley M. N. Sums and Lattice Points III // Proceedings of the London Mathematical Society. 2003. V. 87. Is. 3. P. 591 - 609.

REFERENCES

1. Davenport, H., k Heilbronn, H. 1936, "On the zeros of certain Dirichlet series", J. Lond. Math. vol. 11, pp. 181 - 185 and 307 - 312.

2. Titchmarsh, E. C., 1953, "The theory of the Zeta function of Riemann", Oxford.

3. Voronin, S. M. 1984, "Distribution of zeros of certain Dirichlet series", Proc. Steklov Inst. Math., vol. 163, pp. 89-92.

4. Voronin, S. M. 1981, "On the zeros of some Dirichlet series lying on the critical line", Math. USSR-Izv., vol, 16, Is. 1, pp. 55-82.

5. Karatsuba, A. A., 1990, "On the zeros of the Davenport-Heilbronn function lying on the critical line", Math. USSR-Izv., vol. 36, Is. 2, pp. 311-324.

6. Voronin, S. M., k Karatsuba, A. A., 1994, The Riemann zeta function, Fiziko-Matematicheskava Literatura, Moscow, 376 pp. ISBN: 5-02-014120-8

7. Karatsuba, A. A., 1994, "On the zeros of arithmetic Dirichlet series without Euler product", Russian Acad. Sci. Izv. Math., vol. 43, Is. 2, pp. 193-203, doi.org/10.1070/IM1994v043n02ABEH001561.

8. Karatsuba, A. A., 1995, "A new approach to the problem of the zeros of some Dirichlet series", Proc. Steklov Inst. Math., vol. 207, pp. 163-177,

9. Gritsenko, S. A., 2017, "On the zeros of the Davenport-Heilbronn function", Proc. Steklov Inst. Math., vol. 296, pp. 65-87, doi.org/10.1134/S0081543817010060.

10. Gritsenko, S. A., 2017, "On fractional moments of the mollified Dirichlet L-functions", Chebyshevskii Sb., vol. 18, Is. 4, pp. 168-187, doi.org/10.22405/2226-8383-2017-18-4-167-186

11. Rakhmonov, Z. Kh., 1994, "Estimate of the density of the zeros of the Riemann zeta function", Russian Math. Surveys, vol. 49, Is. 2, pp. 168-169, doi.org/10.1070/RM1994v049n02ABEH002225.

12. Rakhmonov, Z. Kh., 2002, "Density zeros of the Riemann zeta function in short rectangles of a critical strip", Vestnik Khorogskogo universiteta, Seriva 1, Is. 5, pp. 1 - 25.

13. Rakhmonov, Z. Kh., 2006, "Zeros of the Riemann zeta function in short intervals of the critical line", Chebyshevskii Sbornik, vol. 7, Is. 1(17), pp. 263-269.

14. Rakhmonov, Z. Kh. k Khavrulloev, Sh. A., 2006, "Distance between the next zeros of Riemann's zeta-function in the critical line", Doklady Akademii nauk Respubliki Tajikistan, vol. 49, no. 5, pp. 393 - 400.

15. Rakhmonov, Z. Kh. k Khavrulloev, Sh. A. 2009, "The neibour zero of the Riemann's zeta-function laying on a critical line", Doklady Akademii nauk Respubliki Tajikistan, vol. 52, no. 5, pp. 331 - 337.

16. Rakhmonov, Z. Kh. k Aminov, A. S., 2019, "On the zeros of an odd order of the Davenport - Heilbron function in short intervals of the critical line", Doklady Akademii nauk Respubliki Tajikistan, vol. 62, no. 3-4, pp. 133-138.

17. Huxley, M. N., 2003, "Sums and Lattice Points III", Proceedings of the London Mathematical Society, vol. 87, Is. 3, pp. 591-609, doi.org/10.1112/S0024611503014485.

Получено 15.11.2019 г. Принято в печать 20.12.2019 г.